Problema 10.7 Risolvere numericamente il problema
ut+ aux = 0
u(x, 0) = u0(x) = 1.5 · max(0, 1 − |x|)
utilizzando uno dei metodi visti (upwind, Lax-Friedrichs, Lax-Wendroff, ecc.), variando a (po-sitiva o negativa) e confrontando il risultato ottenuto con la soluzione esatta calcolata con il metodo delle caratteristiche.
Problema 10.8 Risolvere numericamente il problema
ut+ aux= 0 u(x, 0) = u0(x) = 1.2 se x < 0 0.4 se x > 0.
utilizzando uno dei metodi visti (upwind, Lax-Friedrichs, Lax-Wendroff, ecc.), variando a (po-sitiva o negativa) e confrontando il risultato ottenuto con la soluzione esatta calcolata con il metodo delle caratteristiche. Se si utilizza un metodo conservativo, si ottengono risultati più o meno corretti? Quali conclusioni si possono trarre sulla dipendenza del metodo numerico da eventuali discontinuità del dato iniziale? Come sono spiegabili numericamente?
Problema 10.9 Risolvere con il metodo delle caratteristiche l’equazione di Burgers ut+ uux = 0,
con dato iniziale u0 = 1.5 · max(0, 1 − |x|) fino ad un certo tempo t = 1.5 · ¯t, essendo ¯t il tempo al quale si osserva una soluzione a più valori (non fisica). Quindi si risolva lo stesso problema numericamente (con un metodo conservativo), ottenendo una soluzione ad un sol valore. Infine, si mostri che l’area racchiusa tra l’asse x e la curva viene conservata, ovvero è la stessa per entrambi i metodi.
Problema 10.10 Risolvere numericamente il problema di Riemann non lineare ut+ uux = 0 u(x, 0) = u0(x) = uℓ= 1.2 se x < 0 ur= 0.4 se x > 0.
confrontando tra loro le soluzioni ottenute con un metodo non conservativo, uno conservativo e la soluzione esatta u(x, t) = uℓ se x − St < 0 ur se x − St > 0 con S = uℓ+ ur 2 .
10.2 Dimostrazioni richieste e non
Visto che durante il corso sono state derivate numerose equazioni che, talvolta, hanno implicato un numero considerevole di passaggi, di seguito vengono esplicitati gli argomenti per i quali è richiesta la derivazione completae quelli per i quali non è richiesta. Chiaramente, il pro-gramma d’esame rimane invariato. I capitoli si riferiscono alle presenti note del corso, l’ultima versione delle quali è reperibile alla paginahttp://profs.sci.univr.it/∼zuccher/teaching/
138 CAPITOLO 10. PREPARAZIONE ALL’ESAME Argomenti di cui è richiesta la dimostrazione/derivazione
• Cap. 1: Tutto tranne la derivazione della relazione costitutiva per fluidi newtoniani isotropi (sezione1.6), però bisogna sapere che dij = µ ∂ui
∂xj +∂uj ∂xi −2 3 ∂us ∂xs δij
• Cap.2: Derivazione completa delle equazioni di Navier-Stokes (equazione di continuità, della quantità di moto e dell’energia), dimostrazione del teorema del trasporto di Reynolds (vedi appendice), equazione dell’energia interna (no equazione dell’entropia, dell’entalpia e della temperatura)
• Cap.3: Forma di Crocco e teorema di Bernoulli nelle diverse forme
• Cap.4: Alcune soluzioni esatte: corrente tra due piani paralleli e corrente in un tubo • Cap. 5: Tutto (primo e secondo teorema di Helmholtz e teorema di Kelvin) tranne la
derivazione dell’equazione della vorticità (sezione 5.2), però bisogna sapere l’equazione generale nella forma (5.4) oppure (5.5)
• Cap.5: Casi particolari dell’equazione della vorticità, quali termini si annullano e perché a partire dall’equazione generale (della quale non è richiesta la derivazione, ma che bisogna sapere)
• Cap.6: Strato limite: tutto tranne la derivazione dell’equazione integrale di von Karman (sezione6.4)
• Cap.7: Derivazione delle equazioni (7.7)-(7.10)
• Cap. 7: Teorema di Squire (dimostrazione del fatto che i modi propri di η sono sempre stabili e che il caso peggiore è per β = 0)
• Cap.7: Stabilità non viscosa: dimostrazione della condizione necessaria per l’instabilità U′′= 0
• Cap.8: Scale turbolente e teoria di Kolmogorov: tutto • Cap.8: Equazioni mediate di Reynolds (RANS): tutto
• Cap. 8: Modelli di chiusura delle RANS: ipotesi di Boussinesq e modello di ordine 0 (mixing length)
• Cap. 9: Equazioni iperboliche: tutto tranne i dettagli del problema di Riemann per le equazioni di Eulero 1D (sezione9.6, però bisogna saper spiegare la figura9.11)
Argomenti di cui non è richiesta la dimostrazione/derivazione
• Cap. 1: Relazione costitutiva per fluidi newtoniani isotropi (sezione 1.6), però bisogna sapere che dij = µ ∂ui
∂xj + ∂uj ∂xi − 23∂u∂xs s δij
10.2. DIMOSTRAZIONI RICHIESTE E NON 139 • Cap. 5: Equazione della vorticità: da sapere solo l’equazione generale (5.4) o (5.5), senza
derivazione
• Cap. 6: Equazione integrale di von Karman per lo strato limite (sezione6.4)
• Cap. 7: Derivazione del sistema di equazioni (7.17) a partire dal sistema di equazioni (7.16) (però è richiesto di sapere come si arriva alle equazioni (7.7)-(7.10))
• Cap. 8: Modelli di chiusura delle RANS di ordine 1 e 2
• Cap. 9: Dettagli del problema di Riemann per le equazioni di Eulero 1D (sezione 9.6), però bisogna saper spiegare la figura9.11
Appendice A
Richiami su vettori, tensori, identità ed
operatori differenziali
A.1 Vettori in R
3e operazioni su di essi
Un vettore v ∈ R3 può essere visualizzato come una freccia spiccata dall’origine O(0, 0, 0) di un sistema di assi cartesiani ortogonali verso il punto V ∈ R3 di coordinate v1, v2, v3, V = (v1, v2, v3), come schematizzato in figuraA.1. La retta passante per i punti O e V viene detta
O x2 x1 x3 v1 v2 v3 e1 e2 e3 V (v1, v2, v3)
Figura A.1: Rappresentazione del vettore v ∈ R3 come freccia spiccata dall’origine O verso il punto V (v1, v2, v3).
direzione del vettore v, risulta definito in modo naturale il verso del vettore v come il verso di percorrenza della semiretta a partire dall’origine O(0, 0, 0) fino al punto V , e la lunghezza del segmento OV viene detto modulo del vettore v che, per evitare confusione, indicheremo con |v|. Pertanto
|v| = q
v21+ v22+ v32. 141
142 APPENDICE A. VETTORI, TENSORI, OPERATORI DIFFERENZIALI Se indichiamo con
e1 = (1, 0, 0), e2= (0, 1, 0), e3= (0, 0, 1)
i tre versori della base canonica (ortonormale) di R3, ossia i tre vettori di modulo unitario orientati, ciascuno, secondo uno degli assi cartesiani ortogonali, come riportato in figura A.1, allora tramite essi è possibile scrivere il vettore v come somma delle sue componenti vettoriali lungo gli assi cartesiani x1, x2 e x3
v= (v1, v2, v3) = v1e1+ v2e2+ v3e3. Dati due vettori in R3
a= a1e1+ a2e2+ a3e3, e b= b1e1+ b2e2+ b3e3, defininiamo:
• prodotto scalare, e lo indichiamo con il simbolo ‘·’ tra i due vettori a e b, il numero c ∈ R tale che
c = a · b := a1b1+ a2b2+ a3b3;
• prodotto vettoriale, e lo indichiamo con il simbolo ‘×’ tra i due vettori a e b, il vettore c tale che
c= a × b := e1(a2b3− a3b2) + e2(a3b1− a1b3) + e3(a1b2− a2b1);
• prodotto tensoriale, e lo indichiamo con il simbolo ‘⊗’ tra i due vettori a e b, la matrice M i cui elementi sono
M = a ⊗ b := a1b1 a1b2 a1b3 a2b1 a2b2 a2b3 a3b1 a3b2 a3b3 .
È immediato verificare che il prodotto scalare è commutativo, ovvero a· b = b · a.
Al contrario, il prodotto vettoriale è anticommutativo, come si può facilmente verificare racco-gliendo un segno meno nel termine di destra della definizione data:
a× b = −b × a.
Per ricordarsi come si calcola il prodotto vettoriale tra due vettori basta osservare che
a× b = det e1 e2 e3 a1 a2 a3 b1 b2 b3 = e1 e2 e3 a1 a2 a3 b1 b2 b3 .
A.1. VETTORI IN R3 E OPERAZIONI SU DI ESSI 143 Dalla definizione di prodotto scalare si ha che
ei· ej =
1 se i = j 0 se i 6= j,
da cui segue che due vettori ortogonali hanno prodotto scalare nullo. Dalla definizione di prodotto vettoriale si ha
e1× e2 = e3, e2× e3 = e1, e3× e1 = e2, mentre
ei× ej = 0 se i = j,
in quanto due vettori paralleli hanno prodotto vettoriale nullo. Dalla definizione di prodotto scalare segue anche che il modulo di un vettore è
|v| =√v· v. Inoltre, per il prodotto scalare, si ha
c = a · b = |a||b| cos θ,
dove θ è l’angolo formato dai due vettori. Viceversa, dati due vettori è immediato determinare l’angolo tra essi compreso come
θ = arccos a· b |a||b| . Per il prodotto vettoriale si ha invece
c= a × b ⇐⇒ |c| = |a||b| sin θ, essendo θ l’angolo formato dai due vettori.