La distanza

Matri e didissimilarità dove

d(i, j)

^{è lamisuradi}dissimilarità traoggetti

i

^e

j

^{. Se}

d(i, j) = 0

^alloragli

oggettisono moltosimili. Ad esempio, ungio attolo on treoggetti:



Variabili numeri he,binarie, ategori henominali, ditipo misto

5.2 La distanza

Proprietà della distanza(dallamatri e didissimilarità):

d(a, b) ≥ 0

⁽¹⁾

Permisurare similaritàtra oppie dioggettispesso siutilizza ladistanza diMINKOWSKI:

d(i, j) = ^q

Possiamo pesare levariabili,ottenendo una misuradidistanza pesata.

S opo: partizionare ildatabase

D

^{din oggettiinun insieme di}

k

^luster.

5.3.1 Apprendimento non supervisionato

K-MEANS

1. s egliamo

k = 3

^{e itresemiiniziali}

2. assegniamo ognire ord al luster on il entroide (o seme) piùvi ino

3. il passodue ha individuatonuovi luster. Ci al oliamoi entroidi(o semi) diquesti

La omplessità è

O(nktd)

^,dove:

n numero dioggetti

k numero di luster

t numero diiterazioni

d numero diattributi

K-MEDIOIDS (PAM)

5.3.2 Apprendimento supervisionato

Reti neurali (MLP) Una Multi-Layers Per eptron net (MLP) è ompostada una seriediper ettroni

organizzati on una struttura gerar hi a he può omprendere uno o più strati nas osti (hidden layer)

legati on la regola del feed-forward (un nodo dello strato

i

^{-esimo può essere ollegato solo ad un nodo}

dello strato

i + 1

^-esimo).

Il per ettrone è unsempli eneurone dotatodel ir uitotea her perl'apprendimento:

Quandousare lereti neuralineldatamining ?

Le reti neurali rappresentano una buona s elta in aso di lassi azioni e previsioni, quando è più

importante avere velo emente e bene irisultatidi unmodello henon sapere ome questofunziona.

Leretineuralinonfunzionanobenequandosihaa hefare on entinaiaomigliaiadivariabilidiinput.

Un grannumero diqueste aratteristi he rendepiù di ile il ompito dellarete diindividuarepattern e

la fase di training può prolungarsi nel tempo senza trovare una buona soluzione. In questo aso, le reti

neurali danno frutti migliori se ombinate on gli alberi de isionali: questi ultimi infatti selezionano le

variabilipiùimportanti, impiegate poiperil trainingdella rete

6 Ma hine Learning

6.1 Problemi di apprendimento Well-Posed

A omputer program is saidto learn from experien e

E

^{withrespe tto some lassof tasks}

T

and performan e measure

P

^{, ifits} performan e at tasks in

T

^{, as measured by}

P

^{, improves}

withexperien e

E

Con etti fondamentali:

Task

T

^{obiettivo del sistema(gio are adama)}

Experien e

E

^{insieme di}addestramento dal quale apprendere (partitegio ate) Performan emeasure

P

^{misuradella apa itàdieseguire iltask(# dipartitevinte)}

6.1.1 Esempidi problemi well-posed

Gio o della dama:

Task

T

^{gio area dama}

Experien e

E

^{partitegio ate ontro sestesso}

Performan emeasure

P

^{%dipartitevinte}

Task

T

ri onos ere e lassi are parole s ritte amanomemorizzate ome immagini Experien e

E

^{undatabase diparole s ritte amanoinsieme alla loro} lassi azione Performan emeasure

P

^%diparole orrettamente lassi ate

Robot he guida unautovei olo

Task

T

^{guidare un} autovei olosu una strada pubbli a Experien e

E

^{sequenzadiimmagini}

Performan emeasure

P

^{distanzaper orsa prima diunerrore}

6.2 Progettazione di un sistema di apprendimento

Gli obiettivigenerali sono:

•

^{Denireinmodopre isouna lassegeneralediproblemi hein ludono forme}interessantidi appren-dimento

•

^{Esplorare algoritmi he risolvono problemidi} apprendimento

•

Comprenderela strutturafondamentale diproblemi epro essidiapprendimento

6.2.1 S elta della Training Experien e

La TrainingExperien eè aratterizzata da:

Feedba k Dire t feedba k trainingexamples: insiemedi singole ongurazioni dellas a hiera insieme

alla mossa orrettaper ias unodiessi.

Indire t feedba k training examples: insieme di sequenze dimosse insieme airisultati nali delle

partite gio ate(èdi ile ri avare informazionisullabontà dellesingole mosse)

Controllo della sequenza ditrainingexamples

Distribuzione dei training examples: quanto rappresenta bene la distribuzione di esempi sui quali il

sistemaverrà misurato

Comeassunzione,ilsistemaapprende attraverso partite ontrosèstesso. Non ne essita diun external

trainer epossonoessere generatimolti trainingesempi

6.2.2 Case study: ilgio o della dama

Dastabilire:

1. Il tipo esatto di onos enzada apprendere

2. Una rappresentazione perla onos enzatarget

3. Un me anismodiapprendimento

La s elta della mossa è però di ile da apprendere per via deltipo diindire t experien e disponibile

al sistema. Nuova Target Fun tion

V

^{: mapping tra ogni stato ammesso della s a hiera e l'insieme dei}

numeri reali: punteggio più alto allo stato piùpromettente perl'esito della partita. Deniamo noi una

funzione (ri orsiva)

V (b)

^,dove

b

^{è lostato} s a hiera,

b ∈ B

^:

•

^Se

b

^{è uno statonale positivo}

V (b) = 100

•

^Se

b

^{è uno statonale negativo}

V (b) = −100

•

^Se

b

^{è uno statonale patta}

V (b) = 0

•

^Se

b

^{èunostato intermedio}

V (b) = V (b ^′ )

^essendo

b ^′

^{ilmigliorestatonale he puòessereraggiunto}

a partiredallo stato

b

^{e gio ando inmodo ottimono alla nedel gio o.}

E' pero una denizione nonoperazionale:

V

^{non può essere realmente omputata. Si di e denizione}

operazionaledi

V

^{una denizione he puòessere realmente utilizzata dalsistemaper valutarestatie}

selezionare legiustemosseinlimiti ditempo realisti i

Siapprossimalafunzione targetideale

V

^{on una funzione}

V ^∗

^:

• X ₁

^{: numero dipedineneresullas a hiera}

• X ₂

^{: numero dipedinebian he sullas a hiera}

• X ₃

^{: numero didame neresullas a hiera}

• X 4

^{: numero didame bian he sullas a hiera}

• X 5

^{: numero dipedineneremangiate dalbian o}

• X ₆

^{: numero dipedinebian he mangiate dalnero}

V ^∗ (b) = w 0 + w 1 x ₁ + w 2 x ₂ + w 3 x ₃ + w 4 x ₄ + w 5 x ₅ + w 6 x ₆

Esempio di training: oppiaordinata della forma

< b, V _train (b) >

^essendo

b

^{lostato della s a hiera e}

V _train (b)

^{il valoreasso iato adesso. Esempio ditraining:}

< 3, 0, 1, 0, 0, 0, +100 >

^{: ilbian o havinto.}

Gli esempi di training disponibili per l'apprendimento sono però di tipo indiretto: le informazioni

disponibili sonosolo vittoriaos ontta (quindi dine partita). Bisogna:

•

^{Costruire una pro edura he determini gli esempi di training a partire} dall'esperienza indiretta disponibileallearner

•

^{Modi are ipesi}

w

^{in modotale da} approssimarealmeglio lafunzionetarget

V

Si habisogno quindidi esempi he assegninoagli statidella s a hiera unpunteggio Perglistati naliè

fa ile mentre per gli stati intermedi? Poniamo il valore asso iato a ias uno stato intermedio uguale al

valore dello stato su essivo:

Bisognadeterminare ipesi

w

^{inmodo tale daadattare al massimo(best t)}l'algoritmo agliesempi di addestramento

< b, V _train (b) >

^{Regola Least Mean Squares (LMS): si denis e la migliore hypothesis o}

insieme dei pesi omequella/o he minimizzal'errore quadrati o

E

^{: (}

P (v train (b) − v ^∗ (b)) ²

⁾

Regola LMS per l'aggiornamento dei pesi w: Per ogni training example

< b, V train (b) >

^{Cal ola on i}

pesi attuali

V ^∗

^{. Aggiorna ias un peso}

w _i

^{on laregola}

w i = w i + η(v train (b) − v ^∗ (b))x i

dove

η

^{è una ostante}

(0, 1)

^{he moderalavelo ità di}aggiornamento deipesi

w

^.

6.2.3 S hemadiun sistema generale diapprendimento

Il progetto ompleto diunLearning System prevede:

modulo Performan e System è il modulo he gio a a dama utilizzando la

V ^∗

^{La sua} performan e migliora on ilnumero dipartite gio ate

modulo Criti prendeininput unapartitae produ e esempiditraining

modulo Generalizer implementa la LMS rule modi ando i pesi

w

(generalizza sempre di più l'ipotesi

V ^∗

⁾

modulo ExperimentGenerator prende in input la ipotesi

V ^∗

^{orrente e genera un nuovo problema da}

esplorare (una nuova partita)

6.3 Con ept Learning

6.3.1 Denizioni

Learning indurre funzionigenerali da esempiparti olari ditraining

Con ept learning a quisire ladenizione diuna ategoria generale datoun insieme diesempi positivie

negativi della ategoria stessa

Best Fit hypothesis determinarel'ipotesi

h

^{hemeglio siadatta agli esempiditraining}

General-to-Spe i introduzione nello spazio delle ipotesiHdiun ordinamento parziale

Find-s/Version Spa e studio dialgoritmi he onvergonoinH all'ipotesih orretta.

Nel Con eptLearning sitratta di

Inferenziare automati amente una funzioneLearning booleanaa partiredall'insieme dei

trai-ning examples

< input, output >

Adesempio,seilTargetCon eptèGiorniin uiilmioami oAldoprati ailsuosportd'a quapreferito,

datoun training setdiinput, il Con eptLearning portaad apprendere a predireil valore diEnjoySport

perungiorno arbitrario,sullabase degli attributi delgiorno stesso.

6.3.3 Con ept Learning ome ri er ainH

Perla rappresentazione della funzione ipotesi

h

^, nell'ipotesi sempli e, ogni ipotesih onsiste nell'unione deivin oli espressi negliattributi ammessi nella singolaistanza. Possibilerappresentazione:

•

^{Un vettore di 6} elementi/vin oli he spe i ano i valori dei 6 attributi Sky, AirTemp, Humidity, Wind,Watere Fore ast

•

^{Perogniattributo, l'ipotesipotrà ontenere iseguenti valori:}

 ?

→

^ognivalore dell'attributoè a ettabile

 Il valoretra quelli onsentiti

 0

→

^{nessunvalore per}quell'attributo

•

^{Se una istanza x soddisfa tutti i vin oli} dell'ipotesi h allora h lassi a x ome esempio positivo:

h(x) = 1

Es. di ipotesi h:

<?, Cold, High, ?, ?, ? >

^{. Aldo prati a lo sportsolo nei giorni freddi on umidità alta.}

Ipotesih piùgenerale

<?, ?, ?, ?, ?, ? >

^{: ognigiornoè buonoperfaresportd'a quaIpotesihpiùspe i a}

< 0, 0, 0, 0, 0, 0 >

^{: nessun giornoè buono perfaresport d'a qua}

Denizioni:

Insieme delle istanze X l'insieme di items sui quali il on etto è denito. (Insieme di tutti i possibili

giorni)

Target Con ept la funzione/ on ept he deve essere appresa. In generale può essere qualunque

funzione booleana denitasu X: : X->[0,1℄

Training ExamplesD : formato da n istanze

x ∈ X

^{insieme a n valori} orrispondenti (x): <x, (x)>.

Se (x)=1 siparla diesempipositivi mentre per (x)=0 siparla diesempinegativi

Insieme H insieme di tutte lepossibiliipotesih andidate alla determinazione dellafunzione target

Obiettivo determinare

h ∈ H

^{tale he}

h(x) = c(x)

^{pertutti gli}

x ∈ X

Dati:

Istanze X giorni possibili, ias uno dei quali des ritto dagli attributi: Sky (Sunny, Cloudy e Rainy),

AirTemp(Warm, Cold),...

Ipotesi H ias unaipotesih èdes ritta dall'unione divin oli sugliattributi 1,...,6 +<?>e <0>

Con etto Target C EnjoySport: X->0,1

Esempi ditraining D esempipositivie negativi della funzionetarget

Determinare una ipotesi

h ∈ H

^{tale he h(x)= (x)}

∀x ∈ X

^.

6.3.4 Con ept Learning as Sear h

Il on ept learning può essere visto ome il ompito ditrovarela funzione h attraverso una ri er a nello

spazio HObiettivodella ri er ainH:trovarelafunzioneh he meglioapprossimi suitraining examples

(best th). È ne essariodunquelo studiodialgoritmi e te ni he diri er a inH.

Siintrodu e nell'insiemeHunordinamento hefa ilitilari er adellafunzioneh. Ogniistanza

lassi- ata omepositivada

h ₁

^è lassi ata omepositivaan heda

h ₂

^{, ioè}

h ₂

^{piùgeneraledi}

h ₁

^. L'ordinamento è quindi dal più spe i o al più generale. L'ordinamento parziale

≥ g

^{proposto gode della proprietà di}

riessività,diantisimmetria edi transitività.

Consente lari er adell'ipotesipiùspe i a:

1. Inizializza halla ipotesipiùspe i a inH.

2. Perogni istanzapositiva ditraining xe perogniattributo on vin olo

a i

^{inh,seil vin olo}

a i

^non

è soddisfattoda xallorasostituis i

a _i

^{inh on ilvin olo piùgenerale}soddisfatto dax È quindipiùspe i a rispettoa tuttele ipotesifornite.

hdiFind-Sèiltarget on ept? Find-Snon igarantis e henonesistanoaltreipotesihinH onsistenti

on idati. Civorrebbe unalgoritmo he dessemaggiori informazioni sullospazioH eh. Per hè predilire

l'ipotesi piùspe i a? Quanto sono onsistenti gli esempi di training? Find-S può essere guidato male

dalrumore(ignorando esempinegativi). Vorremmounalgoritmo hetenesse ontodelrumore neidatiSe

esistono piùipotesih onsistenti on idati?

La risposta stanelVersionSpa eed altrialgoritmi.

6.3.6 Version Spa e

Una ipotesihè onsistente onuninsiemeditrainingexamplesDseesoloseh(x)= (x)perogniesempio

<x, (x)>inD.

Il versionspa eè il sottoinsiemediHformato da tutte leipotesih onsistenti inD

L'algoritmoList-Then-Eliminatefornis eilsetdiipotesi onsistente oniltrainingsetedappartenente

al trainingset.

Version Spa e: lo rappresentiamo on i suoi membri più generali e meno generali. Essi formano due

insiemidi onne,GedS(GeneraleSpe i ) hedelimitanoilversionspa edentrolospazioparzialmente

ordinato delle ipotesi.

AlgoritmodiapprendimentoCandidate-Elimination Cal olailVersionSpa e ontenentetutteleipotesi

di H he sono onsistenti on una sequenza osservata di esempi di training. Parte inizializzando il VS

all'insieme ditutte leipotesiinH,ossiainizializzando Ged S.

G ₀

^{{<?,?, ?,?, ?, ?>}}

S ₀

^{{<0, 0,0,0,0,}

0>} L'algoritmo ritornailVS ontenente tutte leipotesi onsistenti ongli esempi esolo quelle.

Converge all'ipotesi h orretta a patto he non i siano errori negli errori di training e esista in H

l'ipotesih. Può onvergere an he adun insieme vuoto.

7 Logi a Fuzzy

Le te ni he di ontrollo fuzzy sono oggi estensivamente utilizzate in molti settori; tra questi si itano

appare hiature di largo onsumo ome lavatri i e tele amere ma an he impianti di depurazione delle

a quee ambiautomati idivetture diprestigio. Allabasediquestoappro ioèingenerelarealizzazione

di un sistema di ontrollo he in orpora e emula, tramite regole, la onos enza di esperti del settore.

Altreappli azioni sviluppatere entementeriguardanoil trattamento didatisensoriali per l'estrazione di

informazioni inpresenza diforti in ertezze nonstrutturate.

Quandousareil ontrollointelligente fuzzy? Quandoitasksonobenposti,sihannomodelliadabilie

onos enzequantitative siutilizzanometodidi ontrollo lassi i. Vi eversa,quandoitasksono omplessi,

modelliin erti e unelevato osto della onos enza quantitativa siappli a inve e il ontrollo intelligente.

All'internoditales elta, sela onos enzaqualitativa èdisponibileedèutilesiusanometodi Rule based

o algoritmi i (fuzzy). Se inve e la onos enza qualitativa non è sfruttabile, si adottano appro i ad

apprendimento (Learning), omelereti neurali.

7.1 Insiemi Fuzzy

Un elemento

x

dell'insiemeuniversale

U

^puòappartenereomenoaduninsieme

A

^{. L'insieme}

A

^èdenito

dalla suaf n. aratteristi a:

µ _A : U → {0, 1}

⁽⁷⁾

µ A = A(x) =

( 1

^se

x ∈ A

0

^{altrimenti (8)}

Ho quindisolo valoridis reti: 0 o1.

proposizioni, al olandoil gradodiverità diun'aermazione. Se

U

^{èdis reto,si puòenumerareil fset.}

Ilproblemadiquestoappro ioèdeterminarequalèl'andamentogiusto dellafunzione. Las eltadella

funzione aratteristi a è legata infatti alla soggettività, all'arbitrarietà. La dierenza signi ativa della

logi a fuzzy rispetto alle altre logi he si può notare on il seguente esempio. Se la domanda è: C'è un

panino olsalameinfrigo? è larispostaha valore

0.5

^,selainterpretiamo ome:

probabilità signi a forse

misura signi a he 'èmezzo panino

fuzzy signi a he 'è qual osa (magaripane e salameseparati, oppure unpaninoalpros iutto, ...)

Oraelen hiamo i on ettidibasedegli insiemi fuzzy

A(x)

^:

supporto

x : A(x) > 0

altezza

max(A(x))

^{. Spesso sinormalizzaa 1.}

ardinalità

card(A(x)) = P A(x i )

^{. Valeper}

U

^{dis reto}

α

^{- uts}

A α = {x ∈ X : A(x) > α}

^{. È un on etto utile per des rivere i fuzzy set e per} omprendere al une proprietà. È un insieme risp. Nella denizione,

α

^{è variabile, e il valore}

A _α

^{potrà essere}

variinsiemi di

x

spezzati, tali per uilaproprietà vale.

7.1.1 Operatori logi i

Per introdurli usiamo un'appro io assiomati o: sono funzioni he soddisfano assiomi desiderabili.

Assiomi peril omplemento

c : [0, 1] → [0, 1]

^:

1. ondizioni al ontorno:

c(0) = 1

^,

c(1) = 0

2. monotona non de res ente:

a < b → c(a) ≥ c(b)

3.

c

^{èuna funzione ontinua (non} indispensabile) 4. funzione involutiva:

c(c(x)) = x

^(non indispensabile)

Assiomi perl'unione

u : [0, 1] × [0, 1] → [0, 1]

^{(altra notazione:}

∨

^):

1. ondizioni al ontorno:

u(0, 0) = 0

^;

u(0, 1) = u(1, 0) = u(1, 1) = 1

2.

u(a, b) = u(b, a)

3. se

a < a ^′

^e

b < b ^′

^,allora

u(a, b) < u(a ^′ , b ^′ )

4. proprietà distributiva:

u(u(a, b), c) = u(a, u(b, c))

5.

u

^{è unafunzione ontinua (non} indispensabile) 6. idempotenza:

u(a, a) = a

^(non indispensabile)

Assiomi perl'intersezione

i : [0, 1] × [0, 1] → [0, 1]

^{(altranotazione:}

∧

^):

1. ondizioni al ontorno:

i(1, 1) = 1

^;

i(0, 1) = i(1, 0) = i(0, 0) = 0

2.

i(a, b) = i(b, a)

3. se

a < a ^′

^e

b < b ^′

^,allora

i(a, b) < i(a ^′ , b ^′ )

4. proprietà distributiva:

i(i(a, b), c) = i(a, i(b, c))

5.

i

^{è unafunzione ontinua (non} indispensabile) 6. idempotenza:

i(a, a) = a

^(non indispensabile) Le forme piùimpiegate sono:

c(x) u(a, b) i(a, b)

^Nome

u

^ed

i

1 − x max(a, b) min(a, b)

^{MaxMin (MM)}

a + b − ab ab

^{PRod (PR)}

min(1, a + b) 1 − min(1, 2 − a − b)

^BS

c[i(a, b)] = u[c(a), c(b)]

Risulta inoltre he,nel asodiunione

u

^:

M M ⊂ P R ⊂ BS

e, vi eversa, nel asodiintersezione

i

^:

M M ⊃ P R ⊃ BS

da uisidedu e he

M M

^èl'appro io piùdis reto, mentre

BS

^è l'appro iopiùestremista. Tuttele formeindividuanolapiù onveniente,masolo

P R

^{ontienetuttelesfumature,poi hélafunzione}

min(a, b)

è non-interagente. L'appro io

BS

^{riuta tutto aldisottodiun limite.}

A ausa dell'idempotenza e della proprietà distributiva he aratterizzano

u

^ed

i

^{, la perdita di}

infor-mazioni è vista ome unarri himento di informazioni. Siha quindi he

i(a, c(a)) 6= 0

^e

u(a, c(a)) 6= 1

^.

Infatti unaproposizione puòessere altempostesso unpo'veraeunpo'falsa(frase hetroverebbemolti

dubbi nellalogi a lassi a...).

7.1.2 Impli azioni

L'impli azione oin ide on l'in lusione: l'essere sottoinsieme di. Risulta infatti he

B ⇒ A

^se

B ⊂ A

^.

Per esprimerel'in lusione siusanoleseguentiespressioni a piùvalori:

Goedel

B (x) ⊂ A(x) =

( 1

^se

B (x) ≤ A(x) A(x)

^altrimenti

Goguen

B (x) ⊂ A(x) = (1

^se

B(x) = 0 min 

1, ^A(x) _B(x) 

altrimenti

Lukas

B (x) ⊂ A(x) = min (1, 1 + A(x) − B(x))

Quando

B(x) ≤ A(x)

^,tuttele3espressionisonougualia1. Ledierenzesivedonoquando

B(x) > A(x)

^.

Con Goedel è uguale ad

A(x)

^{, on Goguen è uguale a}

^A(x) _B(x)

^{, on Lukas è uguale a}

1 + A(x) − B(x)

^.

Prati amente, nell'osservarese

A

^{in lude}

B

⁽

A ⊃ B

^{), risulta he, nquando}

A ≯ B

^{on Goedel si segue}

l'andamentodi

A

^{, onGoguensiseguesifapiùomenounamediatra}

A

^e

B

^{,mentre onLukasadistanze}

minori tra

A

^e

B

^{oin ide un valoremaggiore (quindi ho valori elevati an he quando}

A ≯ B

^{nel asoad}

esempio he

A = 0

^e

B = 0.05

^).

7.2 Relazioni

7.2.1 Prodotto artesiano e relazioni

Dati due insiemi( risp)

A

^e

B

^{,ilprodotto artesiano èun insieme fuzzy}multidimensionale:

Q = A × B = {(a, b) : a ∈ A, b ∈ B}

La relazione

R

^{è un} sottoinsiemedi

Q

^:

R(a, b) =

( 1 a, b ∈ R 0

^altrimenti

La proiezione

proj

restituis e ilvalore piùalto asso iato allariga o olonna proiettata 1

:

P(x) = sup y R(x, y)

La estensione ilindri a

cyl

^{opia ilvalore diuna rigaperilnumero delle olonne}

y

^:

R(x, y) = F (x)∀y

La hiusura ilindri a èlamassima relazione ompatibile on due proiezioni. Siottiene ome:

∧(proj ^′ s)

1

si hiamaproiezioneproprioper héridu eivaloripossibili da

N × M

^a

N + M

Date due relazioni

P

^e

Q

^{denite su}

X × Y

^e

Y × Z

^,la omposizione di relazioni ne trova una terza

T

su

X × Z

^:

T = P ◦ Q

on assiomi:

1.

(P ◦ Q) ^T = P ^T ◦ Q ^T

2.

(P ◦ Q) ◦ R = P ◦ (Q ◦ R)

3.

P ◦ Q = Q ◦ T

^{(non ri hiesto)}

La omposizione si realizzanelseguentemodo:

T (x, z) = proj _y∈Y [R(x, y) ∧ Q(y, z)]

⁽⁹⁾

Se risulta

∧ → min

^e

proj → max

^,allora:

T (x, z) = max

y∈Y [min(R(x, y), Q(y, z))]

⁽¹⁰⁾

Adesempio, per al olare la omposizione

1. si s elgonodue valori

x

^e

z

^(adesempio

x = Londra

^e

z = Roma

⁾

2. si al olailminimo valore tra

R(x, y ₁ )

^e

Q(y ₁ , z)

^{. Adesempio:}

lontanoDa(Londra, P arigi) = 0.8 lontanoDa(P arigi, Roma) = 0.7

allorarestituis e

min(0.8, 0.7) = 0.7

3. si al olailminimo valore tra

R(x, y ₂ )

^e

Q(y ₂ , z)

^{. Adesempio:}

lontanoDa(Londra, N Y C) = 0.4 lontanoDa(N Y C, Roma) = 0.2

allorarestituis e

min(0.4, 0.2) = 0.2

4. si al olailmassimo valore ottenuto:

max(0.2, 0.7) = 0.7

^{, ioè:}

lontanoDa(Londra, Roma) = 0.7

7.3 Ragionamento fuzzy

7.3.1 Regole

Il ragionamento fuzzyè unsistema basatosu regole. È formato da:

onos enza attuale

a ^′

^{( omposta da}

k

^fatti)

regole nella forma

a ⇒ b

^{(an he nota ome onos enzaa priori)}

deduzione

b ^′

Il passaggio regole/deduzioneè possibilegrazie almodus ponens:

a ^′ ◦ (a ⇒ b) =: b ^′

Le inferenze sono omposte da:

ante edente velo ità è xxx

regola IFvelo itàè elevata THENazioneè frena

onseguente azioneè yyy

Le regole dovrebberoessere:

•

^{omplete: deveri oprire asu ienza lepossibilisituazioni}

•

^non ontraddittorie: regole on ante edenti simili o adia enti non dovrebbero dare us ite molto diverse traloro

Se laregola he onos iamo è

velo ità alta --> frena

Ma alloraè valido

velo ità molto alta --> frena molto?

Se ondol'appro io logi -basednonsappiamo osafare, ivoglionoaltre regole. Il modusponens

genera-lizzato (GMP) ammette leestensioniri hiesteed è molto usato:

•

^{Consente diridurreilnumero diregole}

•

^{Sembra piùaderente al}ragionamento quotidiano

7.3.3 Appro iologi -based

Si basasull'equivalenza:

A ⇒ B ≡ not(A) ∨ B

È ne essariorisolveretre problemi:

1. ostruire larelazione

R

^{dalla regola inmodo he soddis ilmodus ponens}

a ◦ (a ⇒ b) = b

2. ome gestire piùregole

3. qual è ilvalore di

b ^′

^se

a ^′

^nonè esattamente

a

La soluzione vienedalla teoriadelle equazioni fuzzy,imponendo he

b ^′ = b

^quando

a ^′ = a

^{e er ando la}

soluzione massima(in lude lealtre).

Se l'inferenza è

M M

^{, allora}

R

⁽

A ⇒ B

^{) va ostruita ome Goedel. Con questa} ombinazione è interessantenotare he:

1. la massimaindeterminatezzaè

= 1

^evalese:

A(x) = 0 ∀x ⇒ R(x, y) = 1 ∀x, y

2. sel'ante edenteè piùspe i o,il onseguente mantiene ilgradodiin ertezza iniziale:

A ^′ (x) ⊂ A(x) ∀x ⇒ b ^′ (z) = b(z)

3. sel'ante edentenon oin ide, il onseguenteè piùin erto:

A ^′ (x) 6= A(x) ⇒ b ^′ (z) ⊃ b(z)

Perla omposizionedipiùregole, abbiamo piùregole on glistessi ante edenti:

a ^′ ◦ (a k ⇒ b k ) = b ^′ _k

e dobbiamo ri avare ilfuzzy set

b ^′

^{. Essendo lamassima}indeterminatezza paria 1,sidovràporre:

b ^′ (z) = min[b ^′ _k (x)]

L'appro ioGMPè piuttostoeuristi oesibasapiùsullasoddisfazione dell'utente hesu basi

matema-ti he. Si er a unlegamepiù forte traante edenti e onseguente, quasifunzionale.

7.3.5 Impieghi nei ontrolli

Un sistema(ideale) di ontrollo fuzzy prevede:

fuzzify asso iaaognimisura(provenientedalpro esso)unfset(inbaseapre isione-rumore) he onsente

dides rivereinmodo graduale una misura(ad esempio temperatura alta).

motore inferenziale heoperasuregole ri avateinbaseaintervisteadespertioan heattraversometodi

adattativi, ad apprendimento, misti neurale-fuzzy.

de-fuzzify ri avadalle onseguenze (fuzzy)(ad esempiovelo ità dell'aria

de-fuzzify ri avadalle onseguenze (fuzzy)(ad esempiovelo ità dell'aria

Nel documento d x,f = tf x,j log df j (pagine 13-0)