Diewert

La forma funzionale Diewert `e anch’essa flessibile in quanto l’elasticit`a di sostituzione non `e la stessa

per tutte le coppie di input. La sua forma analitica `e

y=

"

n

X

i=1 n

X

i=1

b

ij

√_x

i

x

j

#

k

(65)

dove k `e l’elasticit`a di scala e vale sempre la simmetria b

_ij

= b

_ji

.

La funzione di tipo Diewert gode delle seguenti propriet`a:

1. funzione omogenea di grado k, cio`e y(t· x) = t

k

y(x);

Dimostrazione:

y(t · x) =

"

n

X

i=1 n

X

i=1

b

ij

pt · x

i

· t · x

j

#

k

= t

^k

"

n

X

i=1 n

X

i=1

b

ij

√

x

i

x

j

#

k

= t

^k

y(x)

——————————

2. utilizzando anche in questo caso la funzione di costo

13

C(w, y) = y

n

X

i=1 n

X

i=1

b

ij

√_w

i

w

j

, (66)

dal Lemma di Shephard si ottiene la funzione della domanda condizionale del fattore i-esimo

x

i

= y

n

X

j=1

b

ij

r w

_j

w

i

. (67)

Quando i = j il rapporto tra i prezzi degli input `e pari a 1, quindi il coefficente b

ii

`e costante

nell’espressione di x

i

.

3. l’elasticit`a di sostituzione `e variabile a seconda della coppia di input sulla quale `e calcolata ed `e

proporzionale al parametro b

ij

;

Dimostrazione:

Dato che C

ij

= ^∂x

ⁱ

∂w

j

=^y

2^b

^ij

^(w

ⁱ

^w

^j

⁾

−1/2

, applicando il Lemma di Shephard si ottiene

σ

ij

= ^C

^ij

C

i

C

j

C(w, y) = ^{y · b}

^ij

^(w

ⁱ

^w

^j

⁾

−1/2

2x

i

x

j

C(w, y)

——————————

13

Nell’equazione (66) il parametro relativo all’elasticit`a di scala `e k = 1, scelta dettata da ragioni pratiche di semplicit`a e

che non determina perdita di generalit`a. Anche per la Diewert vale la separabilit`a tale per cui risulta C(w, y) = Γ(w)y

^1/k

,

infatti

4. Quando b

_ij

= 0 per ∀ i 6= j si ottiene l’equazione della funzione di tipo Leontief dove la

tecnologia `e caratterizzata da proporzioni fisse e nell’impiego degli input. Per questo motivo la

funzione Diewert `e nota e anche col nome “Leontief generalizzata”. La funzione di costo di tipo

Leontief `e

C(w, y) = y

n

X

i=1

b

ii

w

i

(68)

La Leontief ha le seguenti caratteristiche:

• funzione omogenea di grado 1,

• la domanda condizionale del fattore i-esimo `e costante pari a

x

_i

= ^{∂ C(w, y)}

∂w

_i

= a

_i

y,

• l’elasticit`a di sostituzione `e nulla per qualsiasi coppia di input (x

i

, x

_j

), quindi tutti i fattori

produttivi sono perfettamente complementari. Ci`o accade perch´e l’isoquanto di produzione

mostra un punto angoloso.

Si considerino le equazioni (52) e (56) relative rispettivamente alla funzione di produzione e

quella di costo di tipo CES ottenute per l’auto-dualit`a; per semplificare la trattazione si ponga

k= 1, A = 1 e B = 1. Le equazioni sono perci`o

y =

"

n

X

i=1

β

_i

x

^ρ_i

#

1/ρ

e C(w, y) = y

"

n

X

i=1

β

1 1−ρ i

x

⁻ ρ 1−ρ i

#

−^1−ρ_ρ

Quando ρ→ −∞ si ottengono due risultati:

(a) dalla funzione di produzione si evince che y(x) = A· min{x

i

},

(b) la quantit`a−^ρ

ρ → 1, quindi la funzione di costo tende ad una funzione del tipo (68), infatti

si ha

C(w, y) = y

n

X

i=1

w

_i

.

Si noti inoltre il caso opposto, cio`e quando ρ→ 1. La funzione di produzione `e lineare

y=

n

X

i=1

β

i

x

i

,

mentre la funzione di costo diventa

C = min{w

i

}

Appendice: alcuni risultati utili

Proposizione 1 Data una generica matrice quadrata A di dimensione (n× n), il suo determinante

`

e dato dalla seguente espressione:

|A| =

n

X

j=1

a

ij

(−1)

i+j

|A

ij

|,

dove a

_ij

`e l’elemento posto all’incrocio dell’i-esima riga con la j-esima colonna, mentre |A

ij

| `e il

minore di A, cio`e il determinante della matrice di dimensione(n−1)×(n−1) ottenuta dalla matrice

A una volte tolte la i-esima riga e la j-esima colonna; la quantit`a (−1)

i+j

|A

ij

| `e il complemento

algebrico relativo all’i-esima riga di A.

Le propriet`a del determinante sono:

1. Se le colonne (righe) di A sono linearmente dipendenti il determinante `e nullo. In questo caso

A non ha rango colonna (riga) pieno, quindi non invertibile (matrice singolare);

2. Data una costante k risulta

|k · A| = k

n

|A|;

3. |A| = |A

0

| dove A

0

`e la matrice trasposta di A;

4. Data B conformabile ad A risulta

|AB| = |A| · |B|;

5. |I

n

| = 1 per ∀ n, dove I

n

`e la matrice identit`a di dimensione n× n.

Proposizione 2 Data una generica matrice quadrata A di dimensione n×n, la formula per il calcolo

della sua inversa `e

A

⁻¹

= ¹

|A|^A˜

0

,

dove ˜A `e la matrice aggiunta di A: ciascun elemento posto all’incrocio dell’i-esima riga con la j-esima

colonna all’interno di tale matrice `e il complemento algebrico di A.

Si tenga presente che, quando si deve calcolare l’aggiunta trasposta di una matrice 2× 2 basta

semplicemente scambiare di posizione gli elementi sulla diagonale principale e cambiare di segno gli

elementi extra-diagonali.

Da queste definizioni deriva che il generico elemento della matrice inversa di A `e dato dal rapporto:

γ

ij

= |A

ij

|

|A| ^.

Proposizione 3 Data la funzione di produzione f(x), dove x `e il vettore contente le quantit`a utilizzate

relative a n distinti input, `e possibile costruire la matrice Hessiana bordata di cui alla (17). La

matrice G gode delle seguenti propriet`a:

1. matrice quadrata di dimensione (n + 1)× (n + 1);

2. matrice partizionata nella quale le partizioni sono rispettivamente lo scalare 0, il gradiente f ed

il corrispondente vettore trasposto, la matrice delle derivate seconde H;

3. matrice simmetrica;

- se G `e definita positiva ⇒ |G

ii

| > 0 per ∀ i;

- se G `e definita negativa ⇒ i minori principali sono in successione alternata positivi e negativi.

In quest’ultimo caso |G| e |G

ii

| sono discordi per definizione, in quanto l’ordine delle righe di G non

`

e rilevante: in termini economici questo risultato che l’ordine di enumerazione dei fattori produttivi

non ha rilevanza per il calcolo dei determinanti.

Proposizione 5 Per qualsiasi matrice quadrata A risulta:

n

X

j=1

a

ij

(−1)

^i+j

|A

kj

| = 0

dove a

_ij

`e l’elemento posto all’incrocio dell’i-esima riga con la j-esima colonna, mentre (−1)

i+j

|A

kj

|

`

e il complemento algebrico relativo alla k-esima riga di A con k6= i.

Riferimenti bibliografici

Allen, R. G. (1938). Mathematical analysis for economists. Mac Millan, Londra.

Berndt, E. R. (1991). The practice of econometrics. Addison-Wesley, Reading, Massachussets.

Cardani, A. M. (1988). Lezioni di teoria della produzione e della domanda. Edizioni Unicopli,

Milano.

Christiansen, L. R., Jorgenson, D. W. e Lau, L. J. (1971). Conjugate duality and the

transcendental logarithmic production function. Econometrica, 39(4): 225–256.

— (1973). Transcendental logarithmic production frontiers. Review of Economics and Statistics, 55(1):

28–45.

Diewert, E. W. (1982). Duality approaches to microeconomic theory. in K.J. Arrow e M.D.

Intriligator (eds.), “Handbook of mathematical economics”, vol. II, North Holland, Amsterdam.

Shephard, R. (1953). Cost and production functions. Princeton University Press, New York.

Takayama, A. (1994). Analytical methods in economics. Harvester Wheatsheaf, New York.

Uzawa, R. (1962). Production functions with constant elasticity of substitution. Review of Economic

Studies, 9: 291–299.

Vaglio, A. (2004). Matematica per economisti. Apogeo (Feltrinelli).

Varian, H. R. (1992). Microeconomic analysis (3

^rd

edition). W.W. Norton & Company, New York.

Ringraziamenti

Un ringraziamento speciale va ad Edoardo Baldoni che ha avuto il tempo di scovare diversi errori e/o

imprecisioni in questo scritto, nonch´e la pazienza di segnalarmeli puntualmente.

Nel documento Forme funzionali in microeconomia (pagine 40-43)