La descrizione del modello continuo

La teoria base del modello di Bass (1969 ) è costruita in termini di processo continuo.

Riformulando le ipotesi sopra delineate in termini di un modello continuo, la probabilità (o meglio la “densità” di probabilità ) che un acquisto iniziale venga effettuato al tempo T può essere espressa attraverso la seguente equazione:

P(T)=f(T)/1-.F(T) (2)

f(T)dt = probabilità che un acquisto iniziale avvenga al tempo T;

T

F(T) = 0f(t)dt = funzione di ripartizione ( valori compresi tra 0 ed 1).

poiché per ipotesi

P(T) =p+(q/m)*Y(T)

Si può scrivere :

f(T)/1-F(T)=P(T) =p+(q/m)*Y(T) (3)

Se quindi f(T) rappresenta la probabilità che un acquisto iniziale avvenga al tempo T e (m) è il numero totale di acquirenti nel periodo considerato il numero totale di acquirenti nell’intervallo (0,T) sarà:

T

Y(T) = m* 0f(t)dt = m*F(T) (4)

Sostituendo tale espressione nell’equazione (2) si ottiene:

f(T)/1-F(T) = P(T) = p+q*F(T) (5)

Di conseguenza le vendite al tempo T [S(T)] si possono determinare nel modo seguente:

S(T)= m*f(t) =m*P(T)*(1-F(T)) = P(T)*m*(1-Y(T)/m)

= P(T)*(m-Y(T)) (6)

S(T)= [p+(q/m)*Y(T)]*[m-Y(T)] = p*m+(q-p)*Y(T)-(q/m)*[Y(T)]2 (7) Dall’equazione (5) si ricava : f(T) = [p+q*F(T)]*[1-F(T)] = p+(q-p)*F(T)-(q/m)*[F(T)]2 (8) e, poichè11: F(T) = (1-exp(-(p+q)*T)) )/ ((q/p)*exp(-(p+q)*T)+1) (9)

sostituendo l’equazione (9) nella (8) si ottiene :

f(T)=[(p+q)2/p]* (exp(-(p+q)*T))) / ((q/p)*exp(-(p+q)*T)+1)

quindi, ricordando che :S(T)=m*F(T) si ha :

S(T)=(m*(p+q)2 /p)* (exp(-(p+q)*T))) / ((q/p)*exp(-(p+q)*T)+1) (10)

A questo punto, per determinare l’intervallo temporale in cui il saggio di sviluppo delle vendite risulterà massimo occorre calcolare la derivata di S(T) e uguagliarla a zero; sviluppando i calcoli necessari risulta essere che affinché sia S’ uguale a zero bisogna porre:

(q/p)*exp(-(p+q)*T)-1 = 0

exp(-(p+q)*t) = 1/(q/p)

-(p+q)*T = log(p/q)

11 _{Per determinare F(T) è necessario risolvere l’equazione diffrenziale non lineare dt = dF/[ p+(q-p)*F}2_-q*F2 _].Per l’esemplòificazione del processo di risloluzione si rinvia a : F.M.Bass, “A New Product Growth Model for Consumer durables”, Management Scienze, gennaio 1969, pp.215-227

T* = [1/(p+q)]*[-log(p/q)]

T* = [1/(p+q)]*[-(log(p)+log(q)]

T*=(1/p+q))*log(q/p)

Affinché esista un punto di massimo deve essere verificata la disequazione: S’ > 0, cioè q > p.Ciò significa che il coefficiente di imitazione deve essere maggiore del coefficiente di innovazione (la soluzione è rappresenta nelle figure che seguono).

Da ultimo, sostituendo l’equazione[11]nella[10]è possibile determinare il massimo livello di vendite raggiungibile dal nuovo prodotto;la soluzione è:

S(T*) = m*(p+q)2 /4*q

La curva rappresentante il tasso di crescita è simmetrica intorno a T* tra 0 e 2T* e successivamente decresce fino a 0.Il tasso massimo di crescita risulta:

n (T*) = m*(p+q)2 / 4*q

e il numero di vendite cumulato è :

N (T*) = m*( q-p / 2 ) T* S(T) T q > p T* S(T) T q <= p

E quindi il punto di flesso della curva di adozione varia tra 0 e m/2 a seconda dei valori dati a p e q. Questo consente al modello di essere più flessibile e adattabile al tipo di prodotto studiato rispetto ai precedenti.

Sono state effettuate critiche riguardo le ipotesi di base dall’autore. Si è notato che i gruppi di consumatori individuati da Rogers ( 1953), in base al momento di adozione e riuniti in due classi da Bass, non corrispondono effettivamente ai coefficienti p e q usati nel modello. Lekvall e Wahlbin fanno notare che nel processo di comunicazione che avviene all’interno del sistema sociale, ogni individuo è soggetto due diverse forme di influenza: esterna e interna.La prima viene esercitata sulla parte innovativa dell’individuo che è stato posto a pubblicità e altre forme di comunicazione di massa o viene a contatto con il prodotto; la seconda è influenza che i membri del sistema sociale esercitano sull’altro come risultante dell’interazione Esse possono essere esercitate simultaneamente sullo stesso individuo in qualunque istante del processo di diffusione. Non si distingue più innovativo e imitativo in base al momento in cui hanno adottato ma a seconda che sia l’influenza esterna o interna a determinare il loro comportamento.

Si ha un modello del tipo

n (t) = ( p/m )*( m-N (t) ) + (q /m)*N (t) * (m – N (t))

dove p viene ridefinito come coefficiente di influenza esterna, è diviso per m e viene a rappresentare l’influenza delle attività promozionale dell’azienda; q rappresenta l’effetto dell’imitazione dovuta alla comunicazione word-of-mouth all’interno del sistema sociale e viene ridefinito coefficiente di influenza interna .

La natura dell’innovazione è fondamentale nel determinare la maggior influenza di fattori esterni o interni.

Mahajan, Muller e Srivastana (1990) riprende la tesi di Lekvall e Wahlbin occupandosi della corretta determinazione delle classi di adopters. Gli autori fanno notare che gli innovatori non sono necessariamente i primi ad adottare. A distinguere dagli altri acquirenti è solo il fatto di essere sottoposti esclusivamente a influenza esterna. Forniscono anche un’espressione esplicita per stimare il totale delle adozioni dovute a influenza esterna N1 (t):

N1 (t) = m*(p/q)*ln[( 1+(p/q) ) / ( 1+(q/p)*exp(-t*(p+q) )

Gli autori non escludono la presenza di diverse categorie di consumatori, anzi rilevano quanto sia importante determinare il tipo di adopter a cui rivolgersi in ogni stadio del ciclo di vita del prodotto per decidere le più corrette strategie di marketing da usare . Nell’applicazione di questo metodo di classificazione sugli 11 beni di consumo durevoli studiati da Bass, Mahajan, Muller e Srivastava osservavano che le percentuali di adottatori in ogni categoria variano parecchio a sconda del prodotto studiato e non corrispondono quasi mai a quelle rilevate dalle schematizzazione di Rogers.Tonny e Derzko (1988) criticano a Bass quella che per loro è un’incongruenza tra descrizione qualitativa e modello. Bass descrive il parametro q come la tendenza imitativa di un singolo individuo, ma nei fatti esso viene a riflettere l’intensità di adozione come risultato dell’interazione tra adopters e non-adopters, che dipende anche dalla frequenza dei contatti tra chi ha già adottato e gli altri. Così p non è, come dice Bass, solo risultato della tendenza innovativa del consumatore ma è risultato di tutte le altre forze che portano all’adozione, come l’intensità dei contatti con fonti esterne di informazione.Ci si allontana dall’ipotesi di omogeneità della popolazione presentata nella loro formulazione del modello una dicotomia tra innovatori e imitatori. Il mercato potenziale m viene diviso in due gruppi omogenei :potenziali innovatori m1 e potenziali imitatori m2;entrambi possono essere influenzati da comunicazione di massa, mentre solo gli imitatori sono influenzati dalla comunicazione word-of-mouth sia da parte degli innovatori che da altri imitatori.

Se definiamo N1 (t) il numero di innovatori e N2 (t) il numero di imitatori che hanno già acquistato. Il tasso di crescita degli innovatori risulta:

n1 (t) = p1*(m1- N1 (t) ) (15)

mentre il tasso di crescita degli imitatori è :

n2 (t) = ( p2+q2*( N2 (t)+N2 (t) ) /m)*(m2- N2 (t)ì ) (16)

nel caso di assenza di potenziali innovatori (n1 (t) =0 e m2 = m) il modello si riduce a quello di Bass. Le equazioni (15) e (16) sono complesse e presentano un elevato numero di parametri. Gli autori tuttavia sono riusciti a risolverle e ad applicare il modello a un caso reale. I risultati non sono stati soddisfacenti : o si ricadeva nel modello di Bass, oppure non si riusciva a trovare stime adeguate per il coefficiente addizionale. Questo è facilmente spiegabile se si considera che con l’avanzata della diffusione di un prodotto, i potenziali innovatori tendono a sparire.