Il problema di Riemann (non lineare)

Z ∂Ωℓ [uvn_t+ f (u)vn_x] ds − Z Ωℓ [u_t+ [f (u)]_x] v dx dt = Z ∂Ωℓ [un_t+ f (u)n_x] v ds = Z x=ξ(t) [u_ℓn_t+ f (u_ℓ)n_x] v ds,

dove si è messo in evidenza il fatto che u e f(u) sono calcolati come limite per (x, t) → (ξ(t), t) provenendo dalla regione Ω_ℓ. Ripetendo lo stesso ragionamento per la regione Ωred osservando che la normale uscente da essa sul bordo x = ξ(t) è opposta alla normale uscente da Ω_ℓ, si ha

Z Ωr [uv_t+ f (u)v_x] dx dt = − Z x=ξ(t) [u_rn_t+ f (u_r)n_x] v ds In conclusione, l’equazione (9.15) diventa

Z x=ξ(t) [u_ℓn_t+ f (u_ℓ)n_x] v ds − Z x=ξ(t) [u_rn_t+ f (u_r)n_x] v ds = 0 che equivale a Z x=ξ(t) [u_ℓn_t+ f (u_ℓ)n_x− urn_t− f(ur)n_x] v ds = 0.

Siccome quest’ultima equazione deve essere vera per ogni v a supporto compatto e sufficiente-mente liscia, allora si ha

u_ℓn_t+ f (u_ℓ)n_x= u_rn_t+ f (u_r)n_x ⇐⇒ ^{f (u}_u^{ℓ) − f(ur)}

ℓ− ur = −_n^nt

x

.

Dopo aver osservato che la derivata prima della curva x = ξ(t) è proprio il rapporto −_n^nt

x , ossia ξ^′(t) = S = −_n^nt x , si ha S = ^{f (uℓ}) − f(ur) u_ℓ− ur = ^{[f (u)]} [u] ^, (9.16)

detta condizione di Rankine-Hugoniot, dove S = ξ′(t) è la velocità di propagazione dell’onda d’urto. In conclusione, la condizione di Rankine-Hugoniot permette di calcolare agevolmente la velocità di propagazione di un’onda d’urto come rapporto tra il salto del flusso attraverso di essa ed il salto della soluzione.

9.2.4 Il problema di Riemann (non lineare)

Il problema di Riemann consiste nel risolvere il problema di Cauchy (9.9) non lineare con dato iniziale discontinuo,

u(x, 0) = u₀(x) = 

u_ℓ se x < 0 u_r se x > 0. Si possono verificare due casi, uℓ > u_r oppure uℓ < u_r.

9.2. EQUAZIONI IPERBOLICHE 121 Onda d’urto, u_ℓ > u_r > 0

Procedendo con il metodo della caratteristiche si ottiene la soluzione riportata in figura9.6. Si osserva che se u_ℓ > u_r > 0 le linee caratteristiche sono rette con coefficiente angolare positivo che si intersecano per ogni t > 0 e, quindi, la soluzione, che diventa una specie di ‘Z’, perde di significato fin da subito essendo a più valori. Si verifica, quindi, lo stesso comportamento visto

u(x, t) x t u(x, t) u(x, t) x t₄ t₃ t₂ t₁ t₀

Figura 9.6: Evoluzione della soluzione (linea continua ingrossata) nel tempo per l’equazio-ne ut+uux= 0 con condizione iniziale discontinua tramite il metodo delle caratteristiche, formazione di una soluzione a più valori (linee caratteristiche tratteggiate).

in precedenza. La soluzione riacquista significato dal punto di vista fisico se la si calcola in forma debole oppure numericamente con un metodo conservativo che ne preservi l’area sottostante (si veda la soluzione riportata in figura 9.7) e che porta alla formazione di un’onda d’urto che si muove alla velocità prevista dalla condizione di Rankine-Hugoniot:

S = ^∆f

∆u^. Nel caso particolare dell’equazione di Burgers, f = 1

2u² per cui S = 1 2u2 ℓ −¹₂u2 r uℓ− ur = ¹ 2 (u_ℓ− ur)(u_ℓ+ u_r) uℓ− ur = ¹ 2^{(uℓ+ ur),}

ovvero la velocità di propagazione dell’onda d’urto è la media aritmetica delle due velocità iniziali che definiscono il problema di Riemann e la soluzione è semplicemente

u(x, t) = 

u_ℓ se x < St

u_r se x > St. ^(9.17)

In pratica, nel piano x-t le linee caratteristiche hanno tutte pendenza positiva e convergono sulla retta x = St.

Onda di rarefazione, 0 < u_ℓ < ur

Procedendo con il metodo della caratteristiche, si osserva che se 0 < uℓ< u_rle linee caratteristi-che sono rette con coefficiente angolare positivo caratteristi-che non si intersecano mai in quanto divergono. Tuttavia, per il problema di Riemann, rimane una regione limitata da due caratteristiche spicca-te dall’origine (spicca-testa e coda) che non è mai attraversata da nessuna linea caratspicca-teristica. Questo

122 CAPITOLO 9. LEGGI DI CONSERVAZIONE IPERBOLICHE

Caratteristiche^{Sol. numerica} u(x, t)

x t= t1

Caratteristiche^{Sol. numerica} u(x, t)

x t= t2

Caratteristiche^{Sol. numerica} u(x, t)

x t= t3

Caratteristiche^{Sol. numerica} u(x, t)

x t= t4

Figura 9.7: Confronto tra soluzione numerica dell’equazione ut+uux= 0 ottenuta con un metodo conservativo (che calcola la soluzione in forma debole) e la soluzione ottenuta con il metodo delle caratteristiche per il problema di Riemann rappresentato in figura 9.6. Si osservi la progressiva formazione ed evoluzione di un fronte verticale (onda d’urto) che rende la soluzione discontinua di prima specie, assicurando la conservazione dell’area sottostante la curva. u(x, t) x t u(x, t) u(x, t) x t₄ t₃ t₂ t₁ t₀

Figura 9.8: Evoluzione della soluzione (linea continua ingrossata) nel tempo per l’equazio-ne ut+uux= 0 con condizione iniziale discontinua tramite il metodo delle caratteristiche, formazione di un’onda di rarefazione (linee caratteristiche tratteggiate).

significherebbe che lì la soluzione non si propaga o che si può propagare in infiniti modi diversi. In realtà le soluzioni sono infinite, alcune possono non presentare urti, altre sì (in questo caso devono soddisfare la relazione di Rankine-Hugoniot (9.16)). Ci soffermiamo su due:

9.2. EQUAZIONI IPERBOLICHE 123 1. quella che prevede una linea caratteristica di equazione x = St spiccata dall’origine, con S = ¹₂(u_ℓ+ u_r), e tale per cui tutte le caratteristiche della “regione anomala” si originano da essa,

u(x, t) = 

u_ℓ se x < St

ur se x > St ^(9.18)

2. quella che prevede un ventaglio di rette caratteristiche tutte spiccate dall’origine e la cui pendenza varia con continuità tra la testa e la coda del ventaglio da u_ℓ a u_r,

u(x, t) =    u_ℓ se x < uℓt x/t se u_ℓt ≤ x ≤ urt u_r se x > u_rt. (9.19) Instabile^Stabile u(x, t) x t= t1 Instabile^Stabile u(x, t) x t= t2 Instabile^Stabile u(x, t) x t= t3 Instabile^Stabile u(x, t) x t= t4

Figura 9.9: Confronto tra due soluzioni (con e senza discontinuità) dell’equazione ut+ uux = 0 con condizione iniziale 0 < uℓ < ur. La soluzione stabile (linea continua) è l’onda di rarefazione che verifica la (9.19), quella instabile è la propagazione della discontinuità iniziale a velocità S = 1

2(uℓ+ ur) che soddisfa la (9.18). Si osservi che entrambe preservano le aree.

In figura9.9sono riportate entrambe: si osserva che la prima soluzione mantiene la forma della condizione iniziale ma è instabile, ovvero basta una piccolissima variazione dovuta o al metodo numerico o all’aggiunta di una viscosità artificiale per provocare una soluzione radicalmente diversa da quella iniziale. Al contrario, il ventaglio di espansione assicura la stabilità della soluzione. Si osservi che entrambe le soluzioni conservano le aree.

Si può dimostrare che, per il problema (9.13) in cui f(u) è una funzione convessa con f′′(u) > 0, se una sua soluzione debole discontinua oltre a soddisfare la relazione di

124 CAPITOLO 9. LEGGI DI CONSERVAZIONE IPERBOLICHE Hugoniot (9.16) soddisfa anche la condizione di entropia

f^′(u_ℓ) > S > f^′(u_r), (9.20)

allora essa è stabile (o ammissibile). Una soluzione debole che non soddisfi questa condizione è instabile. Si osservi che, geometricamente, questa condizione può essere interpretata nel seguen-te modo: le soluzioni stabili sono solo quelle che prevedono, nel piano x-t, linee caratseguen-teristiche che “entrano” sia da destra che da sinistra nell’equazione dell’onda d’urto x = St.

Nel caso del problema di Riemann con u_ℓ < u_r, l’equazione di Burgers ha un flusso convesso f (u) = ¹₂u2, da cui f′(u) = u (e f′′(u) = 1 > 0). La soluzione debole (9.18) presenta un discontinuità che, per soddisfare la relazione di Rankine-Hugoniot (9.16), viaggia alla velocità S = [f (u)]/[u] = (u_ℓ+ u_r)/2, pertanto

f^′(u_ℓ) = u_ℓ 6> S =^{uℓ+ u}₂ ^r 6> ur= f^′(ur).

Siccome la soluzione discontinua (9.18) non soddisfa la condizione di entropia, essa è instabile. Al contrario, la soluzione debole (9.19) non presenta alcuna discontinuità per t > 0, né pri-ma, né dopo e nemmeno all’interno della regione caratterizzata dal ventaglio di espansione, pertanto la (9.19) è una soluzione classica e, pertanto, stabile (la condizione di entropia è automaticamente soddisfatta in assenza di urti).

Riassunto grafico del problema di Riemann (non lineare)

u(x, t) x t u(x, t) u(x, t) x t u(x, t)

Figura 9.10: Soluzioni fisiche del problema di Riemann non lineare. uℓ > ur> 0: onda d’urto (sinistra); 0 < uℓ < ur: ventaglio di rarefazione (destra). Si osservi l’andamento delle linee caratteristiche nel piano x-t.

In figura 9.10sono riportate le due situazioni fisiche che si verificano a seguito del problema di Riemann non lineare. A sinistra si osserva il trasporto rigido a velocità S dell’onda d’urto quando uℓ> u_r> 0: questo corrisponde a le linee caratteristiche che convergono sulla linea x = St (S è la velocità di propagazione dell’urto ottenuta dalla condizione di Rankine-Hugoniot). A destra si osserva il caso 0 < u_ℓ < u_r per il quale la soluzione stabile corrisponde alla formazione di un ventaglio da parte delle le linee caratteristiche (ventaglio di rarefazione).