4. LA MODELLAZIONE NUMERICA ACCOPPIATA TERMO-IDRAULICA
4.2 Le equazioni alla base del problema accoppiato THM e TH
77 [𝑘]𝑒= ∫ [𝐵]𝑒𝑇[𝐶]𝑒[𝐵]𝑒𝑑𝑉
𝑉𝑒
E grazie ad essa, dopo una combinazione con gli spostamenti nodali noti, si è in grado di ricavare le forze esterne [𝑋]𝑒 ai nodi agenti sul singolo elemento:
[𝑋]𝑒 = [𝑘]𝑒[𝑢]𝑒
Queste equazioni locali si possono assemblare così da potere estendere quanto detto a tutto il dominio, ottenendo un unico grande sistema di equazioni (equazioni globali) da risolvere. Le soluzioni saranno sui nodi nella forma:
[𝑅] = [𝐾][𝑢]
[𝐾] = ∑ ∫ [𝐵]𝑒𝑇[𝐶]𝑒[𝐵]𝑒𝑑𝑉
𝑉𝑒 𝑒
Dove [R] rappresenta il vettore delle forze esterne agenti in ogni nodo, il vettore degli spostamenti [𝑢] nodali del dominio nel suo complesso e [K] la matrice globale di rigidezza estesa a tutto il dominio (la si è infatti ottenuta sommando le matrici di rigidezza di ogni elemento) e non più limitata al singolo elemento.
Si devono assegnare le condizioni al contorno, così da ridurre il numero di incognite del problema (che altrimenti supererebbero il numero delle equazioni risolutive); solo con queste informazioni aggiuntive nel sistema trovato in precedenza si possono ricavare le soluzioni ai nodi e ricostruire l’intero campo tenso-deformativo. Dalla risoluzione del sistema lineare globale si ricava il valore della variabile in ogni nodo del dominio discretizzato e, grazie alle funzioni di interpolazione, queste soluzioni nodali consentono di estendere la soluzione in modo continuo sulla totalità del dominio.
78 In un mezzo multifase un cambiamento nel campo delle temperature può indurre deformazioni e stress termici, cambiamenti della viscosità dinamica del fluido presente nei pori e della densità di flusso. E alla fine sia la resistenza che la densità del mezzo poroso possono essere alterate (Zhang e Cheng, 2017).
Il fenomeno della convezione può cambiare la distribuzione del campo di temperatura, come anche la pressione dell’acqua contenuta nei pori e di conseguenza inevitabilmente il campo meccanico. La deformazione causata dagli stress addizionali potrà anche modificare il coefficiente di permeabilità e le proprietà termiche dei mezzi multifase, influenzando così sia il campo idraulico che termico.
L’approccio accoppiato THM è tanto più importante nei problemi di geotermia superficiale, in quanto si è visto nella definizione stessa di geostruttura energetica la compresenza di fenomeni meccanici e termici: quando si vanno a combinare le pompe di calore con le parti dell’edificio sotterranee (come pali, diaframmi, ecc.) e con le strutture sotterranee (come gli ancoraggi delle gallerie) queste ultime non sopporteranno più solo le forze trasmesse, ma saranno anche utilizzati come scambiatori di calore. In tali condizioni, il problema accoppiato THM nella roccia e nei terreni agirà sull’efficienza operativa del sistema delle pompe di calore, ma soprattutto, sotto i cicli perenni di riscaldamento/raffreddamento, potrà anche influenzare negativamente la sicurezza delle componenti sotterranee e delle fondazioni (specialmente per le fondazioni in argilla morbida, in cui si può verificare il rammollimento del terreno e l’accumulo di deformazioni termiche e pressioni interstiziali). La valutazione di tutti questi effetti è alla base dello studio THM.
Figura 67. Processi termo-idro-meccanici accoppiati (Joulin, 2019)
79 Esistono già molti modelli THM che tengono in conto in maniera completa del flusso multifase nei mezzi porosi sia in scala macroscopica che microscopica, considerando gli effetti di interfaccia tra le fasi presenti. Seguendo gli studi di Biot, il primo a indagare la teoria poroelastica, molti ricercatori hanno studiato una varietà di problemi quasi-statici e dinamici e analizzato i comportamenti di accoppiamento THM di mezzi saturi. Questi studi erano basati su ipotesi di bassa temperatura, incomprimibilità, equilibrio termico di fasi solide e fluide, comportamento elastico lineare della fase solida, flusso di calore non convettivo, assenza di cambio di fase dei fluidi e proprietà costanti del materiale. Sono state, inoltre, elaborate soluzioni analitiche per questi casi di accoppiamento in quei materiali le cui proprietà risultano essere costanti: le classiche leggi di Fourier e Darcy ne sono alla base, rispettivamente per il flusso di calore o di fase liquida (Weizhong et al., 2009).
I mezzi porosi incontrati in molti settori ingegneristici sono da considerarsi insaturi; vi sono stati sviluppi recenti relativi a queste tipologie di terreno, in parte realizzati mediante esperienze di laboratorio, in parte grazie a simulazioni numeriche. E un approccio comunemente usato per la modellazione del flusso d’acqua nel mezzo insaturo è l’approccio del continuo (Weizhong et al., 2009).
La natura del sistema è complessa: il trasferimento di calore, umidità e aria nel mezzo deformabile e non saturo coinvolge l’interazione di tre processi differenti (termico, meccanico e fluido) e tre fasi differenti (solida, liquida e gassosa). Inoltre, l’acqua potrebbe essere presente non solo come fase liquida, ma anche come vapore acqueo: questo cambiamento di fase potrebbe avvenire durante il processo stesso a causa di variazioni di temperatura e carichi agenti. E’ dunque molto difficile stabilire un modello matematico completo, che includa tutti i possibili processi accoppiati e vanno introdotte ipotesi semplificative quali piccole deformazioni, densità costante dello scheletro solido (assunto incompressibile, con la parte porosa ad essere la sola deformabile), il vapore acqueo viene ignorato (così che non si potranno avere cambiamenti di fase della fase liquida in quanto la pressione della fase gassosa è relativamente elevata e le variazioni di temperatura basse), la velocità dello scheletro solido viene ignorata e, infine, tra due fasi differenti si assume vi sia equilibrio termico locale (Weizhong et al., 2009).
Ai fini della presente tesi è possibile ridursi ad un approccio termo-idraulico (TH) che consideri i flussi idraulici e quelli termici, trascurando lo studio meccanico, che dovrebbe essere inglobato nel caso si volessero studiare le deformazioni e tensioni indotte nel sistema. E’ necessario scrivere le equazioni matematiche per la soluzione del problema termo-idraulico:
Equazione di conservazione della massa;
Legge di Darcy;
Equazione di conservazione dell’energia.
80 Le prime due sono legate all’aspetto idraulico del problema, mentre la terza si legherà ai fenomeni di scambio termico.
4.2.1 Processo Idraulico
Le equazioni di conservazione della massa, per un terreno bifase saturo si possono scrivere come segue, rispettivamente per la fase liquida e solida:
−∇( 𝑛𝜌𝑤𝑣𝑤) =𝜕(𝑛𝜌𝑤)
𝜕𝑡
−∇[(1 − 𝑛)𝜌𝑠𝑣𝑠] =𝜕[(1 − 𝑛)𝜌𝑠]
𝜕𝑡 Dove:
۰ 𝑣𝑖rappresenta la velocità del fluido o dello scheletro solido (m/s);
۰ 𝜌𝑖 è la densità di acqua o scheletro solido (kg/m3);
۰ 𝑡 rappresenta il tempo (s), mentre n sta per la porosità del terreno [-];
۰ ∇, 𝜕
𝜕 sono operatori matematici, rispettivamente rappresentano divergenza e derivata parziale.
Sotto l’ipotesi di fluido incomprimibile, l’equazione della fase liquida diviene:
−∇(𝑛𝑣𝑤) =𝜕(𝑛)
𝜕𝑡 Se si aggiunge anche l’incompressibilità della scheletro solido:
𝜕𝑛
𝜕𝑡 =𝜕𝜀𝑣
𝜕𝑡
Con 𝜀𝑣 pari alla deformazione di volume. Dunque si avrà:
−∇(𝑣𝑖) =𝜕𝜀𝑣
𝜕𝑡
Suddetta equazione lega la variazione che il fluido subisce nel volume di terreno considerato a seguito di fenomeni di consolidazione o rigonfiamento, che si manifestano con variazioni di deformazioni. Se la si combina con la legge di Darcy che descrive il moto del fluido nel mezzo bifase:
𝑣𝑖= −𝐾 ∙ ∇ℎ𝑖 Con:
۰ K pari alla conducibilità idraulica del mezzo poroso (coincidente con la velocità del fluido, per un gradiente idraulico unitario) (m/s);
81
۰ ℎ𝑖 pari al carico idraulico totale o quota piezometrica (m) espressa come somma tra la quota geometrica z e il rapporto tra la pressione e il prodotto dell’accelerazione gravitazionale con la densità del fluido 𝑝
𝑔𝜌𝑤. Dopo averle messe assieme, si avrà:
∇(𝐾 ∙ ∇ℎ𝑖) =𝜕𝜀𝑣
𝜕𝑡
A causa della non omogeneità dei mezzi porosi, di solito la conducibilità idraulica (o permeabilità) è un tensore che mostra una variabilità spaziale e un comportamento direzionale (che causa, inoltre, condizioni di anisotropia): è il caso di falde acquifere con stratificazione orizzontale. Però, sotto l’assunzione di permeabilità isotropa, K assume una forma scalare (come la porosità n).
- CONDUCIBILITA’ IDRAULICA
Il flusso della sola fase fluida nel mezzo poroso è descritta solitamente dalla legge di Darcy, la quale esprime la dipendenza del campo di velocità di Darcy con il gradiente del carico totale. Ovviamente, anche nel caso di geo-strutture energetiche (tunnel per il caso in esame) abbinate a circuiti di tubi scambiatori di calore con fluido termovettore, la fase liquida fa riferimento al solo liquido che circola nel terreno. La permeabilità assoluta K, contenuta nelle equazioni precedenti, rappresenta la capacità del mezzo poroso di essere attraversato dai fluidi; essa lega il gradiente di pressione alla portata attraverso due costanti: la viscosità del fluido (Pa۰s) e la permeabilità/conduttività idraulica del mezzo poroso (quest’ultima usata comunemente quando la legge di Darcy è espressa in termini di quota geometrica z).
𝐾 = 𝑘ℎ𝜌𝑓𝑔
𝜇𝑓
E’ una proprietà dei terreni e, dunque, viene misurata in laboratorio.
- POROSITA’
La porosità n viene definita come il rapporto tra il volume dei vuoti 𝑉𝑣 e il volume totale 𝑉. È una grandezza scalare e adimensionale che identifica la percentuale di vuoti nel volume di materiale poroso studiato.
𝑛 =𝑉𝑣 𝑉 [−]
82
4.2.2 Processo di Trasferimento di Calore
Si devono distinguere tre contributi presenti nel fenomeno dello scambio termico, dovuti rispettivamente al meccanismo di conduzione, convezione e irraggiamento (quest’ultimo di scarso interesse per il nostro campo di applicazione).
La convezione è quel meccanismo di trasporto dell’energia termica dovuto al movimento macroscopico delle particelle del fluido: all’interno di un mezzo poroso saturo, come il terreno, sarà associato al movimento della falda acquifera, per nulla trascurabile.
In un sistema termo-dinamico in cui la fase solida non si muove, lo scambio termico per convezione avviene solamente con la fase liquida la quale immagazzina calore e lo trasporta attraverso la legge:
𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣= 𝑐𝑤 𝜌𝑤𝑣𝑖∆𝑇 Dove:
۰ 𝑐𝑤è il calore specifico del fluido [J/(kg·K)];
۰ 𝜌𝑤è la densità del liquido (kg/m3);
۰ 𝑣𝑖 rappresenta la velocità del fluido (m/s);
۰ 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣 è il flusso termico trasferito per convezione (W/ m2);
۰ ∆𝑇sta per la differenza di temperatura (K).
La conduzione, invece, è il meccanismo principale di trasferimento di energia termica che avviene senza essere accompagnato da scambio di materia: il calore piuttosto si diffonderà attraverso un solido, liquido o gas attraverso la trasmissione di energia tra le molecole attigue. Il fenomeno avviene quando due corpi a diversa temperatura entrano in contatto e sarà strettamente legato alla conduttività termica λ.
Il flusso di potenza termica può essere descritto dalla legge di Fourier come segue:
𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑= −𝜆 · 𝑔𝑟𝑎𝑑(𝑇) Con:
۰ λ pari alla conducibilità termica (W/m·K) e il cui significato sarà descritto più nel dettaglio nel paragrafo seguente;
۰ 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑 pari al flusso termico trasferito per conduzione (W/m2);
۰ T(x,y,z,t) che rappresenta il campo scalare delle temperature funzione del tempo e dello spazio, all’interno del volume di terreno considerato.
83 La legge di Fourier esprime la diretta dipendenza tra il flusso di calore e il gradiente/differenza di temperatura all’interno di un corpo: maggiore il gradiente, maggiore la quantità di calore che fluirà dalle regioni a temperatura maggiore verso quelle a temperatura minore (II Principio della Termodinamica).
Poiché il flusso termico sarà diretto nel verso delle temperature decrescente, nell’equazione vi è il segno negativo.
Si può ora scrivere l’equazione di conservazione dell’energia che tiene in conto di entrambi i processi di trasferimento di calore e del termine legato all’accumulo di energia in regime transitorio, come:
𝜆 · ∇2(𝑇) + 𝑐𝑤 𝜌𝑤𝑣𝑖𝛻(𝑇) − 𝑐𝜌 𝜕𝑇
𝜕𝑡 = 0 Dove:
1. 𝑐𝜌𝜕𝑇
𝜕𝑡 si riferisce all’accumulo di calore nel volume di riferimento (J/m3s), con:
- 𝑐𝜌 si riferisce alla capacità termica del terreno (J/m3K) e si potrà scomporre con riferimento alle due fasi presenti, scrivendo 𝑐𝜌 = 𝑛𝑐𝑤 𝜌𝑤 + (1 − 𝑛)𝜌𝑠𝑐𝑠; il pedice (w) si riferisce alla fase liquida, mentre il pedice (s) alla fase solida e n indica la porosità.
- 𝜕𝑇
𝜕𝑡è la derivata della temperatura rispetto al tempo (K/s).
2. 𝜆 · ∇2(𝑇) è il termine associato allo conduzione (J/m3s), con:
- 𝜆 conduttività del terreno (W/mK) che si può scrivere distinguendo le due fasi presenti come 𝜆 = 𝑛𝜆𝑤 + (1 − 𝑛)𝜆𝑠.
3. 𝑐𝑤 𝜌𝑤𝑣𝑖(𝛻𝑇) è associato alla convezione (J/m3s).
4.2.3 Condizioni al Contorno
La trattazione matematica del problema del trasferimento di calore non è ancora completa. Per risolvere le equazioni differenziali alle derivate parziali, infatti, sono richieste anche le condizioni iniziali e al contorno, in quanto le equazioni scritte al paragrafo 4.2.1 e 4.2.2 riguardano tutto il dominio delle temperature (e pressioni).
Fissato l’istante temporale (t = 0), le condizioni iniziali possono essere interpretate come una fotografia del campo delle temperature; le condizioni al contorno (che fanno riferimento alla zona di confine esterno del dominio considerato), invece, variano nel tempo e distinguono tre casi:
۰ Dirichlet (1° tipo): vengono specificati i valori (temperatura o pressione ad esempio) che la soluzione deve assumere su certe regioni del dominio; per i problemi
termo-84 idraulici ciò significa avere zone con temperature e carichi idraulici noti che siano funzione del tempo.
۰ Neumann (2° tipo): vengono specificati i valori che la derivata temporale prima normale, uscente dal contorno del dominio, della soluzione (densità del flusso di calore o del flusso idraulico) deve assumere ai bordi del dominio.
۰ Cauchy (3° tipo): equivale all’imposizione di una condizione del 1° tipo e, allo stesso tempo, del 2° tipo; specifica dunque i valori della soluzione sui bordi del dominio e i valori della sua derivata prima normale a tale regione.
A causa delle difficoltà matematiche, le soluzioni analitiche delle equazioni saranno sicuramente assicurate per i problemi 1-D (dove le equazioni dipenderanno da una singola coordinata) e i casi più semplici. Per quelli 2-D o 3-D i problemi possono essere risolti in specifiche circostanze, combinando le soluzioni ottenute per i casi monodimensionali (Brandl, 2006).