SPECIALIZZAZIONE DEL METODO PSD

Questa sezione fornisce la descrizione analitica necessaria a specializzare la teoria PSD per effettuare l'analisi di sensitività delle performance di processi tecnologici. Nella sottosezione 2.1 è delineato il problema di sensitività, nel quale si distingue tra variabili di progetto (DVs), parametri di progetto (DP) e funzioni di performance (FP). Successivamente viene presentata la descrizione geometrica dello sensitività e nella sottosezione 2.2 alcuni criteri topologici, basati sul concetto di iperellissoide, vengono proposti per eseguire la caratterizzazione e l’analisi di sensitività. Nella sottosezione 2.3 viene presentato la specializzazione del modello e il modello di regressione che si propone di descrivere la relazione tra FP e DVS in un generico processo tecnologico.

2.1 Descrizione del Problema di Sensitività

Nell’analisi di sensitività è possibile distinguere tra fattori che possono essere controllati durante il processo (DVs) e fattori di disturbo per il processo (DPs), che generalmente vengono considerati come influenze esterne ma che non possono essere controllati dal progettista. I DVs e DPs possono essere rispettivamente inseriti in un vettore n- dimensionale ̅ e in un vettore l-dimensionale ̅ . Analogamente le funzioni di performance possono essere inserite in un vettore m- dimensionale ̅ . La relazione funzionale tra le PFs e i DPs e DVs è ̅ ̅ ̅ ̅ .

La variazione delle PF causata dalla variazione dei DVs e DPs può essere approssimata dall’espansione lineare:

[ ][ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ] (1) Nella Formula (1), J rappresenta la matrice per Jacobiana del sistema calcolato per un insieme preciso di valori per i DVs e DPs, cioè, nello specifico, i loro valori nominali. Tale matrice è composta da due parti: ̅ ̅⁄ è la sottomatrice per dei DVs e ̅ ̅⁄ è la matrice per dei DPs. In questo modo la matrice J descrive matematicamente la sensitività del sistema e contiene le variazioni dei DVs ( ̅̅̅̅ ) e dei DPs ( ̅̅̅̅ ). Inoltre è necessario sottolineare come la linearizzazione sia valida sotto determinate condizioni legate alla variazione dei parametri che deve essere contenuta entro il 3%÷5% del loro valore nominale [9]. Lo spazio descritto dai vettori dei DVs e DPs è detto Spazio delle variazioni. In accordo con la letteratura scientifica, per una prima analisi è possibile trascurare i valori dei DPs in quanto generalmente associati a parametri che non vengono presi in considerazione nella progettazione delle performance finali, nella quale ci si concentra sui valori dei DVs. Un tipico esempio di DP per il processo di stampaggio ad iniezione è rappresentato dall’umidità esterna [21].

La norma del vettore permette di definire dei vincoli alla variazione delle performance in accordo con gli obiettivi del progetto:

‖ ‖ ∑ (2)

All’interno dell’equazione (2) vengono legate le variazioni dovute alle singole componenti del vettore delle performance alle tolleranze sui DVs. Detta A la Characteristic Design Matrix, , l’equazione (2) diventa:

‖ ‖ (2.1)

Attraverso le Equazioni (2) e (2.1) è possibile osservare come la matrice A sia semidefinita positiva, pertanto esistono n autovalori non negativi e n autovettori ortonormali. Il numero di autovalori positivi è pari al rango della matrice A. Gli autovettori di A definiscono forma, dimensione e orientamento di un iperellissoide entro una famiglia dipendente dal valore scalare ‖ ‖ . Le lunghezze dei semiassi sono inversamente proporzionali ai valori degli autovalori di A. In questo modo le performance sono meno sensibili nella direzione dell’autovalore più grande e meno sensibili nella direzione dell’autovalore più piccolo; inoltre, quando alcuni degli autovalori assumono valori nulli, l’iperellissoide degenera in un cilindroide.

L’analisi di sensitività nasce dalla valutazione di diversi insiemi di valori per i DVs, detti anche Design Candidates. Questa valutazione impone l’imposizione di vincoli sulle performance, ad esempio definendo delle tolleranze sulle lunghezze, attraverso i quali poter scegliere un iperellissoide dalla famiglia. Questi vincoli devono essere imposti sulla base dei requisiti di progetto. Detta la singola tolleranza sulle performance, i vincoli globali sulle tolleranze sono espressi dalla relazione

Attraverso l’equazione (3) è possibile individuare una regione di spazio interna all’iperelissoide, detta Feasible Space, i cui punti rappresentano le variazioni concesse ai DVs che permettono di ottenere il rispetto delle tolleranze sulle deviazioni delle performance. In altri termini è possibile definire il Feasible Space come quella regione di spazio all’interno della quale le deviazioni delle performance globali del processo sono accettabili.

Quando uno degli autovalori è nullo, e il Feasible Space è descritto da un cilindroide, allora una direzione diventa non limitata. In letteratura, e.g. [8], si ricorre ad una ridefinizione degli autovalori, che porta il cilindroide a diventare un elissoide modificato, in modo da poter eseguire l’analisi di sensitività.

L’algoritmo presentato (4) è tale per cui la direzione degli assi, per i quali si hanno autovalori nulli, rimanga invariata.

̂ ( _{‖ ‖} ̂ ) (4)

In (4), rappresenta l’i-esimo autovalore della Characteristic Design Matrix, la quantità ‖ ‖ ∑ è la norma del vettore dei DVs e k è il coefficiente che viene scelto tra [0,03÷0,05] per soddisfare i requisiti di linearità dell’equazione (1).

2.2 Criteri Topologici per l’analisi di Sensitività

L’iperelissoide precedentemente definito permette la costruzione di criteri topologici per effettuare l’analisi di sensitività. In Fig.( 3) è rappresentato un caso applicativo in cui n=2: l’area rettangolare contenuta all’interno dell’ellisse rappresenta il Feasible Space, mentre l’ulteriore area che è possibile individuare all’interno dello stesso rappresenta il Tolerance Box che definisce le variazioni concesse ai parametri che permettono il rispetto delle tolleranze sulle performance.

La robustezza del sistema è massimizzata quando la sua sensibilità è ridotta al minimo, cioè quando il volume del Feasible Space risulta massimo e il Tolerance Box può coprire la maggior parte possibile del Feasible Space, senza superare i limiti imposti dall'ellisse. I valori che cadono all’esterno dell’ellisse rappresentano deviazioni che causano una degradazione delle performance finali maggiore delle tolleranze consentite alle stesse. Dalla geometria del problema si vede come l’orientazione, dipendente dagli autovalori della matrice A, oltre che il volume, contribuiscano al valore del rapporto tra il volume del Tolerance Box e il volume dell’iperellissoide.

2.3 Specializzazione PSD

Gli indici di sensitività, il cui scopo è valutare la forma e l’orientazione dell’iperellissoide, permettono di caratterizzare la sensitività delle performance del processo attraverso una loro valutazione per diversi Design Candidates. Presentati in ordine di importanza gli indici sono:

- Minimo valore per il massimo autovalore della matrice A ( ̂ ); - Massimo volume del Feasible Space ( );

- Minimo valore del rapporto tra il volume del Feasible Space e il volume del Tolerance Box ( ).

È importante osservare come la complessità del problema non porti necessariamente un preciso Design Candidate ad assumere contemporaneamente tutti i valori minimi o massimi degli indici. Si rivela spesso necessario operare delle scelte: differenti esempi di trade-off sono presentati in letteratura.

Per applicare la teoria PSD per la caratterizzazione dei processi industriali, un modello analitico del processo deve essere definito al fine di ottenere il vettore delle PF. Tale modello non può essere descritto da una relazione puramente lineare. Attraverso l’analisi di regressione è poi possibile specializzare la teoria PSD all’analisi di sensitività dei processi. In particolare, le PF per un processo possono essere matematicamente modellate da un modello quadratico costituito da un polinomio del secondo ordine:

̅ ̅ ̅ ̅ ̅ i=1,..,m (5) dove gli scalari , il vettore ̅ e la matrice rappresentano i coefficienti di regressione. L’ordine del modello comporta un numero di coefficienti, 10 per ciascuna PF. In accordo con l’equazione (5) è possibile ottenere la seguente espressione per lo Jacobiano del processo:

̅ ̅ ̅ (6)

Da cui:

̅ (7)

La Design Characteristic Matrix può essere calcolata per ciascun DV, successivamente gli indici di sensitività possono essere calcolati per caratterizzare la sensitività.

3. CARATTERIZZAZIONE DI UN PROCESSO DI STAMPAGGIO AD