DIPARTIMENTO DI FISICA Corso di Laurea Magistrale in Fisica
Tesi di Laurea Magistrale
Trasporto quantistico fuori equilibrio
a frequenza finita
Candidato:
Gabriele Iallorenzi
Relatore:
Dott. Mihail Mintchev
Introduzione 5
1 Il modello del grafo a stella 9
1.1 Proprietà generali del sistema . . . 11
1.2 La giunzione di Schrödinger . . . 13
1.2.1 L’equazione di Schrödinger in presenza di un difetto . . 13
1.2.2 La funzione d’onda delle particelle . . . 15
1.2.3 Le osservabili del sistema . . . 17
1.3 Gli stati del sistema . . . 20
1.3.1 La rappresentazione di Fock . . . 20
1.3.2 La rappresentazione di Gibbs . . . 21
1.3.3 La rappresentazione di Landauer-Büttiker . . . 24
2 L’espansione in cumulanti della corrente 27 2.1 L’espansione in cumulanti di una variabile aleatoria . . . 28
2.2 I cumulanti nello studio del trasporto quantistico . . . 29
3 I cumulanti nel modello del grafo a stella 31 3.1 Calcolo del cumulante n-esimo . . . 31
3.1.1 I cumulanti nella giunzione a due rami . . . 34
3.2 La funzione generatrice dei cumulanti . . . 35
3.2.1 Limite invariante di scala . . . 37
4 Il secondo cumulante a frequenza finita 41 4.1 Calcolo analitico del secondo cumulante . . . 41
4.2 Proprietà generali . . . 46
4.2.1 Dipendenza da x . . . 46
4.2.2 Dipendenza dalla frequenza . . . 46
4.2.3 Dipendenza dai potenziali chimici . . . 48
4.2.4 Dipendenza dalla corrente . . . 49
4.3 Il contributo degli stati legati . . . 51 3
4.3.1 Il rumore in presenza di stati legati . . . 52
5 Il terzo cumulante a frequenza finita 59 5.1 Calcolo analitico del terzo cumulante . . . 60
5.2 Segno del terzo cumulante . . . 64
5.3 Proprietà generali . . . 65
5.4 Contributo degli stati legati al terzo cumulante . . . 69
5.5 Cumulanti superiori al terzo . . . 72
Conclusioni 77
La Teoria Quantistica di Campo, che si basa sulla descrizione della dinami-ca delle particelle tramite l’utilizzo di operatori di dinami-campo lodinami-cali associati a ciascun tipo di particella, è uno dei più importanti strumenti della Fisica Teorica moderna, ed ha descritto in maniera molto efficiente un gran numero di situazioni osservate sperimentalmente, sia nella Fisica delle Alte Energie, sia nella Fisica della Materia Condensata. Fino agli anni ’50-’60 del secolo scorso le sue applicazioni erano limitate ai fenomeni di equilibrio, mentre in un secondo tempo, e in particolar modo negli ultimi anni, è cresciuto sempre di più l’interesse per la Teoria Quantistica di Campo fuori dall’equilibrio; molte sono, infatti, le situazioni sperimentali in cui lo studio di questa parte della fisica può essere di grande utilità.
Al contrario della situazione di equilibrio, che è essenzialmente determi-nata, ci sono tanti modi inequivalenti per condurre un sistema con infiniti gradi di libertà fuori dall’equilibrio, ed è stata studiata, di conseguenza, una grande varietà di configurazioni di non equilibrio; non è disponibile, quin-di, una costruzione formale in grado di descrivere in maniera unificata tutti questi fenomeni.
Diversi approcci sono stati studiati, dalla seconda metà del secolo scorso fino ai giorni nostri. Uno tra i più usati è la teoria perturbativa di Keldysh, introdotta da Keldysh negli anni ’60, che si basa sull’estensione della Funzio-ne di Green a casi di non equilibrio (si veda [1] per una breve introduzioFunzio-ne). Un altro possibile metodo è quello legato all’operatore di Lindblad, intro-dotto da Lindblad nel 1976, e di cui si può trovare una semplice derivazione in [2]; in questo caso si considera l’interazione tra il sistema di interesse e un bagno termico, usando gli strumenti della matrice densità e degli stati misti in Meccanica Quantistica. Un importante formalismo, molto usato per descrivere questo tipo di problemi è anche quello sviluppato da Landauer e Büttiker (si veda [3, 4, 5, 6] e le referenze ivi indicate), basato sulla teoria dello scattering tra particelle.
Il concetto chiave dello studio teorico di tutti i fenomeni fuori dall’e-quilibrio consiste nel costruire uno stato di non-edall’e-quilibrio in grado di dare
una descrizione più realistica possibile della situazione fisica in cui ci si tro-va; questo stato, insieme alla dinamica del sistema, deve essere in grado di riprodurre le osservabili misurate sperimentalmente.
Le applicazioni della Teoria Quantistica di Campo fuori dall’equilibrio sono svariate, ma due sono, in particolare, le direzioni alle quali si guarda recentemente con maggiore interesse, col supporto di esperimenti di notevole valore portati a termine nel campo della fisica della materia condensata. La prima è quella relativa ai fenomeni di trasporto quantistico; in questo caso l’obbiettivo principale è quello di investigare la presenza di stati stazionari di non-equilibrio, ovvero stati in cui il sistema, pur non trovandosi all’equilibrio, è descritto da correnti il cui valore è indipendente dal tempo; questo fa in modo che le proprietà macroscopiche del sistema siano anch’esse indipendenti dal tempo, come avviene all’equilibrio, e quindi ampiamente soggette a studi e misurazioni. Un settore di ricerca molto attivo in questo campo è quello che riguarda le proprietà delle correnti di particelle e di energia (ovvero di calore) attraverso fili quantici (quantum wires), strutture unidimensionali in cui i fenomeni di trasporto sono influenzati da effetti quantistici; lo studio del comportamento degli elettroni in fili quantici, giunzioni e sistemi di questi si è fortemente intensificato negli ultimi anni, incentivato dalle innumerevoli applicazioni all’elettronica. Un’altra branca della ricerca sul trasporto quan-tistico è quella legata alla fluttuazione della corrente e al rumore; questi, oltre a essere ovviamente collegati alle proprietà dei fili quantici descritti preceden-temente, sono un’importante mezzo per la ricerca delle eccitazioni collettive che si propagano nel sistema. Come suggerito da Landauer in [7], l’ampiezza del rumore è strettamente collegata alle caratteristiche fondamentali (carica, spin, . . . ) di queste eccitazioni. Questo ha dato avvio alla spettroscopia del rumore, che ha permesso recentemente, ad esempio, di osservare modi neutri contropropaganti [8] e rumore di spin (spin noise) [9] nell’effetto Hall quantistico frazionario, e di investigare gli stati di bordo nei superconduttori topologici, che hanno portato tre anni fa alla prima osservazione sperimentale del fermione di Majorana, descritta in [10].
L’altro modello fisico a cui si guarda con attenzione è quello del quantum
quench. In questo caso si ha un sistema inizialmente all’equilibrio,
descrit-to da un’hamildescrit-toniana H0, e successivamente, al tempo t0, si accende una
perturbazione, che lo conduce fuori dall’equilibrio. Lo stato in cui si trova adesso il sistema non è uno stato stazionario; ciò che è di interesse è lo studio delle proprietà universali di questi sistemi in regime di rilassamento (ovvero a un tempo t > t0) e della natura dello stato di equilibrio finale (a t → ∞).
Un’applicazione di questo modello è costituita da varie indagini sui gas di atomi ultrafreddi, su cui si può trovare un breve resoconto in [11].
Questo lavoro di tesi è un contributo allo studio delle proprietà degli stati stazionari di non equilibrio nei modelli riconducibili ai quantum wires.
Nella Capitolo 1 viene introdotto il sistema studiato, costituito da una giunzione di più fili quantici. Questo sistema viene schematizzato da un mo-dello, chiamato grafo a stella, che consiste in un punto V, in cui è concentrata l’interazione, e da n fili quantici che hanno origine in V, e sono collegati al-l’infinito ad un bagno termico, caratterizzato da una temperatura inversa βi
e da un potenziale chimico µi. Si espone il formalismo matematico
neces-sario alla sua descrizione, basato su un’algebra di operatori di creazione e annichilazione che soddisfa regole di commutazione legate alla riflessione e alla trasmissione da parte di un difetto; si descrive la rappresentazione di quest’algebra tramite lo stato di Landauer-Büttiker, che interpreta al meglio la situazione di non equilibrio precedentemente descritta, e si calcolano i va-lori di aspettazione delle principali osservabili del sistema. Questo stato è una generalizzazione dello stato di Gibbs, usato per descrivere un sistema in equilibrio termodinamico con un serbatoio a temperatura T, al caso in cui si hanno più serbatoi con temperature e potenziali chimici diversi.
Nel Capitolo 2 si espone la teoria dell’espansione in cumulanti, legata a una distribuzione di probabilità, e si discute la sua applicazione allo studio delle fluttuazioni della corrente; in particolare il primo cumulante corrisponde alla corrente media, il secondo al rumore, mentre il terzo è legato all’asimmetria della distribuzione di probabilità delle fluttuazioni. In Teoria Quantistica di Campo le funzioni connesse a n punti della corrente di particelle costituisco-no i cumulanti che generacostituisco-no la distribuzione di probabilità associata a questa quantità. Nel Capitolo 3 si elencano, quindi, i principali risultati ottenuti fi-no ad ora nell’analisi delle proprietà di trasporto di un grafo a stella tramite questo approccio, che sono limitati allo studio delle fluttuazioni a frequenza nulla, ovvero integrate nel tempo.
Nella seconda parte, che costituisce la parte originale della tesi, si esten-de lo studio esten-dei cumulanti esten-della corrente di particelle al caso di frequenze diverse da zero, evidenziando l’efficacia di questo approccio per lo studio dei comportamenti locali delle fluttuazioni di corrente e per la rilevazione di eventuali stati legati presenti nel sistema. Nel Capitolo 4, dopo aver derivato l’espressione analitica del secondo cumulante viene studiata la sua dipenden-za dalle coordinate spaziali, dalla frequendipenden-za, e dai parametri del sistema, e viene calcolato il contributo dato dagli stati legati a queste quantità, in segui-to all’introduzione del formalismo matematico necessario per la loro analisi. La stesso approccio viene seguito nel Capitolo 5 per il terzo cumulante. Alla fine di questo capitolo si fa un breve cenno ai cumulanti superiori al terzo, mettendo in evidenza la loro utilità per la conoscenza completa delle funzione di distribuzione delle fluttuazioni della corrente a frequenza finita.
Il modello del grafo a stella
Il recente sviluppo tecnologico legato alla costruzione di nanostrutture si è basato in gran parte sul modello del quantum wire (o filo quantico), ovvero una struttura quasi unidimensionale, con diametro di 1-3 nm, in cui i fenome-ni di trasporto sono influenzati da effetti quantistici. In particolare si ha che le particelle di conduzione nella direzione trasversale del filo sono affette da confinamento quantistico, e questo è alla base di alcune peculiari proprietà, come la quantizzazione della resistenza, e quindi della conduttanza, che ren-dono il comportamento dei fili quantici assimilabile a quello dei conduttori balistici, in cui si ha trasporto di carica senza scattering tra le particelle. Esiste una grande varietà di questi dispositivi, detti nanowires (o nanofili), distinti in base al tipo di materiale con cui sono costruiti, che conferisce al filo un diverso comportamento: metallico (es. Ni, Pt, Au), semiconduttore (es. Si, InP, GaN), isolante (SiO2, TiO2), superconduttore (es. YBCO). Esistono
inoltre nanofili molecolari, formati da una catena di molecole che conduce la corrente, sia di tipo organico (es. DNA) sia di tipo inorganico.
Tra i quantum wire si trovano inoltre i nanotubi di carbonio, costituiti da un foglio di grafene arrotolato su se stesso ("a parete singola"), oppure da più fogli avvolti coassialmente uno sull’altro ("a parete multipla"). Vista l’importanza che sta sempre di più assumendo il grafene come materiale per l’elettronica, i nanotubi di carbonio sono considerati uno dei principali costi-tuenti dei futuri dispositivi.
Per lo studio di strutture più complesse il quantum wire può essere genera-lizzato al caso del quantum graph, che si ottiene connettendo più fili quantici tramite alcuni punti, nei quali si assume che sia localizzata l’interazione. È evidente che le strutture appena descritte rappresentano attualmente un campo di grande interesse per la fisica sperimentale, e risulta necessario un modello teorico in grado di interpretare e studiare al meglio le loro proprietà di trasporto della carica e del calore. Questo capitolo è dedicato alla
S Ri R1 R2 Rn L1 L2 Li Ln @@ @@ .. . . . . ... ... . . . . . . ... ... . . . . . . I
-Figura 1.1: Un grafo a stella Γ con una matrice S in corrispondenza del vertice V e rami Liconnessi all’infinito con un bagni termici Ri a temperatura
(inversa) βi e potenziale chimico µi.
zione di uno di questi modelli, chiamato star graph (o grafo a stella), che schematizza una giunzione tra fili quantici.
Un grafo a stella Γ è costituito da un unico vertice V, a cui è associata una matrice di scattering S, e da cui hanno origine n fili quantici infiniti, ciascuno connesso all’infinito con un bagno termico Ri, caratterizzato da una
temperatura inversa βi e da un potenziale chimico µi. La struttura appena
descritta è rappresentata schematicamente nella Figura 1.1; ogni punto del grafo è caratterizzato dalle coordinate {(x, i) : x ≤ 0, i = 1, . . . , N }, in cui |x| denota la distanza dal vertice V, e i indica il ramo.
Il sistema risulta fuori dall’equilibrio se la matrice S ammette almeno un coefficiente di trasmissione non banale tra rami con temperatura e/o poten-ziale chimico diversi.
L’interesse di tanti lavori di ricerca recenti, tra cui [12], riguarda l’esistenza di stati stazionari di non equilibrio (o NESS, non equilibrium steady states) che descrivono la situazione presentata precedentemente. Anche se un sistema è fuori dall’equilibrio, se si trova in un NESS ammette correnti stazionarie, ovvero indipendenti dal tempo, quindi tutte le proprietà macroscopiche sono indipendenti dal tempo, come all’equilibrio.
Le proprietà di una struttura di questo tipo sono state studiate sia da Landauer [3, 4], e in seguito da Büttiker [5, 6], usando la teoria dello scatte-ring tra elettroni, sia da Kubo [13], Baranger e Stone [14], seguendo la teoria della risposta lineare. Nel seguito svilupperemo un approccio alternativo, che include la formulazione di NESS, basato sulla Teoria Quantistica di Campo.
1.1
Proprietà generali del sistema
Il sistema del tipo appena presentato può essere descritto, in maniera molto generale, attraverso la Teoria Quantistica di Campo, imponendo due sole condizioni:
• La conservazione del numero di particelle.
Questo implica che il sistema sarà descritto da una teoria invariante sotto trasformazioni U(1).
• La conservazione dell’energia all’interno del sistema.
Ci sarà, quindi, invarianza per traslazioni temporali t → t + c.
La densità di particelle jt(t, x, i) e la relativa corrente jx(t, x, i) soddisfano
la legge di conservazione locale
(∂tjt− ∂xjx)(t, x, i) = 0, (1.1)
così come la densità di energia locale θtt e il relativo flusso θtx:
(∂tθtt− ∂xθtx)(t, x, i) = 0. (1.2)
In presenza di un difetto, come nel caso in cui ci troviamo, (1.1) e (1.2) non bastano [15] ad assicurare la conservazione nell’intero grafo Γ. Infatti, pren-dendo il caso della corrente jx, nel caso generale la conservazione è stabilita
ponendo che jx(t, x = −∞) = jx(t, x = +∞) = 0; questa relazione, insieme
a (1.1), dà: ∂t Z +∞ −∞ dxjt (t, x) = Z +∞ −∞ dx∂xjx (t, x) = 0. (1.3)
Nel caso del grafo a stella, invece, si ha:
∂t n X i=1 Z 0 −∞dxjt(t, x, i) = n X i=1 Z 0 −∞dx∂xjx(t, x, i) = − n X i=1 jx(t, x, i), (1.4)
che è soddisfatta se e solo se in corrispondenza del vertice vale la legge di Kirchhoff
n
X
i=1
jx(t, 0, i) = 0. (1.5)
Analogamente per la conservazione dell’energia totale deve valere le relativa legge di Kirchoff
n
X
i=1
Le condizioni (1.5) e (1.6) sono soddisfatte come conseguenza delle due con-dizioni imposte: la conservazione del numero di particelle e la conservazione dell’energia totale.
È interessante studiare il comportamento dell’energia termica in un si-stema descritto da un grafo a stella. La densità di calore qt nel ramo Li si
ottiene [16] sottraendo dalla densità di energia totale la densità di energia relativa al potenziale chimico µi:
qt(t, x, i) = θtt(t, x, i) − µijt(t, x, i). (1.7)
Analogamente si può definire la corrente di calore qx:
qx(t, x, i) = θxt(t, x, i) − µijx(t, x, i); (1.8)
da (1.1) e (1.2) segue la conservazione locale del calore:
(∂tqt− ∂xqx)(t, x, i) = 0. (1.9)
Seguendo un procedimento analogo a quello usato in (1.4) si ha che l’energia termica è conservata globalmente se
n X i=1 qx(t, 0, i) = n X i=1 θxt(t, 0, i) − n X i=1 µijx(t, 0, i) = 0. (1.10)
Si vede facilmente che, affinché sia soddisfatta (1.10), le leggi di Kirchhoff (1.5) e (1.6) non bastano; è necessario aggiungere che µi = µj per qualsiasi
i, j = 1, . . . , N , condizione che costituisce solo un caso particolare. Quindi
in generale l’energia termica non si conserva in un sistema del tipo descritto precedentemente.
Poiché l’energia totale θtt del sistema è conservata, riscrivendo (1.7) come
θtt(t, x, i) = qt(t, x, i) + µijt(t, x, i) (1.11)
si vede che, se non si conserva l’energia termica, altrettanto si deve avere per l’energia relativa al potenziale chimico, e si osserverà, se µi 6= µj per qualche
i e j, una trasmutazione tra i due tipi di energia.
Quindi, imponendo soltanto la conservazione del numero di particelle e del-l’energia totale in corrispondenza del vertice V, il sistema descritto in Figura 1.1 si comporta come una struttura che converte energia termica in energia del potenziale chimico e viceversa.
Considerando ˙ Q = − n X i=1 qx(t, 0, i), (1.12)
si ha che questo parametro descrive il flusso di calore nella giunzione. Se ˙
Q < 0 l’energia termica viene trasformata in energia del potenziale chimico;
questa situazione è stata considerata, ad esempio, in [17], in cui la giunzione è stata paragonata a una macchina termica, di cui è stata studiata fonda-mentalmente l’efficienza. Se, invece, ˙Q > 0 l’energia del potenziale chimico
viene convertita in energia termica; questo regime risulta più complesso da investigare, per questo è stato studiato in maniera minore e solo nel caso in cui il sistema può essere confrontato con una pompa di calore o con una macchina frigorifera.
Uno studio approfondito di entrambi i casi ˙Q < 0 e ˙Q > 0, effettuato
seguendo l’approccio della teoria quantistica di campo, si può trovare in [18].
1.2
La giunzione di Schrödinger
1.2.1
L’equazione di Schrödinger in presenza di un
di-fetto
A questo punto è necessario fissare la dinamica del sistema; prendiamo il caso in cui gli effetti relativistici sono trascurabili, e assumiamo di avere a che fare con fermioni; l’estensione al caso di particelle relativistiche e ai bosoni sono state studiate in [12].
Assumiamo che le particelle si muovano liberamente lungo i rami; questa assunzione è in linea con i dati sperimentali, come spiegato da Landauer in [7] in riferimento a esperimenti precedenti, e confermato [19] in altri esperimenti recenti.
L’equazione di Schrödinger di una particella libera che si muove nel sistema considerato può essere scritta come
(i∂t+
1 2m∂
2
x)ψ(t, x, i) = 0, (1.13)
in cui ψ(t, x, i) soddisfa le regole di anticommutazione canonica a tempo uguale:
[ψ(0, x1, i1), ψ(0, x2, i2)]+= [ψ∗(0, x1, i1), ψ∗(0, x2, i2)]+= 0 (1.14)
[ψ(0, x1, i1), ψ∗(0, x2, i2)]+ = δi1i2δ(x1− x2). (1.15)
L’equazione (1.13) e le condizioni (1.14) e (1.15) descrivono la dinamica del sistema nella zona di bulk, ovvero nella parte del sistema in cui non av-vengono scambi di corrente e di energia, ma non fissano in modo unico la soluzione. Per tenere in considerazione l’interazione nel vertice è necessario
imporre le adeguate condizioni al bordo in V, richiedendo che l’hamiltonia-na di bulk (ovvero l’operatore −∂x2) abbia in tutto il grafo G un’estensione
autoaggiunta, in modo da avere autovalori reali. Ponendo
ψ(t, 0, i) = lim
x→0−ψ(t, x, i), (∂xψ)(t, 0, i) = limx→0−(∂xψ)(t, x, i) (1.16)
segue, da alcuni risultati sulla teoria degli operatori differenziali sui grafi [20, 21, 22, 23], che le interazioni nel vertice sono descritte dalle condizioni al bordo lim x→0− N X j=1 [λ(I − U)ij − i(I + U)ij∂x] ψ(t, x, j) = 0, (1.17)
in cui U è una matrice unitaria n × n arbitraria e λ ∈ R è un parametro con le dimensioni di una massa. Si vede facilmente che le matrici U = I e U = −I definiscono rispettivamente le condizioni al bordo di Neumann e di Dirichlet. La forma esplicita della matrice di scattering, espressa in termini di U e λ è [21, 22, 23]
S(k) = −λ(I − U) − k(I + U)
λ(I − U) + k(I + U), (1.18)
e ha un’interpretazione molto semplice: gli elementi diagonali Sii(k)
rappre-sentano l’ampiezza di riflessione dal vertice al ramo i, mentre Sij(k) con i 6= j
riproduce l’ampiezza di trasmissione dal ramo i al ramo j. A partire da (1.18) si dimostra facilmente che S è unitaria,
S(k)∗ = S(k)−1, (1.19)
e soddisfa l’analiticità hermitiana,
S(k)∗ = S(−k). (1.20)
Combinando (1.19) e (1.20) si ottiene che
S(k)S(−k) = In (1.21)
in cui In è la matrice identità n × n.
Un’importante proprietà di (1.18) è che [12] può essere diagonalizzata per qualsiasi k da una matrice unitaria indipendente da k. Infatti, sia U la matrice unitaria che diagonalizza U, ovvero tale che
U−1U U = diag(e2iα1, e2iα2, . . . , e2iαn), α
si dimostra facilmente che U diagonalizza S(k) per qualsiasi k , e che Sd(k) = U∗S(k)U = diag k + iη1 k − iη1 ,k + iη2 k − iη2 , . . . ,k + iηn k − iηn ! , (1.23) dove ηi = λ tan(αi), − π 2 ≤ αi ≤ π 2. (1.24)
Prendendo in considerazione (1.23) si vede che S(k) è una funzione meromorfa nel piano complesso di k, ovvero una funzione olomorfa su tutto il piano complesso, ad eccezione di un insieme numerabile di punti isolati, che in questo caso sono in numero finito e si trovano sull’asse immaginario. Se si suppone l’assenza di stati legati, ovvero il caso senza poli nella metà superiore del piano complesso di k, si ha:
Z +∞ −∞ dk 2πe −ikx Sij(k) = 0, x < 0, (1.25)
1.2.2
La funzione d’onda delle particelle
Ci proponiamo adesso di trovare l’espressione analitica di ψ. Innanzitutto introduciamo [20] le funzioni d’onda
χ(x; k) = e−ikxI + eikxS∗(k), k > 0; (1.26)
è stato dimostrato in [24] che (1.26) sono ortogonali:
n X l=1 Z 0 −∞dxχ ∗ il(x; k)χlj(x; p) = δij2πδ(k − p). (1.27)
Se si impone, per semplificare la discussione, l’assenza di stati legati, ovvero la condizione (1.25), allora (1.26) formano un set completo:
n X l=1 Z ∞ 0 dk 2πχ ∗ il(x; k)χlj(y; k) = δijδ(x − y). (1.28)
Infatti, usando la definizione (1.26), e le relazioni (1.21) e (1.25) si ha
n X l=1 Z ∞ 0 dk 2πχ ∗ il(x; k)χlj(y; k) = = n X l=1 Z ∞ 0 dk 2π h eikxδil+ e−ikxS∗il(−k) i h e−ikyδlj+ eikySlj(−k) i = = Z ∞ 0 dk 2πδije ik(x−y)+ n X l=1 Z ∞ 0 dk 2πS ∗ il(−k)Slj(−k)e−ik(x−y)= = δijδ(x − y) (1.29)
A questo punto definiamo [24] ψ(t, x, i) = Z +∞ 0 dk 2πe −iω(k)t χij(x; k)aj(k), (1.30) ψ∗(t, x, i) = Z +∞ 0 dk 2πe iω(k)ta∗ j(k)χ ∗ ij(x; k), (1.31)
in cui ω(k) è la relazione di dispersione
ω(k) = k
2
2m, m > 0, (1.32)
e ai(k) e a∗i(k) sono gli operatori di creazione e di distruzione di un’algebra
A+ di relazioni di anticommutazione canonica: {ai(k), a∗i(k) : k > 0, i =
1, . . . , n}. Soddisfano [ai(k), aj(p)]+ = h a∗i(k), a∗j(p)i += 0, (1.33) e h ai(k), a∗j(p) i + = 2πδ(k − p)δij. (1.34)
Si vede facilmente che l’equazione del moto (1.13) e le condizioni al con-torno (1.17) seguono direttamente dalla rappresentazione (1.30) e che le re-lazioni di commutazione (1.14),(1.15) sono una conseguenza di (1.33),(1.34) e della condizione (1.25).
Se si estende A+ a qualsiasi k ∈ R si ottiene l’algebra A± generata da
{ai(k), a∗i(k) : k ∈ R, i = 1, . . . , n} che soddisfa [ai(k), aj(p)]+ = h a∗i(k), a∗j(p)i += 0, (1.35) h ai(k), a∗j(p) i + = 2π [δ(k − p)δij + Sij(k)δ(k + p)] , (1.36) e le condizioni ai(k) = n X j=1 Sij(k)aj(−k), a∗i(k) = n X j=1 a∗j(−k)Sji(−k). (1.37)
Usando (1.26) e (1.37) si può estendere (1.30) e (1.31) a tutta la retta k ∈ R, ottenendo: ψ(t, x, i) = Z ∞ −∞ dk 2πai(k)e −iω(k)t+ikx , (1.38) ψ∗(t, x, i) = Z ∞ −∞ dk 2πa ∗ i(k)eiω(k)t−ikx. (1.39)
Le condizioni (1.37) fanno in modo che (1.38) e (1.39) soddisfano le condizioni al contorno (1.17) e sono consistenti, a causa di (1.21).
L’algebra A± definita da (1.35), (1.36), (1.37) è un caso speciale delle
algebre di trasmissione e riflessione, introdotte in [25, 26] per trattare la teoria quantistica di campo in presenza di difetti. L’idea centrale di queste costruzioni è quella di estendere il concetto di operatori di creazione e distru-zione di particelle aggiungendo regole di commutadistru-zione legate alla riflessione e alla trasmissione dovute a un difetto. Nel nostro caso questa informazione è espressa dal secondo contributo della parte destra di (1.36); è da notare che, con la scelta delle coordinate effettuata, la direzione sia dell’onda rifles-sa sia dell’onda trasmesrifles-sa coincide con l’orientazione opposta a quella dei rami, quindi è ragionevole che in (1.36) l’ampiezza di riflessione e quella di trasmissione siano entrambe moltiplicate per δ(k + p).
In queste condizioni si può esprimere [14] l’hamiltoniana H del sistema, estensione autoaggiunta di −∂x2, nella forma quadratica
H = 1 2 n X i=1 Z ∞ −∞ dk 2πω(k)a ∗ i(k)ai(k); (1.40)
si verifica facilmente che è soddisfatta l’equazione
ψ(t, x, i) = eitHψ(0, x, i)e−itH, (1.41)
che conferma che (1.40) genera l’evoluzione temporale di ψ .
1.2.3
Le osservabili del sistema
Una volta trovata la forma di ψ è utile introdurre le principali osservabili del sistema: la densità di particelle
jt(t, x, i) = [ψ∗ψ] (t, x, i), (1.42) la relativa corrente jx(t, x, i) = i 2m[ψ ∗ (∂xψ) − (∂xψ∗)ψ] (t, x, i), (1.43)
la densità di energia totale
θtt(t, x, i) = − 1 4m h ψ∗(∂2xψ) − (∂2xψ∗)ψ i (t, x, i) (1.44) e il flusso di energia θxt(t, x, i) = 1 4m[(∂tψ ∗ )(∂xψ) + (∂xψ∗)(∂tψ) − (∂t∂xψ∗)ψ −ψ∗(∂ t∂xψ)] (t, x, i). (1.45)
È interessante notare che, con le definizioni di ψ e ψ∗ date in (1.38) e (1.39) si ha che (1.42), (1.43), (1.44) e (1.45) sono quadratiche in a e a∗.
Usando le funzioni d’onda nella forma (1.30) e (1.31) si può riscrivere la corrente di particelle (1.43) come
jx(t, x, i) = i 2m Z +∞ 0 dk 2π Z +∞ 0 dp 2πe it[ω(k)−ω(p)] × N X l,m=1 a∗l(k){χ∗li(k; x) [∂xχim] (p; x) − [∂xχ∗li] (k; x)χim(p; x)}am(p). (1.46)
Partendo da (1.46) è possibile dimostrare la legge di Kirchhoff (1.5). In x = 0 si ha: jx(t, 0, i) = i 2m Z +∞ 0 dk 2π Z +∞ 0 dp 2πe it[ω(k)−ω(p)] × N X l,m=1 a∗l(k){χ∗li(k; 0) [∂xχim] (p; 0) − [∂xχ∗li] (k; 0)χim(p; 0)}am(p). (1.47)
Come suggerito in [12], per effettuare la dimostrazione è comodo scrivere la seconda parte di (1.47) come termine di bordo sulla parte negativa dell’asse
x. Infatti ponendo χ∗li(k; 0) [∂xχim] (p; 0) = Z 0 −∞dx∂x{χ ∗ li(k; x) [∂xχim] (p; x)} +χ∗li(k; −∞) [∂xχim] (p; −∞) = = Z 0 −∞dx{[∂xχ ∗ li] (k; x) [∂xχim] (p; x) +χ∗li(k; x)h∂x2χim i (p; x)} +χ∗li(k; −∞) [∂xχim] (p; −∞) (1.48) e [∂xχ∗li] (k; 0)χim(p; 0) = Z 0 −∞ dx∂x{[∂xχ∗li] (k; x)χim(p; x)} + [∂xχ∗li] (k; −∞)χim(p; −∞) = = Z 0 −∞dx{ h ∂x2χ∗lii(k; x)χim(p; x) + [∂xχ∗li] (k; x) [∂xχim] (p; x)} + [∂xχ∗li] (k; −∞)χim(p; −∞) (1.49)
si ha che (1.47) diventa jx(t, 0, i) = − i 2m Z +∞ 0 dk 2π Z +∞ 0 dp 2π Z 0 −∞ dx eit[ω(k)−ω(p)] × N X l,m=1 a∗l(k){χ∗li(k; x)h∂x2χim i (p; x) −h∂x2χ∗lii(k; x)χim(p; x)}am(p) = − i 2m Z +∞ 0 dk 2π Z +∞ 0 dp 2πe it[ω(k)−ω(p)](k2− p2) × Z +∞ 0 dx N X l,m=1 a∗l(k) [χ∗li(k; x)χim(p; x)] am(p) (1.50)
(il secondo termine di (1.48) e il secondo termine di (1.49) danno vita a
jx(t, −∞, i) che si assume abbia valore nullo). Usando (1.50) e le relazioni di
ortogonalità (1.27) si verifica immediatamente (1.5).
Con la procedura usata precedentemente si può dimostrare anche la legge di Kirchhoff per la corrente di energia (1.6). Utilizzando (1.45) e le funzioni d’onda (1.30) e (1.31) si ha che la corrente di energia assume la forma
θxt(t, x, i) = 1 4m Z +∞ 0 dk 2π Z +∞ 0 dp 2πe it[ω(k)−ω(p)] × N X l,m=1 a∗l(k){iω(k)χ∗li(k; x) [∂xχim] (p; x) − iω(p) [∂xχ∗li] (k; x)χim(p; x) − iω(k) [∂xχ∗li] (k; x)χ(p; x) + iω(p)χ∗li[∂xχim] (p; x)}am(p), (1.51) che in x = 0 diventa θxt(t, 0, i) = 1 4m Z +∞ 0 dk 2π Z +∞ 0 dp 2πe it[ω(k)−ω(p)] × N X l,m=1 a∗l(k){iω(k)χ∗li(k; 0) [∂xχim] (p; 0) − iω(p) [∂xχ∗li] (k; 0)χim(p; 0) − iω(k) [∂xχ∗li] (k; 0)χ(p; 0) + iω(p)χ∗li[∂xχim] (p; 0)}am(p) = = i 4m Z +∞ 0 dk 2π Z +∞ 0 dp 2πe it[ω(k)−ω(p)](ω(k) − ω(p)) × N X l,m=1 a∗l(k){χ∗li(k; 0) [∂xχim] (p; 0) − [∂xχ∗li] (k; 0)χim(p; 0)}am(p). (1.52)
In questo modo è possibile vedere che (1.52), ad eccezione di fattori che non dipendono da x, ha la stessa forma funzionale di (1.47), quindi, seguendo un procedimento del tutto analogo a quello utilizzato per la corrente di particelle, è possibile dimostrare la validità della legge di Kirchhoff per la corrente di energia.
1.3
Gli stati del sistema
Dopo aver descritto la dinamica del sistema si deve fissare gli stati su cui cal-colare i valori di aspettazione, in modo da riprodurre le osservabili misurate sperimentalmente.
Il sistema fisico in oggetto è descritto da un’hamiltoniana del tipo
H = H0 + HS+ Hbath (1.53)
in cui il primo termine corrisponde all’hamiltoniana di particelle libere, il secondo è riferito alla presenza del difetto in V , e il terzo all’accoppiamen-to di ciascun ramo Li con un bagno termico. La presenza del difetto è già
stata presa in considerazione nella definizione delle funzioni d’onda al para-grafo precedente; l’idea, adesso, è quella di considerare come hamiltoniana soltanto H0, corrispondente a (1.40), e racchiudere l’informazione di Hbath
all’interno dello stato in cui si trova il sistema. Per fare questo è necessario scegliere un’adeguata rappresentazione dell’algebra A± definita al paragrafo
precedente.
1.3.1
La rappresentazione di Fock
Una prima scelta potrebbe essere quella di considerare gli stati di Fock ΩF,
costruiti a partire da uno stato ciclico di vuoto, il quale ha la proprietà
ai(k)ΩF = 0 ∀ i, k. (1.54)
Usando questa proprietà e le relazioni di anticommutazione (1.35)-(1.36) si possono calcolare i valori di aspettazione su questi stati:
hai(k)a∗j(p)iF = 2π [δ(k − p)δij + Sij(k)δ(k + p)] , (1.55)
ha∗i(k)aj(p)iF = ha∗i(k)a
∗
j(p)iF = hai(k)aj(p)iF = 0. (1.56)
(una trattazione più approfondita si può trovare in [27]).
In questo modo, quindi, se si calcolano i valori di aspettazione di (1.42)-(1.45), si verifica facilmente, usando (1.38),(1.39),(1.55),(1.56), che questi sono nulli; il risultato è in linea con quanto ci si aspettava, poiché gli stati di Fock descrivono situazioni di equilibrio. Per questo, non sono adatti a rappresentare il sistema fisico in questione.
1.3.2
La rappresentazione di Gibbs
Un’altra scelta, allora, può essere quella di utilizzare la rappresentazione di Gibbs, che è basata su uno stato (lo stato di Gibbs ΩG) caratterizzato
da un parametro β, e che rappresenta fisicamente un sistema in equilibrio termodinamico con un serbatoio a temperatura T = 1
β .
I valori di aspettazione su questo stato vengono calcolati mediante la traccia termica degli operatori. Per calcolarli introduciamo innanzitutto, come fatto in [28], K definita da
K = H − µN, µ ∈ R, (1.57)
in cui H è l’hamiltoniana (1.40), µ è il potenziale chimico, e N è l’operatore numero di particelle N = 1 2 n X i=1 Z ∞ −∞ dk 2πa ∗ i(k)ai(k). (1.58)
Avremo allora, per qualsiasi polinomio P che ha come variabili gli elementi dell’algebra A±,
(ΩG, P(a∗i(ki), aj(pj))ΩG) ≡ hP(a∗i(ki), aj(pj))i =
= 1 ZT r h e−βKP(a∗i(ki), aj(pj)) i , (1.59)
in cui Z = T r(e−βK). I valori di aspettazione su quantità quadratiche negli
operatori di creazione e distruzione sono, quindi,
ha∗i(k)aj(p)iG= T rhe−βKa∗i(k)aj(p) i Z , (1.60) hai(k)a∗j(p)iG= T rhe−βKai(k)a∗j(p) i Z , (1.61) hai(k)aj(p)iG= T rhe−βKai(k)aj(p) i Z , (1.62) ha∗i(k)a∗j(p)iG= T rhe−βKa∗i(k)a∗j(p)i Z . (1.63)
Per calcolare queste quantità è utile ricavare un’importante relazione, che deriva dalle regole di commutazione di K con gli operatori di creazione e
distruzione. Si può scrivere aj(p)K = 1 2 Z +∞ −∞ dk 2π n X i=1
(ω(k) − µ)aj(p)a∗i(k)ai(k)
= 1 2 Z +∞ −∞ dk 2π n X i=1
(ω(k) − µ) [−a∗i(k)aj(p)ai(k)+
+2πδ(k − p)δijai(k) + 2πSji(p)δ(k + p)ai(k)]
= Kaj(p) + (ω(k) − µ)aj(p), (1.64)
in cui ho usato le regole di anticommutazione (1.36) e le relazioni (1.37). Quindi:
[aj(p), K]+ = (ω(k) − µ)aj(p). (1.65)
A questo punto, definendo F (β) = aj(p)e−βK e notando che F (0) = aj(p), si
ha:
∂βF (β) = −aj(p)Ke−βK = −(K + (ω(k) − µ))aj(p)e−βK =
= −(K + (ω(k) − µ))F (β), (1.66)
in cui ho usato (1.65); da (1.66) segue che
aj(p)e−βK = e−β(K+(ω(k)−µ))aj(p) (1.67)
A questo punto si possono calcolare i valori di aspettazione (1.60)-(1.63). Prendiamo, per esempio, (1.60); si ha
ha∗i(k)aj(p)iG= 1 ZT r h e−βKa∗i(k)aj(p) i = 1 ZT r h aj(p)e−βKa∗i(k) i = 1 ZT r h e−β(K+(ω(k)−µ))aj(p)a∗i(k) i = 1 ZT r h e−β(K+(ω(k)−µ))i2π [δ(k − p)δij + Sji(−k)δ(k + p)] + − 1 ZT r h e−β(K+(ω(k)−µ))ia∗i(k)aj(p) = 1 ZZe −(β(ω(k)−µ))2π [δ(k − p)δ ij + Sji(−k)δ(k + p)] + − 1 Ze −(β(ω(k)−µ)) T rhe−βKa∗i(k)aj(p) i , (1.68)
in cui ho usato (1.67), la ciclicità della traccia e le relazioni di anticommuta-zione (1.35) e (1.36). Combinando (1.68) e (1.60) si ha:
T rhe−βKa∗i(k)aj(p) i = e −β(ω(k)−µ) 1 + e−β(ω(k)−µ)2π [δ(k − p)δij + Sji(−k)δ(k + p)] Z, (1.69)
e alla fine si ottiene:
ha∗i(k)aj(p)iG =
e−β(ω(k)−µ)
1 + e−β(ω(k)−µ)2π [δ(k − p)δij + Sji(−k)δ(k + p)] (1.70)
Attraverso un procedimento analogo a quello seguito in (1.68)-(1.69) si ot-tiene: hai(k)a∗j(p)iG= 1 1 + e−β(ω(k)−µ)2π [δ(k − p)δij + Sij(k)δ(k + p)] , (1.71) ha∗i(k)a∗j(p)iG= 0, (1.72) hai(k)aj(p)iG = 0. (1.73)
Attraverso le funzioni di correlazione appena ottenute è possibile calcolare la corrente di particelle (1.43): hjx(t, x, i)iG= i 2m[hψ ∗ (t, x, i)(∂xψ(t, x, i))iG −h(∂xψ∗(t, x, i))ψ(t, x, i)iG] (1.74)
Usando (1.38) e (1.39) si ha che (1.74) è uguale a
hjx(t, x, i)iG = i 2m Z +∞ −∞ dk 2π Z +∞ −∞ dp 2πha ∗
i(k)aj(p)iG(k + p)eit(ω(k)−ω(p))−ix(k−p),
(1.75) che, usando (1.70), diventa
hjx(t, x, i)iG= i m Z +∞ −∞ dk 2π e−β(ω(k)−µ) 1 + e−β(ω(k)−µ)k; (1.76)
poichè l’argomento dell’integrale (1.76) è una funzione dispari in k, si ottiene
hj(t, x, i)iG = 0. (1.77)
Lo stato di Gibbs, infatti, descrive situazioni di equilibrio termodinamico con un bagno termico, e, poiché nel calcolo di (1.70)-(1.73) è stato assunto che i bagni termici collegati a ciascun ramo Ei del grafo siano caratterizzati dallo
stesso valore di β (ovvero dalla stessa temperatura) e dallo stesso potenziale chimico µ, è lecito aspettarsi che non scorre corrente nel nostro sistema.
1.3.3
La rappresentazione di Landauer-Büttiker
Per poter correttamente rappresentare una situazione fuori dall’equilibrio è necessario, quindi, supporre che le varie coppie di parametri (βi,µi) associate
a ogni ramo Ei siano in generale diverse tra loro.
Per calcolare i valori di aspettazione in questi nuovi stati Ωβ,µ è conveniente
introdurre il procedimento precedentemente utilizzato per lo stato di Gibbs restringendoci al caso di momenti positivi. L’idea, infatti, è quella di in-trodurre [12] le algebre A±in e A±out, che parametrizzano i campi asintotici
entranti e uscenti, e sono generate rispettivamente da {ai(k), a∗i(k) : k > 0} e
{ai(k), a∗i(k) : k < 0}; A± può essere generata estendendo lo stato di
equili-brio su A±in a uno stato di non-equilibrio su tutta A±, attraverso le relazioni
(1.37). Si definisce, quindi, Ki = Z +∞ 0 dk 2πβi(ωi(k) − µi)a ∗ i(k)ai(k), (1.78) e K = Z +∞ 0 dk 2π n X i=1 βi(ωi(k) − µi)a∗i(k)ai(k), (1.79)
in cui ωi(k) è la relazione di dispersione nel ramo Ei.
In questo caso (1.64) diventa
aj(p)Ki = Kiaj(p) + βj(ωj(k) − µj)aj(p), se i = j, Kiaj(p), se i 6= j (1.80)
in cui si è usato le relazioni di anticommutazione (1.33) e (1.34); quindi
[aj(p)Ki]+= βj(ωj(k) − µj)aj(p), se i = j, 0, se i 6= j (1.81)
In questo modo (1.67) diventa
aj(p)e−βKi = e−β(Ki+βj(ωj(k)−µj)a j(p), se i = j, e−βKia j(p), se i 6= j. (1.82)
Seguendo un procedimento equivalente a quello usato in (1.66)-(1.69) si arriva a
ha∗i(k)aj(p)iβ,µ =
e−βi(ωi(k)−µi)
e analogamente
hai(k)a∗j(p)iβ,µ =
1
1 + e−βi(ωi(k)−µi)2πδ(k − p)δij, (1.84)
mentre continuano a valere (1.72) e (1.77).
Adesso è necessario estendere (1.83) e (1.84) a tutta l’algebra A±. Usando
le relazioni (1.37), e definendo di(k) = e−βi(ωi(k)−µi) 1 + e−βi(ωi(k)−µi), ci(k) = 1 1 + e−βi(ωi(k)−µi), (1.85) si trova ha∗i(k)aj(p)iβ,µ = 2π{ " (−k)di(k)δij + (k) n X l=1 Sjl(k)dl(−k)Sli(−k) # δ(k − p)+ + [(−k)dj(k)Sji(k) + (k)Sji(k)di(−k)] δ(k + p)}. (1.86)
L’espressione di hai(k)a∗j(p)iβ,µsi ottiene da (1.86), sostituendo ci(k) a di(k).
Per calcolare una funzione di correlazione generica si può utilizzare le relazioni di commutazione (1.35) e (1.36) per ridurre il problema alla valutazione di correlatori della forma
h M Y m=1 aim(kim) N Y n=1 a∗jn(pjn)iβ,µ, (1.87)
che possono essere calcolati per iterazione come h M Y m=1 aim(kim) N Y n=1 a∗jn(pjn)iβ,µ= δM N M X m=1 hai1(ki1)a ∗ jm(pjm)iβ,µ × h M Y m=2 aim(kim) N Y n=1,n6=m a∗jn(pjn)iβ,µ. (1.88)
A questo punto è possibile calcolare il valore di aspettazione della corrente di particelle (1.2) negli stati Ωβ,µ; usando un procedimento analogo a quello
già utilizzato per lo stato di Gibbs in (1.75), si ha hjx(t, x, i)iβ,µ= i 2m Z +∞ −∞ dk 2π Z +∞ −∞ dp 2πha ∗
i(k)aj(p)iβ,µ(k+p)eit(ω(k)−ω(p))−ix(k−p),
(1.89) che, data (1.86) diventa
hjx(t, x, i)iβ,µ = Z +∞ 0 dω 2π N X l=1 (δij− | Sil( √ 2mω) |2)dl(ω), (1.90)
in cui è stato fatto il cambio di variabile ω(k) = 2mk2, e si è posto
dl(ω) =
1
1 + eβl(ωl−µl). (1.91)
Contrariamente al risultato (1.77) ottenuto prendendo in considerazione gli stati di Gibbs, in questo caso si ha un valore non nullo per la corrente di particelle; inoltre, il fatto che (1.90) è indipendente da t ci dice che gli stati Ωβ,µ sono stati stazionari. È interessante notare che (1.90) è la
generaliz-zazione a più canali, studiata da Büttiker in [5, 6], dell’espressione per la corrente stazionaria trovata da Landauer in [3, 4]. Questo ha suggerito [12] di chiamare Ωβ,µ "stato di Landauer-Büttiker".
Questi stati rappresentano un modo per estendere gli stati di Fock e di Gibbs a situazioni fuori dall’equilibrio; infatti si vede facilmente che, ponendo
βi = β, µi = µ ∀i, i valori di aspettazione di Ωβ,µ, come (1.86), si
ricon-ducono a quelli dello stato di Gibbs ΩG (1.70)-(1.73), i quali, a loro volta,
ponendo β → +∞ (ovvero T → 0), diventano i valori di aspettazioni sugli stati di Fock ΩF (1.55)-(1.56).
L’espansione in cumulanti della
corrente
Nello studio delle quantità fisiche legate ai fenomeni di trasporto quantistico fuori dall’equilibrio si ha a che fare con processi non-deterministici, la cui stocasticità è data essenzialmente da due fattori: la natura probabilistica della meccanica quantistica, e la conoscenza non completa dei bagni termici. Una conseguenza di questo è che le fluttuazioni della corrente giocano un ruolo molto importante nella descrizione di questo tipo di fenomeni, e hanno quindi attirato l’attenzione di molti studi negli ultimi decenni. Visto che si ha a che fare con processi non-deterministici è risultato naturale applicare la teoria delle probabilità a questi sistemi, interpretando la corrente J come una variabile aleatoria, e sviluppando una descrizione delle fluttuazioni in termini dei momenti della distribuzione di probabilità di J ; la descrizione completa del sistema in esame è quindi data dalla conoscenza di tutti i mo-menti relativi alla variabile aleatoria J .
Partendo da questi concetti, è stata poi presa in considerazione l’espansio-ne in cumulanti, che deriva dall’espansiol’espansio-ne in momenti e ha una struttura per certi versi analoga, ma possiede alcune importanti proprietà che risulta-no particolarmente utili per lo studio dei ferisulta-nomeni di trasporto quantistico. In questo capitolo verrà brevemente esposta la tecnica dell’espansione in cumulanti e le sue principali proprietà.
2.1
L’espansione in cumulanti di una
variabi-le avariabi-leatoria
Data la variabile X, con densità di probabilità f (x), il momento r -esimo di X è definito come:
µr = E(Xr) =
Z +∞
−∞
xrf (x)dx. (2.1)
La funzione generatrice dei momenti, definita da
M (ξ) = E(eξX) = E(1 + ξX + . . . + ξ rX r! + . . .) = +∞ X r=0 µr r!, (2.2)
è un modo per unire tutti i momenti in una sola espressione; da (2.2) segue che: µr = dr dξrM (ξ) ξ=0 . (2.3)
Un modo alternativo per caratterizzare un processo stocastico consiste nel considerare, invece dei momenti, i cumulanti. Il cumulante r -esimo è definito come κr = dr dξrlogM (ξ) ξ=0 . (2.4)
I cumulanti hanno tre interessanti proprietà [29] :
1. Se alla variabile aleatoria X viene sommata una costante c, il primo cumulante viene incrementato del valore c, mentre quelli di ordine su-periore restano invariati:
κ1(X + c) = κ1(X) + c, κr(X + c) = κr(X) r > 1;
2. l’r-simo cumulante è omogeneo di grado r: κr(cX) = crkr(X);
3. se X e Y sono due variabili aleatorie indipendenti, allora i loro cumulanti sono additivi: κr(X + Y ) = κr(X) + κr(Y ) .
L’ultima proprietà risulta particolarmente utile per lo studio dei fenomeni di trasporto, infatti se il processo fisico di interesse può essere scomposto in più sotto-processi statisticamente indipendenti, allora si può studiare i cumulanti per ogni singolo sotto-processo, e il cumulante dell’intero processo sarà la somma di questi.
Tutte le proprietà sopra enunciate si dimostrano facilmente usando (2.2)-(2.4), la linearità dell’operatore valore di aspettazione
e la proprietà della funzione generatrice dei momenti secondo cui, ponendo
Z = aX + bY + c, con a, b, c costanti, e X e Y variabili aleatorie indipendenti,
si ha
MZ(ξ) = E(eξZ) = E(eξaX)E(eξbY)ecξ. (2.6)
Confrontando (2.3) e (2.4) si verifica facilmente che tra i primi momenti e i primi cumulanti sussistono le seguenti relazioni:
κ1 = µ1 (2.7) κ2 = µ2− µ12 (2.8) κ3 = µ3− 3µ2µ1+ 2µ12 (2.9) κ4 = µ4− 4µ3µ1− 3µ22+ 12µ2µ21− 6µ 4 1 (2.10) κ5 = µ5− 5µ4µ1− 10µ3µ2+ 20µ3µ21+ 30µ 2 2µ1− 60µ2µ31+ 24µ 5 1 (2.11)
Il primo cumulante è uguale al primo momento, ovvero il valore di aspetta-zione della variabile aleatoria X. Il secondo e il terzo cumulante sono, invece, riconducibili ai rispettivi momenti centrali, definiti come
µ0r = E [(X − E(X))r] ; (2.12) in particolare il secondo cumulante corrisponde alla varianza
σ2 = Eh(X − E(X))2i (2.13)
che misura la dispersione della distribuzione di X attorno al valore di aspetta-zione E(X), mentre il secondo cumulante è uguale al terzo momento centrale, che viene usato per calcolare la skewness
γ1 = E X − µ 1 σ 3 = κ3 κ3/22 , (2.14)
un indicatore di quanto la distribuzione è asimmetrica: una skewness nega-tiva indica una distribuzione con la coda sinistra più allungata, e quindi la massa della distribuzione concentrata sulla destra; viceversa per una skew-ness positiva.
Il quarto cumulante e quelli di ordine superiore non equivalgono ai rispettivi momenti centrali, e hanno in generale un’espressione analitica più complicata.
2.2
I cumulanti nello studio del trasporto
quan-tistico
Negli studi sul trasporto quantistico gran parte dell’interesse è rivolto verso le fluttuazioni della corrente, quindi lo studio dei momenti (2.1) si riduce
al calcolo delle funzioni di correlazione degli operatori corrente I(x, t). Le quantità tipicamente studiate sono la media temporale della corrente
hI(t, x)i (2.15)
e il rumore, esprimibile [29] come
hI(x1, t1)I(x2, t2)i − hI(x1, t1)ihI(x2, t2)i. (2.16)
Le espressioni (2.15) e (2.16) possono essere ricondotte, in base a (2.7) e (2.8), rispettivamente al primo e al secondo cumulante della corrente. Lo studio teorico di questi cumulanti, e di quelli di ordine superiore, è stato oggetto negli anni ’80 e ’90 dei lavori di Klus [30] e di Levitov, Lesovik e Chtchelkatchev [31, 32, 33], che hanno trovato applicazione nelle ricerche su vari sistemi e differenti situazioni di non equilibrio.
In particolare Levitov, Lee e Lesovik hanno introdotto in [32, 34] la teoria della "Full Counting Statistics", che si basa sulla possibilità di studiare le fluttuazioni della corrente o della carica trasferita (ottenibili tramite l’inte-grazione sui tempi dei correlatori della corrente) attraverso i conteggi del numero di elettroni registrati in un dispositivo, in un intervallo di tempo; questo dà modo di conoscere la funzione di distribuzione di probabilità lega-ta al passaggio di elettroni, da cui si possono ottenere il rumore e le funzioni di correlazione di ordine più alto.
Come descritto in [35, 36, 37], un importante progresso dato dall’espansione in cumulanti all’indagine sulle proprietà di trasporto quantistico è la possi-bilità di studiare il rumore senza limitarsi al caso in cui le fluttuazioni della corrente e del voltaggio sono distribuite in maniera Gaussiana, al contra-rio di quanto veniva usualmente assunto. Infatti la distribuzione Gaussiana
N (µ, σ2) ha come funzione generatrice dei cumulanti
K(ξ) = logM (ξ) = ξµ + ξ2σ2/2, (2.17)
quindi usando (2.4) è facile dimostrare che tutti i cumulanti di ordine mag-giore o uguale a tre sono nulli; al contrario, se si vuole studiare le fluttuazioni di corrente e voltaggio in un caso più generale, per la loro descrizione è ne-cessaria la conoscenza dei cumulanti di ordine superiore al secondo.
Altri esempi di applicazioni della teoria dell’espansione in cumulanti si pos-sono trovare in [38].
I cumulanti nel modello del
grafo a stella
Anche i sistemi descrivibili tramite il modello del grafo a stella, introdotto al Capitolo 1, sono stati recentemente investigati tramite l’espansione in cumu-lanti della corrente. Attraverso il formalismo degli stati di Landauer-Buttiker inizialmente sono stati studiati, in [18], il valore d’aspettazione (ovvero il pri-mo cumulante) della corrente di particelle (1.43) e di energia (1.45), che han-no mostrato il comportamento della giunzione come trasformatore di energia termica in energia del potenziale chimico e viceversa, di cui si è parlato al Paragrafo 1.1. Successivamente in [39] è stato considerato il rumore (secondo cumulante) nel caso limite di una matrice di scattering S invariante di scala, ed è stato visto che, in questo caso, si hanno effetti non lineari, che portano all’aumento o alla riduzione del rumore per certi valori del potenziale chimi-co.
Infine, in [40], è stata derivata una formula per ricavare l’espressione analitica del cumulante n-esimo della corrente, ed è stato analizzato il comportamento del terzo e del quarto cumulante.
In questo capitolo verranno brevemente esposte le linee principali della teoria dell’espansione in cumulanti nel modello del grafo a stella.
3.1
Calcolo del cumulante n-esimo
Consideriamo il ramo (arbitrario, ma fissato) Li di un grafo a stella Γ. La
funzione di correlazione a n punti della corrente è: Wi
n(t1, x1, . . . , tn, xn) = hj(t1, x1, i) · · · j(tn, xn, i)iβ,µ, (3.1)
in cui h· · · iβ,µ denota il valore di aspettazione nello stato di
Landauer-Buttiker Ωβ,µ. Per definire il cumulante n-esimo bisogna considerare il fatto
che nel linguaggio della Teoria di Campo Quantistica fare il logaritmo della funzione di correlazione (3.1) equivale, come spiegato, ad esempio, in [42], a prenderne soltanto la parte connessa, ovvero a eliminare i contributi a (3.1) che possono essere fattorizzati nel prodotto di funzioni dipendenti da insiemi disgiunti di variabili. Quindi si ha che il cumulante n-esimo della corrente è definito come
Ci
n(t1, x1, . . . , tn, xn) = hj(t1, x1, i) · · · j(tn, xn, i)iconnβ,µ (3.2)
Per n = 1 i correlatori (3.1) e (3.2) coincidono, e la loro espressione è il valore di aspettazione della corrente negli stati di Landauer-Büttiker (1.90),
Wi 1 = C i 1 = hjx(t, x, i)iβ,µ = Z +∞ 0 dω 2π N X l=1 (δij− | Sil( √ 2mω) |2)dl(ω), (3.3)
ben noto già da [3, 4, 5, 6]; questa espressione è indipendente dal tempo e dallo spazio.
Per n > 2 la situazione si complica, poiché si ha che (3.1) e (3.2) dipendo-no dalle differenze tra i tempi {ˆtk≡ tk− tk+1 : k = 1, . . . , n − 1}, in quanto lo
stato di Landauer-Büttiker è invariante per traslazioni temporali. Inoltre la presenza del difetto V fa in modo che sia violata l’invarianza nello spazio, e quindi (3.1) e (3.2) hanno una dipendenza da ciascuna delle coordinate spa-ziali {xl : l = 1, . . . , n}. In alcune situazioni può darsi che alcune di queste
dipendenze siano inessenziali per la descrizione del trasporto di particelle a cui siamo interessati; in particolare è possibile non considerare la dipendenza dalle coordinate spaziali generalizzando per n > 3 il concetto di rumore a frequenza nulla, come è stato fatto in [40]; ciò consiste nel considerare la trasformata di Fourier Zi n(x1, . . . , xn; ν) = Z +∞ −∞ dˆt1· · · Z +∞ −∞ dˆtn−1e−iν(ˆt1+...+ˆtn−1)Zni(t1, x1, . . . , tn, xn), (3.4) in cui Zi
n = Wni, Cni, e successivamente fare il limite per frequenza nulla:
Zni = lim
ν→0+Z
i
n(x1, . . . , xn; ν). (3.5)
Le funzioni di correlazione (3.1) e (3.2), e quindi (3.4) e (3.5), si calcolano a partire dall’espressione della corrente (1.46). Ai fini di questi calcoli è utile considerare una formula, riportata in [40], per il calcolo delle funzioni di correlazione a 2n punti degli operatori di creazione e distruzione, che parte dalla considerazione di (1.86) solo per momenti positivi (i momenti in (1.46) sono integrati da 0 a +∞).
Ponendo k > 0 e p > 0 in (1.86) si ha:
hal(k)a∗m(p)iβ,µ = 2πδ(k − p)δlm{1 − dl(ω(k))} ≡∆elm(k, p), (3.7)
in cui dl(ω) è la distribuzione di Fermi (1.91) relativa al serbatoio Rl.
La funzione a 2n-punti può essere espressa in termini di (3.6) e (3.7) come un determinante. Per k > 0 e p > 0 si ha:
ha∗l1(k1)am1(p1) · · · a ∗ ln(kn)amn(pn)iβ,µ = Det ∆l1m1(k1, p1) ∆l1m2(k1, p2) · · · ∆l1mn(k1, pn) −∆el 2m1(k2, p1) ∆l2m2(k2, p2) · · · ∆l2mn(k2, pn) .. . ... ... ... −∆el nm1(kn, p1) −∆elnm2(kn, p2) · · · ∆lnmn(kn, pn) . (3.8)
Si può provare la validità di (3.8) per induzione. Infatti per n=1 (3.8) riproduce correttamente (3.6). Per n > 2, usando
ha∗l1(k1)am1(p1) · · · a ∗ ln(kn)amn(pn)iβ,µ= 1 ZT r h e−Ka∗l1(k1)am1(p1) · · · a ∗ ln(kn)amn(pn) i (3.9) in cui K è definita da (1.79), e Z = T r(e−K), si può vedere che
ha∗ l1(k1)am1(p1) · · · a ∗ ln(kn)amn(pn)iβ,µ = n X k=1 ha∗ l1(k1)amk(pk)iβ,µh· · · i 0 β,µ, (3.10) in cui h· · · i0β,µ denota il valore di aspettazione che si ottiene togliendo a∗l1(k1)
e amk(pk) da ha
∗
l1(k1)am1(p1) · · · a
∗
ln(kn)amn(pn)iβ,µ. Iterando questo
procedi-mento in h· · · i0β,µ è facile verificare che si riproduce la formula di Laplace per lo sviluppo del determinante della matrice in (3.8) secondo la prima riga; questo conclude la dimostrazione.
Usando (1.46) e (3.8) si ha che Wi n= Z +∞ 0 dω 2π N X l1,...,ln=1 Til1l1(ω)dl1(ω) T i l2l1(ω)dl2(ω) · · · T i lnl1(ω)dln(ω) −Ti l1l2(ω)cl1(ω) T i l2l2(ω)dl2(ω) · · · T i lnl2(ω)dln(ω) .. . ... ... ... −Ti l1l1(ω)cl1(ω) −T i l2ln(ω)cl2(ω) · · · T i lnln(ω)cln(ω) , (3.11) in cui Tilm(ω) = δliδmi− Sli( √ 2mω)Smi( √ 2mω), (3.12)
dl(ω) è la distribuzione di Fermi del serbatoio Rl, definita da (1.91), e
cl(ω) = 1 − dl(ω) =
eβl(ω−µl)
Si può vedere da (3.11)-(3.13) che la dipendenza da xl sparisce, e
l’espres-sione finale per le funzioni di correlazione dipende soltanto dalla matrice di scattering S e dai parametri dei bagni termici (βl, µl).
La parte connessa di (3.11) si semplifica, e può essere scritta sottoforma di una traccia; infatti, definendo le matrici
Ai ≡ TiD, Bi ≡ Ti(I − D), D ≡ diag [d1(ω), d2(ω), . . . , dn(ω)] , (3.14) si ha Ci1 = Z +∞ 0 dω 2πT r h Ai i , (3.15) Cin= Z +∞ 0 dω 2π X σ∈Pn−1 T rhAiCiσ 1σ2· · · C i σn−2σn−1B ii , n > 2, (3.16) in cui P
σ∈Pn−1 indica la somma su tutte le possibili permutazioni di n − 1
elementi, e Ciσiσi+1 = −Ai, σ i < σi+1, Bi, σi > σi+1. (3.17) La derivazione delle formule (3.15), (3.16), che rappresentano l’espressione analitica dei cumulanti della corrente in presenza di un difetto puntiforme, costituisce una dei principali risultati di [40]; è interessante notare che questa derivazione è stata fatta soltanto tramite la Teoria Quantistica dei Campi, senza l’utilizzo di una funzione generatrice dei cumulanti come in (2.4).
3.1.1
I cumulanti nella giunzione a due rami
Come esempio, per meglio apprezzare la compattezza delle espressioni (3.15) e (3.16), può essere utile scrivere l’espressione analitica dei primi cumulanti nel caso N = 2, ovvero in una giunzione a due rami, come quella rappre-sentata in Figura 3.1; per semplicità ci si può concentrare sul ramo L1, e
omettere, quindi, l’apice 1 in C1
n. Usando (3.15)-(3.17) si ottiene C1 = Z +∞ 0 dω 2πτ f1, (3.18) C2 = Z +∞ 0 dω 2πτ (f2− τ f1 2), (3.19) C3 = Z +∞ 0 dω 2πτ 2 f1(1 − 3f2+ 2τ f12), (3.20) C4 = Z +∞ 0 dω 2πτ 2h f2− 3f22+ 12τ f12f − 2 − 2τ f12(2 + 3τ c12) i , (3.21)
S β1, µ1 β2, µ2 ... L1 . . . L2 -
Figura 3.1: Un grafo a stella Γ a due rami con matrice di scattering S(k) al vertice V e i rami Li connessi all’infinito a bagni termici con temperatura
inversa βi e potenziale chimico µi. I due colori servono a schematizzare una
situazione di non equilibrio, in cui in generale β1 6= β2 e µ1 6= µ2.
C5 = Z +∞ 0 dω 2πτ 3f 1 h 1 + 30f22− 15f2(1 + 4τ f12) + 4τ f12(5 + 6τ f12) i , (3.22) C6 = Z +∞ 0 dω 2πτ 3{f 2[1 + 15f2(2f2− 1)] − 2τ f12[8 + 15f2(9f2 − 5)] + 120τ2f14(3c2− 1) − 120τ3f16}, (3.23)
in cui sono state introdotte per convenienza le combinazioni
f1(ω) ≡ d1(ω) − d2(ω) f2(ω) ≡ d1(ω) + d2(ω) − 2d1(ω)d2(ω), (3.24)
e in cui è stato posto
τ (ω) = |S12(
√
2mω)|2 (3.25)
3.2
La funzione generatrice dei cumulanti
Vista l’espressione alquanto complicata del cumulante n-esimo (3.16), può essere utile trovare l’espressione analitica della funzione generatrice dei cu-mulanti, ovvero della funzione C(λ) tale cheCn= (−i∂λ)nC(λ). (3.26)
Per fare questo è bene notare, come suggerito in [40], che il trasporto di particelle in sistemi come quello descritto al Capitolo 1 può essere decom-posto in processi con energia fissata, statisticamente indipendenti. Infatti eccitazioni con energia diversa si propagano nel grafo a stella in maniera completamente indipendente, in quanto l’unica interazione, localizzata nel vertice V, è governata dalla matrice di scattering S, che, come si può ve-dere da (1.37), trasforma a(k) e a∗(k) rispettivamente in a(−k) e a∗(−k)
e viceversa, e, poiché l’energia ω = k
2
2m è quadratica in k, si può dire che l’interazione non cambia l’energia.
Questa osservazione permette di calcolare la funzione generatrice dei cumu-lanti concentrandosi inizialmente su un canale con energia ω fissata, e infine integrare su tutte le energie
Ci(λ) = Z +∞ 0 dω 2πC i ω(λ), (3.27)
usando la proprietà dei cumulanti, citata al Capitolo 2, secondo cui il cu-mulante totale di un processo che può essere decomposto in sottoprocessi statisticamente indipendenti è uguale alla somma dei cumulanti di ciascun sottoprocesso.
Per ottenere la corrente di particelle per un canale a una data energia
ω > 0 è necessario modificare l’integrazione nell’espressione generale della
corrente di particelle (1.46) come
dkdp −→ dkdp(2π)2δ( k
2
2m − ω)δ(k − p), (3.28)
in modo da selezionare il contributo con energia ω. Come conseguenza di questa operazione si ha, per la corrente, la semplice espressione
jωi =
N
X
l,m=1
a∗lTilm(√2mω)am, (3.29)
indipendente dal tempo e dallo spazio, in cui Tilm è definita da (3.12), e
{ai, a∗i} sono operatori di creazione e distruzione fermionici:
[ai, a∗i]+= δij, [ai, ai]+= [a ∗ i, a ∗ i]+ = 0, ha ∗ i, ajiβ,µ = δijdj(ω). (3.30) Quindi si può scrivere la funzione generatrice dei cumulanti nel canale ω e nel ramo Li come
Ci
ω(λ) = lnheiλj
i ωi
β,µ. (3.31)
Il calcolo del valore di aspettazione heiλji ωi
β,µ è stato fatto in [40], e ha dato
come risultato heiλji ωi β,µ= Det h I + (eiλT i(√2mω) − I)D(ω)i, (3.32) in cui D(ω) ≡ diag [d1(ω), d2(ω), . . . , dn(ω)] . (3.33)
Usando (3.32) e (3.33) si trova che nel ramo L1 si ha C(λ) = Z +∞ 0 dω 2πln{if ef f 1 √ τ sin(λ√τ ) + f2ef f hcos(λ√τ ) − 1i}, (3.34) in cui τ (ω) = N X i=2 τi(ω), τi(ω) ≡| S1i( √ 2mω) |2, (3.35) è la probabilità totale di trasmissione tra il ramo L1 e i rimanenti N − 1 rami
del grafo Li e f1,2ef f sono ottenuti da (3.24) tramite la sostituzione
d2(ω) −→ def f2 ≡ N X i=2 τi(ω) τ (ω)di(ω), (3.36)
che rappresenta una distribuzione effettiva, in cui i vari contributi di(ω) sono
pesati tramite il rapporto τi(ω)/τ (ω) ∈ [0, 1].
3.2.1
Limite invariante di scala
L’integrazione in ω presente in (3.34) non è eseguibile facilmente in forma analitica; per questo si può pensare di semplificare il calcolo scegliendo tra tutte le matrici del tipo (1.18) quelle invarianti di scala, che portano con se’ le proprietà universali di trasporto [44], ma sono comunque abbastanza facili da analizzare analiticamente.
L’invarianza di scala, come indicato in [41], implica che per il valore di ηi
definito da (1.24) si hanno le seguenti alternative:
ηi = 0 (αi = 0), ∞ (αi = π/2), (3.37)
in cui il primo caso indica le condizioni al contorno di Neumann e il secondo quelle di Dirichlet.
Quindi le matrici invarianti di scala appartenenti alla famiglia (1.18) sono date da
S = U SdU∗, U ∈ U (N ), Sd= diag(±1, ±1, . . . , ±1) (3.38)
e dalle due matrici S = ±I. Queste ultime non sono interessanti, perché corrispondono al caso in cui non si ha trasmissione tra i vari rami del grafo a stella, e rappresentano, quindi, situazioni di equilibrio; per questo verranno prese in considerazione solo le matrici (3.38).
