IN ELASTOMERO
Edzeario Prati
Dipartimento di Ingegneria Industriale, Universit`a di Parma
E-mail: prati@ied.unipr.it Alessandro Tasora
Dipartimento di Ingegneria Industriale, Universit`a di Parma
E-mail: tasora@ied.unipr.it Tito Marin
Dipartimento di Ingegneria Industriale, Universit`a di Parma
E-mail: marin@ied.unipr.it
Sommario. Si presentano i risultati di simulazioni agli elementi finiti relative a tenute radiali a labbro in elastomero. L’obiettivo consiste nel valutare le forze in gioco nel contato albero-tenuta, in caso statico, per diversi valori dell’interferenza di montaggio e dell’eccentricit`a dell’albero rispetto alla tenuta. Si discutono le implicazioni dei risultati e l’utilit`a di prove sperimentali mirate a misurare tali forze.
Parole chiave: tenute radiali, contatto, elementi finiti
1. INTRODUZIONE
Le tenute a labbro sono un dispositivo ampiamente utilizzato nell’industria in presenza di alberi rotanti. Esistono molteplici varianti di tenute che si differenziano per la geometria, il materiale e il campo di applicazione. Il principio di funzionamento per`o `e sostanzialmente uno e si basa sull’azione di compressione esercitata sulla superficie dell’albero dallo spigolo del labbro [1, 2]. Tale azione mantiene in contatto la tenuta sull’albero e crea le condizioni per cui il lubrificante non fuoriesca dal lato olio e, al contempo, non vi entrino le impurit`a eventualmente presenti nel lato aria. Alla buona riuscita di questi obiettivi, sia in caso di albero perfettamente centrato sia in caso di eventuale eccentricit`a statica o dinamica, contri- buiscono la particolare geometria della tenuta (labbro a sbalzo, angoli della parte a contatto) la presenza della molla, della lamina metallica di rinforzo, di eventuali altri speciali accorgi- menti e infine il materiale impiegato. Quest’ultimo `e in genere di tipo elastomerico e avente un comportamento viscoelastico.
L’indagine sperimentale rappresenta un prezioso strumento per valutare le prestazioni delle tenute in termini di affidabilit`a, durata, coppia resistente, condizioni di temperatura e velocit`a di funzionamento, risposta in presenza di eccentricit`a. Ad esempio lo studio della coppia di spunto al variare della pressione nel lato olio `e stato affrontato in [3], mentre in [4] nel caso di tenuta a labbro con disco di supporto.
Quando l’attenzione si focalizza sulla lubrificazione all’interfaccia tra l’estremit`a del lab- bro e la superficie dell’albero, `e fondamentale conoscere la distribuzione di pressione che si determina nel contatto. Tale pressione, infatti, rappresenta una delle condizioni al contorno per analisi numeriche del meato.
L’effettiva distribuzione della pressione, sia nella direzione circonferenziale che in quella assiale, `e difficile da ottenere sperimentalmente, cos`ı come non `e agevole neppure misurare la sua risultante su tutta la superficie di contatto. Distribuzione di pressione e forza risultante variano poi in funzione delle condizioni di utilizzo (velocit`a, temperatura, pressione dell’olio, eventuale eccentricit`a, stato di usura del labbro, ecc.).
Con simulazioni agli elementi finiti (FEM) si pu`o per`o calcolare tale distribuzione di pressione e la sua risultante per determinate condizioni. Nel presente lavoro si affronta questo problema per una specifica guarnizione a labbro per alberi rotanti (dimensioni: 70x110x12 mm, materiale: gomma nitrilica NBR), inoltre si valuta il legame tra la risultante delle pressioni di contatto e la forza necessaria a imporre una determinata eccentricit`a statica.
2. FORZE NEL CONTATTO ALBERO-TENUTA
La rappresentazione 3D del sistema albero-tenuta `e mostrato in Fig.1a. E’ stato anticipato nell’introduzione il concetto di risultante delle pressioni di contatto p all’interfaccia albero- tenuta; se ne fornisce ora la definizione formale. Dato un campo di pressione di contatto p tra labbro e albero, in generale funzione della posizione assiale z e della posizione angolare α, la forza risultante Fpsull’area di contatto Ac `e data da:
Fp= Z
Ac
p(z, α)dA. (1)
Questa forza Fp `e originata quindi dall’interazione tra l’albero e la tenuta ed `e sempre maggiore di zero allorch`e vi sia contatto (la pressione p `e infatti sempre positiva dove esiste). Si sottolinea che la Fp`e uno scalare con le dimensioni di una forza (se la superficie di contatto fosse sviluppata in un piano Fp avrebbe come direzione la normale al piano e come verso quello delle pressioni p). Inoltre in Fp non vi `e direttamente il contributo delle componenti tangenziali della tensione di contatto, l’effetto dell’attrito all’interfaccia influenza per`o la distribuzione di p. La dipendenza da z `e dovuta al fatto che la distribuzione della pressione non `e uniforme ma presenta un picco, il quale, per avere un funzionamento corretto della tenuta, `e solitamente spostato verso il lato olio. La dipendenza dalla posizione angolare α si manifesta quando l’albero `e in posizione eccentrica rispetto alla tenuta. Dati Fpe Acsi pu`o inoltre definire una pressione media di contatto pm= Fp/Ac.
Con Frsi indica il modulo della forza radiale a cui corrisponde uno spostamento radiale ura partire dalla condizione di albero centrato nella tenuta. Questa forza, con una retta di azione e una direzione ben definite, `e data dalla somma vettoriale delle forze di contatto (escludendo le componenti assiali). Infine la Fr a differenza della Fp, contiene direttamente gli effetti della tensione tangenziale all’interfaccia albero-tenuta, come evidente nei risultati
Figura 1: a) Rappresentazione 3D del sistema completo albero-tenuta dopo il montaggio con
interferenza. Geometria semplificata impiegata nelle simulazioni FEM: b) fase di montaggio, c) fase di spostamento radiale dell’albero.
numerici presentati in [5]. Lo spostamento radiale ur `e, un’eccentricit`a statica dell’albero rispetto alla tenuta.
E’ evidente che Fre Fpsono scalari tra loro diversi. La forza Fr`e presente solo quando l’albero si sposta dalla posizione centrata, mentre la forza Fp `e maggiore di 0 anche per eccentricit`a statica nulla e deriva dall’interferenza creatasi nell’installazione della tenuta. Il legame Fr(ur) `e misurabile sperimentalmente in modo semplice mentre quello Fp(ur) non lo `e. Tramite simulazioni numeriche si possono ricavare sia Fpche Frper diversi valori di ure ci`o `e affrontato nel proseguio del lavoro.
3. SIMULAZIONI FEM
L’analisi numerica svolta si basa sull’impiego del metodo degli elementi finiti e del codice commerciale Abaqus. Il sistema albero-tenuta `e stato modellato in 3D applicando una serie di semplificazioni e assunzioni. La metodologia di analisi `e sostanzialmente quella riportata in [5] dove, oltre al confronto tra risultati sperimentali e numerici si `e anche svolta l’analisi dell’influenza di alcuni dei parametri del modello FEM (caratteristiche materiale e attrito), qui si ricordano solo i punti principali. La geometria della tenuta `e stata semplificata rimuo- vendo la parte a contatto con la sede (Fig.1b-c) e sostituendola con vincoli tipo incastro. La forma della sezione `e invece fedele a quella effettiva ad eccezione dell’estremit`a del labbro a contatto con l’albero, la quale `e stata schematizzata con un raccordo avente raggio 0.1 mm. In questo modo si riduce il carico computazione senza discostarsi eccessivamente dalla con- dizione reale. Gli elementi utilizzati sono brick a 8 nodi, il modello di materiale per la tenuta `e iperelastico di tipo Mooney-Rivlin con parametri ricavati da [6] per NBR. La molla `e mo- dellata con elementi shell e usando un materiale elastico fittizio tale per cui la rigidezza in direzione circonferenziale `e pari a quella reale. L’albero, che ha rigidezza ben maggiore della tenuta, `e schematizzato con una superficie rigida indeformabile, come evidente in Fig.1b-c.
Figura 2: Esempio di risultati dalle simulazione FEM per il caso I=0.75 mm: a) mappa
degli spostamenti a seguito di uno spostamento verticale verso il basso dell’albero pari a ur=0.2 mm; c) dettaglio della mesh nei pressi dell’apice del labbro.
Il contatto albero-tenuta `e di tipo coulombiano con coefficiente di attrito f costante pari a 0.15. Il valore non irrisorio rispecchia il fatto che non vi `e lubrificazione all’interfaccia e, come mostrato in [5], tale attrito `e necessario per una buona correlazione con valori speri- mentali. Con questa combinazione di parametri del materiale e del coefficiente di attrito si ottiene una ragionevole correlazione con risultati sperimentali svolti a temperatura ambien- te [5]. La simulazione prevede due momenti principali, nel primo si ha l’installazione della tenuta nell’albero con assenza di eccentricit`a (Fig.1b), nel successivo si ha lo spostamento incrementale dell’albero in direzione radiale verso il basso (Fig.1c). Per facilitare la conver- genza della prima fase, l’albero presenta un tratto conico che si raccorda dolcemente al tratto principale cilindrico. Per ovvie ragioni di simmetria solo met`a del sistema `e effettivamente modellato, nelle figure 1 e 2 la parte mancante `e specchiata per chiarezza. Le simulazioni sono statiche e con nonlinearit`a geometrica attivata per tenere in adeguato conto le grandi deformazioni della tenuta.
Lo spostamento radiale massimo ur, nella seconda fase, `e stato assunto pari a 1 mm. Questo valore `e indubbiamente maggiore di quello atteso nelle usuali condizioni di funzio- namento della tenuta, anche in caso di forte eccentricit`a. Ciononostante si `e ritenuto utile indagare uno spettro pi`u ampio per meglio analizzare la riposta del sistema albero-tenuta.
In condizioni nominali l’albero ha raggio R = 35 mm e, date le dimensioni della tenuta, si ha un’interferenza I = 0.75 mm (riferita al raggio). Si `e voluto investigare anche l’effet- to dell’interferenza iniziale sul legame Fr(Fp) perci`o sono state simulate condizioni in cui l’albero aveva, nella parte cilindrica, valori del raggio inferiori a quello nominale. Il range di interferenze considerato `e da 0.25 a 0.75 mm con diversi stadi intermedi.
Figura 3: Evoluzione della forza Frin funzione dello spostamento ur per diversi valori dell’interferenza iniziale I albero-tenuta.
Figura 4: Distribuzione delle forze di contatto normali alla superficie ai nodi della tenuta.
Caso relativo all’interferenza massima I=0.75 mm per diversi spostamenti radiali dell’albero verso il basso: a) ur=0 mm, b) ur=0.25 mm, c) ur=0.5 mm, d) ur=0.75 mm, e) ur=1 mm.
4. RISULTATI E DISCUSSIONE
In questa sezione si riportano e si commentano i risultati principali delle simulazioni effet- tuate. Nei modelli FEM la superficie sul diametro pi`u esterno della tenuta `e vincolata a non muoversi e all’albero `e imposto uno spostamento radiale, perci`o Fr`e ricavata in modo immediato valutando la reazione vincolare in direzione radiale sull’albero stesso. I grafici in Fig.3 mostrano l’andamento della forza Fr in funzione dello spostamento radiale ur per diverse condizioni di interferenza iniziale I. Queste curve sono ricavabili anche sperimen- talmente, come fatto ad esempio in [5], caricando radialmente un disco inserito nella tenuta e misurandone contemporaneamente lo spostamento. Ci`o rappresenta un importante fonte di informazioni per poter tarare il modello numerico. Le curve alle varie interferenze mo- strano andamenti con tratti simili, ci si riferisce in particolare ai cambi di pendenza anche
Figura 5: Evoluzione della forza Fp in funzione dello spostamento ur per diversi valori dell’interferenza iniziale I albero-tenuta.
Figura 6: Variazione di Fpin funzione di I in assenza di eccentricit`a (ur=0).
se questi avvengono in corrispondenza di ur diversi. A partire dalla condizione di albero centrato (ur=0) si osserva un primo tratto piuttosto ripido fino a circa ur=0.05 mm; ad esso contribuisce sensibilimente l’attrito tra il labbro e l’albero [5]. Segue un tratto circa lineare fino al punto in cui l’albero, nel movimento radiale verso il basso, si stacca dalla tenuta nella parte superiore. Tale separazione avviene per valori di urvicini a quelli dell’interferenza I iniziale che si ha a seguito dell’installazione della tenuta. Da questo punto in poi si nota una diminuzione della pendenza e ancora un andamento quasi lineare.
In termini di pressione di contatto si pu`o osservare in Fig.4 come dalla distribuzione as- sialsimmetrica, che si ha in condizione di albero centrato, si passi, all’aumentare di ur, a distribuzioni che presentano un massimo nella parte inferiore e un minimo nella parte su-
Figura 7: Area di contatto Ac e pressione media di contatto pm in funzione dello spostamento radiale urper il caso I=0.75 mm.
periore. Questo rispecchia ovviamente l’effetto della posizione eccentrica dell’albero sulla risposta elastica della tenuta. Si noti in Fig.4 che per elevati ur la separazione dell’albero dalla tenuta nella parte superiore `e testimoniata dall’assenza di pressione di contatto.
Tornando alla Fig.3 si osserva che per un dato urle curve sono abbastanza vicine nel primo e secondo tratto mentre sono pi`u separate nel terzo. Nel secondo tratto le curve hanno pendenza simile ma non uguale perci`o non risultano parallele; si osserva che per basse inter- ferenze il sistema `e leggermente pi`u rigido (cio`e pendenza Fr(ur) pi`u elevata) dei casi con elevata I iniziale. Nel terzo tratto invece le curve risultano circa parallele. Da simulazioni effettuate eliminando la molla della tenuta, si ricava che nelle tre zone discusse il contribu- to della molla influisce solo nel secondo e nel terzo mentre nel tratto iniziale `e l’attrito a dominare la risposta.
La Fig.5 riporta le curve Fp(ur) per le varie interferenze considerate. Innanzitutto si osserva che per albero centrato (ur=0) la forza Fpcresce in modo proporzionale all’interfe- renza I con una legge blandamente quadratica; sebbene prossima alla linearit`a vi sono per`o gli effetti non lineari dovuti al materiale iperelastico e alla geometria del labbro che subisce spostamenti e rotazioni non trascurabili. La curva Fp(I) in assenza di eccentricit`a statica `e mostrata in Fig.6. Tornando alla Fig.5 e analizzando ora i casi di I maggiori di zero si ve- de come si passi da un valore di Fppari a circa 8 N nel caso I=0.25 mm a circa 25 N per I=0.75 mm. All’aumentare di ursi individuano, come discusso in precedenza, tre zone con andamenti distinti. Queste zone sono inoltre in corrispondenza degli stessi urregistrati per Fr, perci`o sono governate dai medesimi fenomeni. Ad eccezione della prima zona, dove Fp cresce con ur, si osserva che Fp `e abbastanza costante nelle condizioni dove la tenuta `e in contatto sull’albero lungo tutta la circonferenza. Questo conferma una della caratteristiche richieste a questo tipo di organi, cio`e di essere in grado di mantenere la continuit`a del contatto albero-tenuta anche in condizioni di forte eccentricit`a e di farlo senza alterare eccessivamen- te Fp. Il fatto che Fp sia circa costante non implica per`o che anche la pressione locale lo sia, come evidente in Fig.4 la quale fornisce indicazioni circa la variazione, in funzione della posizione angolare, delle azioni di contatto. Ci si deve attendere per`o, come gi`a anticipato,
Figura 8: Evoluzione di Fpin funzione di Frper diversi valori dell’interferenza iniziale I albero-tenuta.
anche una variazione assiale la quale dipende da ur. Dopo che la tenuta si `e separata dal- l’albero a causa dell’elevato ur(rispetto a I), si nota un incremento di Fp, nella figura ci`o `e particolarmente evidente per basse interferenze I.
E’ interessante valutare come l’area di contatto Ac sia influenzata dall’entit`a dello spo- stamento radiale, questo `e proposto in Fig.7 per il caso I=0.75 mm. Il contatto si sviluppa su un’area di circa 10 mm2in assenza di eccentricit`a, tale valore cresce di circa 1 mm2per urmaggiore di 0.2 mm e poi, quando la tenuta si stacca dalla parte superiore dell’albero, ridiscende a valori prossimi a quello iniziale. La pressione di contatto media pm, anch’essa mostrata in Fig.7, vale circa 2.5 MPa per ur=0 e raggiunge un picco di massimo pari a 2.7 MPa per ur=1 mm. Nel tratto centrale del grafico pm non si discosta eccessivamente dal valore iniziale, solo per elevati urtorna a crescere.
Dai grafici nelle figure 3 e 5 `e possibile ottenere la relazione Fp(Fr) per i diversi valori dell’interferenza I come riportato in Fig.8. Le curve assomigliano parzialmente a quelle di Fig.5 ma lo scostamento deriva dalla non linearit`a del legame Fr(ur). La forza Fpnon varia in modo sempre monotono con Fr, cos`ı come non lo faceva in Fig.5 con ur, perci`o la stima di Fp da misurazioni di Fro ur `e possibile solo entro certi limiti che dipendono anche dall’interferenza I. Solo per bassissime interferenze la pendenza della curva Fp(Fr) (o Fp(ur)) `e sempre positiva e quindi esiste un legame univoco tra Fp e Fr (o ur). Per il caso di interferenza nominale della tenuta commerciale in oggetto (I=0.75 mm) tale stima `e possibile, secondo questo modello FEM, fino ad un’eccentricit`a statica di circa 0.2 mm, la quale rappresenta per altro un valore ormai prossimo a quello comunemente tollerato per questo tipo di dispositivi.
5. CONCLUSIONI
In questo lavoro sono stati presentati i risultati di analisi agli elementi finiti su tenute radiali a labbro in caso statico e senza lubrificazione. La risultante della pressione di contatto al- l’interfaccia tra albero e tenuta Fp `e stata correlata al modulo della risultante Frdelle forze di contatto agenti nel piano ortogonale all’asse dell’albero. Entrambe sono state esaminate
per diverse condizioni di eccentricit`a, ossia ur, e di interferenza iniziale I. La forza Fr `e fortemente influenzata da urmentre Fp lo `e in modo molto meno marcato. L’interferenza iniziale I invece ha un effetto su entrambe le forze ma in particolare su Fp. All’aumentare di ursi hanno variazioni anche nella distribuzione della pressione e nell’area effettiva in cui albero e labbro della tenuta sono in contatto.
Sperimentalmente il legame Fr(ur) pu`o essere determinato senza particolare difficiolt`a, mentre quello Fp(ur) `e indubbiamente pi`u complesso. Se fosse possibile calibrare un mo- dello FEM della tenuta tale per cui la risposta Fr(ur) `e colta con accuratezza allora ci`o consentirebbe di ottenere una correlazione univoca tra i valori dell’interferenza I e dell’ec- centricit`a statica ur con la forza Fp (ma anche, ad esempio, con la pressione media pm). Questo permetterebbe quindi di stimare indirettamente Fptramite semplici test sperimentali coadiuvati da simulazioni FEM. Con i parametri usati nel modello FEM presentato in questo lavoro si `e per`o visto che solo entro certi intervalli tale correlazione `e veramente univoca.
BIBLIOGRAFIA
[1] Flitney, R. K., 2007. “Seals and sealing handbook (5th ed.)”. Elsevier Science. [2] Horve, L. A., 1996. “Shaft seals for dynamic applications”. CRC Press.
[3] Silvestri, M., Prati, E., Tasora, A., and Marin, T., 2010. “Frictional behaviour of radial lip seals on varying exerted pressure”. In Proceedings of the NordTrib Conference - Lulea (Sweden). [4] Silvestri, M., Prati, E., Tasora, A., and Marin, T., 2010. “Elastomeric seals behavior with oil pres-
sure and lip support”. In Proceedings of the 16th ISC International Sealing Conference - Stuttgart (Germany).
[5] Prati, E., Tasora, A., and Marin, T., 2011. “Influence of the temperature on the radial load in elastomeric seals”. In Atti del XX Congresso AIMETA - Bologna.
[6] Stakenborg, M. J. L., and van Leeuwen, H. J., 1990. “Visco-elastohydrodinamic (VEHD) lubrica- tion in radial lip seals: Part 1 - steady state dynamic viscoelastic seal behavior”. ASME Journal of Tribology,112, pp. 578–583.