Equazioni approssimate delle frequenze

Nel secondo capitolo sono state ampiamente discusse le tecniche di caratterizzazione elastica di materiali omogenei ed isotropi basate sulla misura delle frequenze naturali di opportuni provini. In particolare, è stata evidenziata la necessità della conoscenza di appropriate equazioni di frequenza che correlino le grandezze da misurare alle frequenze naturali, alla massa ed alle dimensioni dei provini. Si è anche sottolineato come accurate equazioni di frequenza utilizzabili ai fini della caratterizzazione elastica siano disponibili solo per semplici geometrie, i.e. barrette prismatiche (a sezione cilindrica o rettangolare) e piastre circolari. Queste geometrie, peraltro suggerite nelle normative ASTM, sono allo stato attuale quelle comunemente adottate per la caratterizzazione elastica di materiali isotropi. Tuttavia, le costanti elastiche potrebbero essere determinate dalla misura delle frequenze naturali di provini con geometrie di tipo diverso se le equazioni di frequenza fossero note con sufficiente accuratezza. In questa sezione viene valutata la possibilità di utilizzare piastre sottili

rettangolari, ciò risulterebbe particolarmente conveniente specie quando si vogliano esaminare le proprietà elastiche di film sottili. Tuttavia, la soluzione delle equazioni differenziali che descrivono le vibrazioni flessionali di piastre sottili è perseguibile solo per condizioni al contorno e di carico particolarmente semplici. Bisogna inoltre sottolineare che dal punto di vista sperimentale riprodurre le condizioni al contorno di piastra poggiata (Navier), e più in generale le condizioni di vincolo classiche, comportano l’introduzione di errori anche sensibili, nella misura delle frequenze naturali.

D’altra parte le difficoltà matematiche coinvolte nell’analisi di una piastra libera al contorno, rendono i metodi approssimati gli unici approcci possibili. I metodi approssimati con cui sono stati studiati tali problemi in passato sono sostanzialmente due: il metodo di Rayleigh ed il metodo di Ritz. Il metodo di Rayleigh è facilmente implementabile al calcolatore ma è anche poco accurato per la determinazione delle frequenze superiori. Il metodo di Ritz è quello più comunemente adottato ma l’accuratezza e la convergenza della tecnica sono dipendenti dal “set” di funzioni ammissibili scelto per rappresentare il campo di spostamenti; inoltre, tali funzioni devono essere diverse per piastre di forma e/o condizioni al contorno differenti, e questo può renderne la scelta molto difficoltosa. Warburton [4.5] adottò le funzioni caratteristiche di vibrazione delle travi a sezione uniforme nel metodo di Rayleigh in modo da ottenere, per ogni condizione al contorno e per ogni modo di vibrare, una semplice equazione approssimata che permette di ottenere le frequenze naturali di piastra rettangolari (di qualsiasi rapporto di forma) a partire dalla conoscenza delle dimensioni, della massa e delle proprietà elastiche del materiale. Tale formula assume la forma seguente

2 a t D 2 f







dove D=Et3/[12(1-2)] è la rigidezza flessionale della piastra, E e  sono le proprietà elastiche del materiale,  la densità, t lo spessore, f la frequenza naturale mentre  è un fattore adimensionale (fattore di frequenza) le cui espressioni sono riportate in [W]. Il fattore di frequenza dipende dal rapporto di forma a/b, dove a e b sono i lati della piastra (Fig. 4.1), ed inoltre da , se uno o più lati della piastra sono liberi.

Fig. 4.1 Rappresentazione schematica della piastra

L’equazione di frequenza (4.1) insieme con la conoscenza delle espressioni del fattore di frequenza permette il calcolo diretto delle frequenze naturali di piastre aventi qualsiasi combinazione di condizione al contorno, se le proprietà elastiche sono note. Vice versa, permettono di determinare le proprietà elastiche a partire dalla conoscenza delle

frequenze naturali. L’accuratezza delle frequenze calcolate con la (4.1) è eccellente nel caso di piastre che non presentino spigoli liberi. Tuttavia quando ciò accade, l’accuratezza delle frequenze calcolate si riduce notevolmente. Leissa [4.6,4.7] presentò risultati più accurati per il caso delle vibrazioni libere flessionali di piastre isotrope libere al contorno. In particolare adottò il metodo di Ritz ed espresse il campo di spostamento con una serie di 36 termini contenente il prodotto delle funzioni caratteristiche di vibrazione delle travi a sezione uniforme. Il metodo di Ritz conduce ad un sistema di equazioni che viene risolto in via iterativa ed i cui coefficienti sono funzione del coefficiente di Poisson; pertanto Leissa presentò i risultati relativi al caso =0.3 ritenendolo di maggiore interesse dal punto di vista pratico.

Sebbene i suddetti metodi abbiano trovato vasta applicazione in letteratura, allo stato attuale, i metodi numerici giocano un ruolo importante nel trattare complicati problemi strutturali in campo dinamico. In particolare, il metodo degli elementi finiti (FEM) risulta estremamente versatile al fine dello studio di problemi che coinvolgono le vibrazioni (libere o forzate) di strutture anche complesse.

Esso consente inoltre di trattare piastre di qualsiasi forma soggette a qualsiasi condizione di carico e di vincolo. L’aspetto negativo dell’applicazione di tale metodo è rappresentato dai tempi di elaborazione richiesti che per modelli complessi possono essere eccessivamente lunghi, ma questo problema è stato superato grazie all’avvento dei moderni calcolatori.

In questo lavoro il metodo degli elementi finiti è stato adottato al fine di determinare la dipendenza del fattore di frequenza adimensionale () dal rapporto di forma, a/b, e dal coefficiente di Poisson. L’idea è quella di aumentare l’accuratezza delle equazioni fornite da Warburton al punto da poterle applicare nel calcolo delle proprietà elastiche di piastre sottili in materiale isotropo. Il caso di piastra rettangolare libera al contorno è stato esaminato per diversi modi di vibrare e per diversi valori del rapporto di forma. I risultati ottenuti sono stati comparati con quelli ottenuti da Warburton e, ove possibile, con quelli di Leissa.