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Proprieta topologiche dei modelli CP^{N-1}

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Indice

Introduzione iii

1 Path integral 1

1.1 Path integral in meccanica quantistica . . . 1

1.2 Inserimento di operatori . . . 4

1.3 Path integral in teoria di campo . . . 5

1.4 Funzione di partizione e path integral . . . 6

2 Particella su un anello 9 2.1 Il problema standard . . . 9

2.2 La funzione di partizione e il numero di avvolgimenti . . . 10

2.3 Limiti di bassa e di alta temperatura . . . 12

2.4 Un ‘nuovo’ parametro: θ . . . 12

2.5 Particella in campo magnetico . . . 13

3 I modelli CPN −1 17 3.1 Descrizione del modello . . . 17

3.2 Classi di omotopia e carica topologica . . . 18

3.3 Istantoni . . . 19

3.4 Vuoti classici e vuoto θ . . . 20

3.5 Funzione di partizione . . . 23

3.6 Espansione 1/N . . . 24

3.7 Suscettivit`a topologica . . . 30

3.8 Teorie di gauge SU (N ) . . . 32

3.9 Problema U(1) e sua soluzione . . . 35

3.10 Dipendenza da N dei coefficienti non gaussiani . . . 38

4 Simulazione su reticolo 39 4.1 Il metodo Monte Carlo dinamico . . . 40

4.2 Tempi di autocorrelazione e errore sulla media . . . 40

4.3 Misura dell’errore . . . 41 i

(2)

ii INDICE

4.4 La particella su un reticolo circolare . . . 43

4.4.1 Tempi di autocorrelazione . . . 44

4.4.2 Descrizione della simulazione e risultati . . . 44

4.5 I modelli CPN −1 su reticolo . . . . 46

4.6 Algoritmi usati . . . 49

4.7 Limite continuo . . . 50

4.8 Costanti di rinormalizzazione . . . 52

4.9 Il cooling . . . 53

5 Analisi dei risultati 55 5.1 I risultati . . . 55

5.2 La suscettivit`a topologica . . . 56

5.2.1 Confronto con il valore atteso all’ordine next to leading 57 5.2.2 Confronto con i dati presenti in letteratura . . . 59

5.3 Primo coefficiente non gaussiano . . . 62

5.3.1 Confronto con il valore atteso e i dati presenti in lette-ratura . . . 63

5.4 Secondo coefficiente non gaussiano . . . 65

5.5 Critical slowing down . . . 68

6 Conclusioni 71

(3)

Introduzione

I modelli CPN −1 bidimensionali sono stati introdotti da Eichenherr [15] nel

1978 come generalizzazione dei modelli sigma non lineari. La caratteristica che li rende interessanti `e il fatto di possedere diverse propriet`a in comune con la cromodinamica quantistica. Sono invarianti di gauge e asintoticamente liberi. Hanno inoltre una topologia non banale. Quest’ultima propriet`a `e l’oggetto di studio di questo lavoro. L’attenzione per le propriet`a topologiche `e motivata dalle loro importanti implicazioni fisiche.

La topologia non banale della teorie di gauge SU (N ) si riflette sulla la-grangiana nella presenza di un termine aggiuntivo, detto termine topologico:

L = 1 4F a µνF a µν− iθ g2 64π2µνρσF a µνF a ρσ. (1)

Il termine topologico dipende dal ‘parametro θ’: a priori θ `e libero. Ci si pu`o chiedere se θ non sia irrilevante. La risposta viene dalla soluzione del problema U (1). Witten [31] ha mostrato che `e possibile spiegare la grande massa della particella η0 assumendo una dipendenza non banale da θ. La spiegazione di Witten `e supportata da risultati ottenuti tramite simulazioni su reticolo [29]. Tuttavia, assumere una dipendenza non banale da θ implica anche dei problemi. Un valore di θ diverso da zero ha come conseguenza la rottura della simmetria CP forte, che in natura sembrerebbe conservata. Le evidenze sperimentali pongono un limite superiore al valore di θ, |θ| < 10−10 [29]. La questione per cui θ `e cos`ı piccolo non `e ancora chiarita.

Esempi che mostrano il legame tra le propriet`a topologiche e la fisica so-no offerti dalla meccanica quantistica. Un semplice modello che permette di introdurre molti elementi comuni alle teorie con propriet`a topologiche non banali `e fornito da una particella vincolata a muoversi su un anello. Si pu`o studiare questo problema utilizzando i metodi standard come indagare la dipendenza da θ dei livelli energetici. Un altro possibile approccio `e quello del path-integral. La circonferenza ha una topologia non banale: i percorsi compiuti dalla particella possono essere divisi in classi di omotopia, indivi-duate dal numero di volte in cui avvolgono la circonferenza. Si ricava che la

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iv CAPITOLO 0. INTRODUZIONE dipendenza da θ dell’energia `e legata al valore quadratico medio del numero degli avvolgimenti.

La topologia non banale dei modelli CPN −1 bidimensionali consiste nel poter classificare le configurazioni in diverse classi di omotopia, individuate da un numero intero Q, detto carica topologica. Le conseguenze sono im-portanti. Una prima fondamentale `e l’esistenza di configurazioni classiche, di minima azione euclidea, dette istantoni, che descrivono traiettorie di tun-neling tra vuoti classici differenti. Dalla possibilit`a di tunneling si deduce che il vero vuoto della teoria `e una sovrapposizione dei vuoti classici e risulta dipendere da un parametro, il parametro θ [5]. Lo scopo di questo lavoro `e, in particolare, lo studio dei primi termini non gaussiani dello sviluppo di Taylor della densit`a d’energia del vuoto in θ = 0:

E(θ) − E(0) = 1 2χθ

2(1 + b

2θ2+ b4θ4+ · · · ). (2)

Mentre per il coefficiente gaussiano, χ, in letteratura sono presenti diversi risultati sia analitici che numerici [29], per quanto riguarda i coefficienti non gaussiani l’unico lavoro, a nostra conoscenza, in cui vengono riportate delle misure `e [20]. In recenti pubblicazioni[4, 23] sono state presentate delle pre-visioni teoriche: risulta pertanto interessante un confronto con dei risultati numerici.

Le propriet`a topologiche non possono essere studiate usando la teoria per-turbativa standard. L’ampiezza di transizione tra due differenti vuoti classici `e O(exp (−C/g)), dove C `e una quantit`a positiva e g `e la costante d’accoppia-mento: usando la teoria perturbativa non si vede[5]. Un possibile approccio `e fornito dall’espansione 1/N [10]: i grafici di Feynman vengono riorganizzati e sommati in base alla loro dipendenza da N , anche se i singoli grafici danno contributo nullo, la loro somma pu`o essere non nulla [31]. Utilizzeremo l’e-spansione 1/N per calcolare la suscettivit`a topologica χ all’ordine dominante e determinare la dipendenza da N dei coefficienti b2n.

Uno strumento fondamentale nello studio dei problemi di tipo non pertur-bativo `e costituito dalle simulazioni su reticolo. Nel realizzare una simulazio-ne ci si trova a dover affrontare diverse difficolt`a: innanzitutto l’impossibilit`a di diminuire a piacere la spaziatura reticolare a causa della crescita dei tempi di autocorrelazione (critical slowing down). Il problema `e legato al tipo di algoritmo che viene usato: non tutti gli algoritmi ne sono afflitti allo stesso modo.

Un’altra questione di cui bisogna tener conto `e che le misure vengono ov-viamente sempre effettuate per valori della spaziatura, che per quanto piccoli, sono finiti. Ne segue la necessit`a di collegare le quantit`a misurate alle cor-rispondenti quantit`a fisiche tramite costanti di rinormalizzazione dipendenti

(5)

v dalla spaziatura e il cui effetto svanisce nel limite continuo. Affrontiamo il problema utilizzando una tecnica detta ‘cooling’.

In questo lavoro riportiamo i risultati di due simulazioni. La prima ha riguardato il problema della particella vincolata a muoversi su un anello. Lo scopo `e stato quello di testare gli strumenti a nostra disposizione in un contesto in cui i risultati ottenuti potessero essere confrontati con dei risul-tati esatti; abbiamo ricavato delle informazioni sull’efficienza dell’algoritmo usato.

La seconda simulazione ha riguardato i modelli CPN −1. Abbiamo esegui-to delle misure di χ, b2 e di b4. Il lavoro `e organizzato nel modo seguente:

• Nel primo capitolo si richiama il concetto di path integral: si mostra l’equivalenza della definizione standard hamiltoniana del propagatore con quella lagrangiana in termini di integrale sui cammini per un si-stema quanto-meccanico unidimensionale. Si considera l’ampiezza di transizione con l’inserzione di operatori. Si estendono i risultati otte-nuti ad una teoria di campo scalare. Infine si mostrano le connessioni con la meccanica statistica.

• Nel secondo capitolo si affronta il problema di una particella vincolata a muoversi su una circonferenza. Si ricava lo spettro dell’energia e si evidenzia la sua possibile dipendenza da un parametro θ. Ci si sofferma sul significato di θ come ulteriore condizione al contorno determinata dalla situazione sperimentale.

• Nel terzo capitolo si introducono i modelli CPN −1 nel continuo. Si

mo-stra che lo spazio ha una topologia non banale e che esistono istantoni per ogni valore di N . Si indaga la struttura del vuoto. Quindi si studia il modello nell’ambito dell’espansione 1/N determinando la dipendenza da 1/N della suscettivit`a topologica χ e dei coefficienti b2n; si calcola

χ all’ordine dominante. Infine si accenna alle teorie di gauge SU (N ) dando una breve descrizione del problema U (1) e della sua soluzione. • Nel quarto capitolo si descrivono gli algoritmi e i metodi di analisi

sta-tistica adoperati. Si mostra la loro applicazione al caso della particella su reticolo circolare.

• Nel quinto capitolo si riportano i risultati delle simulazioni relative ai modelli CPN −1, si discutono e si confrontano con quelli presenti in

letteratura.

(6)
(7)

Capitolo 1

Path integral

Nello studio delle teorie di campo nel continuo e su reticolo, il concetto di path integral assume un ruolo fondamentale. In questo capitolo mostriamo come `e possibile passare dalla formulazione standard, hamiltoniana della teoria, al formalismo dell’integrale sui cammini. Vediamo, quindi, come i metodi introdotti possono essere applicati alla funzione di partizione.

Iniziamo col trattare l’argomento per un sistema quanto-meccanico uni-dimensionale, per poi estendere i risultati ad una teoria di campo scalare.

1.1

Path integral in meccanica quantistica

Consideriamo un sistema unidimensionale descritto dalla hamiltoniana ˆH(ˆx, ˆp). Indichiamo con |xi e |pi gli autostati dell’operatore posizione ˆx e dell’opera-tore impulso ˆp:

ˆ

x|xi = x|xi, p|pi = p|pi,ˆ e adottiamo le seguenti condizioni di normalizzazione:

hx0|xi = δ(x0− x), Z dx |xihx| = 1 hp0|pi = 2π~ δ(p0− p), Z dp 2π~|pihp| = 1. hx|pi = exp(ipx/~).

Per distinguere gli operatori dagli autovalori, abbiamo indicato i primi con un ‘cappello’.

Sia ψ(xa, ta) = hxa|ψ(ta)i la funzione d’onda relativa allo stato |ψ(ta)i in cui

il sistema si trova all’istante ta, allora la funzione d’onda all’istante tb `e data

(8)

2 CAPITOLO 1. PATH INTEGRAL da:

ψ(xb, tb) =

Z

dxaK(xb, tb; xa, ta)ψ(xa, ta), (1.1)

dove abbiamo introdotto l’ampiezza di transizione o propagatore: K(xb, tb; xa, ta) = hxb|e−

i

hH(tˆ b−ta)|x

ai = hxb, tb|xa, tai. (1.2)

Dalla (1.1) `e chiaro che l’ampiezza di transizione determina completamente la dinamica del sistema.

Quello che vogliamo mostrare `e che l’ampiezza di transizione pu`o anche essere espressa sotto forma di path integral:

K(xb, tb; xa, ta) = Z x(tb)=xb x(ta)=xa Dx exp i ~ Z tb ta dtL  , (1.3) dove Dx = CQ

tdx(t), C `e una costante e L `e la lagrangiana classica.

Il contenuto della (1.3) pu`o essere riassunto nei seguenti tre punti: • l’ampiezza di transizione pu`o essere espressa come somma su cammini, • ogni cammino x(t), con x(ta) = xa e x(tb) = xb, contribuisce

all’am-piezza di transizione,

• il ‘peso’ con cui contribuisce `e dato da e~i

Rtb

tadt L(x(t), ˙x(t)).

Le espressioni (1.2) e (1.3) sono equivalenti; elenchiamo, brevemente, i passaggi che portano dall’una, all’altra [25].

Partiamo da K(xb, tb; xa, ta) = hxb|e−

i

~H(tˆ b−ta)|xai. L’idea fondamentale `e

quella di dividere l’intervallo (tb− ta) in N piccoli intervalli  e inserire N−1

set completi di autostati di ˆx. Si ottiene l’ampiezza di transizione espressa come integrale sui vertici di spezzate di N lati, vedi fig. 1.1:

hxb|e− i ~H(tˆ b−ta)|xai = hxb|e− i ~Hˆ e− i ~Hˆ · · · e− i ~Hˆ |xai = Z dx1· · · dxN −1hxb|e− i ~Hˆ |xN −1i · hxN −1|e− i ~Hˆ |xN −2i · · · hx1|e− i ~Hˆ |xai. (1.4)

A questo punto restringiamo il nostro interesse al caso, peraltro molto comu-ne, di un operatore hamiltoniano del tipo ˆH = ˆp2/2m + ˆV (ˆx) e concentriamo

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1.1. PATH INTEGRAL IN MECCANICA QUANTISTICA 3 Osserviamo che valgono le seguenti relazioni:

hxk+1|ˆp2|xki = Z dp 2π~hxk+1|ˆp 2|pihp|x ki = Z dp 2π~p 2exp i ~[p(xk+1− xk)]  hxk+1| ˆV (ˆx)|xki =  V (xk) + V (xk+1) 2  Z dp 2π~ exp  i ~[p(xk+1− xk)]  , (1.5) da cui ricaviamo hxk+1|e− i ~Hˆ |xki = →0hxk+1|1 − i ~ ˆ H|xki = Z dp 2π~ exp  i ~ [p(xk+1− xk)]  ·  1 − i ~  p2 2m+ V (xk) + V (xk+1) 2  = Z dp 2π~ exp  i ~[p(xk+1− xk)]  · exp  − i ~  p2 2m+ V (xk) + V (xk+1) 2  =C() exp i ~  m 2  xk+1− xk  2 − V (xk+1) + V (xk) 2  , (1.6) dove k = 0, .., N −1, con x0 = xa e xN = xb, e C() =pm/i2π.

Sostituendo le ampiezze infinitesime nell’equazione (1.4) con l’espressione trovata e passando al limite N → ∞,  → 0, otteniamo, infine, la (1.3): K(xb, tb; xa, ta) =(C())N Z dx1· · · dxN −1 · exp i ~ X k  m 2  xk+1− xk  2 − V (xk+1) + V (xk) 2  = Z x(tb)=xb x(ta)=xa Dx exp i ~ Z tb ta dtL  . (1.7) La formulazione in termini di path integral ottenuta per il caso unidimen-sionale pu`o essere generalizzata ad un sistema a molti gradi di libert`a.

(10)

4 CAPITOLO 1. PATH INTEGRAL

Figura 1.1: La figura mostra alcuni cammini che contribuiscono all’ampiezza di transizione per  finito [18].

Indichiamo con ˆxj l’operatore posizione e con |xi i suoi autovettori:

ˆ

xj|xi = xj|xi. (1.8)

Ripercorrendo i passi fatti nel caso unidimensionale, si ricava l’ampiezza di transizione: hxb|e− i ~ ˆ H(tb−ta)|x ai = Z x(tb)=xb x(ta)=xa Dx exp i ~ Z tb ta dtL  , (1.9) con la misura Dx = CQ j Q tdx j(t).

1.2

Inserimento di operatori

Risulta utile esprimere nel linguaggio dell’integrale funzionale anche le am-piezze di transizione in cui sono inseriti degli operatori. Si ricava facilmente la seguente relazione: hxb, tb|ˆx(t1)ˆx(t2) · · · ˆx(tn)|xa, tai = Z x(tb) x(ta) Dx x(t1)x(t2) · · · x(tn) exp  i ~ Z tb ta dt L  , (1.10)

(11)

1.3. PATH INTEGRAL IN TEORIA DI CAMPO 5 dove tb > t1 > t2 > · · · > tn> ta.

Per esempio, nel caso di due soli operatori ˆx(t1), ˆx(t2), con tb > t1 > t2 > ta,

si ha [22]: hxb, tb|ˆx(t1)ˆx(t2)|xa, tai = hxb|e− i ~H(tˆ b−t1)xeˆ − i ~H(tˆ 1−t2)xeˆ − i ~H(tˆ 2−ta)|xai = Z dx1dx2hxb|e− i ~H(tˆ b−t1)x|xˆ 1ihx1|e− i ~H(tˆ 1−t2)x|xˆ 2ihx2|e− i ~H(tˆ 2−ta)|xai = Z dx1dx2x1x2 Z x(tb)=xb x(t1)=x1 Dx exp i ~ Z tb t1 dt L  · Z x(t1)=x1 x(t2)=x2 Dx exp i ~ Z t1 t2 dt L  Z x(t2)=x2 x(ta)=xa Dx exp i ~ Z t2 ta dt L  = Z x(tb)=xb x(ta)=xa Dx x(t1)x(t2) exp  i ~ Z tb ta dt L  . (1.11) Osserviamo che nell’integrale le variabili x(t1), x(t2), · · · , x(tn) possono essere

scritte in qualsiasi ordine.

1.3

Path integral in teoria di campo

In questo paragrafo introduciamo la formulazione del path integral per una teoria di campo quantistica scalare, limitandoci a traslare a questa teoria i risultati ottenuti nei paragrafi precedenti per un sistema quanto-meccanico.

Nell’eq.(1.8) abbiamo definito l’operatore posizione e i suoi autovettori per un sistema quanto-meccanico a pi`u dimensioni; in maniera analoga, in teoria di campo, si definiscono l’operatore di campo ˆφ(x) e i suoi autovettori |φi:

ˆ

φ(x)|φi = φ(x)|φi (1.12)

dove il campo φ(x) prende il posto della coordinata xj e la variabile spaziale,

continua, x prende il posto dell’indice j.

Tenendo conto di queste sostituzioni scriviamo la misura d’integrazione: Dφ(x, t) = CY

x

Y

t

dφ(x, t). (1.13)

A questo punto, esprimiamo l’ampiezza di transizione tra una configura-zione di campo φa(x), al tempo ta e una configurazione di campo φb(x), al

(12)

6 CAPITOLO 1. PATH INTEGRAL tempo tb in termini di path integral:

hφb|e− i hH(tˆ b−ta) ai = Z φ(x,tb)=φb(x) φ(x,ta)=φa(x) Dφ exp i h Z tb ta dt Z dxL  , (1.14) dove L `e la densit`a lagrangiana classica della teoria di campo.

In maniera analoga, scriviamo l’ampiezza di transizione con l’inserzione di operatori: hφb|e− i ~Htbφ(xˆ 1, t1) ˆφ(x2, t2) · · · ˆφ(xn, tn)e i ~Hta|φai = Z φ(x,tb)=φb(x) φ(x,ta)=φa(x) Dφ φ(x1, t1)φ(x2, t2) · · · φ(xn, tn) exp  i h Z tb ta dt Z dx L  , (1.15) con tb > t1 > t2 > · · · > tn> ta.

Nei prossimi paragrafi, per semplificare la notazione, tralasciamo di indi-care gli operatori con un cappello.

1.4

Funzione di partizione e path integral

Il formalismo sviluppato nei paragrafi precedenti pu`o essere esteso alla fun-zione di partifun-zione.

Consideriamo, per semplicit`a, un sistema quanto-meccanico unidimensio-nale, descritto dall’hamiltoniana

H = p

2

2m + V (x). (1.16)

Supponiamo che sia in equilibrio con un termostato a temperatura T e scriviamo la funzione di partizione:

Z =X

j

e−βEj, (1.17)

dove β = 1/kBT , kB `e la costante di Boltzmann e Ej `e l’autovalore j-esimo

dell’hamiltoniana del sistema.

Possiamo esprimere la funzione di partizione sotto forma di traccia:

Z =X

j

hj|e−βH|ji = Z

(13)

1.4. FUNZIONE DI PARTIZIONE E PATH INTEGRAL 7 L’integrando hx|e−βH|xi pu`o essere considerato il propagatore da uno stato |xi allo stesso stato |xi, in un intervallo di tempo immaginario ∆t = −i~β. Riscriviamo pertanto la funzione di partizione come:

Z = Z dx Z x(β~)=x x(0)=x Dx exp  − SE ~  = Z x(0)=x(β~) Dx exp  −SE ~  , (1.19) dove SE = Z β~ 0 dτ LE, LE = m 2  dx dτ 2 + V (x), dτ = idt. L’azione SE e la lagrangiana LE sono l’azione e la lagrangiana euclidee.

Risulta utile esprimere in termini di integrale funzionale i valori medi degli operatori.

Dato un operatore O, si ha: hOi = tr (Oe

−βH)

tr (e−βH) =

R Dx O[x]e−SE[x]/~

R Dx e−SE[x]/~ , (1.20)

dove gli integrali sono eseguiti sui cammini con x(β~) = x(0).

Spesso ci si trova a valutare il valore medio di un operatore nel limite β → ∞. Verifichiamo che risulta uguale al valore d’aspettazione dell’opera-tore stesso sullo stato fondamentale. A questo fine, espandiamo l’operadell’opera-tore di evoluzione temporale attraverso l’inserimento di un set completo di autostati:

hOi = tr (Oe

−βH)

tr (e−βH) =

e−E0βh0|O|0i + e−E1βh1|O|1i + · · ·

e−E0β + e−E1β + · · · β→∞−→ h0|O|0i,

(1.21) con E0 < Ei· · · , i 6= 0.

Infine, vogliamo evidenziare il significato probabilistico della (1.20). Dati i cammini x(τ ) e x(τ ) + dx(τ ), la quantit`a

Dx(τ ) exp{−S[x(τ )]/~}/ Z

Dx(τ ) exp{−S[x(τ )/~]} (1.22) rappresenta la probabilit`a che un cammino sia compreso tra i cammini deli-mitati da x(τ ) e x(τ ) + dx(τ ).

L’estensione a una teoria di campo scalare `e immediata. Consideriamo una teoria descritta dalla lagrangiana:

L = 1 2∂µϕ∂

µϕ − V (ϕ).

Analogamente a quanto fatto sopra, si passa dalla metrica minkowskiana a quella euclidea, cio`e si fa la rotazione

(14)

8 CAPITOLO 1. PATH INTEGRAL La lagrangiana e l’azione euclidea si ottengono facendo le seguenti sostitu-zioni: iS → −SE ∂0 → i∂0E ∂i → ∂iE ϕ → ϕE. Si scrive LE = 1 2∂ E µϕE∂µEϕE+ V (ϕE), SE = Z dτ ddx LE, (1.24)

dove d + 1 `e la dimensione dello spazio-tempo. Il valore medio di un operatore `e dato

hO[ϕE]i = R ϕE(x,τb)=ϕE(x,τa)DϕEO[ϕE] exp(−SE/~) R ϕE(x,τb)=ϕE(x,τa)DϕE exp(−SE/~) , (1.25)

dove τa e τb sono gli estremi temporali che si considerano o in altre parole

1/(kB(τb− τa)) `e la temperatura.

Abbiamo visto che la formulazione hamiltoniana e quella lagrangiana sono equivalenti.

A volte pu`o essere utile usarle entrambe. `E quello che facciamo nel pros-simo capitolo per studiare il problema di una particella vincolata a muoversi su un anello; questo duplice approccio permette di avere una comprensione pi`u profonda del problema.

Per comodit`a, d’ora innanzi useremo sempre il formalismo euclideo. Inol-tre porremo sempre ~ = 1, c = 1, kB = 1.

(15)

Capitolo 2

Particella su un anello

Il problema di una particella vincolata a muoversi su un anello offre la possi-bilit`a di indagare, in un contesto semplice, diversi aspetti comuni alle teorie con propriet`a topologiche non banali.

In questo capitolo esaminiamo alcune propriet`a dei percorsi che la par-ticella pu`o compiere, la dipendenza dell’energia dal parametro θ e il legame che intercorre fra di essi.

2.1

Il problema standard

Per precisare il problema, consideriamo una particella di massa m che si muove su una circonferenza di lunghezza L.

L’ hamiltoniana che descrive il problema e le sue autofunzioni sono quelle della particella libera:

H = p 2 2m, ψp = 1 √ Lexp(ipx). (2.1)

I valori che il momento p pu`o assumere `e determinato imponendo le condizioni al contorno: quelle standard sono

ψ(x + L) = ψ(x) (2.2)

ed implicano

p = 2πn

L , dove n ∈ Z. (2.3)

A questi valori di p corrispondono le seguenti autofunzioni e i seguenti auto-valori dell’hamiltoniana: ψn(x) = 1 √ Lexp  i2πn L x  , En = 1 2m  2πn L 2 . (2.4) 9

(16)

10 CAPITOLO 2. PARTICELLA SU UN ANELLO Anche se il problema `e praticamente risolto, siamo interessati a indagare ulteriormente le sue propriet`a topologiche. A questo scopo risulta usare la formulazione del path-integral.

2.2

La funzione di partizione e il numero di

avvolgimenti

Consideriamo la funzione di partizione

Z = ∞ X n=−∞ exp  − β 1 2m  2πn L 2 = ∞ X n=−∞ exp  − 4π 2βχ 2 n 2  , β = 1/T, (2.5)

dove con T abbiamo indicato la temperatura e abbiamo posto χ = 1/mL2. Abbiamo visto (1.19) che la funzione di partizione pu`o essere espressa in termini di integrale sui cammini:

Z ∝ Z

x(0)=x(β)

Dx exp(−S[x]), (2.6)

dove l’integrale `e eseguito sui cammini chiusi

x(τ ) : S1 → S1 (2.7)

definiti sulla circonferenza temporale e a valori sulla circonferenza spaziale. Risulta utile studiare le propriet`a di questi cammini: ne elenchiamo di seguito alcune.

• In generale un cammino sar`a costituito da un certo numero di giri, alcuni compiuti in senso orario, altri in senso antiorario. Definiamo il numero q di avvolgimenti come la differenza tra il numero di giri fatti in senso antiorario e quelli fatti in senso orario. I cammini costituiti dallo stesso numero di avvolgimenti possono essere deformati con continuit`a l’uno nell’altro, viceversa non `e possibile deformare con continuit`a l’uno nell’altro cammini costituiti da un diverso numero di avvolgimenti. In altre parole, i cammini possono essere divisi in classi di omotopia: il numero di avvolgimenti costituisce una propriet`a comune ai cammini appartenenti alla stessa classe.

(17)

2.2. LA FUNZIONE DI PARTIZIONE E IL NUMERO DI AVVOLGIMENTI11 • Ad un cammino costituito da q avvolgimenti corrisponde un’azione

uguale a quella corrispondente ad un cammino fatto da una particella libera, in moto lungo una retta che, all’istante iniziale si trova in un punto, diciamo x e all’istante β si trova in x + qL e che tra τ = 0 e τ = β si muove con velocit`a ˙x(τ ).

• Tra i cammini costituiti dallo stesso numero di avvolgimenti ce n’`e uno che minimizza l’azione, il cammino classico, che `e dato da:

ycl(τ ) = x +

qL

β τ. (2.8)

• Un qualunque cammino y(τ ) costituito da q avvolgimenti pu`o essere scritto come somma del cammino classico costituito dallo stesso numero di avvolgimenti e di una fluttuazione quantistica z(τ ):

y(τ ) = ycl(τ ) + z(τ ), (2.9)

dove la fluttuazione necessariamente deve essere tale che

z(0) = 0, z(β) = 0. (2.10)

Tenendo conto delle osservazioni fatte calcoliamo l’integrale funzionale (2.6). Per prima cosa separiamo i contributi dati dai cammini con numero di avvolgimenti differenti, scriviamo:

Z ∝ ∞ X q=−∞ Z y(β)=x+qL y(0)=x Dy exp  − Z β 0 dτ m ˙y 2 2  . (2.11)

Quindi inseriamo negli integrali la (2.9) e otteniamo:

Z ∝ ∞ X q=−∞ exp  −mL 2 2β q 2  Z z(β)=0 z(0)=0 Dz exp  − Z β 0 dτ m ˙z 2 2  . (2.12)

L’integrale in Dz non dipende da q, pertanto possiamo scrivere: Z ∝ ∞ X q=−∞ exp  − mL 2 2β q 2  = ∞ X q=−∞ exp  − 1 2βχq 2  . (2.13)

Abbiamo quindi trovato che la funzione di partizione pu`o essere scritta sia co-me serie nei livelli di energia (2.5), che coco-me serie nel nuco-mero di avvolgico-menti (2.13).

(18)

12 CAPITOLO 2. PARTICELLA SU UN ANELLO

2.3

Limiti di bassa e di alta temperatura

La distribuzione dei livelli d’energia e la distribuzione del numero di avvolgi-menti dipende ovviamente dalla temperatura. Consideriamo, in particolare, i limiti di bassa e di alta temperatura βχ → +∞, βχ  1.

Si osserva che nel limite di bassa temperatura contribuiscono alla funzione di partizione solo i livelli d’energia pi`u bassi e tutti i valori del numero di avvolgimenti. Il numero degli avvolgimenti risulta distribuito in maniera quasi gaussiana con varianza:

hq2i

c= hq2i = βχ =

β

mL2. (2.14)

Viceversa, nel limite di alta temperatura contribuiscono tutti i livelli d’ener-gia e solo i valori pi`u bassi del numero di avvolgimenti. In questo limite sono i livelli di energia ad essere distribuiti in maniera quasi gaussiana con varianza

hn2ic=

1 4π2βχ.

2.4

Un ‘nuovo’ parametro: θ

La scelta fatta sulle condizioni al contorno non `e l’unica possibile [17]. In-fatti l’arbitrariet`a sulla fase della funzione d’onda permette di scegliere le condizioni al contorno generalizzate

ψ(x + L) = eiθψ(x). (2.15)

Con queste condizioni al contorno le autofunzioni e gli autovalori dell’hamil-toniana sono: ψθn(x) = √1 Lexp  i(2πn + θ)x L  , En(θ) = 1 2mL2(2πn + θ) 2. (2.16)

Consideriamo la funzione di partizione Z(θ) = +∞ X n=−∞ exp  −4π 2βχ 2  n + θ 2π 2 . (2.17)

Anche in questo caso pu`o essere scritta, vedi [27], in termini di una serie nel numero degli avvolgimenti:

Z(θ) ∝

X

q=−∞

exp(−iqθ)hx + qL|e−βH|xi

∝ +∞ X q=−∞ exp(−iqθ) exp  − 1 2βχq 2  . (2.18)

(19)

2.5. PARTICELLA IN CAMPO MAGNETICO 13 Vediamo ora alcune propriet`a di cui gode Z(θ).

Appare evidente che `e periodica in θ con periodo 2π. Osserviamo poi che fare il complesso coniugato di Z(θ) `e equivalente a cambiare il segno di θ o quello di q. In altre parole, Z(θ) `e reale e soddisfa la relazione Z(θ) = Z(−θ). Inoltre risulta Z(θ) ≤ Z(0), si ha infatti:

q

X

−q

exp (−iqθ) exp  − 1 2βχq 2  ≤ q X −q

| exp (−iqθ) exp  − 1 2βχq 2  | = q X −q exp  − 1 2βχq 2  . (2.19)

Nel limite di temperatura uguale a zero possiamo calcolarla esattamente. Infatti in questo limite l’energia libera F (θ), definita dalla relazione

Z(θ) = e−βF (θ), (2.20)

coincide con l’energia dello stato fondamentale; nell’intervallo −π ≤ θ ≤ π si ha

F (θ) − F (0) = 1 2mL2θ

2. (2.21)

Nel limite di alta temperatura la possiamo stimare; considerando, per esem-pio, solo i contributi q = −1, 0, 1, otteniamo:

Z(θ) ' 1 + 2e−1/2βχcos θ e quindi F (θ) − F (0) = 2 βe

−1/2βχ

(1 − cos θ). (2.22)

2.5

Particella in campo magnetico

La teoria ammette la possibilit`a che θ assuma valori diversi da zero. Ci pos-siamo chiedere se, nella pratica, effettivamente questo succeda, se, cio`e, ci siano situazioni fisiche in cui i risultati sperimentali siano in accordo con il modello di una particella vincolata a muoversi su un anello con un determina-to valore di θ, diverso da zero. Per rispondere a questa domanda riscriviamo la funzione di partizione (2.18) nel seguente modo:

Z(θ) ∝ +∞ X q=−∞ Z y(β)=x+qL y(0)=x Dy(τ ) exp  − Z β 0 dτ m ˙y 2 2 − iqθ  ∝ Z Dy(τ ) exp  − Z β 0 dτ m ˙y 2 2 − iθ ˙ y L  , (2.23)

(20)

14 CAPITOLO 2. PARTICELLA SU UN ANELLO dove l’ultimo integrale funzionale `e su tutti i cammini chiusi, con un qualun-que numero di avvolgimenti.

Dalla (2.23) si deduce che il modello descritto dall’hamiltoniana della particella libera con le condizioni al contorno generalizzate (2.15) pu`o essere descritto, prendendo le usuali condizioni al contorno, dalla lagrangiana

L = m ˙y 2 2 − i ˙ y Lθ, (2.24)

in cui `e presente il termine i ˙yθ/L, il cosiddetto termine topologico. A questo punto `e facile trovare una situazione fisica a cui corrisponda un θ diverso da zero.

Consideriamo il problema di una particella vincolata a muoversi su un anello immerso in un campo magnetico, uniforme e costante, perpendicolare

Figura 2.1: Dipendenza da θ e propriet`a magnetiche.

al suo piano−→B = B ˆz. Il problema `e descritto dalla lagrangiana L = m ˙y

2

(21)

2.5. PARTICELLA IN CAMPO MAGNETICO 15 dove A `e il potenziale vettore tangente, A = RB/2, che coincide con la (2.24), con θ = eRBL/2.

Osserviamo che in questo contesto la propriet`a F (θ) ≥ F (0) descrive un comportamento diamagnetico. Nella figura (2.1) riportiamo la dipendenza da θ del nostro modello intorno a θ = 0 insieme con quella di un modello con propriet`a paramagnetiche.

Sottolineiamo il fatto che il contributo, dato dal termine topologico alla funzione di partizione, `e non nullo perch´e lo spazio che stiamo considerando ha una topologia non banale. Se per esempio si considera un cammino chiuso su una retta, si ha

Z β

0

dτ ˙y = 0, (2.26)

che equivale a dire che un qualunque cammino chiuso su una retta ha un numero di avvolgimenti uguale a zero.

Infine notiamo che l’effetto `e puramente quantistico, infatti l’introduzione nella lagrangiana di un termine contenente una derivata locale non cambia l’equazioni del moto.

(22)
(23)

Capitolo 3

I modelli CP

N −1

In questo capitolo introduciamo i modelli CPN −1nel continuo, dando

parti-colare rilievo alle loro propriet`a topologiche.

3.1

Descrizione del modello

Lo spazio CPN −1 `e lo spazio proiettivo complesso N −1 dimensionale, cio`e

lo spazio delle classi di equivalenza dei vettori complessi z = (z1, .., zN) 6= 0,

individuate dalla relazione [22]

z0 ∼ z se z0 = λz con λ ∈ C, λ 6= 0. (3.1) Torna comodo prendere come rappresentante di ogni classe un vettore di modulo unitario

z = (z1, .., zN), |z1|2+ ..|zN|2 = 1, (3.2)

con l’identificazione dei vettori z e z0 = eiαz. Il modello `e descritto dalla lagrangiana

L = N

2g(∂µz∂¯ µz + (¯z∂µz)

2

), (3.3)

dove i campi z sono definiti sullo spazio-tempo euclideo bidimensionale. Nel seguito useremo per indicare il campo, a seconda di ci`o che risul-ter`a pi`u conveniente, le notazioni z(x0, x1), dove x0, x1 indicano la variabile

temporale e quella spaziale, z(x), in cui con x indichiamo sinteticamente entrambe le variabili, e z, lasciando sottintese le variabili.

La lagrangiana `e invariante globalmente sotto SU (N ) ed `e invariante localmente sotto trasformazioni U (1). Possiamo riscriverla nella forma usuale

(24)

18 CAPITOLO 3. I MODELLI CPN −1 di una teoria di gauge, con simmetria U (1):

L = N

2g(DµzDµz), (3.4)

dove Dµ = ∂µ+ iAµ `e la derivata covariante e Aµ = i¯z∂µz il campo di gauge.

Osserviamo che il campo Aµ`e reale, infatti, essendo ¯zz = 1, si ha

¯

z∂µz = −(∂µz)z.¯ (3.5)

Data una trasformazione U (1), sostituendo z con il suo trasformato eiλ(x)z, si verifica che Aµ trasforma effettivamente come un campo di gauge abeliano:

Aµ−→ Aµ− ∂µλ. (3.6)

3.2

Classi di omotopia e carica topologica

In questo paragrafo cominciamo a prendere in esame le propriet`a topologi-che del modello. In particolare mostriamo topologi-che le configurazioni ad azione finita possono essere divise in classi di omotopia, in base al loro comporta-mento all’infinito. Ogni classe `e individuata da un numero intero: la carica topologica.

Affinch´e un campo z sia ad azione finita deve essere [32] Dµz = 0 per

|x| → ∞ e di conseguenza i campi devono soddisfare la seguente relazione: Aµ|zk| = i∂µ|zk| + |zk|∂µσk, per |x| → ∞ (3.7)

dove abbiamo posto zk(x) = |zk(x)|e−iσk(x).

Poich´e Aµ `e reale e indipendente dall’indice k, dalla (3.7) segue

|zk| = ck, σk = σ per k = 1, ..., N, (3.8)

con c = (c1, .., cN) indipendente da x, c2 = c21+ · · · + c2N = 1.

In sintesi, affinch´e l’azione sia finita, deve essere

z(x) = ce−iσ(x) per |x| → ∞ (3.9)

e, di conseguenza,

Aµ(x) = ∂µσ(x) per |x| → ∞. (3.10)

Ad ogni configurazione corrisponde, quindi, un mapping da un circolo all’in-finito in U (1).

(25)

3.3. ISTANTONI 19 Abbiamo visto nel capitolo precedente che i mapping da S1 in U (1) (U (1)

pu`o essere identificato con S1), possono essere divisi in classi di omotopia

individuate dal numero di volte in cui viene avvolto U (1). Questo numero `e detto numero di winding o carica topologica. Infatti [32] σ(x) in (3.9) `e definito a meno di un multiplo di 2π e, quindi, dopo un un giro di x su un circolo all’infinito pu`o differire dal suo valore iniziale per un multiplo di 2π.

Data una configurazione ad azione finita, la sua carica topologica `e data da: Q = 1 2π Z d2x µν∂µAν = lim |x|→∞ 1 2π I dxµAµ = lim |x|→∞ 1 2π I dxµ∂µσ = lim r→∞ 1 2π I dα dσ dα = 1 2π∆σ, (3.11)

dove abbiamo posto x0 = r cos α, x1 = r sin α.

La carica topologica Q = ∆σ/2π `e un numero intero, che pu`o essere diverso da zero.

Osserviamo che la carica topologica di una configurazione z(x) non cam-bia attraverso una trasformazione di gauge.

Consideriamo la trasformazione di gauge:

z(x) → eiλ(x)z(x), Aµ(x) → Aµ(x) − ∂µλ(x), (3.12)

con λ definita sullo spazio-tempo euclideo bidimensionale e continua. In-serendo il campo trasformato in (3.11) e tenendo conto del fatto che λ `e continua su R2 [9] e, quindi, deve essere λ(r, α = 0) = λ(r, α = 2π) per ogni r e per r → ∞, otteniamo Q = lim r→∞ 1 2π Z 2π 0 dα  − ∂λ ∂α + ∂σ ∂α  = 1 2π∆σ. (3.13)

3.3

Istantoni

Sono chiamati istantoni quelle configurazioni che minimizzano l’azione eucli-dea.

Cominciamo con il vedere quali sono i valori minimi che l’azione pu`o assumere. A questo scopo consideriamo la disuguaglianza [10]

|Dµz ± iµνDνz|2 ≥ 0. (3.14)

Si ricava facilmente l’identit`a

(26)

20 CAPITOLO 3. I MODELLI CPN −1 Da (3.14) e (3.15) segue DµzDµz ± iµνDµzDνz ≥ 0, (3.16) che implica S ≥ ±N 2g Z dx2iµνDµzDνz. (3.17)

Osservando che iµνDµzDνz = µν∂µAν, otteniamo che l’azione assume, nello

spazio delle configurazioni con una determinata carica topologica Q, un valore minimo dipendente da Q. Si ha:

S ≥ πN

g |Q|. (3.18)

Dalla disuguaglianza (3.14) si deduce che l’azione S assume il valore minimo per quelle configurazioni che verificano l’equazione:

Dµz = ±iµνDνz. (3.19)

La (3.19) pu`o essere risolta, vedi [10]. Un istantone di carica topologica +1 `e dato da

zk(x) =

λuk+ [(x0− a0) − i(x1− a1)]vk

(λ2+ |x − a|2)12

, (3.20)

dove λ > 0, `e la misura dell’istantone, (a0, a1) il centro ed `e |u|2 = |v|2 = 1,

uv = 0.

Osserviamo che per |x| → ∞ il campo diventa la trasformata gauge di un vettore costante, come ci aspettiamo:

zk(x) →

x0− ix1

|x| vk per x → ∞. (3.21)

3.4

Vuoti classici e vuoto θ

Ci proponiamo di mostrare che le configurazioni, con una determinata carica topologica diversa da zero, permettono [5] il tunneling tra vuoti classici non equivalenti della teoria. A questo scopo risulta conveniente mettersi nella gauge temporale, A0 = 0.

Un vuoto classico `e una configurazione per la quale la densit`a d’azione `e uguale a zero (a x0 fissato). Ne segue che se z `e un vuoto classico, deve

essere

(27)

3.4. VUOTI CLASSICI E VUOTO θ 21 Identificando x1 = +∞ e x1 = −∞, i vuoti classici (3.22) definiscono dei

mapping da S1 in S1 e possono essere classificati in base al loro numero di

winding.

Da quanto visto sopra, una configurazione ad azione finita, a x0 = ±∞,

tende a vuoti classici.

Consideriamo l’integrale funzionale Z DzQe− N 2gR d 2xD µzDµz, (3.23)

dove zQ varia nel settore delle configurazioni con carica topologica Q.

Innanzitutto osserviamo che questo integrale `e diverso da zero per ogni valore di Q; ricordando che il valore minimo, che assume l’azione, nello spazio delle configurazioni di carica topologica Q, `e S = πN |Q|/g, si pu`o stimare che l’integrale (3.23) sia O(e−πNg |Q|).

Per quanto detto, l’integrale (3.23) corrisponde all’ampiezza di transizione tra due vuoti classici, cio`e si ha

hm|e−H∆x0|ni−−−−−→∆x0→∞ Z DzQe −N 2gR d 2xD µzDµz, (3.24)

dove con m e n abbiamo indicato il numero di winding di due vuoti classici rispettivamente a x0 = +∞ e a x0 = −∞.

Vediamo che vale la relazione

Q = m − n. (3.25)

Consideriamo una configurazione z(x0, x1) ad azione finita, con carica

topo-logica Q e indichiamo con z±∞(x1) = c±e−iσ±(x1) le configurazioni di vuoto

classico, con numero di winding rispettivamente m e n, a cui la configurazione z tende a x0 = ±∞. Si ha: Q = 1 2π Z d2x µν∂µAν = 1 2π Z d2x ∂0A1(x0, x1) = 1 2π Z dx1∂1σ+(x1) − 1 2π Z dx1∂1σ−(x1) = m − n. (3.26) Rimane da capire quale sia il vero vuoto della teoria. A questo fine osserviamo che le trasformazioni di gauge U (1) indipendenti da x0 lasciano

invariata la condizione A0 = 0.

Una trasformazione di gauge U (1) spaziale definisce un mapping da S1

in S1 ed `e caratterizzata da un determinato numero di winding. Per esempio la trasformazione U (x1) = exp  −iπx1 px2 1+ ρ2  (3.27)

(28)

22 CAPITOLO 3. I MODELLI CPN −1 ha numero di winding uguale a uno.

`

E facile verificare che una trasformazione con un numero di winding, diciamo, ν, manda una configurazione di vuoto con numero di winding n, in una configurazione di vuoto con numero di winding n + ν.

Nella teoria quantistica questa trasformazione pu`o essere implementata da un operatore unitario T , vedi ([5]), tale che

T |ni = |n + 1i. (3.28)

Essendo l’azione invariante di gauge, il vuoto vero della teoria deve essere un autostato di T :

T |θi = eiθ|θi, (3.29)

dove con eiθ abbiamo indicato un autovalore di T e con |θi il vuoto.

Cerchiamo una combinazione lineare dei vuoti classici, |θi =P cn(θ)|ni,

che soddisfi la (3.29): T |θi = T Xcn(θ)|ni = X cn(θ)|n + 1i = eiθ X cn(θ)|ni, (3.30) da cui segue cn+1= e−iθcn. (3.31)

Possiamo quindi scrivere

|θi = Xe−iθn|ni. (3.32)

Esiste quindi una molteplicit`a di vuoti, individuati dal parametro θ. Sottolineiamo l’analogia con il modello della particella su un anello. Due vuoti θ individuano due settori differenti della teoria; non `e possibile, infatti, avere una transizione da un vuoto θ ad un altro:

hθ0|e−H∆x0|θi−−−−−→∆x0→∞ X m,n ei(mθ0−nθ) Z Dzm−ne− N 2gR d 2xD µzDµz =X m,n eim(θ0−θ)ei(m−n)θ Z Dzm−ne− N 2gR d 2xD µzDµz = 2πδ(θ − θ0)X Q eiQθ Z DzQe −N 2gR d 2xD µzDµz , (3.33) dove abbiamo usato la relazione

X

m=−∞

(29)

3.5. FUNZIONE DI PARTIZIONE 23

3.5

Funzione di partizione

Possiamo scrivere a questo punto la funzione di partizione. Per ∆x0 → ∞, la funzione di partizione `e

Z(θ) = e−V E(θ) = hθ|e−H∆x0|θi

=X Q eiQθ Z DzQe− N 2gR d 2x D µzDµz = Z Dz e−N2gR d 2x D µzDµz eiθQ[z]. (3.35)

Con E(θ) abbiamo indicato la densit`a d’energia del vuoto, con V il volume spazio-temporale. L’ultima integrazione `e eseguita su tutte le configurazioni ad azione finita.

Scriviamo lo sviluppo in serie di Taylor di E(θ) intorno a θ = 0: E(θ) =X 1 k!E (k)(0) θk, con (3.36) E(k)(0) = −1 V dk dθkln Z Dz e−S[z]eiθQ[z] θ=0= −ik hQki c V , dove con hQki

c abbiamo indicato il valore di aspettazione k-esimo connesso

di Q a θ = 0.

Osserviamo che sotto parit`a la carica topologica `e dispari e la teoria `e invariante. Ne segue che i valori di aspettazione di Q, dispari, sono uguali a zero. Quindi possiamo scrivere:

E(θ) − E(0) = 1 2χ θ 2s(θ), s(θ) = 1 + b 2θ2+ b4θ4+ · · · , (3.37) dove χ = E(2)(0) = hQ 2i c V (3.38) e b2n = 2 (2n + 2)! E(2n+2)(0) χ = (−1) n 2 (2n + 2)! hQ2n+2i c V 1 χ (3.39)

La quantit`a χ `e detta suscettivit`a topologica.

Osserviamo che possiamo riscrivere l’integrale (3.35) nel seguente modo: Z(θ) =

Z

Dz e−S[z]cos(θQ), (3.40)

dove abbiamo utilizzato il fatto che la carica topologica Q `e dispari sotto parit`a.

Dalla (3.40) `e evidente che la densit`a d’energia E(θ) gode delle seguenti propriet`a:

(30)

24 CAPITOLO 3. I MODELLI CPN −1 • ha un minimo per θ = 0,

• E(θ) = E(−θ),

• `e periodica in θ con periodo 2π.

Si ricava l’ultima propriet`a tenendo presente che Q `e un numero intero. Ricordiamo che in (2.4) abbiamo trovato che l’energia della particella vincolata su un anello gode delle stesse propriet`a.

3.6

Espansione 1/N

Un metodo standard utilizzato nello studio delle teorie di campo `e lo sviluppo perturbativo nella costante d’accoppiamento. Questo approccio non `e per`o percorribile nell’analisi della dipendenza da θ dell’energia. Ne chiariamo di seguito il motivo.

Abbiamo visto che la suscettivit`a topologica χ e i coefficienti b2n sono

proporzionali ai cumulanti della carica topologica a θ = 0. Questi sono legati ai momenti; si ha per esempio

hQ2ic = hQ2i,

hQ4i

c = hQ4i − 3hQ2i2,

(3.41)

dove abbiamo indicato con hQki il momento k-esimo della carica topologica

e abbiamo tenuto conto del fatto che i momenti dispari sono nulli. Consideriamo, quindi, i momenti della carica topologica:

hQki = R Dz Qk[z]e (−2gN R d2x D µzDµz) R Dz e(−2gNR d2x D µzDµz) , zz = 1.¯ (3.42)

L’integrale a numeratore riceve contributi, ovviamente, solo dalle confi-gurazioni con carica topologica diversa da zero. Essendo e−N/2g il contributo di un istantone con carica topologica unitaria, pur rinunciando al rigore ma-tematico, `e plausibile che i momenti della carica topologica possano avere una dipendenza da g analoga e che uno sviluppo di Taylor attorno a g = 0 abbia tutti i coefficienti uguali a zero.

In altre parole, usando la teoria perturbativa la dipendenza della densit`a d’energia da θ non si vede.

Una caratteristica interessante dei modelli CPN −1 `e la possibilit`a di

ese-guire un’espansione 1/N : in questo contesto la dipendenza da θ dell’energia `e visibile.

(31)

3.6. ESPANSIONE 1/N 25 In questo paragrafo mostriamo che nel limite di grande N il modello `e descritto dall’azione efficace:

Seff= N tr ln(−∂µ∂µ+ m2) + N 1 2 Z AµΓµνAν + 1 2 Z ˜ αΠ ˜α + 1 3! Z ΓµνρAµAνAρ+ · · ·  , (3.43) dove ˜α `e un campo scalare. I termini quadratici Γµν e Π, il vertice Γµνρ e gli

altri vertici non dipendono da N .

Nel prossimo paragrafo calcoliamo, all’ordine dominante, il propagato-re del campo ˜α e il propagatore del campo Aµ, cio`e calcoliamo Π−1/N

e Γ−1µν/N . Utilizziamo poi il propagatore del campo Aµ per determinare

all’ordine dominante la suscettivit`a topologica.

Osserviamo che i due propagatori vanno come 1/N . Prima di iniziare a derivare l’azione efficace vediamo anche la dipendenza da 1/N delle altre funzioni di correlazione del campo Aµ. In particolare siamo interessati alle

parti connesse.

Osserviamo che in un grafico una linea sia interna che esterna porta un fattore 1/N (una linea, sia interna che esterna, `e un propagatore), un vertice porta un fattore N . Quindi un grafico costituito da I linee interne, E linee esterne, V vertici va come (1/N )I+E−V.

In un grafico connesso il numero delle linee interne e il numero dei vertici `e legato al numero dei loop L, si ha:

L = I − V + 1. (3.44)

Quindi un grafico connesso va come (1/N )E+L−1, cio`e `e di ordine O(1/NE−1) o di ordine superiore.

Tenendo conto della definizione di carica topologica Q = (1/2π)R d2x

µν∂µAν

`e immediato ricavare la dipendenza da 1/N della suscettivit`a e dei coefficien-ti b2n. Il cumulante hQ2nic ha la stessa dipendenza da N della funzione di

correlazione a 2n punti connessa del campo Aµe quindi all’ordine dominante

si ha:

χ = O(1/N ), b2n = O(1/N2n). (3.45)

Per eseguire l’espansione 1/N seguiamo [10]. Partiamo dall’azione: S[z] = Z d2x  ∂µz∂¯ µz + g 2N(¯z ←→ ∂µz)2  , (3.46)

(32)

26 CAPITOLO 3. I MODELLI CPN −1 Avendo riscalato in campi in questo modo, si ha:

|z|2 = N 2g Q = 1 2π 2g N Z d2x µν∂µ(i¯z∂νz) = 1 2π Z d2x µν∂µAν,

con Aν = (2g/N )i¯z∂νz = (g/N )i¯z

←→ ∂νz.

Consideriamo il funzionale generatore Z(Kµ) = Z Dz exp  − Z d2x  ∂µz∂¯ µz + g 2N(¯z ←→ ∂µz)2  · exp  Z d2x [ ¯J z + ¯zJ + g NiKµz¯ ←→ ∂µz]  ·Y x δ  |z|2− N 2g  . (3.47)

L’integrale su z non `e soggetto a vincoli; il vincolo `e implementato dalla produttoria di funzioni delta.

Si ha: hAµ(x1)Aν(x2)i = 1 Z(0) ∂ ∂Kµ(x1) ∂ ∂Kν(x2) Z(Kµ) Kµ=0 . (3.48)

Le altre funzioni di correlazione del campo Aµsi possono esprimere in maniera

analoga.

Il metodo standard `e quello di introdurre un campo λµ vettoriale e un

campo α scalare in modo da ottenere una espressione quadratica in z, facendo le due seguenti operazioni:

• si sostituisce la produttoria in (3.47) con un integrale funzionale, sfrut-tando la relazione Y x δ  |z|2 N 2g  ∝ Z Dα exp  − i  Z d2x α  |z|2 N 2g  ,

• si moltiplica l’esponenziale per una costante C, C = Z Dλ0µexp  − Z d2x λ02µ(x)  ∝ Z Dλµ exp  − Z d2x  λµ r 2g N −1 − r g 2N  i¯z←∂→µz + Kµ 2 ,

(33)

3.6. ESPANSIONE 1/N 27 ottenendo C exp  − g 2N Z d2x  (¯z←∂→µz)2− 2iKµz¯ ←→ ∂µz  ∝ Z Dλµexp  − Z d2x N 2gλµλµ− λµ(i¯z ←→ ∂µz) − λµKµ+ g 2NKµKµ  .

Inseriamo questa relazione nel funzionale generatore sostituendo anche (N/2g)λµλµ

con λµλµzz.¯

Il risultato di queste operazioni `e: Z(Kµ) = Z DzDαDλµexp  − Z d2x ¯z[−∂µ∂µ− i{λµ, ∂µ} + λµλµ+ iα]z  · exp  iN 2g Z d2x α  exp Z d2x  λµKµ− g 2NKµKµ  · exp Z d2x  ¯ J z + ¯zJ  , (3.49) dove l’uguaglianza `e intesa a meno di una costante moltiplicativa.

A questo punto integriamo nelle N variabili complesse zi e otteniamo:

Z(Kµ) =

Z

DαDλµexp(−Seff) exp

Z d2x  λµKµ− g 2NKµKµ+ ¯J ∆ −1 J  , (3.50) con Seff = N tr ln ∆ − i Z d2xN 2gα, ∆ = ∂µ∂µ− i{λµ, ∂µ} + λµλµ+ iα. (3.51) Quanto fatto finora `e servito soltanto a riscrivere la (3.47) nella forma espres-sa dall’eq.(3.50). Adesso vediamo come espandere l’azione Seff in potenze di

1/N . Essendo Seff proporzionale a N , le configurazioni che dominano

l’inte-grale per N → ∞ sono quelle che minimizzano l’azione. Per trovare queste configurazioni l’invarianza di Lorentz [32] suggerisce di cercare un punto sta-zionario del tipo λµ = 0 e α=cost. Cerchiamo un punto stazionario del

tipo

λµ = 0, α = −im2 (3.52)

con m2 > 0. Imponiamo quindi la condizione che le derivate prime dell’azione rispetto a α e rispetto a λ, in α = −im2, λ = 0, si annullino.

(34)

28 CAPITOLO 3. I MODELLI CPN −1 Per calcolare le derivate che ci interessano risulta utile prima sviluppare la traccia in (3.51) attorno al punto stazionario nel seguente modo:

tr ln  − ∂µ∂µ− i{λµ, ∂µ} + λµλµ+ iα  = tr ln (−∂µ∂µ+ m2) + tr −i{λµ, ∂µ} + λµλµ+ iα − m 2 −∂µ∂µ+ m2  − 1 2tr  −i{λµ, ∂µ} + λµλµ+ iα − m2 −∂µ∂µ+ m2 2 + · · · . (3.53)

Risultano utili anche le seguenti relazioni:

hy| 1 −∂µ∂µ+ m2 |xi = Z d2k (2π)2 1 k2+ m2 e ik(y−x), hy|λµ∂µ|xi = i Z d2k (2π)2 kµλµ(y) e ik(y−x), hy|∂µλµ|xi = i Z d2k (2π)2 kµλµ(x) e ik(y−x). (3.54)

Cominciamo col considerare la derivata rispetto ad α: ∂Seff ∂α(x) λ=0,α=−im2 = N i  hx| 1 −∂µ∂µ+ m2 |xi − 1 2g  = 0, (3.55)

da cui segue che deve valere: Z d2k (2π)2 1 k2+ m2 = 1 2g. (3.56)

L’integrale `e divergente, lo regolarizziamo introducendo un cut-off, Λ, e otteniamo una relazione che lega la costante d’accoppiamento nuda al cut-off:

1 2πln Λ m = 1 2g. (3.57)

La relazione mostra che il modello `e asintoticamente libero.

La (3.57) pu`o essere rinormalizzata, per esempio, scegliendo un punto di rinormalizzazione µ e ponendo 1 gR(µ) + 1 2πln Λ2 µ2 = 1 g, (3.58)

(35)

3.6. ESPANSIONE 1/N 29 dove abbiamo indicato con gR la costante d’accoppiamento rinormalizzata.

Da (3.57) segue

m2 = µ2e−gR(µ)2π . (3.59)

La derivata rispetto a λµ `e identicamente nulla, si ha infatti:

∂Seff ∂λµ(x) λ µ=0,α=−im2 = ∂ ∂λµ(x) N Z d2y hy|−i{λσ, ∂σ} −∂2+ m2 |yi λ µ=0,α=−im2 = ∂ ∂λµ(x) N Z d2y 2λσ(y) Z dp2 (2π)2 pσ p2+ m2 λµ=0,α=−im2 = 0. (3.60) Tenendo conto della relazione (3.57), possiamo trascurare in (3.50) il termine g(KµKµ/2N ) [10].

Riscriviamo quindi il funzionale generatore delle funzioni di correlazione del campo Aµ:

Z(Kµ) =

Z

DαDλµexp(−Seff) exp

Z

d2x λµKµ. (3.61)

Da (3.48) e (3.61), `e chiaro che i valori d’aspettazione del campo Aµ

coin-cidono con i valori di aspettazione del campo λµ; si pu`o porre quindi Aµ =

λµ.

Spesso, in letteratura, si trova il funzionale generatore Z(Kµ)

direttamen-te scritto come Z(Kµ) = Z DzDαDAµexp  − Z d2x DµzDµz · exp  − i  Z d2x α  |z|2 N 2g  exp Z d2x  AµKµ  , (3.62)

che si ottiene dalla (3.61) sostituendo λµ con Aµ e riscrivendo la traccia in

Seff sotto forma di integrale gaussiano. Abbiamo scelto, seguendo [10], di

ricavare questa espressione da (3.47) per mostrare l’equivalenza delle due formulazioni.

A questo punto sviluppiamo l’azione efficace attorno al punto stazionario e otteniamo l’espressione anticipata all’inizio del paragrafo (3.43):

Seff= S0+N  1 2 Z AµΓµνAν+ 1 2 Z ˜ αΠ ˜α+1 3! Z ΓµνρAµAνAρ+· · ·  , (3.63)

(36)

30 CAPITOLO 3. I MODELLI CPN −1 dove S0 `e il valore dell’azione efficace nel punto stazionario e abbiamo posto

˜

α = α − (−im2). Il termine quadratico in A

µ `e definito da Z AµΓµνAν = 1 N Z d2xd2y Aµ(x) ∂2S eff

∂Aµ(x)∂Aν(y)

p.s. Aν(y), (3.64)

e gli altri termini si spiegano in maniera analoga. Abbiamo indicato con ‘p.s.’ il punto stazionario: p.s. =(Aµ = 0, α = −im2).

Per l’invarianza per traslazione deve essere

Γµν(x, y) = Γµν(x − y). (3.65) Scriviamo: Γµν(x − y) = Z d2p (2π)2Γµν(p)e ip(x−y). (3.66)

Per l’invarianza di gauge deve essere

Γµν(p) = (δµνp2− pµpν)Γ(p2). (3.67)

3.7

Suscettivit`

a topologica

Abbiamo trovato, nel limite di grande N , due importanti effetti [32] della quantizzazione della teoria.

La prima `e la generazione di una massa per il campo z. Pi`u avanti, in questo paragrafo, calcoliamo la suscettivit`a topologica all’ordine dominante. Ci aspettiamo, per ragioni dimensionali e per quanto esposto, che a grandi N , all’ordine dominante, sia:

χ ∝ m

2

N . (3.68)

La seconda conseguenza `e la generazione di un termine cinetico per il campo Aµ: 1 2 Z d2xd2y Aµ(x)N Γµν(x − y)Aν(y). (3.69) Calcoliamo Γµν.

(37)

3.7. SUSCETTIVIT `A TOPOLOGICA 31 Da (3.51) e (3.53) si deduce Z d2xd2y Aµ(x)Γµν(x − y)Aν(y) = −tr −i{Aµ, ∂µ} −∂µ∂µ+ m2 2 + 2 tr  AµAµ −∂µ∂µ+ m2  = − Z d2xd2y Aµ(x)Aν(y) Z d2p (2π)2 e ip(x−y) · Z d2q (2π)2 (pµ+ 2qµ)(pν + 2qν) [(p + q)2+ m2][q2+ m2] + Z d2xd2y Aµ(x)Aν(y) Z dp2 (2π)2 e ip(x−y) · Z d2q (2π)2 2δµν q2+ m2. (3.70) Da (3.70) segue: Γµν(p) = − Z d2q (2π)2 (pµ+ 2qµ)(pν + 2qν) [(p + q)2+ m2][q2+ m2] + Z d2q (2π)2 2δµν q2+ m2 = − Z d2l (2π)2 Z 1 0 dx (1 − 2x) 2p µpν + 2l2δµν [l2+ m2+ x(1 − x)p2]2 + Z d2q (2π)2 2δµν q2+ m2, (3.71) dove nell’ultimo passaggio abbiamo utilizzato il metodo dei parametri di Feynman, abbiamo posto lµ= qµ+ xpµe abbiamo trascurato i termini lineari

in lµ in quanto danno contributo nullo all’integrale.

Si ricava quindi, tenendo conto dell’invarianza di gauge (3.67), Γ(p2) = 1 4π Z 1 0 dx (1 − 2x) 2 [m2+ x(1 − x)p2] = 1 p2[(p 2 + 4m2)f (p) − 1 π], (3.72)

dove abbiamo posto f (p) = 1 2π[p 2(p2+ 4m2)]−1/2 lnpp 2+ 4m2 +pp2 pp2 + 4m2pp2. (3.73)

Osserviamo che il coefficiente del tensore δµν in (3.70) `e costituito da due

integrali entrambi divergenti: una volta regolarizzati, le divergenze si sot-traggono.

(38)

32 CAPITOLO 3. I MODELLI CPN −1 Sviluppiamo f (p) intorno a p = 0, si ha f (p) = 1 4πmpln  2m + p 2m − p  = 1 4πm2 + p2 48πm4 + O(p 4 ), (3.74) da cui segue Γµν(p) = (δµνp2 − pµpν)  1 12πm2 + O(p 2)  per p → 0. (3.75)

A questo punto possiamo scrivere anche il propagatore del campo Aµ.

Scegliendo la gauge di Landau, si ha hAµ(x)Aν(y)i = 1 N Z d2p (2π)2e ip(x−y) 1 p2  δµν− pµpν p2  (12πm2+ O(p2)). (3.76) In maniera analoga a quanto fatto per Γµν, si pu`o calcolare Π, si ha

Z d2xd2y α(x)α(y)Π(x − y) = −tr  iα −∂µ∂µ+ m2 2 = Z d2xd2y α(x)α(y) Z d2p (2π)2e ip(x−y) · Z d2q (2π)2 1 (q2 + m2)[(p + q)2+ m2].

Si ricava quindi la trasformata di Fourier di Π: Π(p2) = 1

2π[p

2(p2+ 4m2)]−1/2lnpp2+ 4m2+pp2

pp2+ 4m2pp2 = f (p).

Avendo a disposizione il propagatore del campo Aµ possiamo facilmente

calcolare la suscettivit`a topologica: χ = 1 V Z d2xd2y hq(x)q(y)i = 1 (2π)2N V Z d2xd2y µνρσ∂µx∂ y ρhAν(x)Aσ(y)i = 1 (2π)2N V Z d2xd2y Z d2p (2π)2 e ip(x−y) µνρσpµpρ 1 p2  δνσ− pνpσ p2  (12πm2+ O(p2)) = 1 (2π)2N V Z d2xd2y Z d2p (2π)2e ip(x−y) (12πm2+ O(p2)) = 3m 2 N π. (3.77)

(39)

3.8. TEORIE DI GAUGE SU (N ) 33 Per passare dalla seconda alla terza riga abbiamo utilizzato le identit`a:

µνpµpν = 0, µνρσδνσpµpρ = p2. (3.78)

3.8

Teorie di gauge SU (N )

Le propriet`a derivate per i modelli CPN −1sono comuni a teorie pi`u complesse come le teorie di gauge SU (N ).

Diciamo brevemente che cosa `e una teoria di gauge SU (N ) [19]. Partiamo considerando una lagrangiana Euclidea del tipo:

L = ¯ψ(γµ∂µ+ M )ψ, (3.79)

dove ψ `e un vettore di campi spinoriali ψ = (ψ1, · · · , ψN), funzioni dello

spazio-tempo quadridimensionale e M = mI `e la matrice di massa, I la matrice identit`a.

Un elemento U di SU (N ) pu`o essere parametrizzato come U = exp(iαaTa),

dove con Ta abbiamo indicato un generatore di SU (N ), a = 1, · · · , N2− 1.

Sotto SU (N ) il campo ψ trasforma nel seguente modo:

ψ → U ψ = exp(iαaTa)ψ, (3.80)

dove Ta `e preso nella rappresentazione fondamentale.

La lagrangiana (3.79) `e invariante sotto trasformazioni globali SU (N ). Partendo dalla lagrangiana 3.79 si pu`o costruire una lagrangiana inva-riante localmente sotto trasformazioni SU (N ).

Un metodo standard per costruire dalla (3.79) una lagrangiana invariante sotto trasformazioni locali SU (N ) `e il metodo dell’accoppiamento minimale. IL metodo consiste nell’introdurre un campo Aµ(x) a valori nell’algebra

di SU (N ), Aµ = AaµTa, detto connessione, e nel sostituire la derivata ∂µ in

(3.79) con la derivata covariante Dµ, definita da Dµ = ∂µ+ igAµ, dove g `e

la costante d’accoppiamento.

La connessione trasforma sotto SU (N ) nel seguente modo: Aµ(x) → U (x)AµU−1(x) − i gU (x)∂µU −1 (x) (3.81) Si ottiene la lagrangiana: L = ¯ψ(γµDµ+ M )ψ, (3.82)

(40)

34 CAPITOLO 3. I MODELLI CPN −1 A questa si aggiunge la lagrangiana di pura gauge, che contiene il termine cinetico per i campi Aµ:

LYM = 1 4F a µνF a µν, (3.83)

dove abbiamo posto Fµνa = ∂µAaν − ∂νAa− gfabcAbµAcν, e con fabc abbiamo

indicato il coefficiente di struttura di SU (N ).

Osserviamo che anche la lagrangiana di pura gauge `e invariante sotto trasformazioni locali SU (N ).

Mettendo assieme tutti i termini otteniamo la lagrangiana L = 1 4F a µνF a µν+ ¯ψ(γµDµ+ M )ψ. (3.84)

Le teorie descritte dalle lagrangiane (3.83), (3.84) sono dette teorie di gauge SU (N ), di pura gauge la prima, contenente campi fermionici, la se-conda.

Abbiamo visto considerando il problema della particella vincolata a muo-versi su un anello che le configurazioni, che in questo problema sono definite in S1 e hanno valore in S1, possono essere classificate in base al loro numero

di avvolgimenti: un numero intero.

Nel linguaggio matematico questa propriet`a si esprime dicendo che il gruppo di omotopia `e π1(S1) = Z, dove il pedice ‘1’ si riferisce alla

dimen-sione della sfera su cui sono definite le configurazioni e S1, tra le parentesi,

indica lo spazio su cui hanno valore.

Nello studio dei modelli CPN −1 abbiamo visto che ogni configurazione z(x) : S2 → CPN −1, pu`o essere classificata in base al suo comportamento su

una circonferenza all’infinito:

z(x) = c exp(iσ(x)), exp(iσ(x)) : S1 → U (1). (3.85) Abbiamo cio`e mostrato che [10]:

π2(CPN −1) = π1(U (1)) = Z. (3.86)

Analogamente si pu`o mostrare [9] che nel caso di una teoria di gauge quadridimensionale ad ogni configurazione Aµ a cui corrisponde un’azione

SYM finita `e associato un mapping da S3 in SU (N ).

Infatti affinch´e l’azione sia finita `e necessario che la lagrangiana (3.83) decresca pi`u rapidamente di 1/r4 per r → ∞, dove abbiamo indicato con r

la variabile radiale dello spazio quadridimensionale. Per esempio pu`o essere

(41)

3.8. TEORIE DI GAUGE SU (N ) 35 e di conseguenza Aµ= − i gU ∂U −1+ O(1/r2) per r → ∞. (3.88)

Si ha quindi che su una sfera S3 all’infinito il campo `e di pura gauge.

In conclusione, ad ogni campo Aµ `e associato un elemento del gruppo di

gauge U ,

U : S3 → SU (N ). (3.89)

Dai teoremi relativi ai gruppi di omotopia si ha, vedi per esempio [26],

π3(SU (N )) = Z. (3.90)

Le configurazioni possono essere classificate in base alla loro carica topologica: un numero intero. Dato un qualunque intero esistono configurazioni di uguale carica topologica.

Le implicazioni sono del tutto simili a quelle esaminate nello studio delle propriet`a topologiche dei modelli CPN −1.

In particolare si ricava che la teoria pu`o essere descritta da una lagran-giana contenente il termine topologico, cio`e, nel caso di una teoria di pura gauge, dalla lagrangiana:

L = 1 4F a µνF a µν− iθQ[Aµ], (3.91)

dove Q[Aµ] = (g2/64π2)µνρσR d2x Fµνa Fρσa `e la carica topologica.

Come vediamo nel prossimo paragrafo la dipendenza dal parametro θ `e fondamentale per la soluzione del problema U (1).

Analogamente a quanto fatto per i modelli CPN −1 scriviamo lo sviluppo

di Taylor della densit`a d’energia: E(θ) = E(0) + 1

2χθ

2s(θ), s(θ) = 1 +X

b2nθ2n. (3.92)

Come per i modelli CPN −1, χ indica la suscettivit`a topologica:

χ = d 2E dθ2  θ=0 = hQ 2i V , (3.93) V `e il volume quadridimensionale.

(42)

36 CAPITOLO 3. I MODELLI CPN −1

3.9

Problema U(1) e sua soluzione

La cromodinamica quantistica `e una teoria di gauge SU (3)c, dove ‘c’ sta per

colore. La lagrangiana `e L = 1 4F a µνF a µν+ 6 X f =1 ¯ ψf µDµ+ mf)ψf, (3.94)

dove abbiamo posto ψf = (ψf 1, ψ

f 2, ψ

f

3), l’indice in basso `e l’indice di colore,

l’indice in alto `e quello di sapore.

Nel limite in cui si pongono uguali a zero le masse dei quark leggeri, la lagrangiana `e anche invariante per trasformazioni globali del gruppo1

SU (3)V ⊗ SU (3)A⊗ U (1)V ⊗ U (1)A (3.95)

che agisce sugli indici di sapore relativi ai quark leggeri. Sotto l’azione del gruppo i campi trasformano nel seguente modo:

U (1)V : ψi → eiθVψi, U (1)A: ψi → eiθAγ5ψi, SU (3)V : ψi → eiθ a VT a ijψj, SU (3)A: ψi → eiθ a ATijaγ5ψj, (3.96) dove i, j = 1, 2, 3.

In generale una simmetria pu`o essere realizzata alla Wigner-Weyl o alla Nambu-Goldstone.

La simmetria U (1)V `e realizzata alla Wigner ed `e una simmetria

esat-ta, `e verificata anche in presenza del termine di massa; corrisponde alla conservazione del numero barionico.

Lo spettro adronico suggerisce che, nel limite in cui le masse dei quark leg-geri sono nulle, SU (3)V sia realizzata alla Wigner e che la simmetria SU (3)A

sia rotta spontaneamente. Infatti se SU (3)A fosse realizzata alla Wigner, per

ogni stato |hi lo stato QaA|hi ottenuto applicando una carica assiale a |hi, avrebbe la stessa massa di |hi, ma parit`a opposta: in natura non si osservano questi doppietti. Inoltre la rottura spontanea `e segnalata dal valore non nullo del condensato chirale. 2

1Abbiamo usato in maniera impropria il termine gruppo: SU (3)

Anon `e un gruppo. Il

gruppo a cui si fa riferimento `e SU (3)L⊗ SU (3)R⊗ U (1)V ⊗ U (1)A.

2Si ha rottura spontanea di simmetria quando il vuoto non `e invariante sotto l’azione

(43)

3.9. PROBLEMA U(1) E SUA SOLUZIONE 37 I mesoni pseudoscalari (π±, π0, K±, K0, ¯K0, η) sono gli adroni pi`u leggeri:

si suppone che siano i bosoni di Goldstone corrispondenti alla rottura degli otto generatori di SU (3)A.

D’altra parte il fatto che gli adroni siano raggruppati in multipletti corri-spondenti a rappresentazioni irriducibili di SU (3) suggerisce che la simmetria SU (3)V sia realizzata alla Wigner.

Il problema U (1) consiste nel fatto che la simmetria U (1)A sembra non

essere realizzata n´e alla Wigner, n´e alla Nambu-Goldstone.

Il fatto che non esistano in natura doppietti di parit`a opposta esclude anche che la simmetria UA(1) sia realizzata alla Wigner.

Se fosse una simmetria rotta spontaneamente, corrispondentemente ci dovrebbe essere un bosone di Goldstone pseudoscalare, isosingoletto.

Supponendo che la particella η faccia parte dell’ottetto dei bosoni di Gold-stone corrispondenti alla rottura degli otto generatori di SU (3)A, l’unica

par-ticella dello spettro con i numeri quantici dell’ipotetico bosone di Goldstone `e η0(958), che per`o ha una massa troppo grande. Infatti Weimberg [30] ha stimato che questo bosone dovrebbe avere una massa m ≤ √3mπ (π(140)),

condizione peraltro non soddisfatta neanche da η.

La soluzione del problema sta nel fatto che U (1)A `e una simmetria,

nel limite chirale, solo a livello classico, poich´e la misura funzionale non `e invariante [16].

Consideriamo una teoria descritta da una lagrangiana tipo (3.94) con Nf

sapori e Nc colori. La corrente J5 µ, Jµ5 = Nf X f =1 ¯ ψfγµγ5ψf (3.97)

non `e conservata neanche nel limite in cui gli Nf sapori hanno massa nulla.

Nel limite chirale si trova:

∂µJµ5 = −2Nfq, (3.98)

dove q = 64πg22µνρσFµνa Fρσa `e la densit`a di carica topologica.

Witten [31] ha suggerito un ’meccanismo’ che lega la massa del mesone η0 all’anomalia, ottenendo la relazione:

m2η0 =

2Nfχym

F2 π

, (3.99)

annichilisce. Si trova che vale la relazione h[QAa(0), ¯ψγ5Tbψ(0)]i = −1/3δa,bh ¯ψψi, dove

con Ta abbiamo indicato i generatori della simmetria SU (3), con QAa le corrispondenti

cariche assiali, con ψ i campi dei quark. Il condensato chirale h ¯ψψi `e quindi un parametro d’ordine[27].

(44)

38 CAPITOLO 3. I MODELLI CPN −1 dove con χYM abbiamo indicato la suscettivit`a topologica di pura gauge.

Si trova, vedi [31], F2

π = O(Nc), χYM = O(Nc0). Segue m2η0 = O(1/Nc): il

mesone η0, per Nc → ∞, diventa il bosone di Goldstone cercato.

Come `e evidente dalla formula di Witten, la soluzione del problema UA(1)

presuppone che la suscettivit`a topologica di una teoria di pura gauge SU (N ) sia diversa da zero e di conseguenza rende necessaria la dipendenza da θ dell’energia del vuoto.

Witten ha supposto che χYM sia diversa da zero basandosi sul fatto che

questo `e quello che succede in altre teorie, per esempio per i modelli CPN −1. La relazione (3.99) `e stata migliorata da Veneziano [28] ottenendo la formula di Witten-Veneziano

2Nfχym

F2 π

= m2η+ m2η0 − 2m2K (3.100)

Sostituendo i valori sperimentali di Fπ e delle masse mη, m0η, mK, si ottiene

χ ≈ (180MeV)4. I risultati delle simulazioni su reticolo [29] hanno confermato

questo valore.

3.10

Dipendenza da N dei coefficienti non

gaus-siani

In questo paragrafo riprendiamo in considerazione lo sviluppo di Taylor della densit`a di energia del vuoto delle teorie di pura gauge SU (N ):

E(θ) = E(0) + 1 2χθ 2  1 + b2θ2+ b4θ4· · ·  . (3.101)

Lo scopo `e indagare la dipendenza da N dei coefficienti b2n nel limite di

grande N .

Osserviamo innanzitutto che in questo limite ci si attende che la densit`a d’energia sia proporzionale a N2, essendo N2 il numero dei gradi di libert`a, e mettiamo in evidenza questo fattore [33]:

E(θ) = E(0) + N21 2χ θ2 N2  b2θ2+ b4θ4· · ·  . (3.102)

Sappiamo inoltre che la suscettivit`a ha valore finito e diverso da zero, vedi (3.99).

Cosa possiamo dedurre sulla dipendenza da N dei coefficienti b2n?

Pro-viamo a fare qualche ipotesi.

(45)

3.10. DIPENDENZA DA N DEI COEFFICIENTI NON GAUSSIANI 39 Se fosse verificata questa congettura, la densit`a d’energia non sarebbe proporzionale a N2.

Supponiamo allora che sia b2n= ¯b2n/N2n e scriviamo:

E(θ) = E(0) + N 2 2 χ θ2 N2  1 + ¯b2 N2θ 2 + ¯b4 N4θ 4· · ·  . (3.103)

La densit`a d’energia risulta proporzionale a N2 se si prende come variabile

rilevante non θ, ma ¯θ = θ/N .

In conclusione, l’ipotesi b2n = ¯b2n/N2n `e soddisfacente se si assume che

sia E(θ) = N2h(θ/N ), dove h(θ/N ) `e una funzione di θ/N .

I risultati numerici presenti in letteratura forniscono una conferma di quanto atteso in particolare per b2. Inoltre mostrano che il valore di b4 `e

(46)
(47)

Capitolo 4

Simulazione su reticolo

Un importante strumento per affrontare i problemi di tipo non perturbativo `e costituito dalle simulazioni su reticolo.

Il reticolo `e l’equivalente discreto dello spazio-tempo.

Per fissare le idee consideriamo un reticolo bidimensionale e indichiamo con a la spaziatura, cio`e la distanza tra i primi vicini.

Fissata l’origine, ogni altro sito del reticolo `e individuato da una coppia di numeri interi nµ = (n0, n1), che rappresentano le coordinate del sito in

questione.

Sia φ(x) un campo definito sullo spazio-tempo continuo. Per passare [24] dalla teoria continua a quella discreta, innanzitutto si fanno le seguenti sostituzioni:

xµ → nµa, φ(x) → φ(na). (4.1)

Quindi si definiscono sul reticolo un’azione e degli operatori, che abbiano come limite continuo, rispettivamente l’azione e gli operatori della teoria originaria.

Una volta in possesso di una versione discretizzata della teoria, si generano delle configurazioni, con la densit`a di probabilit`a desiderata, attraverso il metodo Monte Carlo dinamico. Su queste configurazioni si calcolano i valori medi delle osservabili d’interesse.

Nella fase preparatoria a questa tesi abbiamo applicato questo schema di lavoro al problema di una particella vincolata a muoversi su una circonferen-za.

Abbiamo quindi studiato i coefficienti dello sviluppo di Taylor dell’energia del vuoto dei modelli CPN −1 per alcuni valori di N .

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