6 Progetto nel piano ω
6.1 Definizione del piano ω
Il primo caso considerato è quello di progetto nel piano ω.
Prima di analizzare tale metodo è necessario dire che nel caso continuo sono state sviluppate plurime tecniche frequenziali, come quella basata sui diagrammi di Bode, ed è di particolare interesse poterle recuperare anche nel campo discreto.
Molte di queste tecniche nel continuo sono adatte esclusivamente ai regolatori con struttura molto semplice, come le reti correttrici a ritardo e/o anticipo di fase, di cui si parlerà nei paragrafi seguenti.
Per poterle utilizzare è necessario vedere come la frequenza entra nel dominio discreto, cioè tramite la relazione z = ejωT, la quale comporta però la perdita di importanti proprietà come la sommabilità dei diagrammi logaritmici.
Per ovviare all’inconveniente, si ricorre alla trasformazione bilineare e alla sua inversa, le quali sono state già trattate nei paragrafi 3.5.3 e 3.5.4.
6.1.1 Definizione del piano ω: sintesi mediante trasformata
bilineare
La trasformazione bilineare: z = 1 + ωT/2 1 – ωT/2 e la sua inversa: ω = 2( 1 – z -1 ) = 2(z – 1)_ T( 1 + z -1) T(z + 1)Utilizzando la nuova variabile ω, la quale approssima la variabile s della trasformata di Laplace, è possibile eseguire il progetto del regolatore per mezzo delle usuali tecniche frequenziali, ottenendo dapprima il regolatore D(ω) e, tramite una sua antitrasformazione, il regolatore discreto D(z).
I passi logici che caratterizzano il progetto sono i seguenti:
1. si fissa un periodo di campionamento T sulla base delle dinamiche del processo e delle prestazioni desiderate.
Una regola empirica frequentemente adottata consiste nell'attribuire al parametro T un valore compreso tra un decimo e un mezzo della più piccola costante di tempo del sistema.
Infatti all’aumentare della frequenza di campionamento, il periodo tende a zero, e ciò comporta che la G(s) può essere ben approssimata con la G(ω).
Si noti però che, non introducendo il procedimento sopra indicato approssimazioni come nel metodo indiretto (eccetto quella tra il piano s e ω), è possibile utilizzarlo anche per frequenze di campionamento non troppo elevate rispetto la banda passante del sistema a catena chiusa;
2. si ricava G(z), considerando la presenza dell’holder H0;
3. tramite la trasformazione bilineare z = 1 + ωT/2 si trasforma la G(z) in G(ω); 1 – ωT/2
4. si ricava la funzione desiderata D(ω), applicando una delle tecniche frequenziali a tempo continuo alla G(ω).
Il precedente passaggio è reso possibile dal fatto che il progetto di D(ω), data la G(ω), può essere condotto secondo i criteri della sintesi classica dei sistemi continui, lineari e tempo invarianti;
5. si antitrasforma, mediante la relazione ω = 2(z – 1) , la D(ω) nella D(z) T(z + 1)
corrispondente;
6. si verifica che le prestazioni ottenute siano quelle desiderate.
Come già esplicato nel capitolo sulla discretizzazione, nella trasformazione di Tustin la parte interna del cerchio di raggio unitario nel piano z viene mappata nel semipiano sinistro del piano complesso ω, ed il cerchio stesso nell’asse immaginario.
Inoltre z = 0 viene trasformato in ω = -2/T nel piano ausiliario ω e corrispondentemente in un punto all’infinito ( σ→ - ∞) nel piano s.
La prima relazione citata è del tutto simile alla trasformazione, indotta dal campionamento, tra il piano s e il piano z, anche se la fondamentale differenza sta nel fatto che la trasformazione di Tustin è biunivoca.
Sono state descritte in precedenza le caratteristiche frequenziali di questo tipo di applicazione, portando particolare attenzione alla forte compressione che tale trasformazione presenta alle alte frequenze: ponendo s = jω con ω ∈ [0,π/T] si hanno frequenze jΩ con Ω ∈ [0,∞] ed il punto corrispondente nel piano z, secondo la relazione z = e jωT, varia sulla semicirconferenza tra 1 e -1.
Tra le pulsazioni nel piano s e quelle del piano ω vale la relazione:
Ω = 2 tan(ωT/2)
T
Figura 6.1 Trasformazioni tra il piano ω, il piano z ed il piano s
6.1.2 Uso dei diagrammi di Bode nel piano ω
Come anticipato nell’introduzione, un esempio di progetto nel piano ω è quello che utilizza i diagrammi di Bode.
Nel paragrafo precedente si è visto come, tramite la trasformazione bilineare e la sua inversa, a partire dalla D(z) si possa ottenere la funzione di trasferimento “continua” D(ω) definita nel piano ω.
Va sottolineato il fatto che, nel progetto del regolatore viene utilizzato il piano ω, come se coincidesse con quello s, ma in realtà essi differiscono.
Questa differenza si ripercuote anche sui diagrammi di Bode.
Per esplicare le conseguenze che tale semplificazione comporta viene riportato l’esempio 6.1.
Esempio 6.1
Si consideri il filtro passa basso, che presenta la seguente funzione di trasferimento: Gc(s) = 100 hh
s + 100
Sono tracciati in figura 6.2 i diagrammi di Bode del modulo e della fase relativi al filtro suddetto.
Il corrispondente sistema a tempo discreto, ottenuto considerando un ricostruttore d’ordine zero H0 e T = 0.01 s (periodo di campionamento piccolo, per far in modo che Gc(ω) sia quanto più prossima a Gc(s)), è dato da:
Gd(z) = Z 1 – esT
100___ = (1 – z -1)Z 100 hhh = 0.6321 kkk
s s + 100 s(s + 100) z – 0.3679
Utilizzando la relazione z = 1 + ωT/2 è possibile passare al piano ω: 1 – ωT/2
Gd(ω) = Gd(z)| z = 1 + ωT/2 = - 0.4621 ω – 200____ 1 – ωT/2 ω + 92.4234
Si calcolano inoltre i seguenti limiti:
lim |Gc(jω)| = lim |(100 / (jω + 100)| = 1 = lim |Gd(jΩ)|
ω→0 ω→0 Ω→0
lim |Gc(jω)| = 0 ≠ lim |Gd(jΩ)| = 0.4621 = - 6.7dB
ω→∞ Ω→∞
dove ω=jΩ.
Osservando le relazioni appena trovate si può dire che il filtro Gd(ω) presenta lo stesso numero di poli e di zeri.
Questa proprietà, soddisfatta in generale dalle funzioni G(ω), implica che la risposta frequenziale di tale filtri tende per Ω→∞ ad un valore costante diverso da zero.
Per quanto riguarda le fasi, si può notare che l’introduzione di zeri a parte reale positiva causata dalla trasformazione di Tustin, implica la possibilità che Gd(ω) non sia a fase minima, dove si dice a fase minima una funzione propria avente sia poli che zeri a parte reale negativa. È ovvio che in tali circostanze si deve prestare particolare attenzione nel ricavare i diagrammi di Bode corrispondenti.
Oltre all’esempio appena spiegato, nel seguito verranno illustrati in dettaglio alcuni esempi di progetto di regolatori mediante l’uso del piano ω, per la determinazione di reti ritardatrici, anticipatrici ed a ritardo/anticipo.
Si consideri ora il caso di reti ritardatici ed anticipatrici.
In entrambi i casi si tratta di regolatori che nel discreto assumono la forma: D(z) = kd(z – z0)
z- zp
e che vengono trasformati mediante la z = 1 + ωT/2 in controllori del tipo: 1 – ωT/2
D(ω) = 1 + ωτ0
1 + ωτp
da moltiplicare eventualmente per una costante in caso si desideri guadagno statico non unitario.
Facendo riferimento a regolatori che presentano questa struttura, si esegue dapprima il progetto di D(ω) e, una volta determinati i valori di τ0 e τp , si applica la trasformazione inversa per tornare nel dominio z.
Si trova quindi:
D(z) = D(ω)| ω = 2(z – 1) = 1 + ωτ0 | ω = 2(z – 1) = T + 2τ0 z + (T - 2τ0)/ (T + 2τ0) T(z + 1) 1 + ωτp T(z + 1) T + 2τp Z + (T - 2τp) / (T + 2τp)
e quindi possono essere definiti i parametri :
kd = T + 2τ0 z0 = 2τ0 - T zp = 2τp – T
T + 2τp T + 2τ0 T + 2τp