Sintesi in frequenza

Tra i diversi metodi di sintesi in frequenza, nel seguito verranno analizzati solo quelli di Haalman e quello basato sul margine di fase.

Metodo di Haalman :

Il primo metodo considerato e' quello proposto da A. Haalman nel 1965.

Esso trova impiego nel caso in cui il processo da controllare possa essere approssimato con l’espressione:

G(s) = K e ^–θs__ 1 + τ s

dove K, θ e τ sono, rispettivamente, il guadagno, il ritardo e la costante di tempo del modello. Questo metodo consiste nell’assegnare i parametri di un controllore PI in modo che la funzione di trasferimento d’anello abbia forma:

L(s) = D(s)G(s) = 2__ e ^–θs 3θs Tali parametri sono:

K_P = 2τ hhh

3θK

T_I= τ K_I = 2___ 3θK

Con questa scelta, risulta che la pulsazione d’attraversamento ω_c di L(s) è data da 2/(3θ) rad/s, mentre il margine di fase vale m_φ = π/2 - 2/3, corrispondente a circa 52°.

Nel caso di processi per i quali è più adeguata un’approssimazione del tipo: G(s) = Ke^-θs_________ ,

il metodo richiede l’adozione di un controllore PID, i cui parametri sono: KP = 2(T1 + T2) 3θK TI = T1 + T2 KI = 2___ 3θK TD = T1T2 hhh KD = 2T1T2 T1 + T2 3θK

Un limite del metodo è dovuto al fatto che quando il parametro θ è piccolo, la pulsazione ωc , e quindi la banda passante, possono risultare troppo elevate.

In tal caso si può sostituire alla L(s) un’espressione del tipo L(s) = k_e ^-θs , verificando se θs

esiste un valore k* di k che soddisfa le seguente relazioni: k* = ω*_cθ

k* ≤ π/2 – m*_{φ ,}

dove ω*_c e m*_φ sono i valori corrispondenti alle specifiche sulla funzione di trasferimento ad anello aperto.

La nuova regola sui valori da dare ai parametri, nei due casi illustrati sopra qualora la banda passante sia troppo ampia consiste quindi nel sostituire al termine 2/3, nelle espressioni precedentemente scritte, il valore k*.

Inoltre negli esempi sopra riportati, come in altri metodi di sintesi, vi sono cancellazioni tra le funzioni di trasferimento G(s) e D(s).

Ad esempio, nel caso del sistema del primo ordine con ritardo, il termine 1 + sT₁ a denominatore di G(s) viene cancellato dallo zero del controllore PI.

Ciò è lecito solo se T1 > 0, altrimenti sorgono problemi di stabilità interna.

Sulla base di queste considerazioni occorre tener presente che nella funzione di trasferimento tra l’ingresso e l’uscita di W(s) compare il prodotto D(s)G(s), mentre nella funzione di trasferimento tra il disturbo all’ingresso del processo G(s) e l’uscita del sistema a catena chiusa:

Wd(s) = G(s)_______ = G’(s)______________ 1 + G(s)D(s) (s – p)[1 + G’(s)D’(s)]

compare anche il polo p di G(s) = G’(s)/(s – p) che è cancellato da D(s) = D’(s)(s – p).. Sempre considerando l’esempio in cui è presentata una funzione di trasferimento del primo ordine con ritardo, risulta che nella W_d(s) compare al denominatore il termine 1+sT₁ .

Ciò implica che la risposta ad un gradino di disturbo conterrà una componente che si attenua con una costante di tempo pari a T1.

Se il valore di T₁ è molto maggiore del modo dominante della W(s), la risposta al disturbo potrebbe avere un transitorio di durata molto superiore della risposta ad un gradino di riferimento.

Sintesi basata sul margine di fase :

Per esplicarne il funzionamento si consideri il seguente sistema di controllo a catena chiusa di figura:

Figura 4.16 Sistema per la sintesi basata sul margine di fase

nel quale la funzione di trasferimento G(s) del processo da controllare è supposta nota.

Essa include l’attuatore, il trasduttore e, in presenza di sistemi di controllo DDC(Direct Digital Control), anche un ricostruttore d’ordine zero.

Il controllore D(s) ha come funzione di trasferimento: D(s) = K_p + K_i/s + sK_d = (K_ds² + K_ps + K_i )/s

In realtà, come esplicato nei paragrafi precedenti, per la fisica realizzabilità del controllore il termine derivativo sarà del tipo:

sKd hhhh

1 + sTL

E’ importante dire che, se TL è tale che 1/TL è sufficientemente lontana dalla pulsazione d’attraversamento ωc , il contributo negativo che apporta al margine di fase può essere trascurato.

Si calcoli ora il vettore D(jω), ese ne evidenzi modulo |D(jω)| e fase θ_D(ω): D(jω) = Kp + j(ωKd - Ki /ω) = |D(jω)|(cosθD(jω) + j sinθD(jω))

Ora si supponga di voler calcolare D(jω) in modo che, in corrispondenza di una ωc prefissata nel diagramma di Bode di |G(jω)D(jω)|, si abbia (nel diagramma delle fasi) un margine di fase m_φ prefissato.

Bisogna dire che ad un aumento di ωc corrisponde un aumento della banda del sistema a catena chiusa, mentre all’aumentare del margine di fase si stabilizza il sistema.

Se fattorizziamo il numeratore della D(s) vediamo che sono presenti due zeri (nel diagramma delle fasi comportano un incremento del margine di fase,asintoticamente, di 90º ciascuno), mentre il denominatore presenta un polo nell’origine (nel diagramma delle fasi comporta un decremento del margine di fase di 90º).

Questo implica che il massimo margine di fase positivo che D(s) può fornire asintoticamente è pari a 90°.

Risulta quindi che ωc dev’essere scelta in modo tale che:

θD(ωc) < 90º

Per definizione di ω_c, risulta: |D(jωc)G(jωc)| = 1

Per le proprietà del modulo, l’espressione è equivalente alla: |D(jωc)||G(jωc)| = 1

da cui è possibile calcolare: |D(jω_c)| = 1_____

|G(jω_c)|

Inoltre, per la fase del prodotto D(jωc)G(jωc), deve valere:

θD(ωc)+ θG(ωc) = -180° + m_φ , dove θG(ωc) = arg[G(jωc)],

e da qui risulta che la fase del controllore D(s) in ω_c, cioè θ_D(ω_c), vale:

θD(ωc) = - θG(ωc) -180° + mφ .

In tale espressione, si può notare che tutti i termini presenti a secondo membro dell’uguaglianza sono noti.

Dall’espressione di D(jωc) si ricava:

D(jωc) = |D(jωc)|(cosθD(jωc) + j sinθD(jωc)) = cosθD(jωc) + j sinθD(jωc) |G(jωc)| |G(jωc)|

da cui, considerando la parte reale e immaginaria di D(jωc), risultano le seguenti relazioni: K_p = Re[D(jω_c)] = cosθ_D(jω_c) + j sinθ_D(jω_c)

|G(jω_c)| |G(jω_c)|

ω_c Kd – Ki = Im[D(jωc)] = sinθD(jωc) ω_c |G(jω_c)|

Dalla prima relazione trovata si ricava Kp, mentre la seconda stabilisce un rapporto tra le costanti delle azioni derivativa ed integrale, dove i singoli parametri vengono determinati per tentativi o in base ad altre considerazioni.

Generalmente si ricorre ad una relazione supplementare del tipo : Ti = αTd ,

nella quale α può essere un numero intero non inferiore, per esempio, a 4 (e quindi K_d ≤ K_P2

/ 4K_i) , onde evitare un eccessivo avvicinamento tra 1/ T_i e 1/T_{d .}

Il parametro α e la banda B (approssimabile con la pulsazione d’attraversamento ωc) costituiscono due fondamentali gradi di libertà per la progettazione di un controllore PID, e la loro scelta rappresenta un compromesso tra le varie problematiche che si possono riscontrare. Tornando alla relazione basata sulla parte immaginaria di D(jωc) si può notare che, se venissero a mancare il temine derivativo Kd (caso del controllore PI) o integrale Ki (caso del controllore PD)_, la relazione precedentemente trovata verrebbe di molto semplificata, e sarebbe quindi possibile ricavare il parametro non nullo in maniera univoca.

Utilizzando però delle versioni alternative di controllori PID la fase di D(s) può cambiare. Un esempio, a dimostrazione di ciò, è quello in cui viene utilizzato un controllore PI.

In questo caso il margine di fase è sempre negativo e varia tra -90° e 0°, mentre se il controllore è di tipo PD varia tra 0° e +90°.

Dopo aver scelto la pulsazione ωc è possibile valutare l’effetto del filtro PB che limita il termine derivativo alle alte frequenze.

Ad esempio, nel caso di 1/(1 + sTL), il contributo al margine di fase nella pulsazione d’attraversamento φL è trascurabile se ωcTL«1.

In sede di progetto, un possibile criterio per il dimensionamento di T_L è il seguente : Td < TL < Td

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Tuttavia è necessario rispettare la condizione TL>T per evitare problemi d’aliasing.

É inoltre da ricordare che, bisogna controllare oltre al margine di fase anche il margine di guadagno per essere sicuri della stabilità del sistema.

Verificare che il margine di guadagno sia adeguato corrisponde a vedere se alla pulsazione per cui arg[D(jω)G(jω)] = -180° il modulo di D(jω)G(jω) sia sufficientemente inferiore a 1. Se ciò non accade è necessario moltiplicare i parametri K_i, K_d,K_p calcolati considerando solo il margine di fase, per un fattore minore dell’unità.