Una volta trattati i disturbi polinomiali e sinusoidali, ci si interesser`a di un’al-tra categoria di disturbi, o meglio di “variazioni”; ci si pone sostanzialmente il seguente quesito:
Si supponga che vi siano disturbi di tipo parametrico, ossia disturbi riguardo la definizione dei blocchi G(s) e H(s) (si sappia fin da subito che essi verranno considerati separatamente), ossia la presenza di indeterminazione sulle caratteristiche dei blocchi, δG e δH. Sulle funzioni di trasferimento possono esserci variazioni di parametri che modificano le loro caratteristiche (in seguito verr`a mostrato un esempio che permetter`a di comprendere questo fatto); la domanda `e: come cambia il comportamento del sistema di controllo, e la sua funzione di trasferimento?
Al fine di rispondere a questo quesito si definiscono le funzioni di sensi-bilit`a, differenziando due casi specifici: variazioni della sola G, e variazioni della sola H:
Variazioni della sola G
Si definisce la funzione di sensibilit`a SGry
G come la funzione di sensibilit`a della funzione di trasferimento del sistema retroazionato Gry rispetto alla funzione di trasferimento del sistema da retroazionare ad anello aperto, G, come le variazioni di tipo relativo di Gry rispetto a un valore “nominale”, rispetto a loro volta le variazioni di G rispetto a un valore nominale:
SGry G = ∂Gry Gry,nom ∂G Gnom = ∂Gry ∂G · Gnom Gry,nom
Nel caso della struttura di controllo che viene utilizzata nella trattazione, facendo i conti con le derivate parziali, si pu`o ricavare che:
SGry
G = 1 1 + Ga
Variazioni della sola H
Si definisce analogamente a prima la funzione di sensibilit`a SGry
H come la fun-zione di sensibilit`a della funfun-zione di trasferimento del sistema retroazionato
Gry rispetto al blocco di retroazione H, come le variazioni di tipo relativo di
Gry rispetto a un valore “nominale”, rispetto a loro volta le variazioni di H rispetto a un valore nominale:
SGry H = ∂Gry Gry,nom ∂H Hnom = ∂Gry ∂H · Hnom Gry,nom
Nel caso della struttura di controllo ormai abituale, essa vale: SGry
H = − Ga 1 + Ga
Che rappresentazioni hanno, in frequenza, queste due espressioni? Beh, il primo caso ha semplicemente la funzione di sensibilit`a, il secondo caso un’espressione simile alla funzione di sensibilit`a complementare. Ci`o non `e del tutto positivo, dal momento che i due risultati sono uno in contrasto con l’altro: per avere piccole variazioni su G, S deve essere piccola, cosa che si verifica a bassa frequenza; aumentando la frequenza S tende ad assumere valori elevati, cosa negativa. Ci`o si ripercuote sulla funzione di trasferimento del sistema retroazionato:
∂Gry Gry,nom = S Gry G ∂G G
Una variazione di G rispetto al valore nominale, al valore per cui `e sta-to progettasta-to il sistema di controllo, comporta una variazione della fun-zione di trasferimento del sistema retroazionato, rispetto a quella nominale, dipendente da SGry
G .
Volendo ridurre i disturbi su G, non si potranno ridurre quelli su H, dal momento che G e H variano con pesi determinati dalle funzioni di sensibilit`a tra loro complementari, che dunque avranno un comportamen-to complementare tra loro. Dal momencomportamen-to che fondamentale `e considerare, nella trattazione, variazioni di G, considerano un H “ben fatto”, sar`a neces-sario “spendere” su H, dal momento che servir`a un oggetto in grado di non introdurre disturbi di alcun tipo.
Esempio pratico
Si consideri il seguente circuito basato sull’uso di amplificatore operazionale: Precedentemente `e stato proposto un buon modello per l’amplificatore operazionale ad anello aperto:
A(s) = ³ A0 1 + s ω1 ´ ³ 1 + s ω2 ´
Si consideri un valore nominale di A0 pari a 105; si consideri il fatto (molto, molto irreale, nel senso di molto pessimistico) che A0 possa variare dal valore nominale fino a diventare 107:
A0 ∈£105; 107¤ Dati:
ω1 ' 10 rad/s; ω2 ' 106rad/s; R1 = 1 kΩ; R2 = 10 kΩ
Ci si chiede: nel caso vi sia una grossa perturbazione sul guadagno, fino a raggiungere il valore di 107, causata ad esempio dalla sostituzione dell’am-plificatore operazionale in uno pi`u moderno, di quanto cambia la funzione di trasferimento ad anello chiuso, Gry(s)?
Si calcola la variazione di A0 rispetto al valore nominale:
δA0 A0,nom
= 107− 105
105 ' 102 = 10000%
Si ha dunque una variazione relativa, ad anello chiuso, pari al 10000 %, dunque molto, molto elevata. Considerando la funzione di trasferimento unitaria, si avr`a:
H = R1
R1+ R2 ' 0, 1
Dunque, la funzione di anello, A · H, sar`a semplicemente A normalizzata per un fattore 10; si costruisce a questo punto la funzione di sensibilit`a, a partire dalla funzione di anello, dove la funzione di anello `e coincidente alla funzione del sistema, normalizzata di 10 (rispetto al valore nominale, partendo dunque da 104 anzich`e 105):
Ci`o che si vuole mettere in evidenza `e: come varia Gry rispetto al valore nominale quando si usa la funzione di sensibilit`a rispetto ad A, ossia quella che prevede variazioni del 10000 % ? Si supponga di utilizzare questo circuito a bassa frequenza; in questo caso, dal momento che |S(jω)| si costruisce come la simmetrica della funzione di anello, essa assumer`a valori pari al reciproco di 104, ossia 10−4:
SGry
A = 10−4
La variazione della funzione di trasferimento del sistema retroazionato sar`a: ∂Gry Gry,nom = S Gry A · δA0 A0,nom = 10000% · 10 −4 = 1%
Cosa significa questo risultato? Nonostante il caso estremamente pato-logico (che non si verifica, in pratica, sostanzialmente mai), la retroazione ha un effetto tale da attenare notevolmente la variazione parametrica della funzione di trasferimento ad anello aperto, riducendo di fatto la sensibilit`a ai disturbi di tipo parametrico.
Poich`e progettando sistemi di controllo con guadagno alto su bassa fre-quenza si `e interessati a trattare la funzione S(jω) per basse frequenze, dal momento che si tratta esclusivamente “il ramo diretto”, si suppone che il trasduttore su H sia molto valido, ossia che i resistori siano di qualit`a ec-cellente, non subiscano variazioni importanti durante il funzionamento del sistema.