Per completare la discussione sul comportamento dei cumulanti della corren- te a frequenza finita è utile riportare l’espressione analitica dei cumulanti di ordine superiore al terzo. Come spiegato al Paragrafo 2.1, questi cumulanti non sono direttamente collegati a un momento centrale della distribuzio- ne, tuttavia diversi studi hanno dimostrato l’utilità del quarto e del quinto cumulante nella comprensione di alcune proprietà del trasporto quantistico. Usando il formalismo utilizzato per il secondo e terzo cumulante, e tenen- do presenti le definizioni (4.17)-(4.19), è possibile calcolare anche i cumulanti di ordine superiore. Per non appesantire la lettura viene presentata l’espres- sione analitica del quarto e del quinto cumulante omettendo i calcoli, che
sono del tutto analoghi a quelli effettuati per ricavare (4.20) e (5.23). Per il quarto cumulante si ha
Ci
4(x; ν) = hj1(t1, x, i)j2(t2, x, i)j3(t3, x, i)j4(t4, x, i)iconnβ,µ =
= 1 64m2 Z +∞ 0 dω 2π 1 q ω(ω + ν) × {1 ωT r h Ai(ω, ω + ν)Bi(ω + ν, ω)Bi(ω, ω)Bi(ω, ω) −Ai(ω, ω + ν)Bi(ω + ν, ω)Ai(ω, ω)Bi(ω, ω)i − q 2 ω(ω + ν) T rhAi(ω, ω + ν)Ai(ω + ν, ω + ν)Bi(ω + ν, ω)Bi(ω, ω)i + 1 ω + νT r h Ai(ω, ω + ν)Ai(ω + ν, ω + ν)Ai(ω + ν, ω + ν)Bi(ω + ν, ω) −Ai(ω, ω + ν)Bi(ω + ν, ω + ν)Ai(ω + ν, ω + ν)Bi(ω + ν, ω)i} (5.53) L’espressione (5.53) è assai più complicata sia di (4.20) sia di (5.23), che rappresentano rispettivamente il secondo e il terzo cumulante, quindi uno studio analitico delle proprietà di C4 risulta estremamente complicato. No-
nostante questo negli ultimi decenni in alcuni studi, come [54, 55, 56, 57], è stata evidenziata l’importanza del quarto cumulante della corrente per la comprensione completa delle fluttuazioni della corrente e sono stati proposti diversi approcci per il suo calcolo teorico, basati principalmente sui formali- smi di cui si è parlato nell’Introduzione, e per la rilevazione sperimentale in alcuni dispositivi.
In particolare il quarto cumulante può essere utile per calcolare la curtosi, ovvero l’allontanamento dalla normalità distributiva, che da’ luogo a un ap- piattimento o a un inspessimento delle code della distribuzione. Il coefficiente di curtosi è indicato da γ2 = m4 m2 2 (5.54) in cui m2 è il momento centrale di ordine 2, che, come detto al Capitolo 2, è
uguale al secondo cumulante, mentre m4 è il momento centrale di ordine 4,
che è collegato ai cumulanti della distribuzione κi tramite
m4 = κ4+ 3κ22 (5.55)
Quindi conoscendo il secondo e il quarto cumulante è possibile calcolare il coefficiente di curtosi.
Per il quinto cumulante si ha invece Ci
5(x; ν) = hj1(t1, x, i)j2(t2, x, i)j3(t3, x, i)j4(t4, x, i)j5(t5, x, i)iconnβ,µ =
= i 128√2m2√m Z +∞ 0 dω 2π 1 q ω(ω + ν) × { 1 (√ω + ν)3
T rh−Ai(ω, ω + ν)Ai(ω + ν, ω + ν)Ai(ω + ν, ω + ν)Ai(ω + ν, ω + ν)Bi(ω + ν, ω) +2Ai(ω, ω + ν)Bi(ω + ν, ω + ν)Ai(ω + ν, ω + ν)Ai(ω + ν, ω + ν)Bi(ω + ν, ω) +2Ai(ω, ω + ν)Ai(ω + ν, ω + ν)Bi(ω + ν, ω + ν)Ai(ω + ν, ω + ν)Bi(ω + ν, ω) −Ai(ω, ω + ν)Bi(ω + ν, ω + ν)Bi(ω + ν, ω + ν)Ai(ω + ν, ω + ν)Bi(ω + ν, ω)i + 1 (ω + ν)√ωT r h 3Ai(ω, ω + ν)Ai(ω + ν, ω + ν)Ai(ω + ν, ω + ν)Bi(ω + ν, ω)Bi(ω, ω) −3Ai(ω, ω + ν)Ai(ω + ν, ω + ν)Bi(ω + ν, ω + ν)Bi(ω + ν, ω)Bi(ω, ω)i + 1 ω√ω + νT r h 3Ai(ω, ω + ν)Ai(ω + ν, ω + ν)Bi(ω + ν, ω)Ai(ω, ω)Bi(ω, ω) −3Ai(ω, ω + ν)Ai(ω + ν, ω + ν)Bi(ω + ν, ω)Bi(ω, ω)Bi(ω, ω)i + 1 (√ω)3T r h Ai(ω, ω + ν)Bi(ω + ν, ω)Bi(ω, ω)Bi(ω, ω)Bi(ω, ω) −2Ai(ω, ω + ν)Bi(ω + ν, ω)Bi(ω, ω)Ai(ω, ω)Bi(ω, ω) −2Ai(ω, ω + ν)Bi(ω + ν, ω)Ai(ω, ω)Bi(ω, ω)Bi(ω, ω) +Ai(ω, ω + ν)Bi(ω + ν, ω)Ai(ω, ω)Ai(ω, ω)Bi(ω, ω)i} (5.56) Il quinto cumulante è utile per calcolare, tramite (2.11), il momento di ordine 5 µ5, da cui è possibile estrarre la quantità chiamata hyperskewness [58],
definita come ˜ S = µ5 µ5/22 − 10 µ3 µ3/22 . (5.57)
Questa quantità è stata, ad oggi, assai poco studiata, è non è stato ancora individuato un suo collegamento con qualche proprietà della distribuzione di probabilità; per questo, nel contesto dei fenomeni di trasporto quantistico non sono ancora stati proposti ne’ un suo calcolo teorico, ne’ tantomeno un approccio per la sua rilevazione sperimentale; in questo senso l’espressione estremamente complicata di (5.56) scoraggia l’interesse per lo studio analitico del quinto cumulante.
Tuttavia la conoscenza dell’espressione analitica del quinto cumulante a frequenza finita, così come quella del quarto, è fondamentale per la compren- sione completa della distribuzione di probabilità con cui si ha a che fare, e
può essere utile per derivare una formula che, al pari di (3.15) e (3.16), con- sente di trovare rapidamente l’espressione analitica del cumulante di qualsiasi ordine.
Lo studio delle proprietà di una giunzione di fili quantici attraverso il modello del grafo a stella ha attratto negli ultimi anni un’attenzione sempre maggiore, in virtù del continuo progresso tecnologico legato al trasporto quantistico fuori equilibrio in strutture nanometriche.
La Teoria Quantistica di Campo ha supportato questi studi, soprattutto per quanto riguarda la ricerca di stati stazionari di non equilibrio, che consen- tono di analizzare un gran numero di proprietà macroscopiche indipendenti dal tempo in sistemi fuori equilibrio. Lo stato di Landauer-Büttiker descrive le proprietà di un grafo a stella con le estremità collegate a bagni termici con una temperatura e un potenziale chimico generalmente diversi, ed è quindi stato preso in considerazione per diverse applicazioni; per comprendere le proprietà di sistemi di questo tipo si può ipotizzare di descrivere l’intera- zione tra le particelle tramite una giunzione di Schrödinger con un difetto puntiforme.
Per quanto riguarda il trasporto quantistico di corrente un notevole con- tributo a queste ricerche è stato dato dalla teoria dell’espansione in cumulanti, che è una formulazione alternativa alla distribuzione in momenti, utilizzata per la comprensione di una distribuzione di probabilità di una quantità, che in questo caso è la corrente.
Il primo cumulante della corrente corrisponde alla corrente media, la cui espressione analitica è stata derivata per vari sistemi, anche diversi dal grafo a stella. Il secondo cumulante, invece, corrisponde al rumore. Vari sono stati gli studi e le rilevazioni sperimentali di questa quantità in sistemi fuori equili- brio, ma fino ad ora ci è sempre limitati a considerare il rumore integrato nel tempo, ovvero a frequenza nulla; invece recenti rilevazioni del rumore locale hanno spinto a cercare di estendere gli studi sul rumore, e di conseguenza sugli altri cumulanti, a frequenza finita.
In questa tesi è stata quindi derivata l’espressione del rumore a frequenza finita nel formalismo della Teoria Quantistica di Campo, in cui i cumulanti corrispondono alle funzioni a n punti connesse della corrente, e per una giun- zione a due rami ne sono state studiate alcune proprietà, tra cui la dipenden-
za dalla coordinata spaziale x, che appare in un comportamento oscillante, e la dipendenza dalla frequenza, che ha mostrato un massimo del rumore in corrispondenza di una frequenza diversa da zero, e un valore che tende ad annullarsi per frequenze sempre più alte. Nel regime di shot noise (T → 0) il massimo del rumore si sposta in ν = 0 e si ha un cut-off in corrispondenza del valore ν = µ1− µ2, oltre il quale il rumore si annulla.
Successivamente, sempre in una giunzione a due rami, è stata studiata la dipendenza dalla differenza tra i potenziali chimici µ− = µ1 − µ2; rispetto
al caso di frequenza nulla il comportamento cambia, infatti il minimo del rumore non è più in µ− = 0, e si ha un’asimmetria rispetto a questo valore.
La dipendenza dalla corrente media J , analizzata in seguito, mostra le stesse peculiarità.
Lo studio del rumore a frequenza finita è indispensabile anche per tenere in considerazione la presenza degli stati legati del sistema, per questo, dopo aver introdotto il formalismo necessario per la loro descrizione, è stato calco- lato il contributo degli stati legati al rumore, che è particolarmente rilevante nella zona vicino al difetto, e nella dipendenza dalla frequenza si manifesta attraverso dei picchi.
Lo stesso approccio è stato usato per lo studio del terzo cumulante, che è collegato alla skewness, ovvero all’asimmetria della distribuzione delle flut- tuazioni della corrente; è stata calcolata l’espressione analitica e sono state studiate le dipendenze citate precedentemente. Nel caso della dipendenza dalla posizione e dalla frequenza è stato osservato un comportamento analo- go a quello del secondo cumulante. Nel caso, invece, della dipendenza da J e da µ−, si nota un’asimmetria rispetto allo zero, non presente per frequenza
nulla, ma, come in questo caso, il terzo cumulante si annulla per J = 0 e
µ− = 0.
Attraverso lo stesso formalismo matematico usato in precedenza è stato poi dimostrato che gli stati legati non danno contributi al terzo cumulante. Infine è stata presentata l’espressione del quarto e del quinto cumulante, che mostrano una forma assai complicata da studiare analiticamente, e sono sta- te discusse brevemente alcune loro possibili applicazioni.
Il contributo di questo lavoro alle attuali ricerche consiste nell’estensione dello studio dei cumulanti della corrente al regime di frequenza finita. Il progresso tecnologico degli ultimi anni sui fenomeni di trasporto quanti- stico non è infatti legato solo allo sviluppo di nuovi dispositivi e strutture nanometriche, ma anche a nuove tecniche di rilevazione sperimentale delle quantità fisiche osservabili in questi sistemi. In particolare la possibilità di progettare microscopi più potenti e circuiti più sofisticati ha permesso re- centemente la rilevazione del rumore locale; questo è un campo di ricerca
molto recente che si rivela estremamente promettente per la descrizione delle proprietà di trasporto delle nanostrutture, e può essere notevolmente soste- nuto dallo studio di modelli teorici adeguati. In questo senso l’espressione analitica del rumore a frequenza finita data da (4.23) può rivelarsi utile in futuro per indagini di questo tipo, e per il confronto con i risultati teorici ottenuti usando formalismi diversi a quello della Teoria Quantistica di Cam- po; le dipendenze studiate al Paragrafo 4.2 sono potenzialmente rivelabili in laboratorio in giunzioni di fili quantici.
La presenza degli stati legati e l’analisi del loro contributo al rumore è un altro dei motivi per cui è fondamentale studiare il secondo cumulante a fre- quenza finita, e i risultati presentati al Paragrafo 4.3 danno un supporto per l’analisi dei risultati sperimentali in presenza di questi effetti.
L’interesse per il regime di frequenza finita non si esaurisce allo studio del rumore, ma, come suggerito dalla teoria del Full Counting Statistics, ela- borata a partire dagli anni ’80 del secolo scorso, per conoscere in maniera completa il comportamento delle fluttuazioni della corrente è necessario pren- dere in considerazione i cumulanti di ordine superiore al secondo. Il terzo cumulante, sul quale sono state fatte diverse ricerche negli ultimi due decenni, presenta un’espressione analitica non complicata, quindi si presta sia a studi teorici che a rilevazioni sperimentali; l’espressione (5.23) e i grafici studiati al Paragrafo 5.3 possono essere utili per questo scopo. Inoltre l’importante risultato, derivato in questa tesi, dell’assenza del contributo degli stati legati per il terzo cumulante da una parte da’ un notevole contributo per la sempli- ficazione degli studi sul terzo cumulante, indicando che l’espressione (5.23) non ha bisogno di correzioni, e dall’altra, visto che anche il primo cumulante, ovvero la corrente media, non presenta contributi dovuti a stati legati, sugge- risce una possibile estensione di questo risultato a tutti i cumulanti dispari, che può servire a capire meglio le conseguenze della presenza di stati legati in sistemi di questo tipo, e a circoscrivere il loro studio solo alle quantità in cui questi sono visibili.
Per completare lo studio dei cumulanti della corrente a frequenza finita è opportuno trattare anche i cumulanti di ordine più alto. Confrontando le espressioni di (4.20), (5.23), (5.53) e (5.56) si vede che man mano che l’ordine del cumulante aumenta, la sua forma si complica alquanto, e quindi un’inda- gine analitica e dettagliata delle proprietà dei cumulanti di ordine superiore al terzo risulta inappropriata e inessenziale, visto anche lo scarso interesse sperimentale per queste quantità. Quello che, invece, può risultare utile è trovare, al pari di quanto è stato fatto per i cumulanti a frequenza nulla, una formula da cui poter ricavare direttamente l’espressione del cumulante
n-esimo, cosa che presenta varie difficoltà, dovute soprattutto alla determina-
zione delle frequenze che entrano in ciascuna delle matrici di cui si compone l’espressione dei cumulanti, problema non presente a frequenza nulla. Un al- tro importante progresso in senso teorico può essere la determinazione della funzione generatrice dei cumulanti a frequenza finita, che consentirebbe di studiare la distribuzione di probabilità che essi generano, ed eventualmen- te capire la sua diretta interpretazione fisica, che nei cumulanti a frequenza nulla è legata alla probabilità di assorbimento ed emissione di una particella da parte di un bagno termico.
Visto l’enorme e repentino progresso nel campo delle nanotecnologie e del trasporto quantistico tutto questo può costituire un efficace elemento di indagine teorica e sperimentale nel prossimo futuro.
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