Disturbi sinusoidali

Dopo la trattazione dei disturbi polinomiali, si vuole proporre una trattazione riguardo i disturbi sinusoidali. Al fine di poterli presentare, tuttavia, `e neces-sario riprendere alcuni concetti riguardo la risposta in frequenza di un tipico sistema di controllo:

Qual `e la risposta in frequenza del sistema? Beh, si supponga che la funzione di anello, G<sub>a</sub>(s) = G(s) · H abbia un andamento di questo tipo (cosa che capiter`a molto frequentemente):

La G_ry(s) avr`a una forma di questo tipo, come ben noto:

G_ry(s) = ^G(s) 1 + H · G(s) ⁼ 1 H G(s) · H 1 + G(s) · H

La seconda formula, come ben noto, rappresenta la funzione di trasferi-mento relativa allo schema a blocchi con retroazione unitaria. Questa espres-sione dunque `e pari a:

G_ry(s) = ¹ H G_a(s) 1 + G_a(s) ⁼ 1 H^{T (s)}

La funzione T (s) `e di solito chiamata “funzione di sensibilit`a comple-mentare”; come esiste la funzione di sensibilit`a complementare T (s), esiste la funzione di sensibilit`a, S(s), definibile come:

S(s) = ¹

1 + Ga(s)

Il termine “complementare” `e usato perch`e tra le due espressioni esiste un legame molto interessante:

T (s) + S(s) = 1 ∀s ∈ C

Disegnare gli andamenti di queste due funzioni `e piuttosto semplice, a partire dalla conoscenza dell’andamento della funzione di anello, G_a(s), quantomeno asintoticamente; si osservi che:

Se |G_a(s)| À 1 =⇒ T (jω) ' 1 Se |G_a(s)| ¿ 1 =⇒ T (jω) ' |G_a(s)|

Si rapporta a “1” (o 0 dB) il valore del modulo della funzione di anello,

|G_a(s)|, in modo da poter osservare quale sia l’andamento della risposta in frequenza della funzione di sensibilit`a complementare rispetto a quello di |G<sub>a</sub>(s)|. Rapportare a “1” serve a considerare un valore asintotico, in modo da vedere se al denominatore prevale “1” o “|G<sub>a</sub>(s)|”. Quando dunque il modulo della funzione di anello assumer`a valori bassi, considerevolmente minori di 1, la funzione di sensibilit`a complementare “seguir`a” la funzione di anello in modulo; dualmente, quando il modulo della funzione di anello assumer`a valori maggiori di 1, la funzione T (jω) assumer`a valori prossimi a 1.

Si faccia lo stesso ragionamento per quanto riguarda S(s) e la sua risposta in frequenza S(jω): Se |G_a(s)| À 1 =⇒ S(jω) ' ¯ ¯ ¯ ¯_G¹ a ¯ ¯ ¯ ¯ Se |G_a(s)| ¿ 1 =⇒ S(jω) ' 1

Questa funzione ha un comportamento, come suggerisce il nome, abbas-tanza “complementare” rispetto a quello di T (jω): per valori bassi del mod-ulo della funzione di anello la funzione di sensibilit`a assumer`a valori prossimi all’unit`a (0 dB); per valori di |G<sub>a</sub>(s)| elevati, la funzione S(jω) assumer`a valori prossimi al reciproco del modulo della funzione di anello; in scale loga-ritmiche, quali i decibel (dB), ci`o significa semplicemente “ribaltare” il grafico rispetto all’asse delle ascisse, ottenendo dunque, per valori elevati di |G_a(s)|, una funzione di fatto simmetrica a quella del guadagno di anello in modulo, rispetto all’asse delle ascisse, delle pulsazioni.

Si parla di alta frequenza e di bassa frequenza; fondamentale `e l’identifi-cazione di ω<sub>c</sub>, ossia della pulsazione in cui la funzione di anello vale 1, 0 dB. Fatte queste premesse, `e ora possibile trattare disturbi di tipo sinusoidale, ossia del tipo:

d₂(t) = a₂sin(ω₂t) ∀ω₂ ≤ ω₂ ≤ ω₂

Dove d₂(t) `e un disturbo additivo introdotto sul ramo diretto dello schema a blocchi del sistema; si noti che, fino a quando non si specificher`a il contrario, tutti i discorsi introdotti di qui in poi riguarderanno esclusivamente il ramo diretto del sistema, non quello della retroazione, che avr`a bisogno di una trattazione notevolmente diversa.

Si noti che, dal momento che spesso si trattano sistemi reali, definire precisamente la pulsazione del disturbo, ω₂, `e molto improbabile; quello che si definisce `e un range di frequenze al quale ω₂ potrebbe appartenere, i cui bound inferiore e superiore sono rispettivamente ω2 e ω2. La larghezza di banda si pu`o calcolare in diverse maniere; una classicamente utilizzata pu`o riguardare la banda a - 3 dB. Date queste puntualizzazioni, `e ora possibile trattare i contributi relativi a disturbi di tipo sinusoidale.

Dato un disturbo di tipo sinusoidale, non `e possibile conoscere molte in-formazioni riguardo esso; potrebbe essere possibile conoscere a<sub>2</sub>, la larghezza dei bound, o altro; si vuole quantificare il contributo massimo di d2(t), in modo da progettare di conseguenza il sistema; l’errore, dunque, dovr`a essere limitato: ¯ ¯ed2 ∞ ¯ ¯ ≤ ρ₂

Il contributo sull’uscita, quando agisce questo disturbo, `e pari a:

Ed2(s) = Yd2(s) = G_d2(s)D₂(s) = D₂(s) · ^Gd(s)

1 + GtGyGc(s)AGp(s) ⁼ = G_d(s) ¹

1 + G_a^{D2(s) = Gd(s)S(s)D2(s)}

Questo fatto `e piuttosto interessante; si supponga, per ora, per semplicit`a (cosa che in seguito nella trattazione non si ripeter`a spesso) il fatto che

G_d(s) = 1. Si pu`o dire che:

Ed2(s) = S(s)D₂(s)

A questo punto si riprende un risultato ben noto: la risposta a un segnale sinusoidale:

e^d2

∞= y^d2(t) = a₂· |S(jω₂)| sin (ω₂t + ψ)

¯ ¯ed2

∞

¯

¯ < ρ₂ =⇒ a₂|S(jω)| < ρ₂

Da qui, si pu`o ricavare la seguente condizione:

|S(jω₂)| < ^ρ2

a₂ ^{∀ω2 ∈}

£

ω₂; ω₂^¤

Se la frequenza del disturbo `e in questo intervallo, la condizione deve valere su tutto l’intervallo. Dallo studio di S(jω), si sa che, volendo che essa assuma valori bassi, bisogna considerare valori elevati del modulo, in modo che essa si possa costruire come il “simmetrico” del modulo su scala logaritmica, quindi permettere di assumere valori bassi. Perch`e il modulo sia grande, `e necessario che la pulsazione di passaggio del sistema, ω<sub>c</sub>, sia molto avanzata: se la banda passante del sistema (strettamente imparentata con ωc `e molto elevata, “prima di ωc” ci sar`a lo “spazio” per ottenere un guadagno molto elevato, di conseguenza un simmetrico “molto piccolo”, pro-prio come si pu`o desiderare. Al fine di aumentare dunque la reiezione dei disturbi sinusoidali, il cui valore `e fortemente legato a quello della funzione di sensibilit`a S(s), `e necessario avere S(s) molto basse, e per far ci`o avere una banda passante del sistema molto larga.

Si considera da adesso fino alla fine della sezione l’altro caso, che co-munque per la trattazione e per l’uso delle nozioni che verr`a fatto sar`a meno utilizzato: il caso di disturbi sul ramo di retroazione. Osservando lo schema generale, i disturbi di questo tipo sono quelli identificati mediante la variabile

d_t(t); si considera dunque qualcosa dalla forma:

dt(t) = atsin(ωtt) ∀ωt≤ ωt

Si noti che, per disturbi di questo tipo, non si considera un upper bound: essi sono, come vedremo, disturbi importanti soprattutto a frequenze elevate, dunque non si limitano le frequenze “in alto” dal momento che la trattazione mostrer`a che un upper bound non `e fondamentale. Osserviamo cosa capita, in presenza del solo d_t(t), sfruttando i risultati finora proposti:

edt

∞= ydt(t) Passando nel dominio di Laplace:

Edt(s) = Ydt(s) = G_dty(s)D_t(s) = ^{−GyGc(s)AGp(s)} 1 + G_a(s) ^{Dt(s) =} = ¹ G_t ^· −G_a(s) 1 + G_a(s)^{Dt(s) = −} 1 G_t^{T (s)Dt(s)}

Questa volta, come si pu`o notare, il problema `e stato ricondotto all’altra funzione di sensibilit`a, quella complementare. Ci`o comporter`a sicuramente osservazioni finali differenti, per quanto concerne la reiezione del disturbo sinusoidale. Si osservi che l’errore, dunque, assumer`a valori di questo genere:

edt

∞ = Ydt(t) = a_t· ¹

G_t^{|T (jωt)| sin (ωtt + ψt)}

In modulo, l’errore deve essere inferiore a un certo valore: ¯ ¯edt ∞ ¯ ¯ ≤ ρ_t =⇒ at 1 G_t^{|T (jωt)| ≤ ρt}

La condizione da soddisfare, questa volta, sar`a:

|T (jωt)| ≤ ^ρt

a_t^{Gt ∀ωt ≥ ωt}

Cosa significa tutto ci`o? Beh, semplice: la reiezione del disturbo sinu-soidale sul ramo di retroazione si pu`o ottenere imponendo valori molto bassi di T (jω), nell’intorno della frequenza ω_t; conoscendo l’andamento di T (jω), `e necessario che, da ω<sub>t</sub> in poi, la funzione soddisfi la condizione. Dal momento che T (jω) ha un andamento duale rispetto a S(jω), `e necessario che, da ω_t in poi, essa assuma valori al di sotto di uno ben prefissato. Questo si ottiene, come prima, lavorando sulla pulsazione ω_c di passaggio per l’asse 0 dB, ma in maniera opposta: `e necessario che ω_c sia bassa, in modo che, dopo essa, la funzione di trasferimento assuma valori minori, in modo da poter atten-uare sufficientemente T (jω) (che segue l’andamento di |G_a(s)|) in modo da attenuare consequentemente il segnale.

Si noti che sul ramo di reazione e sul ramo diretto si hanno condizioni assolutamente opposte: se da un lato per la reiezione del rumore sul ramo diretto `e necessario allargare la banda del sistema, per la reiezione del ru-more sul ramo di retroazione `e necessario ridurre la banda del sistema. Da qua si pu`o capire perch`e non sono presenti upper bound su ω_t: non servono, dal momento che il sistema dovr`a attenuare disturbi al di sopra di una certa frequenza, non appartenenti a una certa banda limitata in un intervallo. Il fatto che si debba esclusivamente limitare la banda in questo senso, ottenen-do dunque condizioni di fatto opposte a quelle precedenti, implica il ottenen-dover effettuare delle scelte in termini di blocchi utilizzati: tecnologicamente, i dis-turbi d<sub>t</sub>(t) derivano dall’uso di cattivi trasduttori sul ramo di retroazione; per quello che si vedr`a, si supporr`a molto spesso di aver a disposizione buoni sistemi di trasduzione, ogni qual volta non si vogliano considerare disturbi sul ramo di retroazione, in modo da introdurre solo condizioni sui disturbi sul ramo diretto.