2.3 Comportamento di un laser
2.3.2 Emissione laser
Da questo momento in poi, poich´e siamo in banda ottica possiamo ignorare il contrbuto termico degli elettroni. Se ci troviamo in un sistema a due livelli possiamo descrivere il sistema con la rate equation di Einstein:
dN1
dt = N1A + (N2− N1)B ¯W Dove abbiamo supposto che:
B21= B12
Questo `e vero se i livelli hanno la stessa molteplicit`a, ma i risultati che si otten-gono sono idipendenti da questa assunzione (infatti basta aggiungere un fattore g2/g1).
In questa equazione compare la differenza di popolazione tra i due livelli. In pratica per arrivare all’emissione laser il termine N2−N1deve essere positivo (in questo modo domina il termine di emissione stimolata sull’emissione spontanea). All’inizio predomina il termine di assorbimento perch´e N2= 0. Per raggiun-gere un sistema in cui l’emissione stimolata predomina sull’assorbimento biso-gna ottenere l’inversione delle popolazione. Supponiamo che all’istante iniziale N1(0) = N : N1+ N2= N dN1 dt = (N − N1)A + B ¯W (−N1+ N − N1) = N1(A + 2B ¯W ) + N (A + B ¯W ) dN1 N1(A + 2B ¯W ) − N (A + B ¯W ) = dt Z N1(t) N1(0) dN1 N1− N A+B ¯W A+2B ¯W = −(A + 2B ¯W ) Z t 0 dt lnN1(t) − N (A+B ¯W ) A+2B ¯W 1 − NA+2B ¯A+B ¯WW = −(A + 2B ¯W )t N1(t) = N (A + B ¯W ) A + 2B ¯W + 1 − N (A + B ¯W ) A + 2B ¯W e−(A+2B ¯W )t N2(t) = N B ¯W A + 2B ¯W h 1 − e−(A+2B ¯W )ti
Queste equazioni permettono di controllare il rapporto tra il contributo di emissione stimolata rispetto all’emissione totale. Studiamo il raggiungimento della situazione di equilibrio. L’emissione spontanea avviene su tutto l’angolo solido, mentre l’emissione stimolata avviene nella stessa direzione del campo di ingresso.
Valutiamo la tipologia della sorgente che pu`o avere un emissione laser, ri-spetto al rapprto tra BW ed A. Quando questo sistema a due livelli comincia a restituire della radiazione che `e arrivata dal campo stesso. Il fattore di guadagno dipender`a dal rapporto:
B ¯W A = 1 −→ B ¯Qdω = Adω W (ω)dω = A Bdω = ~ω3 π2c3dω Siccome il Detector misura l’intensit`a:
I = c ¯W
Idω = ~ω
3
π2c2dω
Se sostituiamo numericamente valori di ω che cadono nel visibile (ad esempio ω = 3 · 1015 rad/s). Prendiamo il dω di una lampada a scarica:
dω ∼ 2π1010rad s
Quanto deve essere l’intensit`a della sorgente affinch´e il contributo di emis-sione stimolata `e pari a quello di emissione spontanea, cio`e che il sistema sia in condizione di sensibile alterazione della popolazione. Vediamo subito qual `e la grande differenza tra sorgenti laser e altre sorgenti.
I ∼ 2 · 105W m2
Una sorgente convensionale che emettono. Preleviamone il singolo mo-do. Il singolo modo spaziale del campo elettromagnetico. Con che buona approssimazione prendiamo un singolo modo?
Creo una sorgente puntiforme, faccio un piccolo foro su un foglio, per sele-zionare il singolo modo del campo
In questo modo si seleziona il singolo modo. Le intensit`a sono riportate in tabella
Abbiamo due regimi: BW
A 1 → laser BW
Ci dobbiamo aspettare comportamenti differenti e con una componente laser. Mettiamoci nella situazione per t → ∞
N2= N B ¯W A + 2B ¯W N2 N = B ¯W A + 2B ¯W N2 N = 1 A B ¯W + 2
Per una sorgente convensionale questo rapporto `e decisamente piccolo: N2
N 1
Il livello di segnale `e cos`ı debole che la frazione di popolazione N2 rispetto alla popolazione totale `e molto bassa. Viceversa per un laser possiamo mandare a zero il termine:
N2 N → 1
2
Nel sistema a due livelli, per quanti sforzi si facciano non si riesce a portare pi`u di met`a della popolazione al livello N2. Il sistema sta assorbento, perch´e il termine di assorbimento prevale sull’aumento. L’assorbiemno prevarr`a sempre sull’emissione stimolata.Per quanto cresca l’emissione stimolata al massimo N2 vale N/2. A quel punto il sistema diventa trasparente, avviene la saturazione dell’assorbimento. Con due livelli non faremo mai un laser. Ne servono almeno uno di pi`u
Questo fenomeno viene chiamato regime di saturazione. I laser possono essere a tre o a quattro livelli. Quello pi`u conveniente `e un sistema a 4 livelli. Tuttavia il laser a 3 livelli `e utile didatticamente. Ci serve un livello di Buffer, con delle condizioni in pi`u:
La stragrande maggioranza dei sistemi laser `e a 4 livelli, tuttavia, il primo laser in banda ottica `e stato a 3 livelli.
Bisogna fare in modo che N2 sia magiore di N1. Possiamo fornire al mezzo attivo che `e pi`u alta dell’energia che `e in grado di riemettere. Come forniamo l’energia di un cristallo di rubino? Siamo nello stato solido, abbiamo vere e
proprie allargamenti. Lo spettro d’assorbimento del rubino: Serve luce tutta nel verde. Si usavano delle lampade a flesh con uno spettro di emissione che pu`o essere matchato con quelle bande di assorbimento. C’`e un problema di accoppiamento di efficienza. Il cilindro di rubino vene chiuso in una lampada a flash fatta in un solenoide:
Per focalizzare il flash fu fatta con una carta di alluminio riflettente. L’ef-ficienza di accoppiamento tra luce ottica emessa se va bene arriva allo 0.5 %, molto in perdita. Con una cosa del genere c’era un banco di 240 microfarad su cui venivano scaricati 2000 Volts.
Bisogna fare in modo che N2> N1. Il livello 2 `e scelto all’inerno della banda di assorbimento, cio`e tra 3 e due c’`e un salto intrabanda:
Il decadimento avviene con un rilassamento intrabanda non radiativo (di tipo fononico). Per funzionare questo sistema deve rispettare la condizione:
τ32 τ21 τ21∼ 3ms
Il τ32 `e intrabanda, dell’ordine dei picosecondi. Questa condizione `e cos`ı importante perch´e nel tempo in questo modo la popolazione del livello 3 rimanga sempre vuota. Quindi avr`o sempre la possibilit`a di pompare il livello 3. Quando gli atomi arrivano al livello 2 hanno tanto prima di ricadere sul livello 1. Posso pornarne a sufficienza. Allora le approssimazioni sono:
Il terzo livello permette il pompaggio ottico, posso arrivare all’inversione delle popolazioni quando:
N2− N1≥ 0 N2= Nt
2 + 1
Rispettando questa condizione posso creare un laser. Questa cosa comporta ancora fare uno sforzo enorme. Perch´e della Nt se ne devono eccitare la met`a pi`u uno.
L’aggiunta di un quarto livello rende l’interno gioco pi`u semplice:
L’assorbimento `e verso l’infrarosso, e l’emissione introno a un micron (infra-rosso).
τ32 τ21 τ1G τ21
Per cui abbiamo due rilassamenti fononici. Questi sono sulla scala dei picosecon-di. Nel caso del materiale `e comunque molto lungo (centinaia di microsecondi).
L’enorme vantaggio `e che N1`e sempre uguale a zero, adesso basta mandare un solo livello e si `e ottenuta l’inversione di popolazione.
Da questa discussione qualitativa abbiamo ricavato informazioni molto im-portanti, vedremo dalla prossima volta tutto quanto in modo quantitativo, e ritroveremo proprio queste ragionamento.