L EGGI DI SCALA

Per consentire una corretta trasposizione al prototipo delle misure eseguite sul modello è necessario definire le leggi di scala.

Esse rappresentano delle relazioni di similitudine tra modello e prototipo ottenute tramite un’analisi di tipo dimensionale che si basa sull’ipotesi che ogni fenomeno fisico possa essere descritto da equazioni dimensionalmente congruenti tra le variabili che lo controllano [Bridgman, 1931; Langhaar, 1951; Palacios, 1964; Kline, 1965; Isaacson e Isaacson, 1975; Wood, 2004].

8 Modellazione fisica di pali trivellati in sabbia L. Guerra

La regola usata nell’analisi dimensionale è il teorema “

Π

” di Buckingham [1914]: il gruppo di h variabili, che devono essere prese in considerazione in un problema di analisi dimensionale, all’interno del quale sono rintracciabili le m variabili primarie indipendenti, può sempre essere ridotto ad un numero N di gruppi adimensionali, con N=h-m. Nel metodo non è specificato la forma che compete all’espressione del gruppo adimensionale.

L’uso dell’analisi dimensionale permette di individuare le variabili indipendenti del problema che si vuole studiare e che quindi sono fondamentali da riprodurre nella scala modello.

Le diverse condizioni di similitudine tra modello e prototipo, che devono essere soddisfatte in modellazioni fisiche in scala ridotta, sono state approfonditamente analizzate da numerosi autori [Roscoe, 1968; Rowe et al., 1977; Schofield, 1980; Baldi et al., 1989; Taylor, 1995; Butterfield, 1999 e 2000] e non saranno nel seguito nuovamente commentate.

In generale, per tutte le quantità che descrivono i fenomeni statici della meccanica dei terreni, si individua un rapporto, detto fattore di scala:

X=

Xprototipo

X_modello [-] (1.1)

Con:

X= generica quantità fisica del problema

Schematizzando il terreno come un mezzo bifase (solido e fluido) ed assumendo i grani incomprimibili, il metodo dell’analisi dimensionale è applicato alle equazioni che regolano il comportamento del terreno in fenomeni di tipo statico (eq.ni di continuità per mezzo bifase; eq.ne del moto per la fase fluida; eq.ne del moto per il mezzo bifase; legame costitutivo; eq.ne degli sforzi efficaci e delle piccole deformazioni). Imponendo che tali equazioni di base siano applicate al modello come al prototipo, sono derivate dalle eguaglianze i rapporti di similitudine ed individuate le quattro grandezze indipendenti del problema statico per le quali sono definiti altrettanti fattori di scala fondamentali:

• x* fattore di scala delle lunghezze • ρ*

fattore di scala della densità del mezzo bifase • ε*

fattore di scala delle deformazioni

Capitolo 1 Modellazione fisica in centrifuga geotecnica 9

Tutte le altre grandezze presenti in un problema geotecnico, purché di natura statica, possono essere espresse come funzione di queste quattro variabili indipendenti.

Per costruire un modello in scala ridotta (x*>1) si deve scegliere un corretto ρ*: poiché il comportamento meccanico del terreno dipende fortemente dalla sua natura (dimensione e distribuzione dei grani, mineralogia, rigidezza delle diverse fasi), sostituire il materiale reale con uno di altra natura, anche se questo ne riproduce correttamente la densità, comporta delle differenze nella risposta complessiva. Appare pertanto necessario che il terreno utilizzato per confezionare il modello sia lo stesso presente nella situazione in vera grandezza; di conseguenza il fattore di scala della densità del terreno ρ* deve essere uguale a 1.

Assunto quindi ρ* = 1, dai rapporti generali di similitudine, il fattore di scala per gli sforzi è:

σ*

=g*x* [-] (1.2)

Un obbiettivo fondamentale da perseguire è quello di ottenere l’eguaglianza in campo di sforzi tra modello e prototipo: ipotizzando che il comportamento del terreno sia completamente controllato dagli sforzi, diventa possibile simulare correttamente nel modello il comportamento reale del materiale senza conoscerne a priori la legge sforzi-deformazioni:

σ*

=1 [-] (1.3)

Ottenibile solo se:

g*x*=1 [-] (1.4)

Quindi, se un modello scalato geometricamente di un fattore N rispetto alle dimensioni del prototipo sperimenta un campo artificialmente accelerato di N volte rispetto a quello di gravità, esso sviluppa tensioni uguali a quelle del prototipo, a condizione che il terreno utilizzato sia lo stesso (ρ*=1):

σv*=ρ*g*L*

→

ቐ

g*_=N

L*_=1/N

ρ*₌₁

→

σ_v*=1 [-] (1.5) Inoltre, nell’ipotesi di ρ*=1 si ottiene l’uguaglianza del campo di deformazioni tra modello e prototipo (ε*=1). Si può quindi concludere che, se il terreno utilizzato per il confezionamento del modello è lo stesso presente nel prototipo, il comportamento tenso-deformativo dei

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due sarà il medesimo. Tale conclusione rimane valida fintanto che il terreno naturale non abbia una macro-struttura, non presenti fessurazioni, inclusioni o percorsi di drenaggio preferenziali. Tali situazioni non sono riproducibili nel modello a causa del rimaneggiamento che il terreno naturale subisce per il confezionamento del modello stesso.

In Tabella 1.1 sono riassunti i fattori di scala relativi alle proprietà fisiche fondamentali nell’interpretazione del comportamento del terreno.

-Tabella 1.1 – Rapporti di scala in campo gravitazionale artificiale con ρ*=1.

I fattori di scala, riportati in Tabella 1.1, sono ottenuti schematizzando il terreno come un continuo il cui comportamento è governato solamente dallo stato tensionale medio, trascurando il comportamento degli elementi particellari. I rapporti di scala non sono più validi nel caso di fenomeni il cui comportamento sia assimilabile al discontinuo. Un tipico esempio è dato dai meccanismi in cui insorgono “bande di taglio” (shear bands): i risultati ottenuti da diversi modelli riproducenti lo stesso prototipo non sono concordi tra loro [Tatsuoka, 1989] e il comportamento esibito dal modello si discosta da quello osservabile per il prototipo.

Un tipico esempio di meccanismo che induce la formazione della shear band, interpretabile come una problema al discontinuo, è la mobilitazione delle tensioni tangenziali sul fusto del palo: lo sviluppo dell’attrito è dovuto a scorrimenti relativi palo-terreno che, essendo

GRANDEZZA FISICA RAPPORTO DI SCALA

x lunghezza N x2 area N2 x3 volume N3 g accelerazione 1/N M massa N3 F forza N2 E energia N3

ρ densità del terreno 1

σ sforzi (totali o efficaci) 1

ε deformazioni del terreno 1

u spostamenti del terreno N

ů velocità del terreno 1

ü accelerazioni del terreno 1/N

Capitolo 1 Modellazione fisica in centrifuga geotecnica 11

controllati dal comportamento dell’interfaccia, seguono leggi non lineari con lo spostamento (risposta rammollente delle deformazioni). A causa della discontinuità che si genera nella zona di interfaccia tra palo e terreno insorge un effetto scala tra modello e prototipo che porta ad un diverso sviluppo della tensione al progredire del cedimento. Questa differente comportamento rende complessa la trasposizione del valore dello spostamento di interfaccia alla scala reale.

Nel documento MODELLAZIONE FISICA DI PALI TRIVELLATI IN SABBIA (pagine 33-37)