Nel caso di una sor gent e punt if or me di luce, la f igur a di dif f r azione pr odot t a da un aper t ur a cir colar e è illustrata nella fig. 71.
Si può dimost r ar e che il diamet r o angolar e del massimo cent r ale di quest a f igur a è dato da: D 22 . 1 sin .
dove D è il diamet r o di aper t ur a. Si osser vi la somiglianza t r a quest equazione e la [3-5], relativa a una fenditura di larghezza h.
Osser vazione didat t ica. Con il t er mine diamet r o angolar e si int ende l angolo che il massimo cent r ale della f igur a di dif f r azione sot t ende al cent r o dell aper t ur a. I n alt r e par ole, si t r at t a dell angolo f or mat o mediant e le due r et t e t r acciat e a par t ir e dal cent r o dell aper t ur a f ino agli est r emi oppost i del diamet r o del massimo cent r ale. Q uando due sor gent i punt if or mi si avvicinano molt o, le f igur a di dif f r azione pr odot t e dalle luci emesse da tali sorgenti, in seguit o al passaggio at t r aver so l aper t ur a, iniziano a sovr appor si e a un cer t o punt o si f ondono in un unica f igur a: quest o è quello che accede nelle figure 72 e 73.
Fig. 72 - Figure di diffrazione di due sorgenti puntiformi.
Fig. 73 - Figure di diffrazione di due sorgenti puntiformi vicine da essere a malapena risolte.
La separ azione angolar e t r a i massimi cent r ali deve esser e almeno uguale al diamet r o angolar e do t ali massimi: si t r at t a del limit e di r isoluzione per quest e sor gent i. Di conseguenza, dobbiamo porre la condizione di seguito enunciata
L angolo limit e c per la r isoluzione di due sor gent i punt if or mi osser vat e at t r aver so una aper t ur a cir colar e di diamet r o D è quell angolo t ale che:
D
c 1.22 sin
4.5 La diffrazione prodotta da doppia fenditura
DIFFRAZIONE ATTRAVERSO UNA DOPPIA FENDITURA
Obiettivo: Realizzar e con due f endit ur e f igur e di int er f er enza
ot t enut e a seguit o del f enomeno di dif f r azione della luce.
Materiale occorrente: Un proiettore a filamento rettilineo
Una doppia fenditura Uno schermo
Procedimento: Si disponga il pr oiet t or e, la doppia f endit ur a come in f igur a 74 avendo l accor t ezza che f ilament o della lampada e doppia fenditura siano allineati.
Fig. 74
Si oscur i l ambient e in cui si oper a.
Si osservano sullo schermo le frange di interferenza. Supponiamo di pr odur r e un ef f et t o di int er f er enza con due f endit ur e la cui lar ghezza sia notevolmente più piccola rispetto alla distanza che le separa.
Consider at a singolar ment e una f endit ur a emet t e luce in modo da pr odur r e una f igur a di diffrazione.
Poiché per ò le f endit ur e sono l una in pr ossimit à dell alt r a e sono invest it e dalla medesima r adiazione, la luce che da esse viene ir r aggiat a dovr à pr odur r e anche un effetto di interferenza.
La sovr apposizione dei due f enomeni pr ovoca il f or mar si dell alt er nanza di zone di luce e ombr a pr opr ie dell int er f er enza, ma t ale che l int ensità delle zone di luce è modulata dall ef f et t o concomit ant e della dif f r azione, come possiamo veder e dalle immagini. Le f r ange di int er f er enza vengono f or t ement e modulat e in int ensit à dalla diminuzione di intensità dei massimi secondari della figura di diffrazione.
4.6 Reticolo di diffrazione
Se f acciamo passar e un onda piana at t r aver so uno scher mo dot at o, anziché di una sola f endit ur a, di due f endit ur e molt o st r et t e e vicine f r a lor o, le f r ange di int er f er enza tendono ad avvicinarsi e a diventare, specie nella zona centrale, più marcate (fig. 75).
In alto: Immagine di diffrazione da doppia fenditura. In basso: Immagine di diffrazione da fenditura singola.
Fig. 75
Si possono ult er ior ment e accent uar e quest e car at t er ist iche della f igur a di dif f r azione (f ig. 76) ut ilizzando uno scher mo con molt e f endit ur e equidist ant i, il più vicine possibile f r a lor o, in modo da r ealizzar e un numer o elevat o di sor gent i element ar i. Si ot t iene così un ret icolo di dif f razione, in cui la dist anza d f r a due fenditure adiacenti rappresenta il cosiddetto passo o costante reticolare.
La f igur a di dif f r azione che si ot t iene illuminando per pendicolar ment e un r et icolo pr esent a massimi nelle dir ezioni per le quali la dif f er enza di cammino f r a i r aggi uscent i da due f endit ur e successive è un mult iplo int er o della lunghezza d onda (fig. 77). Possiamo dunque individuar e nel modo seguent e i massimi d int ensit à:
Fig. 76 - Sistema di frange ottenuto con un reticolo di diffrazione utilizzando luce monocromatica di colore rosso.
Massimi d int ensit à nella dif f razione da ret icolo
La f igur a di dif f r azione pr odot t a da un r et icolo di passo d illuminat o per pendicolar ment e da luce di lunghezza d onda pr esent a massimi d int ensit à nelle dir ezioni che f or mano con la dir ezione d incidenza angoli tali che:
k
d sin [3-6] dove k = 0,1,2, è l or dine della f r angia.
I r et icoli vengono cost r uit i incidendo su una last r a di vet r o o di met allo dei solchi paralleli per mezzo di opportune macchine che utilizzano punte di diamante. Tali solchi vengono poi r iempit i con una sost anza assor bent e. Si par la di r et icoli di t rasmissione quando si consider ano dei disposit ivi nei quali la luce può at t r aver sar e le f endit ur e praticate, come nel caso dei r et icoli ot t enut i con last r ine di vet r o; si par la, invece, di
ret icoli di rif lessione quando la luce non at t r aver sa le f endit ur e ma vi si r if let t e sopra, come nel caso dei reticoli incisi su lastre di metallo.
Si propone alla classe il seguente esempio.
Esempio 1
. Un f ascio di luce ver de di lunghezza d onda 0, 540 m incide sopr e unr et icolo, car at t er izzat o da 2000 r ighe per cent imet r o, dando or igina a una f igur a di diffrazione.
Calcoliamo l angolo di inclinazione del f ascio dif f r at t o cor r ispondent e alla f r angia luminosa del terzo ordine.
Qual è il numero totale di frange luminose prodotte dal reticolo?
Risoluzione
. Il passo del reticolo è d (2000) 1cm 5,00 10 4cm.Ponendo m=3 nella [3-5] otteniamo che la frangia luminosa del terzo ordine è prodotta nella dir ezione che f or ma con la nor male al r et icolo l angolo tale che:
324 , 0 ) 10 00 , 5 ( ) 10 40 , 5 ( 3 3 sin 4 5 cm cm d da cui =18,9°.
Poiché deve essere sin 1, dalla [3-5] segue la condizione:
1 d m cioè d m
Nel caso considerato è:
26 , 9 ) 10 40 , 5 ( ) 10 00 , 5 ( 5 4 cm cm m
Dunque l or dine m (che è un numer o int er o) dei massimi pr odot t i dal r et icolo può andar e da 0 a 9 compr eso. Poiché la f igur a di dif f r azione è simmet r ica r ispet t o al massimo di or dine zer o si avr anno nove massimi da un lat o e nove dall alt r o, per un totale, compreso quello di ordine zero, di 19.