Dimensionamento strutturale

Lo scopo del dimensionamento, che non avendo dato un disegno di massima del telaio assume solo un significato qualitativo, è quello di capire se il materiale del telaio scelto per la configurazione in esame è adatto a sopportare la sollecitazione che si crea in esercizio.

Si cerca per prima cosa il valore della forza aerodinamica che agisce sulla turbina e che viene trasmessa alla struttura:

mS 7 =1_{2 5]}!@7^BS[( :o

• Si presume che questa sia controllata soprattutto dalle dimensioni della superficie del rotore esposta a vento, in analogia a quanto avviene per una lastra piana. Si prende CF pari a 1,6 seguendo quanto detto nell’analisi delle

macchine a schermo allo scopo di evitare valori troppo conservativi (che possono portare a scartare configurazioni promettenti) o troppo bassi (col rischio poi di studiare geometrie in pratica non realizzabili).

• Vmax è la velocità del vento massima per cui si vuole far funzionare la turbina. La

specifica chiede di dimensionare la struttura in modo da garantire l’operatività della macchina fino a 20 m/s.

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• H è l’altezza complessiva del rotore valutata in precedenza

• Dstr è il diametro strutturale, diverso da quello di ingombro per tenere conto

della posizione delle pale durante la rotazione e dell’effetto della configurazione scelta (numero di stadi e orientamento). Durante un giro infatti la forza aerodinamica oscilla tra un valore massimo ed uno minimo: si tenta di stimare questo effetto (tenendo presente la forte incertezza) valutando la superficie della turbina proiettata su un piano ortogonale alla velocità del vento.

Modelli A e B

La forza massima si verifica per angoli di rotazione θ=0° (figura 4-19) per i quali si ha:

]!@7 = ]

La minima nel giro si ha invece se la superficie delle pale esposta al vento è la più bassa possibile, cioè quando θ=90° (figura 4-20), per cui:

]!@7 =_{11 ]}3

P

125 Modello C

La forza massima si ottiene in questo caso se l’angolo di rotazione è θ=45° (figura 4-21), situazione in cui si ricava:

]!@7 = √_{2 ]}2

Quando θ è nullo, a causa della disposizione a croce degli stadi, si ha invece la il carico minimo (figura 4-22). Questo si può stimare utilizzando:

]!@7 = _{11 ]}7

P e

Si è ora in grado di valutare per ogni configurazione i valori massimo (Faer_max) e minimo

(Faer_min) che la forza aerodinamica assume in un ciclo di rotazione. Da questi si risale ai

valori medio e alternato nel periodo:

mS 7_B  = mS 7_BS[+ m₂ S 7_BCP

mS 7_Sg@ =mS 7_BS[− m₂ S 7_BCP

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E’ necessario fare delle ipotesi riguardo al telaio. Si vuole solo valutare se il materiale è compatibile con la sollecitazione perciò si usa un modello di struttura molto semplice: si immagina che i carichi in gioco siano sopportati da una trave di sezione circolare cava, le cui dimensioni sono scalate prendendo come riferimento tipici telai ciclistici:

• hT=H – altezza della trave (sia assume coincidente con quella della turbina)

• dT – diametro medio della trave (va dimensionato opportunamente)

• t=0,05*dT – spessore della parete della trave (si definisce come frazione del

diametro)

La sollecitazione è dovuta fondamentalmente a flessione e taglio causate dalla forza aerodinamica calcolata e alla torsione dovuta alla generazione di potenza all’albero. Come detto in precedenza quest’utlima e la velocità di rotazione della turbina dipendono dalle caratteristiche al cut-off che si riesce ad ottenere. Si fanno le stesse ipotesi già descritte nel paragrafo 4-2:

@_BS[ =p₍5]^!S@ :_ ! - potenza all’albero massima

&_BS[ = (qr_stuvwx

4 - velocità angolare massima

Si assumono i valori di velocità di saturazione (Vsat=15 m/s) e di cut-off (Vcut-off=20 m/s)

indicati nella specifica.

Imponendo l’equilibrio della trave si calcolano le caratteristiche della sollecitazione in condizioni limite di funzionamento:

y z { z |*o} = jŒPmS 7_Sg@₂ ^+mS 7_B ₂ ^k *n = ŒP_&@_BS[ BS[ U = ŒPmS 7_Sg@+ mS 7_B  Z

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Si utilizza un coefficiente di sicurezza KS per tenere conto di incertezze sull’entità delle

forze applicate, sullo stato di tensione e sulla qualità dei materiali, secondo quanto suggerito da Juvinall e Marshek per condizioni operative con media variabilità:

− KS=2,5 per materiali duttili (lega di alluminio e acciaio basso legato)

− KS=3,0 per materiali fragili (ghisa, PMMA, pino)

E’ necessario valutare l’effetto di amplificazione dei carichi dovuto a cause dinamiche: è logico aspettarsi che la forza agente sulla struttura e di conseguenza la coppia all’albero sviluppata oscillino con frequenza proporzionale a ω. Questa situazione dinamica può portare al fenomeno della risonanza, a causa del quale succede che la parte alternata della forza aerodinamica e della coppia all’albero risultano maggiorate rispetto a quanto appare da un’analisi statica. Per tenere conto di ciò si introduce il coefficiente Kdyn. Non riuscendo a suddividere in modo rigoroso la coppia nelle sue

componenti media ed alternata, visto che comunque la parte predominante di sollecitazione è data dalla flessione, si è deciso di applicare Kdyn all’intero coppia

momento torcente.

ŒP = 1

1 − &†

&P (

Si è ipotizzato in modo conservativo di avere smorzamento strutturale nullo visto che comunque non è valutabile a questo livello del progetto, in quanto dipende fortemente da ogni dettaglio costruttivo.

Nella relazione compare il rapporto fra la pulsazione di oscillazione del carico (ωc) e

quella naturale della struttura (ωn). Si è già valutata la velocità angolare massima che

può raggiungere il rotore in condizioni di funzionamento limite, ωmax: bisogna associare

a questa la ωc tenendo conto della diversità del campo aerodinamico nei modelli A, B e

C. Per rotori ad un singolo stadio o a due stadi disposti in linea (modelli A e B) si ha una ripetizione del ciclo di carico ogni mezzo giro, per cui si ottiene:

128 & = 2&BS[

Nel caso del modello C la disposizione delle pale causa la replica della situazione aerodinamica per quattro volte in un giro, quindi:

& = 4&BS[

La pulsazione naturale si valuta assimilando la macchina ad un sistema massa-molla, per cui:

&P = _J8g @ƒ7Š

dove:

− Kfl – rigidezza flessionale della trave, che, con riferimento al testo di Juvinall e

Marshek, è valutabile tramite l’espressione: 8g =24‡_ℎ

n

con E, modulo di elasticità del materiale del telaio e J, momento d’inerzia della sezione resistente di diametro esterno dext e interno dint:

 =_{64 W}i [@,− WCP@,

Nel determinare queste espressioni si è supposto che il carico aerodinamico sia applicato a metà dell’altezza della turbina.

− mturb è la massa complessiva del rotore, valutabile come descritto nel paragrafo

successivo.

Affinché non sorgano problemi di risonanza deve essere verificata la condizione:

& < &P

Si possono ora calcolareo le tensioni normali σ e tangenziali τ sulla sezione come detto nel paragrafo 4-2. Esplicitando le relazioni si ottiene:

129 ~ = 32*o}Wn iW [@, − WCP@, € = 2_iWU nh + 2*n hiWn(

Si è ipotizzato in modo conservativo che i valori massimi per σ e τ si raggiungano nello stesso punto della sezione. Si risale ad una sollecitazione equivalente da confrontare con la resistenza a rottura del materiale Su:

~  = ‚~(+ 3€(

Si sceglie quindi il valore del diametro medio della trave dT in modo da garantire

~  ≤ 6ƒ. Tipicamente i materiali duttili arrivano a cedimento quando si ha

snervamento su tutta la sezione resistente e non quando si raggiunge in un singolo punto la condizione di rottura: fare questa distinzione tuttavia allunga molto i tempi di valutazione senza portare apprezzabili miglioramenti in termini di attendibilità dei risultati, visto le grandi incertezze riguardo la determinazione dei carichi e la geometria del telaio reale.