Equazioni del moto per scalare, fermione, vettore

La Lagrangiana che descrive particelle libere, e le corrispondenti equazioni di moto, sono:

L = ∂_µφ∂^µφ − m²φ²+ ¯ψ(i∂/− m_f)ψ + F_µνF^µν− M²A_µA^µ (25) (∂_µ∂^µ+ m²)φ = 0 (i∂/− m_f)ψ = 0 ∂_µF^µν + M²A^ν = 0 (26) dove F^µν ≡ ∂^µA^ν − ∂^νA^µ, ∂/ ≡ ∂_µγ^µ e ψ `e una funzione d’onda a 4 componenti.

Consideriamo dapprima un campo scalare. In trasformata di Fourier si ha:

φ(x) = che fissa l’impulso “sul mass shell” ha due branche, una per p₀ = +√

p²+ m² e una per p₀ =

−√

p²+ m²: esistono quindi sia soluzioni “ad energia positiva” del tipo e^−ipx che soluzioni “ad energia negativa” del tipo e^ipx.

Nel caso di un fermione le soluzioni hanno la forma ψ(x) ∼ e^−ipxu(p) dove u(p) `e un qudrispinore che soddisfa (p/− m)u(p) = 0 e p₀ = ±√

p²+ m². Si preferisce per convenzione scri-vere le soluzioni con energia negativa come ψ(x) = e^ipxv(p), (p/+ m)v(p) = 0, p₀ = +√

p²+ m². Vediamo per prime le soluzioni ad energia positiva.si ha ψ(x) = ^R d⁴pe^−ipxu(p) dove u(p) `e un qudrispinore che soddisfa (p/− m)u(p) = 0. Scrivendo u(p) in termini di due bispinori (o spinori di Weyl) si ottiene:

Possiamo verificare la covarianza dell’equazione di Dirac supponendo che η trasformi come ψL, η → η⁰ = M η con M = exp[iασ + βσ] e ξ trasformi come ψ_R, ξ → ξ⁰ = M^†−1ξ. L’equazione di

La (29) ammette due soluzioni per i due possibili spin. Conviene scegliere l’asse di quantizzazione dello spin lungo l’impulso, cio`e scegliere la base Sˆpη± = ±¹₂η±, S = σ₂ . Esplicitamente si ha:

Per convenzione si normalizza a u^†_ru_s= 2p₀δ_rs, ¯u_ru_s = 2mδ_rs. Con questa normalizzazione:

In questo caso gli autostati di elicit`a coincidono con gli autostati di chiralit`a:

u+ = 0 m)v(p) = 0. Calcoli analoghi a quelli per le u(p) conducono a:

v₋= Notare che elicit`a + delle soluzioni a energia negativa corrisponde a spinori di tipo -. Questo `e dovuto alla nostra scelta delle soluzioni : u(p)e^−ipx diventa, per le soluzioni con E < 0, v(p)e^ipx cio`e viene invertito, oltre al segno dell’energia, anche quello del triimpulso. Il che significa che uno stato a elicit`a + `e allineato a −p: σ(−p)β = β ⇒ σpβ = −β cio`e elicit`a + per v corrisponde un bispinore β₋.

Veniamo infine al caso di un bosone vettore. Le equazioni del moto (vedi (26)) si scrivono:

∂_νF^νµ+ M²A_µ= (2 + M²)A_µ− ∂_µ∂^νA_ν = 0 (31) da cui segue, per l’antisimmetria di F^νµ, ∂^µA_µ= 0 e le soluzioni sono di tipo onda piana:

A^µ(x) = ε^µ_p(k)e^−ikx+ ε^µ∗_p (k)e^ikx k² = M² (32)

si ha quindi che kε(k) = 0 e che k0 =^qM²+ |k|².

Per trovare una base, cio`e scrivere esplicitamente le possibili polarizzazioni di un bosone vettore, partiamo dal fatto che una base reale nello spazio a 4 dimensioni `e data dai 4 vettori:

ε₀ = (1, 0) ε₁ = (0, ₁) ε₂ = (0, ₂) ε₃ = (0, ˆk) k_1,2 = 0, ²_1,2 = 1 (33) Infatti ogni quadrivettore si pu`o scrivere come v<sup>µ</sup> = <sup>P</sup><sub>i=0,1,2,3</sub>c<sub>i</sub>ε<sup>µ</sup><sub>i</sub> con c<sub>0</sub> = v<sub>0</sub> = (vε<sub>0</sub>), c<sub>i</sub> = v · i = −(vεi). Notare il segno - nella metrica, per cui g<sup>µν</sup>vν = v<sup>µ</sup>= (vε0)ε<sup>µ</sup><sub>0</sub> −<sup>P</sup><sub>i=1,2,3</sub>(vεi)ε<sup>µ</sup><sub>i</sub> = v<sub>ν</sub>(ε<sup>µ</sup><sub>0</sub>ε<sup>ν</sup><sub>0</sub> − ε<sup>µ</sup><sub>i</sub>ε<sup>ν</sup><sub>i</sub>) da cui ε<sup>µ</sup><sub>0</sub>ε<sup>ν</sup><sub>0</sub> − ε<sup>µ</sup><sub>i</sub>ε<sup>ν</sup><sub>i</sub> = g<sup>µν</sup> come si pu`o verificare esplicitamente dalla (33). Le 4 polarizzazioni della (33) vengono chiamate scalare (ε₀), trasverse (ε_1,2), longitudinale (ε₃)

Nel caso M 6= 0 i vettori ε₁, ε₂ soddisfano kε = 0 ma ε₃, ε₀ no. Tuttavia `e facile trovare una combinazione di questi ultimi che soddisfa kε_L = 0:

k = (k0, k); k² ≡ M² ε1,2 = (0, 1,2); k1,2 = 0; ²_1,2 = 1 εL= 1

M(|k|, k0k)ˆ (34) E’ facile fare le somme sulle polarizzazioni. Infatti:

X

1,2

εⁱ_pε^j_p = δ^ij −kⁱk^j

|k|² εⁱ_Lε^j_L = k²₀ M²

kⁱk^j

|k|²

X

1,2

ε⁰_pε⁰_p = 0 ε⁰_Lε⁰_L = |k|²

M² (35)

da cui, considerando anche le componenti miste 0i, si ricava:

X

T ,L

ε^µ_pε^ν∗_p = −g^µν+k^µk^ν

M² (36)

Il caso di bosone di massa nulla (fotone) `e un p`o pi`u complicato. La richiesta kε = 0 non `e imposta dalle equazioni del moto, ma conseguenza della scelta di gauge (Lorentz); questo elimina un grado di libert`a:

ε_1,2 = (0, _1,2); k_1,2 = 0; ²_1,2 = 1 ε^µ_L =∝ k^µ (37) Tuttavia ho ancora la libert`a di una variazione di gauge (ristretta) A<sub>µ</sub> → A<sub>µ</sub>+ ∂<sub>µ</sub>χ purch`e

∂^µ∂_µχ = 0 ^∗. Scegliendo χ = exp[−iαkx] questo corrisponde per le polarizzazioni a ε^µ → ε^µ− αk^µ, k² = 0; in definitiva posso scegliere la gauge in modo da eliminare l’ultima delle (37), che `e non fisica. Infine, ricordando che k = ω(1, ˆk) e introdotto un vettore n = ω(1, −ˆk) `e facile verificare che:

X

1,2

^µ_i^ν_i ≡ P_T^µν = δ^ij − ˆkⁱkˆ^j = −g^µν+ k^µn^ν + k^νn^µ

(nk) (38)

∗Una trasformazione di gauge in particolare non cambia i valori di dei campi elettrici e magnetici B, E e non cambia quindi la fisica

2 Sezioni d’urto, decadimenti, spazio delle fasi

Un’esperimento di scattering `e una probabilit`a.... La matrice S contiene delle delta di conser-vazione del quadriimpulso:

hf |S|ii = hf |1 + iT |ii = hf |ii + i(2π)⁴δ⁴(Pf − Pi)Af i

dove P_f(P_i) `e la somma degli impulsi finali (iniziali). Queste delta sono dovute alla invarianza temporale, per la quale gli operatori hanno una ben precisa dipendenza dalle coordinate. Ad esempio:

Z

d⁴xhf |L_I(x)|ii =

Z

d⁴xhf |e^{iP x}L_I(0)e^{−iP x}|ii =

Z

d⁴xe^i(Pf−Pi)hf |L_I(0)|ii = hf |L_I(0)|ii(2π)⁴δ⁴(P_f − P_i)

Il volume d’interazione, V = L³, e il tempo di interazione T sono sempre finiti; le delta di conservazione del quadriimpulso sono quindi astrazioni. Dobbiamo invece considerare:

Z ^T

2

−^T₂ dte^iEt= 2

E sinET 2

T →∞→ 2πδ(E)

E’ quindi possibile dare significato ad espressioni come [2πδ(E)]² = 2πT δ(E). Analogamente:

[(2π)⁴δ⁴(P_f − P_i)]^{2 T ,V →∞}→ (2π)⁴V T δ⁴(P_f − P_i) Il tutto ha senso se alla fine dei conti la dipendenza da V e da T scompare.

Normalizzazione:

J0 = e^ipx

↔

i∂0 e^−ipx= 2p0;

Z

J0d³x = 2EV

Nel volume V = L³ con condizioni periodiche al contorno l’impulso `e quantizzato:

p_i = 2π

Ln, n = 0, 1, 2, 3, ...

per cui uno stato occupa una celletta di volume ^(2π)_V ³ nello spazio delle fasi; il numero di stati nel volume d³p `e quindi ^{V d3}p

(2π)³. Devopoi dividere per la normalizzazione trovata sopra, 2EV , ottenendo ^d3p

2E(2π)³. Si ottiene infine:

dΓ = 1 T

1

2M V|A_{f i}|²V T (2π)⁴δ⁴(P_f − P_i)Π_fd³p_fV (2π)³

1

2EfV = 1

2M|A_{f i}|²dΦ dΦ = (2π)⁴δ⁴(P_f − P_i)Π_f d³p_f

2E_f(2π)³

dΦ `e invariante perch´e proporzionale a δ(p²− m²)d⁴p.

Sezione d’urto con bersaglio 2 fisso:

dσ = 1

E’ bene ricordare un p`o di algebra di SU(N). Fra le rappresentazioni del gruppo `e particolarmente importante la fondamentale, formata da matrici NxN U (θ) = exp iθ^aτadove τasono N²-1 matrici hermitiane che soddisfano [τ_a, τ_b] = if_abcτ_ccon f_abccostanti di struttura reali. La normalizzazione delle τ_a, e quindi quella delle f_abc, `e arbitraria e viene normalmente fissata da Tr{τ_aτ_b} = ¹₂δ_ab.

Dalle equazioni sopra si trova f_abc = −2iTr{[τ_a, τ_b]τ_c} = −4iTr{τ_aτ_bτ_c} e quindi f_abc `e an-tisimmetrico in tutti gli indici. Il Casimiro τ<sup>2</sup> = <sup>P</sup>τ<sup>a</sup>τ<sup>a</sup> commuta con tutte le τ ed `e quindi proporzionale all’identit`a; la costante di proporzionalit`a si trova facendo la traccia e risulta

Pτ^aτ^a≡ CF = ^N_2N²⁻¹. Esiste una Fierz-identity fondamentale, che deriva dal fatto che le N²− 1 matrici τ_a pi`u l’identit`a sono una base per le matrici hermitiane NxN con prodotto scalare dato dalla traccia:

H =^XC^aτ^a+ C⁰ ⇒ C⁰ = Tr{H}

N , C^a= 2Tr{Hτ^a} ⇒ 2τ_αβ^a τ_δγ^a = δαγδβδ− 1

Nδαβδδγ (39) Da questa si ricava facilmente:

Tr{τ^aτ^bτ^aτ^b} = 1 f^abcf^abc; il valore di f^abcf^abc si pu`o trovare dalle formule precedenti:

Tr{τ^aτ^bτ^aτ^b}

A questo punto si possono dare anche le rappresentazioni esplicite “standard”:

Fondamentale e aggiunta di SU(2) con f^abc= ε^abc : τ₁ = 1

T₁ =

La Lagrangiana di QCD `e un caso particolare di teoria di Yang Mills, cio`e un tipo di teoria con invarianza locale SU(N). Per ottenere una Lagrangiana con invarianza locale, partiamo da una generica Lagrangiana con invarianza globale SU(N):

L(φ, ∂_µφ) φ⁰ = U φ, U = exp[iα^aT^a] L(φ, ∂_µφ) = L(φ⁰, ∂_µφ⁰) (46) Se adesso rendiamo la trasformazione locale, α^a → α^a(x), la Lagrangiana non `e pi`u in generale invariante. Per renderla invariante localmente introduciamo N campi di gauge vettoriali A^a_µ, a = 1...N :

A_µ≡ A^a_µT^a U = exp[iα^a(x)T^a] A⁰_µ = U A_µU⁻¹+ i

g(∂_µU )U⁻¹ (47) dove g `e una cosatante cui daremo il significato di costante di accoppiamento. Definiamo la derivata covariante:

D_µ = ∂_µ− igA_µ (48)

che ha, diversamente dalla derivata semplice, una “buona” propriet`a di trasformazione sotto gauge, nel senso che

D_µφ → U D_µφ (49)

o equivalentemente, dato che φ → U φ, si pu`o scrivere anche D_µ → U D_µU⁻¹. Da quanto detto

`

e facile constatare che la seguente lagrangiana `e localmente invariante sotto SU(N):

L_{Y M} = L(φ, D_µφ) − 1

4F_µν^a F_a^µν (50)

avendo definito:

F_µν = F_µν^a T^a = 1

ig[D_µ, D_ν] ⇒ F_µν^a = ∂_µA^a_ν− ∂_νA^a_µ− gf^abcA^b_µA^c_ν, F_µν^a F_a^µν ∝ Tr{F_µνF^µν} (51)

La Lagrangiana di QCD `e un caso particolare con N=3:

L_QCD = ^X

f =u,d,s...

i ¯ψ_fD_µψ_f −1

4F_µν^a F_a^µν (52)

A questa vanno aggiunti i termini di gauge fixing, di massa dei quarks ed i ghosts. Il termine di gauge fixing `e indispensabile per risolvere un’ambiguit`a nella definizione del propagatore. In effetti se consideriamo un campo vettore accoppiato con una corrente, L = −1/4F² + jA, le equazioni del moto:

∂_µF^µν = j^ν ⇒ ∂_µ∂^µA_ν − ∂_µ∂^νA_µ = j_ν (53) si scrivono in trasformata di Fourier:

(−k²g_µν + k_µk_ν)A^µ= j_ν (54)

La corrispondente funzione di Green soddisfa, per definizione:

A_µ= G_µνj^ν ⇒ (−k²g_µα+ k_µk_α)G^αν = g_µ^ν (55) Ma quest’ultima equazione non ha soluzione, come si vede dal fatto che (−k²g_µα+ k_µk_α)k^α = 0, che `e collegato all’invarianza di gauge. Per risolvere questa ambiguit`a si pu`o ad esempio aggiungere alla Lagrangiana un termine _2ξ¹(∂_µA^µ)² (ξ-gauge). In questo modo le equazioni del moto cambiano e il propagatore soddisfa:

−k²g_µα+ k_µk_α(1 −1 ξ)

!

G^αν = g_µ^ν ⇒ G_µν = 1

k²((1 − ξ)k_µk_ν

k² − g_µν) (56) Una delle scelte pi`u comuni `e la gauge di Feynman ξ=1.

4 Sezione d’urto per diffusione elastica ut → ut

Gli ingredienti necessari per calcolare la sezione d’urto sono

• Regole di Feynman

• Espressione per lo spazio delle fasi

• Modulo quadro dell’ampiezza

Lo spazio delle fasi per uno stato finale di due particelle si scrive:

dLips = (2π)⁴δ⁴(p1+p2−p3−p4) d³p3

2E₃(2π)³

d³p4

2E₄(2π)³ = 1

(2π)²δ(E1 + E2− E3− E4) d³p3

4E₃E₄

   

p₄=p₃−p₂−p₂ (57)

dove ho eliminato l’integrale in d³p₄ tenendo conto del fatto che la δ³ implica la conservazione del triimpulso. Per valutare questa espressione mettiamoci ora nel sistema del centro di massa, nel quale si ha:

p₁ = (E₁, p) p₂ = (E₂, −p) p₃ = (E₃, p⁰) p₄ = (E₄, −p⁰) p²₁ = p²₃ = m²₁ p²₂ = p²₄ = m²₂ (58) la Quantit`a E₁+ E₂ si indica di solito con√

s ed `e la massa invariante delle 2 particelle inizialei:

s = (p₁+ p₂)². Nel sistema del centro di massa si ha Infine, la conservazione del triimpulso `e tenuta automaticamente in conto nella (58), mentre la conservazione dell’energia d`a:

q Mettendo insieme le (57,59) si ottiene l’espressione dello spazio delle fasi nel sistema del c.m.:

dLips = 1

Consideriamo adesso la sezione d’urto di scattering elastico u(k₁) t(p₁) → u(k₂) t(p₂) con k₁² = k²₂ = m², p²₁ = p²₂ = M², che potrebbe essere rilevante per processi misurati a LHC.

Le regole di Feynman rilevanti sono:

Utilizzando le regole di Feynman il calcolo dell’ampiezza per il processo u⁻(k₁; s₁)t⁻(p₁, r₁) →

Consideriamo la sezione d’urto unpolarised, cio`e mediata sugli spin iniziali e sommata su quelli finali:

con m(M ) massa del quark up (top). Per calcolare questa traccia utilizziamo le regole per le tracce delle matrici di Dirac:

Tr{γ_µγ_ν} = 4g_µν ; Tr{γ_µγ_νγ_ργ_σ} = 4(g_µνg_ρσ−g_µρg_νσ+g_µσg_νρ) ; Tr{n. dispari di matrici γ} = 0 (65) Esistono poi altre identit`a utili che riguardano le contrazioni:

γ_µγ^µ= 4 γ_µγ^αγ^µ= −2γ^α γ_µγ^αγ^βγ^µ= 4g^αβ γ_µγ^αγ^βγ^δγ^µ = −2γ^δγ^βγ(66)^α γµγ^αγ^βγ^δγ^γγ^µ= 2(γ^γγ^αγ^βγ^δ+ γ^δγ^βγ^αγ^γ) (67) Vediamo ora come ricavare queste regole. Tr {γ_µ} = 0 `e ovvio dalla definizione (2) delle matrici γ. Per due matrici abbiamo Tr {γµγν} = Tr{<sup>[γµ</sup><sub>2</sub><sup>,γν]</sup>+<sup>{γµ</sup><sub>2</sub><sup>,γν}</sup>} = <sup>1</sup><sub>2</sub>Tr{2gµν} = 4gµν, avendo utilizzato {γ<sub>µ</sub>, γ<sub>ν</sub>} = 2g<sub>µν</sub>I (I=matrice identit`a). Notare che il termine di anticommutatore non contribuisce per via della propriet`a di ciclicit`a della traccia Tr{γ_µγ_ν}=Tr{γ_νγ_µ}. Per la traccia di 3 matrici conviene utilizzare la matrice γ₅ introdotta in (2) e che soddisfa γ₅² = 1, {γ₅, γ_ν} = 0}^∗. Allora

Tr{γ_µγ_νγ_ρ} = Tr{γ_µγ_νγ_ργ₅²} = Tr{γ₅γ_µγ_νγ_ργ₅} = −Tr{γ_µγ₅γ_νγ_ργ₅} = −Tr{γ_µγ_νγ_ργ₅²} = −Tr{γ_µγ_νγ_ρ} (68) e analogamente per un numero dispari qualunque di matrici γ. Infine, resta da valutare la traccia di 4 matrici γ; usiamo ripetutamente la regola di anticommutazione γ_µγ_ν = −γ_νγ_µ+ 2g_µν (evidenzio le coppie per le quali uso questa identit`a):

Tr{γdµγνγργσ} = −Tr{γνγdµγργσ} + 2gµνTr{γργσ} = Tr{γνγργdµγσ} − 2gρµTr{γνγσ} + 8gµνgρσ

= −Tr{γ_νγ_ργ_σγ_µ} + 8g_µνg_ρσ− 8g_ρµg_σν+ 8g_µσg_ρν

(69) da cui il risultato che appare in (65). Le contrazioni (66) sono facili da ricavare da {γ_µ, γ_ν} = 2g_µν.

Siamo ora in grado di calcolare la traccia relativa al tensore fermionico:

Tr {γ_µ(k_/1+ m)γ_ν(k_/2+ m)} = Tr {γ_µk_/1γ_νk_/2}+m²Tr {γ_µγ_ν} = 4[k₁^µk₂^ν+k₁^νk^µ₂−g^µν(k₁k₂)]+4m²g^µν (70) Un ulteriore semplificazione deriva dal fatto che q² = (k₂− k₁)² = 2m²− 2k₁k₂ per cui:

L^µν = 4[k^µ₁k^ν₂ + k₁^νk₂^µ+ g^µνq²

2] M^µν = 4[p^µ₁p^ν₂ + p^ν₁p^µ₂ + g^µνq²

2] (71)

A questo punto la conservazione della corrente implica q_µL^µν = L^µνq_ν = 0 e sostituendo in M_µν p₂ = p₁+ q abbiamo

L_µνM^µν = 2L_µν[4p^µ₁p^ν₁ + q²g^µν] = 8[(k₁p₁)(k₂p₂) + (k₁p₂)(k₂p₁) + m²+ M²

2 q²] (72)

∗la matrice γ5`e di fondamentale importanza nella descrizione delle interazioni deboli

La media su colore e spin iniziali produce un fattore₂2¹N², mentre il fattore di colore `e Tr{τ^aτ^b}Tr{τ^aτ^b} =

N

4. L’espressione finale della sezione d’urto risulta:

dσ = |A_{f i}|² Consideriamo adesso per semplicit`a il caso m = M = 0; nel sistema del centro di massa:

k₁ = E(1, ˆk) p₁ = E(1, −ˆk) k₂ = E(1, ˆk⁰) p₂ = E(1−ˆk⁰) (p₁+k₁)² = (p₂+k₂)² ≡ s = 4E² Notare la singolarit`a coulombiana a θ = 0, per via della quale la sezione d’urto integrata diverge.

Per finire, di solito la sezione d’urto si esprime in funzione delle variiabili di Mandelstam s, t, u definite da:

Notare che la sezione d’urto dipende dal numero di colori N : dal confronto coi dati sperimentali si hanno informazioni sul numero di colori N = 3.

5 RGE

Schematizzando molto, si ha (l’indice 0 indica i campi “bare”):

(∂A₀)²+ ¯Ψ₀∂Ψ₀+ e₀Ψ¯₀A₀Ψ₀ = Z_A(∂A)²+ Z_ΨΨ∂Ψ + Z¯ _ee ¯ΨAΨ (78)

In uno schema “fisico”, il residuo al polo del propagatore dei campi rinormalizzati `e fissato a 1 mentre e `e la carica misurata a q² = 0. Questo fissa ZA, ZΨ, Ze anche per le parti finite.

Le RGE derivano dal fatto che certe quantit`a sono indipendenti dallo schema di rinormal-izzazione, e in particolare dal punto di sottrazione µ. Queste quantit`a sono in genere quantit`a

“bare” oppure osservabili fisiche. Un primo esempio `e dato dalla costante di accoppiamento α = ^g_4π². Sommando i contributi tree level e un loop si ha

con N_c= 3 numero di colori e N_f = 6 numero di famiglie chirali. Λ `e una scala non fisica utiliz-zata per regolarizzare gli integrali divergenti; possiamo pensare ad esempio alla regolarizzazione di Pauli-Villars. Adesso promuoviamo l’eq. (80), che `e una equazione ad 1 loop, ad un’equazione valida a tutti gli ordini nel seguente modo:

g(µ) = g₀

Z(^Λ_µ, g₀) (81)

Il significato di questa equazione `e che le divergenze UV sono fattorizzate: g `e il prodotto del valore a tree level, g0, e di una funzione Z che tiene conto a tutti gli ordini della dipendenza da Λ, cio`e delle divergenze. La quantit`a adimensionale Z pu`o dipendere solo da quantit`a a loro volta adimensionali, come ^Λ_µ e g₀. A un loop, confrontando la (80) e la (81) si ottiene 1/Z⁽¹⁾ = 1 + β₀g₀²log^Λ_µ. Se riscriviamo la stessa equazione nel seguente modo:

g0 = g(µ)Z(Λ

µ, g0) (82)

risulta chiaro, poich´e g0 non dipende da µ, che le dipendenze da µ di Z(^Λ_µ, g0) e di g(µ) si devono compensare; questo deve avvenire a tutti gli ordini della teoria delle perturbazioni. Derivando rispetto a µ si ottiene:

dg(µ)

d log µ = −∂ log Z

∂ log µg(µ) ≡ β(g(µ)) (83)

Notare che siccome Z dipende dal rapporto Λ/µ, si ha anche β = g(µ)^{∂ log Z}_{∂ log Λ}. In altre parole, la β-function `e connessa con le divergenze UV collegate a loro volta con Λ. Questo significa che per calcolarla `e sufficiente calcolare la parte divergente di una classe di diagrammi di Feynman, e non la parte finita del diagramma generalmente pi`u complesso da valutare. La dipendenza da Λ poi si tramuta in una dipendenza da µ tramite la (83).

La β-function ad 1 loop si ottiene dalla (80) derivando rispetto a µ:

dg(µ)

d log µ = −β₀g³₀ = −β₀g³(µ) + O(g⁵(µ)) (84) Questa equazione si risolve facilmente ottenendo:

g(µ) = g₀

q1 − 2β₀g₀²log^Λ_µ ⇒ α(µ) = α₀

1 − 8πβ₀α₀log^Λ_µ (85) E’ importante notare il miglioramento nel passaggio dalla (80) alla (85): quest’ultima `e una espressione risommata, nel senso che tiene conto di tutti i termini α<sup>n</sup>log<sup>n</sup> a tutti gli ordini nbell’espansione perturbativa. In effetti la (80) `e solo il primo termine dell’espansione perturba-tiva della (85):

1

q1 − 2β₀g₀²log ^Λ_µ = 1 + β0g₀²log Λ µ +3

2β₀²g₀⁴log² Λ

µ + ... (86)

Tutto ci`o `e molto interessante, ma come fare una connessione con la realt`a, cio`e con le osservabili?

Per far questo, integriamo la (84) fra una scala µ e una scala E:

α(E) = α(µ)

1 + 4πβ₀α(µ) log^E_µ2²

(87) In questa espressione, µ `e il (arbitrario) punto di sottrazione, mentre E `e una scala tipica del processo. Tramite la (87) vengono risommati tutti i termini di ordine αⁿlog^{n E}_µ, migliorando l’espansione perturbativa. Scegliendo µ = Λ_QCD come la scala alla quale α tende all’infinito (polo di Landau), otteniamo anche α(E) = (4πβ₀log _Λ2^E2

QCD

)⁻¹. Sperimentalmente, le misure di α a varie energie portano a concludere che Λ_QCD ≈ 200 MeV. La QCD perde cos´ı a livello quantistico l’invarianza di scala che possiede classicamente. Non tutte le osservabili per`o sono connesse esclusivamente con il running coupling constant. lo sono, in effetti , solo quelle che sono prive di divergenze IR (che anilizziamo pi`u avanti) e che dipendono da una sola scala fisica E. L’esempio classico `e la sezione d’urto inclusiva e<sup>+</sup>e<sup>−</sup> in adroni rispetto alla QCD: gli stati iniziali non sentono le interazioni forti e non necessitano rinormalizzazione, mentre la somma sugli stati finali assicura l’assenza di divergenze IR. Allora nel limite E  m dove m indica tutte le scale fisiche come masse dei quarks, ΛQCD ecc, la sezione d’urto `e funzione solo di E e µ. La prima cosa che posso fare per vedere il comportamento asintotico per E  m `e quella di riscalare σ → E<sup>2</sup>σ per considerare quantit`a adimensionali, che dipendono solo dal rapporto

E

µ : σ = σ[^E_µ, α(µ)]. Globalmente questa sezione d’urto non deve dipendere da µ cio`e deve essere RGE-invariante. Questo significa che ad esempio posso scegliere µ = E, ottenendo:

σ[E

µ, α(µ)] = σ[1, α(E)] (88)

Potrebbe sembrare un gioco di bussolotti, ma in realt`a l’espressione a secondo membro risomma automaticamente tutti i termini (α log^E_µ)ⁿpresenti invece nell’espressione a primo membro. Un calcolo perturbativo fornisce:

R ≡ σ(e⁺e⁻ → adroni)

σ(e⁺e⁻ → µ⁺µ⁻) = 3^Xe²_q 1 + α_s(E) π

!

(89) dove E `e l’energia nel centro di massa del processo, e<sub>q</sub> le cariche dei quark attivi. Anche in questo caso si ha violazione di scaling: La quantit`a adimensionale R, che non dovrebbe dipendere dall’energia, dipende invece da E attraverso il running di α_s: le violazioni di scaling sono quindi logaritmiche. Nel caso in cui invece l’osservabile dipenda da due scale E₁ ed E₂ (E₂ potrebbe essere una scala di massa, o la variabile t di Mandelstam ad esempio), `e evidentemente impossibile scegliere µ in modo da eliminare completamente i logaritmi del rapporto delle 2 scale.

Il running della coupling constant risomma, come abbiamo visto, logaritmi del tipo (α_sL)ⁿcon L = log(E₁/E₂) che sono detti leading log (LL). Nell’espressione perturbativa dell’osservabile sono in generale presenti logaritmi del tipo NLL (αⁿ_sLⁿ⁻¹), NNL (αⁿ_sLⁿ⁻²) e cos`ı via, per cui la situazione `e generalmente complessa e impossibile da descrivere sinteticamente.

Figure 1: Running di α_s: confronto fra teoria ed esperimento. Da ??

Figure 2: Running delle costanti di accoppiamento nello SM e in MSSM. La soglia MSSM a 2 TeV `e ben visibile.

Un modo per migliorare la precisione teorica `e quello di calcolare gli ordini pi`u elevati nella coupling constant:

R = 3^Xe²_q





1+

LO

α_s(E)

π +

N LO

c₂(α_s(E) π )² +

N N LO

c₃(α_s(E) π )³ +

N N LO

c₄(α_s(E)

π )⁴ +..???





 (90)

Le costanti c₂, c₃, c₄ sono date in [12] mentre c₅ `e ignoto. I termini successivi vengono chiamati LO (leading order), NLO (next-to-leading order) eccetera. Oltre a questo, si pu`o andare ad ordini pi`u elevati nel running di α:

2π dαs

d log µ = −(b₀α²_s+ b₁α³_s+ b₂α⁴_s+ · · ·) (O(α_s⁵) ignoto) (91) Nel Modello Standard si ha, per le costanti del gruppo SU(3)⊗SU(2)⊗U(1), rispettivamente b₀ = (−7, −19/6, 41/10): le coupling constants di SU(3) e di SU(2) risultano quindi asymptoti-cally free, quella di U(1) no.

6 Divergenze IR: cancellazioni, risommazioni

6.1 Correzioni virtuali

Massless quarks, ignoriamo la struttura di colore (per ora).

i

e consideriamo solo la δ, visto che per k² = 0 i due propagatori fermionici sono singolari nel limite IR (k → 0). Trascuriamo al numeratore i termini lineari in k. Inoltre utilizziamo le regole di anticommutazione delle matrici gamma per scrivere p_/2γ_µ= −γ_µp_/2+ 2p^µ₂ e l’equazione di Dirac p_/2v(p₂) = 0 per ottenere p_/2γ_µv(p₂) = 2p^µ₂v(p₂). Analogamente, ¯u(p₁)γ_µp_/1 = 2p^µ₁u(p¯ ₁). vede, le correzioni IR a 1 loop sono fattorizzate rispetto al tree level. Per`o l’integrale in (94) si comporta come dω/ω e quindi diverge IR. Inoltre diverge anche per θ ≈ 0, regione nella quale si comporta come dθ²/θ² (divergenza collineare). Per regolarizzare l’integrale introduciamo una massa λ per il fotone. Nel sistema del centro di massa, avendo trascurato la massa dei fermioni, si ha:

Il calcolo `e svolto a livello LL, che in questo caso significa doppio logaritmo: si trascurano sistematicamente i termini che danno origine a singoli log e costanti^†. Dalle (94) e (96) si ottiene l’espressione a 1 loop per elemento di matrice e sezione d’urto:

M₁ = M₀(1 − α_s

4π log² E²

λ²) ⇒ σ₁ = σ₀(1 − 2α_s

4πlog² E²

λ²) (97)

L’espressione cos`ı ottenuta `e palesemente non fisica: intanto dipende da una scala arbitraria λ; inoltre la σ₁decresce con l’energia E fino a diventare negativa: questo segnala che l’espressione perturbativa converge male e non ci si pu`o accontentare delle correzioni a primo ordine, che superano il 100% relativo. Riguardo al secondo punto, `e possibile risommare le correzioni leading O(α²log²ⁿ); la procedura coinvolge due steps:

∗da aggiungere il contributo della regione altrettanto singolare θ ∼ π

†Il limite superiore su ω `e una scala, E, che separa i contributi divergenti IR da quelli finiti e divergenti UV; notare che se prendo 2E invece che E ottengo lo stesso risultato a livello doppiolog. Infine, esiste una parametrizzazione, quella di Sudakov, che rende pi`u rigorosamente definito il dominio di integrazione [7].

• Fattorizzazione: l’elemento di matrice risommato `e fattorizzato nell’espressione di tree level (quindi priva di divergenze IR) moltiplicata per una funzione che contiene tutte le informazioni IR, e quindi la dipendenza dal cutoff arbitrario λ.

• Ordinamento: La regione di integrazione che produce le divergenze leading `e quella in cui l’ampiezza a n+1 loop `e ottenuta tramite quella a n loop in cui i gluoni scambiati hanno energie ω_i, i = 1 · · · n > ω₀, aggiungendo in tutti i possibili modi il gluone pi`u soffice con energia λ < ω₀ < ω_i.

Per capire il secondo punto, consideriamo lo stesso integrale in 2 variabili ω1 e ω₂ calcolato dapprima nella regione λ < ω₁, ω₂ < E con l’ordinamento ω₁ < ω₂ e poi nella stessa regione ma logaritmica, mentre nel caso di gerarchia ”invertita” ω₁ > ω₂, la singolarit`a `e solo singolo log:

il contributo IR leading viene quindi dalla prima regione di integrazione. Il motivo `e facile da intuire: nel secondo caso l’integrale in dω<sub>2</sub> il denominatore ω<sub>1</sub>+ ω<sub>2</sub> `e cutoffato inferiormente da ω₁ > ω₂ e quindi l’integrale in dω₂ non produce nessuna singolarit`a logaritmica. Nel secondo caso invece si ha ω1+ ω2 ∼ ω2 ed entrambe gli integrali producono una singolarit`a logaritmica, dando origine al doppio log. In effetti il primo integrale si pu`o valutare direttamente come

Z

Tutto questo `e direttamente collegato con la valutazione del contributo a due loops che contiene al denominatore un termine (p₁k₁)(p₁(k₁+ k₂)) ∼ ω₁(ω₁+ ω₂) (vedi fig. 3).

Poich`e l’ordinamento `e iterativo, cio`e si trovano gluoni sempre pi`u duri andando dall’esterno verso l’interno del diagramma, possiamo calcolare la correzione a n loops:

δM_n= Si riconosce l’espansione in serie dell’esponenziale, per cui:

M = M₀exp In maniera del tutto equivalente, si potrebbe riconoscere che, siccome la dipendenza dal cutoff IR

`

e portata solo dal gluone pi`u esterno, l’elemento di matrice soddisfa una equazione differenziale:

M

Questa espressione ha mutato (nel limite λ → 0) un −∞ in uno 0. La dipendenza da un cutoff arbitrario va certamente curata.

Nel documento Teoria delle Interazioni Forti Paolo Ciafaloni A.A. 2016 - 2017 (pagine 7-23)