Elaborazione dei dati

Il primo modello utilizzato per analizzare i dati ricavati dalla campagna di prove è stato basato sull’approssimazione dei dati sperimentali della velocità di propagazione della cricca tramite un’unica retta.

Se, come in figura 5.7, si visulizza l’andamento della velocità in scala bi- logaritmica l’equazione 2.2 assume la forma di una retta avente un’equazione del tipo:

log10(

dc

dN) = log10(C) + m · log10(∆K). (5.5)

Considerando i valori dei logaritmi dei dati relativi alla velocità di propaga- zione è stato possibile ricavare i valori dei coefficienti dell’equazione di Paris andando a calcolare i coefficienti della retta di best-fit sia per ogni singola prova, sia per tutti i dati della campagna di prova.

Figura 5.6: Curve di propagazione sperimentali per valori della lunghezza della cricca interni all’intervallo analizzato.

tutti i dati come log10(C)tot ed mtot, sono stati ricavati andando a costruire la retta di best-fit con il metodo dei minimi quadrati.

Utilizzare il metodo dei minimi quadrati significa andare a cercare la retta definita come

y = A + Bx

in grado di interpolare i dati sperimentali, Xk e Yk, e tale che, definiti con

yk = A + BXk

i valori numerici, contenuti sulla retta e corrispondenti all’assegnato valore

Xk, renda minima la sommatoria seguente n X k=1 d2 k dove dk = Yk− yk

ed n è il numero dei dati del singolo provino nel caso di retta di best-fit di un singolo provino, oppure il numero dei dati di tutti i provini nel caso di retta di best-fit di tutti i dati raccolti.

Figura 5.7: Curve della velocità di propagazione sperimentale per valori di ∆K interni all’intervallo analizzato.

I coefficienti A e B si ricavano risolvendo il seguente sistema:

( nA + BPn k=1Xk = P_n k=1Yk APn k=1Xk+ B P_n k=1Xk2 = P_n k=1XkYk (5.6) Sono stati così ricavati i valori dei coefficienti log10(C) ed m ed i relativi

valori dell’errore per ciascuna prova e per tutti i dati della campagna di prova. L’errore è stato definito come:

errore = v u u tPnk=1(Yk− yk)2 n − 2 . (5.7)

In figura 5.8 si riportano i valori della velocità di propagazione del provino LC12 e la relativa retta di best-fit calcolata con il metodo dei minimi quadrati. Nella tabella 5.1 sono stati riassunti ciascuno dei trentasei valori dei coefficienti log10(C)i e dei coefficienti mi relativi ai singoli provini.

In figura 5.9 vengono visualizzate tutte le rette di best-fit e i dati speri- mentali della velocità ricavati dall’intera campagna di prove e interni all’in- tervallo considerato.

Figura 5.8: Retta di best-fit per il provino LC12.

la retta di best-fit di tutti i dati della campagna di prova interni all’intervallo considerato.

Si ricorda che, se una distribuzione di n dati xi risulta essere di tipo gaussiana [10], questa risulta essere caratterizzata dal valor medio µ ( il parametro di scala ) definito come:

µ =

P_n

i=1xi

n , (5.8)

e dalla relativa deviazione standard ( parametro di forma ) definita come:

σ = v u u tPni=1(xi− µ)2 n − 1 . (5.9)

Per questo tipo di distribuzione dei dati è possibile definire la funzione densità di probabilità come:

p (x) = 1 σ√2πe

−1₂(x−µ_σ )2_{. (5.10)} Per verificare se una distribuzione di dati xi, possa o meno essere considerata gaussiana nel presente lavoro si utilizza la procedura riportata nelle norme ESDU 68013.

Secondo tale procedura riportando su una carta delle probabilità come ascisse i valori della distribuzione di dati xi e come ordinate i valori di (1 − p(x)) · 100 la distribuzione risulta essere di tipo gaussiana se i punti sulla carta hanno l’andamento di una retta.

Noti i coefficienti mi relativi alle rette di best-fit dei 36 provini è stato calcolato il loro valore medio, definito con ¯m.

Tale valore di ¯m corrisponde alla media delle pendenze di tutte le rette di

best-fit dei singoli provini e risulta essere pari a 2.9436.

La distribuzione dei valori di mi, può essere considerata gaussiana come dimostrato in figura 5.10 ed è definita da un valor medio pari a 2.9436 e da una deviazione standard pari a 0.115616, (tabella 5.3), mentre quella dei

log10(C)i, anch’essa considerabile gaussiana, come visibile in figura 5.11, è definita da un valor medio pari a -9.955128 e da una deviazione standard pari a 0.123473, (tabella 5.4).

Da una osservazione dei dati riportati in tabella 5.1 emerge come l’errore dei dati sperimentali di ogni singola prova risulti essere nella maggior parte dei casi più bassa rispetto all’errore relativo alla retta di best-fit di tutti i dati.

provino log10(C)i mi errore 01 -9.959807 2.9984 0.037597 02 -10.077558 3.0698 0.058854 03 -10.005900 3.0340 0.066994 04 -10.045369 3.0382 0.060426 05 -10.188157 3.1649 0.060996 06 -10.049428 3.0450 0.068123 07 -10.096083 3.0734 0.053449 08 -10.026248 3.0208 0.058416 09 -10.039033 3.0066 0.049650 10 -10.051172 3.0287 0.061458 11 -10.034817 3.0000 0.035098 12 -9.836551 2.8241 0.045164 13 -9.934388 2.9203 0.050189 14 -9.771195 2.7698 0.039423 15 -9.751126 2.7724 0.031331 16 -9.937072 2.9226 0.053508 17 -9.990962 2.9694 0.042701 18 -9.799865 2.7897 0.057547 19 -9.710986 2.7292 0.069796 20 -10.060492 3.0486 0.056806 21 -9.947168 2.9335 0.051531 22 -9.956953 2.9398 0.051716 23 -9.848686 2.8542 0.046721 24 -10.013674 2.9824 0.050620 25 -9.873562 2.8552 0.044544 26 -9.846520 2.8387 0.029279 27 -9.867846 2.8530 0.044687 28 -9.899245 2.8750 0.044205 29 -9.952708 2.9437 0.045909 30 -10.037225 3.0183 0.058797 31 -9.656204 2.6713 0.042990 32 -9.982247 2.9525 0.049425 33 -9.933254 2.9032 0.042536 34 -10.181249 3.1315 0.060355 35 -9.933242 2.9073 0.061067 36 -10.088631 3.0844 0.046047

log10(C)tot mtot errore

tutti dati -9.964251 2.9536 0.059496

Tabella 5.2: Coefficienti log10(C)tot, mtoted errore relativi alla retta di best-fit

di tutti i dati.

Figura 5.10: Distribuzione dei valori di mi.

valor medio standard deviation

mi 2.9436 0.115616

Tabella 5.3: Valor medio e standard deviation dei coefficienti mi. valor medio standard deviation

log10(C)i -9.955128 0.123473

Tabella 5.4: Valor medio e standard deviation della distribuzione dei coefficienti log10(C)i.

Figura 5.11: Distribuzione dei valori di log10(C)i.

Tra i coefficienti che definiscono le equazioni di Paris, o meglio tra i valori del log10(C)i ed mi di tutte le prove risulta esistere una correlazione, sul- la quale si entrerà più in dettaglio successivamente, che è stata messa in evidenza in figura 5.12.

In seguito sono stati ricavati i valori dei coefficienti delle rette di best-fit dei dati relativi alla velocità di propagazione andando a fissare il valore della pendenza pari a ¯m.

Dovendo calcolare solo uno dei due coefficienti, definito come log10(C)mi¯ ,

che definiscono le rette è stata utilizzata solamente la prima equazione del sistema 5.6.

La retta di best-fit con pendenza fissata ( ¯m) relativa a tutti i dati interni

all’intervallo ha un valore del coefficiente log10(C)m¯ pari a -9.95212 e fornisce

un valore dell’errore pari a 0.059508.

L’equazione di tale retta risulta essere quindi:

log10 Ã dc dN ! = −9.95212 + 2.9436 · log10(∆K) . (5.11)

I valori dei coefficienti log10(C)mi¯ e dell’errore per i trentasei provini sono

01 -9.893630 2.9436 0.038169 02 -9.924072 2.9436 0.061083 03 -9.895667 2.9436 0.068052 04 -9.930056 2.9436 0.061774 05 -9.917697 2.9436 0.067269 06 -9.925051 2.9436 0.069395 07 -9.937387 2.9436 0.055986 08 -9.934102 2.9436 0.059213 09 -9.962646 2.9436 0.050272 10 -9.948310 2.9436 0.062429 11 -9.966800 2.9436 0.035820 12 -9.980302 2.9436 0.047792 13 -9.962631 2.9436 0.050271 14 -9.982123 2.9436 0.044782 15 -9.959083 2.9436 0.038320 16 -9.962375 2.9436 0.053570 17 -9.959513 2.9436 0.042825 18 -9.986626 2.9436 0.060610 19 -9.973003 2.9436 0.074489 20 -9.933198 2.9436 0.058355 21 -9.959383 2.9436 0.051545 22 -9.961619 2.9436 0.051718 23 -9.957562 2.9436 0.047928 24 -9.966520 2.9436 0.050846 25 -9.982070 2.9436 0.045935 26 -9.974009 2.9436 0.032021 27 -9.979399 2.9436 0.046164 28 -9.982621 2.9436 0.045111 29 -9.952623 2.9436 0.045909 30 -9.947875 2.9436 0.059604 31 -9.988396 2.9436 0.056318 32 -9.971310 2.9436 0.049436 33 -9.981807 2.9436 0.042838 34 -9.954079 2.9436 0.065043 35 -9.977554 2.9436 0.061234 36 -9.916579 2.9436 0.049472

Figura 5.12: Relazione tra i coefficienti log10(C)i ed mi.

Si fa notare come i valori dell’errore risultino essere ovviamente maggiori di quelli riportati in tabella 5.1.

Anche in questo caso la distribuzione dei valori dei log10(C)mi¯ può essere

considerata gaussiana, come visibile in figura 5.13, e definita dal valor medio e dalla deviazione standard riportati nella tabella 5.6.

valor medio deviazione standard log10(C)mi¯ -9.955213 0.025221

Tabella 5.6: Valor medio e standard deviation per la distribuzione dei valori di log10(C)mi¯ .

Di seguito, in figura 5.14, vengono visualizzate le due rette di best-fit, quella libera e quella con pendenza ¯m per il provino rappresentato in figura

5.8.

Le rette di best-fit con pendenza pari a ¯m di tutti e trentasei i provini

sono riportate in figura 5.15.

A questo punto è stato calcolato anche il valore medio dei coefficienti log10(C)mi¯ , definito come log10(C)m¯. Tale coefficiente risulta essere pari a

Figura 5.13: Distribuzione dei valori di log10(C)mi¯ .

Figura 5.14: Retta di best-fit00_propria00_{e retta di best-fit con pendenza fissata} per il provino LC12.

Figura 5.15: Rette di best-fit con pendenza fissata e dati sperimentali di tutti i provini.

La retta di Paris definita dai coefficienti medi risulta essere:

log10 Ã dc dN ! = −9.955213 + 2.9436 · log10(∆K) (5.12)

Il corrispondente valore dell’errore è pari a 0.05958799.

In tabella 5.7 si riportano i valori dei coefficienti e degli errori per la retta di best-fit, la retta di best-fit con pendenza fissata e la retta definita dai coefficienti medi log10(C)m¯ e ¯m.

log10(C) m errore

best-fit -9.964251 2.9536 0.059496 m fissato -9.95212 2.9436 0.059508 coef. medi -9.955213 2.9436 0.059588

Tabella 5.7: Coefficienti della retta di best-fit, della retta di best-fit con pendenza fissata, della retta definita dai coefficienti medi e relativi valori dell’errore.

definita da log10(C)tot e mtot, si riporta la figura 5.16 dove vengono riportati i dati sperimentali e le due rette.

Figura 5.16: Dati sperimentali di tutti i provini e loro retta di best-fit.

Di seguito, nella figura 5.17, viene riproposta la figura 5.14 in cui sono stati inseriti i valori della velocità relativi alla retta di Paris definita da ¯m e log10(C)m¯.

Per verificare come le rette di best-fit ricavate approssimano i valori sper- imentali della velocità, sono state calcolate le curve di propagazione c-N come integrazione della legge di Paris 2 _{e messe a confronto con le curve di}

propagazione sperimentali.

Nella figura 5.6 sono già state tracciate le curve sperimentali della propa- gazione della cricca per i trentasei provini, nelle figure 5.18 e 5.19 si riportano, per i provini LC11 e LC12, le curve c-N sperimentali, quelle relative all’in- tegrazione della retta di best-fit, quelle relative all’integrazione della retta di best-fit con pendenza fissata e quella relativa all’integrazione della retta definita dai coefficienti medi.

E’ evidente, soprattutto in figura 5.19, come la curva di propagazione derivante dall’integrazione della retta di Paris definita dai valori medi ¯m e

Figura 5.17: Retta di best-fit00_propria00_{, retta di best-fit con pendenza fissata} per un singolo provino, retta media delle velocità relative al provino LC12.

log10(C)m¯ risulti fornire, a parità di numero di cicli, un valore della lunghezza

della cricca inferiore alla lunghezza ottenuta dalle prove.