Qualsiasi produzione scritta durante le interviste è stata fotografata dal soggetto intervistato e condivisa. Quindi, i tipi di dati a nostra disposizione sono: interviste videoregistrate, note, disegni e grafici prodotti dai soggetti partecipanti e appunti dell’intervistatore.
La durata delle interviste effettuate varia da 22 a 61 minuti. Le differenze temporali anche consistenti dipendono ovviamente dai tempi necessari ai soggetti per arrivare ad un completamento delle attività proposte per loro soddisfacente (dove soddisfacente non è legato forzatamente ad una valutazione positiva del proprio operato, ma alla convinzione che di più di così non avrebbero potuto fare).
Ai partecipanti è stato richiesto di ragionare ad alta voce ed esplicitare il più possibile i propri processi di pensiero e tentativi. Il ruolo dell’intervistatore è stato principalmente di ascoltatore, sebbene nei casi in cui l’esplorazione è giunta a un evidente stallo, si abbia incoraggiato nuove esplorazioni e nei casi in cui sembrava emergere un conflitto si abbia favorito una riflessione sullo stesso, ad esempio chiedendo un collegamento con le definizioni formali dei concetti in gioco.
La struttura delle 4 interviste è identica, sono tutte composte da 5 richieste, le prime 2 comuni a tutte le 4 interviste. Queste prime due domande sono dirette a far emergere le associazioni più immediate dell’intervistato rispetto al concetto di limite di funzione.
32 Figura 3.1 Interviste Campioni A e B. I 5 quesiti di ogni intervista sono stati mostrati ai partecipanti uno alla volta.
33 Figura 3.2 Interviste Campioni C e D. I 5 quesiti di ogni intervista sono stati mostrati ai partecipanti uno alla volta.
34 I 3 task successivi chiedono di produrre degli esempi di funzioni di variabile reale con caratteristiche di limitatezza, monotonia o iniettività, insieme ad alcune proprietà relative ai limiti nei punti. Come accennato precedentemente, questi quesiti sono stati formulati in 4 diverse versioni, ognuna delle quali è stata sottoposta a 5 partecipanti.
I quesiti 3A e 3C sono identici e coinvolgono il concetto di esistenza/non esistenza del limite destro in un punto:
Dai un esempio, se possibile, di funzioni di variabile reale tali che lim
𝑥→0+𝑓(x) esiste, lim
𝑥→0+𝑔(x) non esiste, lim𝑥→0+𝑓(x)𝑔(x) esiste.
Per risolvere il task, i partecipanti dovrebbero mostrare un esempio di funzione 𝑔 per cui il limite non esista neanche considerando esclusivamente intorni destri del punto. Inoltre, dovrebbero controllare l’esistenza del limite destro nello stesso punto quando la funzione 𝑔 viene moltiplicata per la funzione 𝑓 trovata.
Per risolvere i quesiti 3B e 3D i partecipanti devono esplicitare una funzione illimitata vicino a un punto, ma che non abbia limite destro ±∞ in quel punto:
Dai un esempio, se possibile, di una funzione di variabile reale tale che 𝑓(𝑥) non sia limitata in nessun intorno di 0, ma non valga né
" lim
𝑥→0𝑓(𝑥) = +∞"
né
" lim
𝑥→0𝑓(𝑥) = −∞"
Per giungere ad un esempio come da richiesta, la funzione proposta non può ammettere limite destro.
I quesiti 4A, 4B, 4C e 4D richiedono la costruzione di esempi impossibili da generare.
• Versione A, C:
Dai un esempio, se possibile, di una funzione di variabile reale tale che 𝑓 è monotona su (0,1) ma 𝑓 non ha limite sinistro in un certo 𝑢 ∈ (0,1).
35 • Versione B, D:
Dai un esempio, se possibile, di una funzione di variabile reale tale che 𝑓 ha limiti destro e sinistro finiti per ogni 𝑎 ∈ [0, 1], ma 𝑓 non è limitata su [0, 1].
In questi casi è necessario un controllo teorico forte: ci aspettiamo che se l’impossibilità non è riconosciuta immediatamente, essa possa essere considerata a partire da tentativi infruttuosi di esemplificazione. Arrivare all’impossibilità solo perché non si riesce a produrre un esempio “buono” potrebbe avere esiti diversi rispetto al caso in cui i tentativi infruttuosi di costruire un esempio stimolino anche consapevolezza teorica. Ad ogni modo, ci aspettiamo che la persona intervistata manifesti il bisogno di dimostrare formalmente la non esistenza dell’esempio richiesto. Proprio per queste ipotesi e per l’interesse ad annotare le considerazioni teoriche che emergono da tentativi infruttuosi abbiamo scelto di inserire una richiesta di “esemplificazione impossibile” in tutte le versioni del questionario.
Anche queste richieste (4 A-B-C-D), come i quesiti 3, contengono un fattore di complessità nella gestione dell’esistenza/non esistenza dei limiti destri/sinistri.
In 4A e 4C la richiesta di una funzione monotona in (0,1) risulta troppo forte perché essa possa non ammettere limite sinistro in un certo punto dell’intervallo.
In 4B e 4D, invece, l’esistenza dei limiti destri e sinistri finiti in ogni punto di [0,1] obbliga alla limitatezza della funzione 𝑓.
5A e 5B richiedono le stesse proprietà della funzione iniettiva presente in diversi articoli di Antonini (Antonini, et al., 2007), (Antonini, 2008), alla quale abbiamo apportato una variante in 5C e 5D.
• 5A:
Dai un esempio, se possibile, di una funzione di variabile reale tale che f è iniettiva su [0,2] e lim
𝑥→0𝑓(𝑥) = lim𝑥→2𝑓(𝑥) = 0.
• 5B:
Dai un esempio, se possibile, di una funzione di variabile reale tale che f è iniettiva su (0,2) e lim
36 L’aggiunta delle versioni C e D è avvenuta in seguito a un commento del Soggetto
4-IM durante la risoluzione del quesito 5B. Il soggetto rimarca che il valore specifico
richiesto per i limiti della funzione in 0 e in 2 è 0, affermando che:
“Se lo facevamo a più infinito era banale.”
Questa osservazione ha ispirato la nascita delle versioni C e D delle interviste, la cui unica variazione rispetto a 5A e 5B, rispettivamente, è la sostituzione del valore 0 del limite con il valore +∞.
• 5C:
Dai un esempio, se possibile, di una funzione di variabile reale tale che f è iniettiva su [0,2] e lim
𝑥→0𝑓(𝑥) = lim𝑥→2𝑓(𝑥) = +∞.
• 5D:
Dai un esempio, se possibile, di una funzione di variabile reale tale che f è iniettiva su (0,2) e lim
𝑥→0𝑓(𝑥) = lim𝑥→2𝑓(𝑥) = +∞.
Nelle quattro versioni dei quesiti 5 così ottenute abbiamo deciso di includere ed escludere, alternativamente, gli estremi del dominio delle funzioni richieste e abbiamo osservato gli effetti di questa variazione sull’esito della risoluzione. In effetti, la letteratura che ci precede (Tall & Vinner, 1981), (Antonini, et al., 2007), (Antonini, 2008) evidenzia la presenza di una misconcezione comune riguardo il ruolo del valore che la funzione assume nel punto in cui viene calcolato il limite.
L’aggiunta dei quesiti 5C e 5D ci è sembrata interessante ai fini della nostra ricerca per due motivazioni. Innanzitutto, a differenza di 5A e 5B, queste versioni sono più complesse e difficilmente rappresentabili graficamente.
In secondo luogo, questa aggiunta offre una nuova opportunità di indagine coerente con le nostre domande di ricerca. Infatti, in 5D è richiesto che la funzione sia iniettiva in [0,2] e che lim
𝑥→0𝑓(𝑥) = lim𝑥→2𝑓(𝑥) = +∞. Questo ci permette di verificare se la
misconcezione relativa al ruolo del valore della funzione nel punto in cui viene calcolato il
37 Durante la nostra analisi a priori, ci siamo focalizzati sulla progettazione di quesiti che non potessero essere risolti facendo riferimento esclusivamente ad esempi prototipici degli oggetti matematici. Tra i nostri scopi c’era quello di individuare eventuali limiti nelle
concept image dei partecipanti, di osservare se e quando essi facessero riferimento alle concept definition e come superassero le difficoltà incontrate.
Analisi dei risultati
I dati raccolti sono stati analizzati attraverso tre punti di vista:
• Confrontando le strategie utilizzate e il controllo dei processi con il quadro di riferimento di Antonini (vedi 2.6)
• Confrontando tra di loro le performance individuali distinguendo approcci, strategie, livelli e tipi di controllo, scelte di registro e conoscenze situate applicate
• Analizzando gli episodi più interessanti all’interno delle singole interviste, identificando processi attivati e non attivati.
Mentre svolgevamo l’analisi dei dati raccolti, abbiamo avuto l’opportunità di confrontarci con il professor Samuele Antonini. Grazie a questo incontro abbiamo potuto approfondire alcuni aspetti del suo modello interpretativo sulla produzione degli esempi, confrontandoci sui problemi metodologici e l’interpretazione di alcuni episodi.
38
4 Risultati e analisi dei dati
I task proposti aprono una finestra sullo spazio degli esempi dei partecipanti e offrono l’opportunità di assistere all’espansione di tale struttura. I soggetti intervistati hanno affrontato la produzione degli esempi in risposta a una nostra richiesta esplicita, basandosi soltanto sullo spazio degli esempi per loro accessibile in quel momento. Durante le interviste abbiamo osservato la loro consapevolezza, i loro processi di controllo e il focus della loro attenzione, ottenendo risultati interessanti e, talvolta, sorprendenti.
Riportiamo un esempio dall’intervista del soggetto 10, il quale ci guida esplicitamente al prelievo dell’elemento corretto all’interno del suo spazio degli esempi:
Estratto: (Soggetto 10-IM 3D)
“Se penso a [una funzione] illimitata, ma senza limite, la classica funzione senza limite è la funzione periodica, qual è una funzione periodica illimitata? La tangente.”
Una metafora classica con cui la letteratura illustra i processi di esemplificazione è quella della “dispensa” di Watson e Mason (Watson & Mason, 2005), per cui lo stoccaggio degli esempi nella mente dello studente non è equo. Ci sono esempi posti “in prima fila” ai quali si ricorre con maggiore frequenza ed esempi immagazzinati in “ripiani” difficili da raggiungere. Alcuni esempi, sebbene presenti nel nostro spazio degli esempi, potrebbero essere collegati ad alcuni concetti ma non ad altri, cosicché non tutti gli stimoli offrono l’accesso ad ogni “ingrediente” esempio. In particolare, alcuni fattori che influenzano ciò che è accessibile nel nostro spazio degli esempi sembrano essere: il contesto, lo stato dell’individuo e il fattore di innesco (Goldenberg & Mason, 2008).
In effetti, il nostro studio conferma la forte situalità degli esempi che “saltano” alla mente di un individuo impegnato a svolgere un certo compito in una determinata situazione, come si può evincere dai seguenti estratti:
Estratto 1: (Soggetto 1-IM 4A)
“Non ha limite sinistro. Cosa vuol dire? O che ha fortissime oscillazioni … ecco, prima potevo usare le oscillazioni!”
39 In questo caso, lo studente aveva mostrato difficoltà nell’esplicitare una funzione che non avesse limite destro in 0 per rispondere al quesito 3A, commentando la richiesta dicendo: “È strano, mi sa di qualcosa di sbagliato.”
In quel caso, l’esempio era stato poi individuato nella funzione popcorn, definita come 0 sui razionali e 1 sugli irrazionali.
Nel prossimo estratto, uno dei soggetti intervistati afferma esplicitamente che affronterebbe in modo diverso il quesito proposto a seconda del contesto in cui si trova. Tale osservazione è nata in seguito a un lungo processo di esplorazione e dubbi riguardo l’esistenza dell’esempio richiesto (come già accennato tutte le versioni del task 4 richiedono la costruzione di un esempio impossibile).
Estratto 2: (Soggetto 4-IM 4B)
“Dipende dal contesto in cui mi fanno questa domanda, se me la faccio a casa, mi proporrei di fare molti più esempi. Se sono a un esame è diverso, dipende anche da quali domande mi hanno fatto prima.”
Classificazione delle strategie utilizzate
Il modello di Antonini sulle strategie si è dimostrato un perfetto strumento per l’analisi e la classificazione della produzione di esempi all’interno del nostro studio. Come avremo modo di mostrare, tutte le strategie emerse all’interno del nostro studio rientrano sostanzialmente nei tre tipi di strategie descritti nel quadro teorico di Antonini, coinvolgendo processi e modi di pensare collegati. Ricordiamo che, come osservato in 2.6, nella pratica la distinzione fra le varie strategie non è quasi mai netta, e nella maggior parte delle interviste le strategie sono state in parte abbandonate, a volte sovrapposte ad altre e magari riprese nuovamente in un secondo momento.
Per dare un primo quadro quantitativo dei dati raccolti, abbiamo raccolto in Tabella 1 la nostra analisi delle strategie utilizzate dai partecipanti alla ricerca nell’affrontare i quesiti 3, 4, 5 (ovvero quelli che richiedevano esplicitamente la produzione degli esempi).
La prima colonna riporta il numero di identificazione del soggetto intervistato, mentre la seconda riporta la lettera corrispondente al tipo di questionario affrontato (una
40 delle quattro versioni sviluppate). Abbiamo poi registrato per ogni quesito se abbiamo riconosciuto o meno (indicando rispettivamente con 1 o 0) nel processo esplicitato dal soggetto l’uso della strategia “Tentativi ed errori” (colonna E), “Trasformazione” (colonna T) e “Strategia analitica” (colonna A). Sempre per ogni quesito abbiamo inserito una colonna OK, una sorta di valutazione del successo nella risoluzione dell’attività proposta, perché abbiamo ritenuto interessante, anche da un punto di vista grafico, avere la percezione di efficacia delle tre diverse strategie per lo specifico compito, confrontando la loro attivazione con l’esito. In particolare, nelle colonne OK abbiamo utilizzato 1 se:
• è stato fornito un esempio che soddisfa le richieste dei quesiti 3 e 5; • lo studente si è convinto dell’impossibilità di fornire l’esempio richiesto nel
caso del quesito 4.
In caso contrario, abbiamo riportato 0. Il simbolo “*” sta a indicare che la risoluzione del quesito è stata fortemente influenzata dall’intervento dell’intervistatore in seguito alle difficoltà del soggetto.
3 4 5 Sogg Tipo E T A OK E T A OK E T A OK 1 A 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 2 B 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 3 A 1 1 0 * 1 0 0 1 1 0 0 1 4 B 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 5 C 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 6 D 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 7 A 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 8 B 0 1 0 * 1 0 0 * 1 0 0 1 9 C 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 10 D 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 11 D 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 12 B 1 0 0 * 0 0 1 1 1 0 0 1 13 C 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 14 D 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 15 C 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 16 A 1 1 0 * 1 0 0 0 1 0 0 * 17 B 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 18 A 1 0 0 1 1 0 1 * 1 0 0 * 19 D 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 20 C 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 Tabella 1
41 Le colonne OK confermano “la solidità” dei partecipanti allo studio per la netta prevalenza di “1”, così come il fatto che la richiesta che ha messo più in difficoltà sia quella collegata all’impossibilità (quesito 4). D’altra parte, il solo dato quantitativo relativamente alla colonna OK non restituisce lo “struggle” dei partecipanti per arrivare al risultato, né tantomeno le caratteristiche peculiari dei soggetti nell’uso delle strategie, aspetti che cercheremo di far emergere dall’analisi qualitativa che svilupperemo nei prossimi paragrafi.
Per sottolineare la specificità di ogni singola strategia, riporteremo vari estratti in cui i partecipanti hanno seguita una delle tre in modo piuttosto esclusivo o comunque predominante (quest’ultima possibilità sfugge dalla comunicazione che fornisce la rappresentazione tabellare precedente).
Tentativi ed errori
Estratto: (Soggetto 3-LT 3A)
[Sta cercando esempi di funzioni che non hanno limite a +∞]
“L’esponenziale ce l’ha, il logaritmo ce l’ha, la quadratica ce l’ha, tutte le potenze di x ce l’hanno, l’arcotagente ce l’ha…ah! Il seno.”
Come già osservato, procedere per tentativi ed errori non significa necessariamente creare una collezione casuale di esempi. Spesso il soggetto genera esempi successivi escludendo o includendo proprietà delle funzioni richieste, come possiamo osservare nell’esempio seguente:
Dai un esempio, se possibile, di una funzione di variabile reale tale che f è iniettiva su [0,2] e lim
𝑥→0𝑓(𝑥) = lim𝑥→2𝑓(𝑥) = 0.
Estratto: (Soggetto 18-IM 5A)
“Non vanno bene funzioni costanti perché l’iniettività viene meno. Se fosse strettamente crescente allora il limite non potrebbe fare 0 in 2, stessa cosa se fosse decrescente. Magari prendo qualcosa definita a scalini, ma anche in questo caso viene meno l’iniettività.”
42
Trasformazione
Analizziamo la trasformazione in più passi eseguita dal soggetto 19 per il quesito 5D:
Dai un esempio, se possibile, di una funzione di variabile reale tale che f è iniettiva su (0,2) e lim
𝑥→0𝑓(𝑥) = lim𝑥→2𝑓(𝑥) = +∞.
Estratto: (Soggetto 19-IM 5D)
“Posso fregare l’iniettività in questo modo, parto da una funzione che fa così. [Figura 4.1]
Posso cancellare dei tratti [cancella la curva rossa e disegna i tratti rossi sopra l’asse delle x] e questi tratti li mando in -f(x) [disegna i tratti rossi sotto l’asse] [Figura 4.2].
Quindi io ho una funzione che è iniettiva, va a più infinito a destra, va a più infinito a sinistra…”
“Mi sembra però che raggiunga anche meno infinito” Figura 4.1 Produzione in tempo reale su PC, soggetto 19
43
“Ah, vabbè, allora questi punti qua li posso togliere [Figura 4.3] e praticamente,
allora la funzione sull’intervallo anziché farla così, lasciare il buco,
posso farla così [Figura 4.4], invece che mandarli di sotto apro…cioè, hai capito?”
“Hai fatto una dilatazione in orizzontale?”
“Sì, esatto, li ho stretchati per coprire i buchi in orizzontale.”
“Se volessimo definirla su tutto ℝ, mancano 0 e 2.”
“A 0 e 2, tu qua prendi 𝑥−21 , perché per x maggiore di 2 questo è positivo e va a più infinito, e qui hai 1
−𝑥 [Figura 4.5].”
“Così non è definita su 0 e 2.”
[riflette qualche secondo]
Figura 4.3 Produzione in tempo reale su PC, soggetto 19
Figura 4.5 Produzione in tempo reale su PC, soggetto 19 Figura 4.4 Produzione in tempo reale su PC, soggetto 19
44
“Su 0 e 2 prendi due valori a caso, che tanto non ti danno fastidio per i limiti. Tanto il limite esiste se esiste il limite destro e il limite sinistro.”
In questo estratto possiamo osservare il soggetto 19-IM operare successive trasformazioni su un grafico con il supporto dell’intervistatore. Egli si mostra immediatamente sfidato dalla consegna, come dimostrano anche le sue parole iniziali, con cui anticipa di poter “fregare l’iniettività”, ovvero ottenere l’iniettività.
Come vedremo nel paragrafo 4.4, le trasformazioni sui segni presentano un’analogia con le manipolazioni fisiche, come evidenziato da alcune espressioni del soggetto 19-IM, quali “apro” e “li ho stretchati per coprire i buchi”. In questo caso, il parallelo con gli oggetti fisici si accompagna a una forte componente di visualizzazione, cosicché le componenti visive del grafico, costituite dai tratti di immagine della funzione, diventano oggetti che lo studente “cancella”, “apre”, “manda”, “stretcha”, mentre i “buchi” di definizione delle ascisse vengono “coperti”. Inoltre, la sua componente attiva nella manipolazione si riflette nel ripetuto utilizzo del verbo “posso”.
In un secondo momento, l’intervistatore interviene affinché la definizione dell’esempio venga completata, indagando sulla definizione nei punti 0 e 2. Lo studente sembra rispondere a una domanda diversa: egli definisce la funzione all’esterno dell’intervallo (0,2) tramite espressioni analitiche non definite in 0 e in 2 [Figura 4.5]. Il soggetto 19-IM sembra avere interpretato il problema fornendo una soluzione definita su tutti i reali e si sta concentrando esclusivamente sulla richiesta di limiti infiniti in 0 e in 2. In seguito a un’osservazione dell’intervistatore, lo studente recupera prontamente il controllo, ricorrendo a un fatto di teoria a lui noto: “[nei punti in cui vengono calcolati i limiti] prendo due valori a caso, tanto non ti danno fastidio per i limiti”, completando con successo la definizione del proprio esempio.
È evidente come in questo caso l’intervento dell’intervistatore abbia avuto un’influenza decisiva. Dal punto di vista metodologico questa è sicuramente una debolezza, ma allo stesso tempo è parte della crescita dell’intervistatore, in termini di competenze di ricerca, avvenuta proprio in questa prima esperienza di ricerca didattica. Crescita sia in termini di consapevolezza di errori metodologici, sia in termini di
45 miglioramento della conduzione delle interviste nel corso della loro raccolta per questo lavoro.
4.1.2.1 Metafore sull’attività di trasformazione degli esempi
Contrariamente ai soggetti che prendono e “buttano via” gli esempi prodotti ogni volta che questi non soddisfano le proprietà richieste, immaginiamo il buon produttore di esempi impegnato nella riorganizzazione e nell’utilizzo della “dispensa” di cui abbiamo già parlato: lo spazio degli esempi (Watson & Mason, 2005). Con questa metafora intendiamo sottolineare l’aspetto creativo della costruzione di esempi, i quali non possono essere semplicemente immagazzinati ed evocati, ma richiedono di essere modellati, fusi e rimaneggiati; attività che i buoni produttori di esempi sembrano maggiormente propensi ad operare (Goldenberg & Mason, 2008), (Mason, 2011).
Fra le varie metafore sull’attività di produzione di esempi utilizzate in letteratura, oltre a quella citata della “dispensa”, ci sembra particolarmente calzante quella della “cassetta degli attrezzi”. Talvolta, i partecipanti allo studio hanno trattato alcuni oggetti matematici come “attrezzi” di cui servirsi, sostituendo quelli inadatti e combinandoli per costruire l’esempio cercato. Un trattamento di questo tipo è quello osservato nella risoluzione del quesito 5C da parte del soggetto 9:
Dai un esempio, se possibile, di una funzione di variabile reale tale che f è iniettiva su [0,2] e lim
𝑥→0𝑓(𝑥) = lim𝑥→2𝑓(𝑥) = +∞.
Estratto: (Soggetto 9-LM 5C)
“Prendo una sorta di…ho disegnato una cosa, una parabola all’incirca. No, non una parabola, una cosa con un asintoto verticale sia in 0 che in 2, con puntini verso destra al quadretto e verso sinistra sul mezzo quadretto. Questa è iniettiva, però salgono sempre di più e quindi…”
“I pezzetti come li hai definiti?”
“Sono trattini orizzontali.”
“Orizzontali?”
46
“Ah, no, non sono iniettivi, hai ragione. Se la definisco proprio per punti dovrebbe andare.”
In questa prima parte, il soggetto 9-LM parte dalla visualizzazione di un oggetto, apparentemente introdotto come continuo, simile a una “parabola” ma con asintoti verticali, che viene immediatamente frammentato in “puntini” o “trattini orizzontali” (Figura 4.6). Dopo l’intervento dell’intervistatore, il soggetto si rende conto di non poter assegnare alla funzione valori costanti in ogni intervallo per ottenere l’iniettività.
“Arrivandoci per puntini che salgono ce la dovrei fare. Però aspetta, se dev’essere definita dappertutto allora così non funziona, perché trattini orizzontali non ne posso fare, se faccio puntini sparsi…”
In questo estratto di intervista possiamo immaginare che il soggetto 9 si trovi di fronte a una difficoltà sperimentata da molti partecipanti allo studio: voler definire una funzione assegnando un valore punto per punto su un intervallo continuo al fine di controllare l’iniettività.
“Se faccio trattini verticali ci devono essere dei punti nell’intervallo [0,2] in cui la funzione non è definita. Pensavo di definirla a intervalli crescenti orizzontali sfalsati a destra e a sinistra in modo che…”
“Secondo me questa idea la potresti sistemare.”
“Questa dei trattini?”
“Sì, mi hai detto sfalsati.”
“Ah, dici…quindi non trattini perfettamente orizzontali, li faccio salire un pochino, faccio dei trattini iniettivi [Figura 4.7].
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Ah, è che si rimpiccioliscono pure sempre di più ‘sti cosi…si devono inclinare, se no