Teoria delle Interazioni Forti Paolo Ciafaloni A.A. 2016 - 2017

(1)

Teoria delle Interazioni Forti

Paolo Ciafaloni

A.A. 2016 - 2017

(2)

1 Richiami introduttivi

1.1 Notazioni

Per i quadri e trivettori uso le notazioni: p `e un trivettore e p = (p₀, p) = (p₀, p₁, p₂, p₃) un quadrivettore. Analogamente x = (x₀, x). In linea generale uso le lettere greche α, β, µ, ν, ...

(3)

per gli indici di Lorentz che vanno da 0 a 3: µ = 0, 1, 2, 3. Per gli indici spaziali che vanno da 1 a 3 uso invece i, j, k; ad esempio i = 1, 2, 3. Indico i versori con ˆv ≡ v/|v|. Inoltre g_µν = Diag(1, −1, −1, −1)^∗. Le matrici di Pauli e di Dirac sono date da:

σ₁ = 0 1 1 0

!

, σ₂ = 0 −i i 0

!

, σ₃ = 1 0 0 −1

!

, (1)

γ₀ = 0 1 1 0

!

, γ_i = 0 σ_i

−σ_i 0

!

, γ₅ = iγ₀γ₁γ₂γ₃ = −1 0

0 1

!

(2)

{γ_µ, γ_ν} = 2g_µν {γ_µ, γ₅} = 0 (3) σ_iσ_j = δ_ij+ i_ijkσ_k γ_µγ_ν = g_µν +[γ_µ, γ_ν]

2 (4)

Sono qui omesse le matrici identit`a; ad esempio con σiσj = δij + ... si intende σiσj = I δij + ...

dove I è la matrice identità 3x3. Analogamente, γ_µγ_ν = I g_µν + ... dove I è la matrice identità 4x4. In fisica delle alte energie si usa un sistema di unità di misura in cui ¯h = c = 1. In questo modo si evita di portarsi dietro ¯h e c nei calcoli. Massa ed energia, essendo c = 1, si misurano entrambe in unità di energia eV . Per tornare a unità di misura usuali occorrono due costanti fisiche dimensionate, ad esempio:

c ≈ 3 10⁸m/s ¯hc ≈ 200 M eV f m 1f m = 10⁻¹⁵m (5) Esempi (definiamo le dimensioni di massa [M ], lunghezza [L], energia [E] ecc):

• Una velocit`a v = 0.3 corrisponde a 0.3 c ≈ 9 10⁷m/s

• Le energie si misurano in eV. Siccome ¯hc = [E][L] = 1, le lunghezze si misurano in eV⁻¹, e siccome c = 1 il tempo si misura in eV⁻¹.

• Una massa di 1 GeV come quella del protone corrisponde a _{(3 10}^1GeV8m/s)² = _{(3 10}^{1.6 10}8m/s)⁻¹⁰^J² ≈ 1.8 10⁻²⁷kg

1.2 Trasformazioni di Lorentz

Una trasformazione di Lorentz lungo l’asse delle x è definita da (v è la velocità relativa dei sistemi di riferimento):

x⁰ = ^√ ¹

1−v²(x − vt) t⁰ = ^√ ¹

1−v²(t − vx) y⁰ = y z⁰ = z (6) ed `e tale che t⁰²− x⁰²− y⁰²− z⁰² = t² − x²− y²− z². Pi`u in generale, definito un quadrivettore (x₀, x₁, x₂, x₃), le trasformazioni di Lorentz sono tutte quelle che lasciano invariante la norma

∗La notazione Diag(a,b,c,..) indica una matrice diagonale con gli elementi specificati in parentesi sulla diagonale. Il tensore metrico gµν `e quindi una matrice 4x4 diagonale con gli elementi (1,-1,-1,-1) sulla diagonale.

(4)

x² ≡ x_µx^µ = x_µg^µνx_ν = x²₀ − x². Si definiscono quantit`a con indici in alto x^µ ≡ g^µνx_ν di modo che x² = x_µx^µ. Da un punto di vista formale, le trasformazioni di Lorentz formano un gruppo (detto anche SO(3,1)) che si pu`o rappresentare con matrici Λ reali 4x4: x⁰_µ= Λ_µ^νx_ν. Ad esempio le usuali rotazioni spaziali x⁰ = Rx con R^tR = 1 appartengono ovviamente al gruppo di Lorentz, cos`ı come la (6) e le sue generalizzazioni lungo altre direzioni. Un tensore a n indici si trasforma come T_i⁰

1i2...in = Λ_i^j₁¹Λ_i^j₂². . . Λ_i^j_nⁿT_j₁_j₂_...j_n. Le matrici Λ devono lasciare invariato il tensore metrico g_µν. Infatti:

x² = x⁰²⇒ x_αg^αβx_β = g^µνΛ_µ^αΛ_ν^βx_αx_β ∀ x ⇒ g^αβ = g^µνΛ_µ^αΛ_ν^β (7) notare che i quadrivettori con indici in alto trasformano in maniera diversa da quelli con indici in alto. Dalle definizioni sopra `e infatti facile vedere che xµ → Λ_µ^νxν ⇒ x^µ → Λ^µ_νx^ν con Λ^µ_ν = g^µαg_νβΛ_α^β. In concreto, se prendiamo ad esempio la (6) si ha (γ = (1 − v²)⁻¹²):

x₁ → γ(x₁−vx₀), x₀ → γ(x₀−vx₁) ⇒ x¹ → γ(x¹+vx⁰), x⁰ → γ(x⁰+vx¹) x₀x⁰+x₁x¹ → x₀x⁰+x₁x¹ (8) Allo stato attuale delle conoscenze, le interazioni fondamentali sono invarianti sotto il gruppo di trasformazioni x⁰_µ= Λ^ν_µx_ν+ a_µcon a_µ quadrivettore costante; queste trasformazioni costituis- cono il gruppo di Poincar`e. Le particelle elementari sono “rappresentazioni irriducibili del gruppo di Poincar`e”, costituito da trasformazioni di Lorentz (Λ) e traslazioni (a). In altre parole, esat- tamente come in Meccanica quantistica, gli autostati sono classificabili come rappresentazioni irriducibili del gruppo di simmetria dell’hamiltoniana: vedi ad esempio il momento angolare per l’atomo di idrogeno. Rimandando a [1] per una descrizione dettagliata delle rappresentazioni, mi limito a dire alcune caratteristiche fondamentali:

• Le particelle sono classificate con un indice continuo p, l’impulso, e con un indice discreto di spin s. L’invarianza per traslazione ha come conseguenza che la dipendenza spaziotem- porale per una particella libera `e quella di onda piana ∼ e^−ipx.

• L’indice di spin assume valori s = 0,¹₂, 1,³₂. . .. Una particella massiva ha, come ci si aspetterebbe, 2s + 1 gradi di libertà. Tuttavia una particella di massa nulla ha due soli gradi di libertà qualunque sia il valore di s ≥ ¹₂, che sono detti elicità.

In questo corso tratteremo solo particelle di spin 0 (scalari), spin ¹₂ (fermioni), spin 1 (bosoni vettori), le cui funzioni d’onda, a meno di una costante di normalizzazione, sono:

scalare e^−ipk fermione u_α(p)e^−ipxα = 1, 2 vettore _µ(p)e^−ipxµ = 0, 1, 2, 3 (9) Con le seguenti propriet`a sotto trasformazioni di Lorentz:

u_δ→ M_δγ(α, β)u_γ _µ→ Λ_µ^ν_ν (10)

(5)

Le trasformazioni di Lorentz^∗ sono descritte dall’operatore Λ = exp[i(J₊θ₊+ J−θ−)] dove gli operatori J± soddisfano l’algebra di SU(2) commutando fra loro, e inoltre θ₊ = α − iβ, θ− = θ^∗₊= α + iβ; i parametri α, β, reali, descrivono rispettivamente le rotazioni e i boost. Il gruppo

`

e quindi isomorfo a SU(2)⊗SU(2) e la rappresentazione fondamentale `e descritta da spinori di Weyl a due componenti ψL = (¹₂, 0) e ψR = (0,¹₂) che trasformano come:

ψ_L→ eⁱσ

2 α+σ

2 βψ_L ψ_R→ eⁱσ

2 α⁻σ

2 βψ_R (11)

Gli spinori che trasformano come sopra sono detti avere ”‘chiralità di tipo left”’ e ”‘chiralità di tipo right”’. Si puó passare da una rappresentazione all’altra usando il tensore metrico reale antisimmetrico ε ≡ iσ₂, ε² = −1. Infatti, utilizzando σ₂σ_i^∗σ₂ = −σ_i:

ψ_L→ eⁱσ

2 α+σ

2 βψ_L⇒ ψ^c_L≡ iσ₂ψ_L^∗ → iσ₂e⁻ⁱσ^∗

2 α+σ^∗

2 β(−iσ₂)(iσ₂)ψ^∗_L= eⁱσ

2 α−σ

2 βψ_L^c (12) Gli scalari di Lorentz si possono scrivere usando due spinori di tipo left secondo la decompo- sizione (¹₂, 0) ⊗ (¹₂, 0) = (0, 0) + (1, 0) oppure in maniera analoga con due spinori tipo right. La combinazione giusta `e ψLεψL, ψRεψR. Infatti la relazione fra le matrici di Pauli si pu`o anche scrivere σ_i^tσ₂ = −σ₂σ_i da cui

ψ_L^tσ₂ψ_L → ψ_L^teⁱσ^t

2 α+σ^t

2 βσ₂eⁱσ

2 α+σ

2 βψ_L = ψ^t_Lσ₂eⁱ⁻σ

2 α+⁻σ

2 βeⁱσ

2 α+σ

2 βψ_L = ψ_L^tσ₂ψ_L (13) Per vedere come trasformano i quadrivettori, ricordiamo che i trivettori spaziali A_atrasformano sotto rotazioni come

A⁰_aσ_a= U A_aσ_aU^† U = eⁱσ

2 α ⇒ A⁰_aA⁰_a = Tr{A⁰_aσ_aA⁰_bσ_b} = Tr{U A_aσ_aU^†U A_bσ_bU^†} = A_aA_a (14) Si può verificare direttamente con l’algebra delle matrici di Pauli che effettivamente A⁰_a= (RA)_a con R matrice ortogonale che descrive la rotazione di parametri α. Siccome ψ^†σ_aA_aψ è invariante se ψ → U ψ, ψ^†σ_aψ deve trasformarsi come un vettore. D’altra parte questo è implicito nella (14) che si può scrivere

U A_aσ_aU^† = (RA)_aσ_a= R_abA_bσ_a = A_a(R⁻¹σ)_a ⇒ U σ_aU^†= (R⁻¹σ)_a (15) avendo usato R^t= R⁻¹.

Nel caso dei quadrivettori, la metrica complica le cose. Sembra logico estendere la la (14) a^†: A^0µσ_µ= M A^µσ_µM^† σ_µ = (1, σ_i) M = exp[iσα + σβ] (16) Però occorre fare attenzione perchè M⁻¹ 6= M^† e perchè Tr{σ_µσ_ν} 6= g_µν; occorre definire ¯σ = (1, −σ_i) di modo che Tr{σ_µσ¯_ν} = g_µν. Se A^0µσ_µ= M A^µσ_µM^†equivale a A^0µσ¯_µ= M^−1†A^µσ¯_µM⁻¹ siamo a posto in quanto avrei

A⁰_µA^0µ = Tr{(A⁰σ)(A⁰σ)} = Tr{M (Aσ)M¯ ^†M^†−1(A¯σ)M⁻¹} = Tr{(Aσ)(A¯σ)} = AµA^µ (17)

∗vedi anche [2].

†notare che σµ= σ_µ^† per cui A^0µσµ= M A^µσµM⁻¹ non andrebbe bene in quanto M⁻¹6= M^†

(6)

In effetti questo `e il caso, in quanto σ₂σ^t_iσ₂σ₂ = σ₂σ^∗_iσ₂σ₂ = −σ_i cio`e σ₂σ_µ^∗σ₂ = ¯σ_µ per cui:

M (Aσ)M^†= (A⁰σ) ⇒ M^∗(Aσ^∗)M^t= (A⁰σ^∗) ⇒ σ2M^∗σ2(Aσ2σ^∗σ2)σ2M^tσ2 = (A⁰σ2σ^∗σ2) ⇒ A^0µσ¯µ = M^−1†A^µσµM⁻¹

Infine, ψ_L^†(A^µσµ)ψL con ψL→ M ψL e ψ^†_R(A^µσ¯µ)ψR con ψR → M^−1†ψR sono invarianti, per cui ψ_L^†σ_µψ_L, ψ_R^†σ¯_µψ_R trasformano come quadrivettori.

1.3 Teoria dei campi classica

La teoria dei campi si basa sul principio di azione:

S =

Z

d⁴xL (φ(x), ∂_µφ(x)) δS = 0 (18)

da cui si ricavano le equazioni del moto:

∂_µ ∂L

∂∂µφ = L

∂φ (19)

La corrispondente Hamiltoniana (poco usata in teoria dei campi, visto che L `e invariante di Lorentz ma H no) si ottiene nel modo usuale, definendo il momento canico e facendo la trasformata di Legendre:

π(x) = ∂L

∂ ˙φ(x) H = π(x) ˙φ(x) − L (20)

Il teorema di Noether assicura che ad ogni simmetria continua corrisponde una corrente conservata. Per “simmetria continua” intendo una trasformazione sui campi:

φ(x) → φ⁰(x) = φ(x) + α∆φ(x) α parametro continuo (21) che lascia inalterate le equazioni del moto, ovvero l’azione; la Lagrangiana deve essere quindi invariante a meno di una quadri divergenza:

L(x) → L(x) + α∂_µK^µ; j_µ≡ ∂L

∂∂µφ∆φ − K^µ ⇒ ∂_µj^µ= 0 (22) Se consideriamo la Lagrangiana che descrive l’interazione di uno scalare reale con una corrente esterna:

L = 1

2∂_µφ∂^µφ − 1

2m²φ²+ jφ ⇒ (∂_µ∂^µ+ m²)φ(x) = j(x) (23) la soluzione in trasformata di Fourier φ(p) =^R d⁴xe^ipxφ(x) `e data da:

φ(p) = 1

p²− m²j(p) (24)

L’oggetto _p2−m¹ ², che risolve l’equazione differenziale che descrive il moto, `e detto funzione di Green, o propagatore.

(7)

1.4 Equazioni del moto per scalare, fermione, vettore

La Lagrangiana che descrive particelle libere, e le corrispondenti equazioni di moto, sono:

L = ∂_µφ∂^µφ − m²φ²+ ¯ψ(i∂/− m_f)ψ + F_µνF^µν− M²A_µA^µ (25) (∂_µ∂^µ+ m²)φ = 0 (i∂/− m_f)ψ = 0 ∂_µF^µν + M²A^ν = 0 (26) dove F^µν ≡ ∂^µA^ν − ∂^νA^µ, ∂/ ≡ ∂_µγ^µ e ψ `e una funzione d’onda a 4 componenti.

Consideriamo dapprima un campo scalare. In trasformata di Fourier si ha:

φ(x) =

Z

d⁴pe^−ipxφ(p); (p²−m²)φ(p) = 0 ⇒ φ(p) = a(p)δ(p²−m²) ⇒ φ(x) =

Z d³p 2√

p²+ m²a(p)e^−ipx+c.c.

(27) con l’ultima espressione valida solo per un campo reale φ = φ^∗. Notare che la δ(p² − m²) che fissa l’impulso “sul mass shell” ha due branche, una per p₀ = +√

p²+ m² e una per p₀ =

−√

p²+ m²: esistono quindi sia soluzioni “ad energia positiva” del tipo e^−ipx che soluzioni “ad energia negativa” del tipo e^ipx.

Nel caso di un fermione le soluzioni hanno la forma ψ(x) ∼ e^−ipxu(p) dove u(p) `e un qudrispinore che soddisfa (p/− m)u(p) = 0 e p₀ = ±√

p²+ m². Si preferisce per convenzione scrivere le soluzioni con energia negativa come ψ(x) = e^ipxv(p), (p/+ m)v(p) = 0, p₀ = +√

p²+ m². Vediamo per prime le soluzioni ad energia positiva.si ha ψ(x) = ^R d⁴pe^−ipxu(p) dove u(p) `e un qudrispinore che soddisfa (p/− m)u(p) = 0. Scrivendo u(p) in termini di due bispinori (o spinori di Weyl) si ottiene:

u = η ξ

! (

(p₀− pσ)ξ − mη = 0

(p₀+ pσ)η − mξ = 0 (28)

che ha soluzione:

( p²₀− p²− m² = 0 ξ = ^p⁰^+pσ

m η (29)

Possiamo verificare la covarianza dell’equazione di Dirac supponendo che η trasformi come ψL, η → η⁰ = M η con M = exp[iασ + βσ] e ξ trasformi come ψ_R, ξ → ξ⁰ = M^†−1ξ. L’equazione di Dirac diventa:

M^†ξ⁰ = p_µσ¯^µ

m M⁻¹η⁰ ⇒ ξ⁰ = M^†−1p_µ¯σ^µ

m M⁻¹η⁰ ⇒ ξ⁰ = p_µσ¯^µ m η⁰

La (29) ammette due soluzioni per i due possibili spin. Conviene scegliere l’asse di quantizzazione dello spin lungo l’impulso, cio`e scegliere la base Sˆpη± = ±¹₂η±, S = σ₂ . Esplicitamente si ha:

ˆ p =







sin θ cos φ sin θ sin φ

cos θ







⇒ η₊= 1

q2(1 − cos θ)





sin θe⁻ⁱ^φ² (1 − cos θ)eⁱ^φ²



η− = 1

q2(1 + cos θ)





− sin θe⁻ⁱ^φ² (1 + cos θ)eⁱ^φ²





(8)

Per convenzione si normalizza a u^†_ru_s= 2p₀δ_rs, ¯u_ru_s = 2mδ_rs. Con questa normalizzazione:

u₊=





qp₀− |p| η₊

qp₀+ |p| η₊



 , u− =





qp₀+ |p| η₋

qp₀− |p| η−



 ; u±=

√p0− σˆp η±

√p₀+ σˆp η₊

!

,

dove ho tenuto conto che pση±= ±|p|η± e che m = ^qp₀ − |p|^qp₀ + |p|. Definisco adesso P±= η±η^†_±= 1

2(1 ± σˆp) P₊u₊ = u₊, P₊u−= 0 [P±, p/] = [P±, σˆp] = 0 Si ha allora

u₊u¯₊= mη₊η₊^† (p₀− |p|)η₊η^†₊ (p₀+ |p|)η₊η₊^† mη₊η₊^†

!

= m p₀− pσ

p0+ pσ m

! P₊ 0 0 P+

!

= (p/+m)P₊ = P₊(p/+m) Analogamente u−u¯−= (p/+ m)P− per cui si ha^P_ru_ru¯_r = (p/+ m). Un caso particolare si ha se

m=0, p₀ = pσ:

u₊u¯₊= 0 p₀− pσ p₀+ pσ 0

! P₊ 0 0 P₊

!

= 0 0

p₀+ pσ 0

!

= 0 p₀− pσ

p₀+ pσ 0

! 1 0 0 0

!

= p/PL= PRp/ ; u−u¯− = p/PR= PLp/

In questo caso gli autostati di elicit`a coincidono con gli autostati di chiralit`a:

u+ = 0

√2p₀η₊

!

, u−=

√2p₀η−

0

!

Le soluzioni ad energia negativa sono ψ(x) = v(p)e^ipx con p0 = +√

p²+ m² e quindi (p/ + m)v(p) = 0. Calcoli analoghi a quelli per le u(p) conducono a:

v₋=



 q

p0− |p| β+

−^qp₀+ |p| β₊



 v₊=



 q

p0 + |p| β−

−^qp₀− |p| β−



 σ ˆpβ_± = ±β_± ^X

+,−

v¯v = p/− m (30) Notare che elicità + delle soluzioni a energia negativa corrisponde a spinori di tipo -. Questo è dovuto alla nostra scelta delle soluzioni : u(p)e^−ipx diventa, per le soluzioni con E < 0, v(p)eîpx cioè viene invertito, oltre al segno dell’energia, anche quello del triimpulso. Il che significa che uno stato a elicità + è allineato a −p: σ(−p)β = β ⇒ σpβ = −β cioè elicità + per v corrisponde un bispinore β₋.

Veniamo infine al caso di un bosone vettore. Le equazioni del moto (vedi (26)) si scrivono:

∂_νF^νµ+ M²A_µ= (2 + M²)A_µ− ∂_µ∂^νA_ν = 0 (31) da cui segue, per l’antisimmetria di F^νµ, ∂^µA_µ= 0 e le soluzioni sono di tipo onda piana:

A^µ(x) = ε^µ_p(k)e^−ikx+ ε^µ∗_p (k)e^ikx k² = M² (32)

(9)

si ha quindi che kε(k) = 0 e che k0 =^qM²+ |k|².

Per trovare una base, cio`e scrivere esplicitamente le possibili polarizzazioni di un bosone vettore, partiamo dal fatto che una base reale nello spazio a 4 dimensioni `e data dai 4 vettori:

ε₀ = (1, 0) ε₁ = (0, ₁) ε₂ = (0, ₂) ε₃ = (0, ˆk) k_1,2 = 0, ²_1,2 = 1 (33) Infatti ogni quadrivettore si pu`o scrivere come v^µ = ^P_i=0,1,2,3c_iε^µ_i con c₀ = v₀ = (vε₀), c_i = v · i = −(vεi). Notare il segno - nella metrica, per cui g^µνvν = v^µ= (vε0)ε^µ₀ −^P_i=1,2,3(vεi)ε^µ_i = v_ν(ε^µ₀ε^ν₀ − ε^µ_iε^ν_i) da cui ε^µ₀ε^ν₀ − ε^µ_iε^ν_i = g^µν come si pu`o verificare esplicitamente dalla (33). Le 4 polarizzazioni della (33) vengono chiamate scalare (ε₀), trasverse (ε_1,2), longitudinale (ε₃)

Nel caso M 6= 0 i vettori ε₁, ε₂ soddisfano kε = 0 ma ε₃, ε₀ no. Tuttavia `e facile trovare una combinazione di questi ultimi che soddisfa kε_L = 0:

k = (k0, k); k² ≡ M² ε1,2 = (0, 1,2); k1,2 = 0; ²_1,2 = 1 εL= 1

M(|k|, k0k)ˆ (34) E’ facile fare le somme sulle polarizzazioni. Infatti:

X

1,2

εⁱ_pε^j_p = δ^ij −kⁱk^j

|k|² εⁱ_Lε^j_L = k²₀ M²

kⁱk^j

|k|²

X

1,2

ε⁰_pε⁰_p = 0 ε⁰_Lε⁰_L = |k|²

M² (35)

da cui, considerando anche le componenti miste 0i, si ricava:

X

T ,L

ε^µ_pε^ν∗_p = −g^µν+k^µk^ν

M² (36)

Il caso di bosone di massa nulla (fotone) è un pò più complicato. La richiesta kε = 0 non è imposta dalle equazioni del moto, ma conseguenza della scelta di gauge (Lorentz); questo elimina un grado di libertà:

ε_1,2 = (0, _1,2); k_1,2 = 0; ²_1,2 = 1 ε^µ_L =∝ k^µ (37) Tuttavia ho ancora la libert`a di una variazione di gauge (ristretta) A_µ → A_µ+ ∂_µχ purch`e

∂^µ∂_µχ = 0 ^∗. Scegliendo χ = exp[−iαkx] questo corrisponde per le polarizzazioni a ε^µ → ε^µ− αk^µ, k² = 0; in definitiva posso scegliere la gauge in modo da eliminare l’ultima delle (37), che `e non fisica. Infine, ricordando che k = ω(1, ˆk) e introdotto un vettore n = ω(1, −ˆk) `e facile verificare che:

X

1,2

^µ_i^ν_i ≡ P_T^µν = δ^ij − ˆkⁱkˆ^j = −g^µν+ k^µn^ν + k^νn^µ

(nk) (38)

∗Una trasformazione di gauge in particolare non cambia i valori di dei campi elettrici e magnetici B, E e non cambia quindi la fisica

(10)

2 Sezioni d’urto, decadimenti, spazio delle fasi

Un’esperimento di scattering `e una probabilit`a.... La matrice S contiene delle delta di conservazione del quadriimpulso:

hf |S|ii = hf |1 + iT |ii = hf |ii + i(2π)⁴δ⁴(Pf − Pi)Af i

dove P_f(P_i) `e la somma degli impulsi finali (iniziali). Queste delta sono dovute alla invarianza temporale, per la quale gli operatori hanno una ben precisa dipendenza dalle coordinate. Ad esempio:

Z

d⁴xhf |L_I(x)|ii =

Z

d⁴xhf |e^{iP x}L_I(0)e^{−iP x}|ii =

Z

d⁴xe^i(P^f^−Pⁱ⁾hf |L_I(0)|ii = hf |L_I(0)|ii(2π)⁴δ⁴(P_f − P_i)

Il volume d’interazione, V = L³, e il tempo di interazione T sono sempre finiti; le delta di conservazione del quadriimpulso sono quindi astrazioni. Dobbiamo invece considerare:

Z ^T

2

−^T₂ dte^iEt= 2

E sinET 2

T →∞→ 2πδ(E)

E’ quindi possibile dare significato ad espressioni come [2πδ(E)]² = 2πT δ(E). Analogamente:

[(2π)⁴δ⁴(P_f − P_i)]^{2 T ,V →∞}→ (2π)⁴V T δ⁴(P_f − P_i) Il tutto ha senso se alla fine dei conti la dipendenza da V e da T scompare.

Normalizzazione:

J0 = e^ipx

↔

i∂0 e^−ipx= 2p0;

Z

J0d³x = 2EV

Nel volume V = L³ con condizioni periodiche al contorno l’impulso `e quantizzato:

p_i = 2π

Ln, n = 0, 1, 2, 3, ...

per cui uno stato occupa una celletta di volume ^(2π)_V ³ nello spazio delle fasi; il numero di stati nel volume d³p `e quindi ^{V d}³p

(2π)³. Devopoi dividere per la normalizzazione trovata sopra, 2EV , ottenendo ^d³p

2E(2π)³. Si ottiene infine:

dΓ = 1 T

1

2M V|A_{f i}|²V T (2π)⁴δ⁴(P_f − P_i)Π_fd³p_fV (2π)³

1

2EfV = 1

2M|A_{f i}|²dΦ dΦ = (2π)⁴δ⁴(P_f − P_i)Π_f d³p_f

2E_f(2π)³

(11)

dΦ `e invariante perch´e proporzionale a δ(p²− m²)d⁴p.

Sezione d’urto con bersaglio 2 fisso:

dσ = 1

|j₁| 1

2m₂|A_{f i}|²dΦ = 1

4|p₁|m₂|A_{f i}|²dΦ Espressione covariante: 4|p₁|m₂ → 4^q(p₁p₂)²− m²₁m²₂

3 Lagrangiana di QCD

E’ bene ricordare un pò di algebra di SU(N). Fra le rappresentazioni del gruppo è particolarmente importante la fondamentale, formata da matrici NxN U (θ) = exp iθâτadove τasono N²-1 matrici hermitiane che soddisfano [τ_a, τ_b] = if_abcτ_ccon f_abccostanti di struttura reali. La normalizzazione delle τ_a, e quindi quella delle f_abc, è arbitraria e viene normalmente fissata da Tr{τ_aτ_b} = ¹₂δ_ab.

Dalle equazioni sopra si trova f_abc = −2iTr{[τ_a, τ_b]τ_c} = −4iTr{τ_aτ_bτ_c} e quindi f_abc è antisimmetrico in tutti gli indici. Il Casimiro τ² = ^Pτâτâ commuta con tutte le τ ed è quindi proporzionale all’identità; la costante di proporzionalità si trova facendo la traccia e risulta

Pτâτâ≡ CF = ^N_2N²⁻¹. Esiste una Fierz-identity fondamentale, che deriva dal fatto che le N²− 1 matrici τ_a più l’identità sono una base per le matrici hermitiane NxN con prodotto scalare dato dalla traccia:

H =^XC^aτ^a+ C⁰ ⇒ C⁰ = Tr{H}

N , Câ= 2Tr{Hτâ} ⇒ 2τ_αβâ τ_δγâ = δαγδβδ− 1

Nδαβδδγ (39) Da questa si ricava facilmente:

Tr{τ^aτ^bτ^aτ^b} = 1

4(δαγδβδ − 1

Nδαβδδγ)(δβαδδγ− 1

Nδβδδγα) = −1

4(N²− 1

N ) (40)

La rappresentazione aggiunta è definita da U (θ)AâτâU⁻¹(θ) = A⁰_aτ_a e a livello infinitesimo δAâ = f_abcθ_bA_c da cui segue che A⁰ = exp iT_aθ_aA con T_bcâ = if_abc generatori del gruppo nella rappresentazione aggiunta. Tâ sono quindi N²-1 matrici (N² − 1) × (N² − 1). Per trovare il Casimiro nell’aggiunta si può usare il fatto che T_bcâT_cdâ = fâbcfâdc = C_Aδ_bc ⇒ (N² − 1)C_A = fâbcfâbc; il valore di fâbcfâbc si può trovare dalle formule precedenti:

Tr{τ^aτ^bτ^aτ^b}

| {z }

−^{N 2−1}_4N

= Tr{τ^bτ^aτ^aτ^b}

| {z }

(N 2−1)2 4N

+if^abcTr{τ^cτ^aτ^b}

| {z }

if abc 4

⇒ f^abcf^abc = N (N²− 1) ⇒ C_A= N (41)

A questo punto si possono dare anche le rappresentazioni esplicite “standard”:

Fondamentale e aggiunta di SU(2) con f^abc= ε^abc : τ₁ = 1

2

0 1 1 0

!

τ₂ = 1 2

0 −i i 0

!

τ₃ = 1 2

1 0 0 −1

!

(42)

(12)

T₁ =







0 0 0

0 0 i

0 −i 0







T₂ =







0 0 −i

0 0 0

i 0 0







T₃ =







0 i 0

−i 0 0 0 0 0







(43)

Fondamentale di SU(3) con f₁₂₃ = 1, f₃₄₅ = f₁₄₇ = f₂₄₆ = f₂₅₇ = ¹₂, f₃₆₇ = f₁₅₆ = −¹₂, f₄₅₈ = f₆₇₈=

√ 3 2 : τ₁ = 1

2







0 1 0 1 0 0 0 0 0







τ₂ = 1 2







0 −i 0

i 0 0

0 0 0







τ₃ = 1 2







1 0 0

0 −1 0

0 0 0







τ₄ = 1 2







0 0 1 0 0 0 1 0 0







(44) τ₅ = 1

2







0 0 −i 0 0 0

i 0 0







τ₆ = 1 2







0 0 0 0 0 1 0 1 0







τ₇ = 1 2







0 0 0 0 0 −i 0 i 0







τ₈ = 1 2√

3







1 0 0

0 1 0

0 0 −2







(45) con le 8 matrici 8x8 della aggiunta date da T_bcâ = ifâbc. Si verifica esplicitamente che f_{SU (2)}âbc f_{SU (2)}âbc = εâbcεâbc= 6 e che f_{SU (3)}âbc f_{SU (3)}âbc = 24 in accordo con la formula generale f_{SU (N )}âbc f_{SU (N )}âbc = N (N²−1).

La Lagrangiana di QCD `e un caso particolare di teoria di Yang Mills, cio`e un tipo di teoria con invarianza locale SU(N). Per ottenere una Lagrangiana con invarianza locale, partiamo da una generica Lagrangiana con invarianza globale SU(N):

L(φ, ∂_µφ) φ⁰ = U φ, U = exp[iαâTâ] L(φ, ∂_µφ) = L(φ⁰, ∂_µφ⁰) (46) Se adesso rendiamo la trasformazione locale, αâ → αâ(x), la Lagrangiana non è più in generale invariante. Per renderla invariante localmente introduciamo N campi di gauge vettoriali Aâ_µ, a = 1...N :

A_µ≡ Aâ_µTâ U = exp[iαâ(x)Tâ] A⁰_µ = U A_µU⁻¹+ i

g(∂_µU )U⁻¹ (47) dove g `e una cosatante cui daremo il significato di costante di accoppiamento. Definiamo la derivata covariante:

D_µ = ∂_µ− igA_µ (48)

che ha, diversamente dalla derivata semplice, una “buona” propriet`a di trasformazione sotto gauge, nel senso che

D_µφ → U D_µφ (49)

o equivalentemente, dato che φ → U φ, si pu`o scrivere anche D_µ → U D_µU⁻¹. Da quanto detto

`

e facile constatare che la seguente lagrangiana `e localmente invariante sotto SU(N):

L_{Y M} = L(φ, D_µφ) − 1

4F_µν^a F_a^µν (50)

avendo definito:

F_µν = F_µν^a T^a = 1

ig[D_µ, D_ν] ⇒ F_µνâ = ∂_µAâ_ν− ∂_νAâ_µ− gfâbcA^b_µA^c_ν, F_µνâ F_a^µν ∝ Tr{F_µνF^µν} (51)

(13)

La Lagrangiana di QCD `e un caso particolare con N=3:

L_QCD = ^X

f =u,d,s...

i ¯ψ_fD_µψ_f −1

4F_µν^a F_a^µν (52)

A questa vanno aggiunti i termini di gauge fixing, di massa dei quarks ed i ghosts. Il termine di gauge fixing `e indispensabile per risolvere un’ambiguit`a nella definizione del propagatore. In effetti se consideriamo un campo vettore accoppiato con una corrente, L = −1/4F² + jA, le equazioni del moto:

∂_µF^µν = j^ν ⇒ ∂_µ∂^µA_ν − ∂_µ∂^νA_µ = j_ν (53) si scrivono in trasformata di Fourier:

(−k²g_µν + k_µk_ν)A^µ= j_ν (54)

La corrispondente funzione di Green soddisfa, per definizione:

A_µ= G_µνj^ν ⇒ (−k²g_µα+ k_µk_α)G^αν = g_µ^ν (55) Ma quest’ultima equazione non ha soluzione, come si vede dal fatto che (−k²g_µα+ k_µk_α)k^α = 0, che è collegato all’invarianza di gauge. Per risolvere questa ambiguità si può ad esempio aggiungere alla Lagrangiana un termine _2ξ¹(∂_µA^µ)² (ξ-gauge). In questo modo le equazioni del moto cambiano e il propagatore soddisfa:

−k²g_µα+ k_µk_α(1 −1 ξ)

!

G^αν = g_µ^ν ⇒ G_µν = 1

k²((1 − ξ)k_µk_ν

k² − g_µν) (56) Una delle scelte pi`u comuni `e la gauge di Feynman ξ=1.

4 Sezione d’urto per diffusione elastica ut → ut

Gli ingredienti necessari per calcolare la sezione d’urto sono

• Regole di Feynman

• Espressione per lo spazio delle fasi

• Modulo quadro dell’ampiezza

Lo spazio delle fasi per uno stato finale di due particelle si scrive:

dLips = (2π)⁴δ⁴(p1+p2−p3−p4) d³p3

2E₃(2π)³

d³p4

2E₄(2π)³ = 1

(2π)²δ(E1 + E2− E3− E4) d³p3

4E₃E₄

p₄=p₃−p₂−p₂ (57)

(14)

dove ho eliminato l’integrale in d³p₄ tenendo conto del fatto che la δ³ implica la conservazione del triimpulso. Per valutare questa espressione mettiamoci ora nel sistema del centro di massa, nel quale si ha:

p₁ = (E₁, p) p₂ = (E₂, −p) p₃ = (E₃, p⁰) p₄ = (E₄, −p⁰) p²₁ = p²₃ = m²₁ p²₂ = p²₄ = m²₂ (58) la Quantit`a E₁+ E₂ si indica di solito con√

s ed `e la massa invariante delle 2 particelle inizialei:

s = (p₁+ p₂)². Nel sistema del centro di massa si ha

p₃ = p⁰, E₃ =^q|p⁰|²+ m²₁, E₄ =^q|p⁰|² + m²₂ d³p⁰ = |p⁰|²d|p⁰|dΩ Adesso, ricordandosi che δ(f (x)) = 1/f⁰(x₀)δ(x − x₀) con f (x₀) = 0 si ottiene:

d³p⁰δ(E3(|p⁰|)+E4(|p⁰|)−√

s) = |p⁰|²d|p⁰|dΩ 1

|p⁰| E3 + ^|p⁰|

E4

= |p⁰| E₃E₄ E₃+ E₄dΩ

E3+E4=√ s

= |p⁰|E₃E₄

√s dΩ (59) Infine, la conservazione del triimpulso `e tenuta automaticamente in conto nella (58), mentre la conservazione dell’energia d`a:

q

p²+ m²₁+

q

p²+ m²₂ =

q

p⁰²+ m²₁+

q

p⁰²+ m²₂ ⇒ |p| = |p⁰| (60) Mettendo insieme le (57,59) si ottiene l’espressione dello spazio delle fasi nel sistema del c.m.:

dLips = 1 16π²

√|p|

sdΩ p = triimpulso nel c.m. √

s = energia nel c.m. (61) Infine:

dσ = |A_{f i}|²

I dLips = |A_{f i}|² 4|p|√ s

1 16π²

√|p|

sdΩ = |A_{f i}|²

64π²sdΩ (62)

Consideriamo adesso la sezione d’urto di scattering elastico u(k₁) t(p₁) → u(k₂) t(p₂) con k₁² = k²₂ = m², p²₁ = p²₂ = M², che potrebbe essere rilevante per processi misurati a LHC.

Le regole di Feynman rilevanti sono:

Utilizzando le regole di Feynman il calcolo dell’ampiezza per il processo u⁻(k₁; s₁)t⁻(p₁, r₁) → u⁻(k₂; s₂)t⁻(p₂, r₂) dove k, p indicano gli impulsi e r, s gli spin (elicit`a) `e piuttosto semplice:

A^s_s²^r²

1r1 = e²u¯_s₂(k₂)γ_µu_s₁(k₁)g^µν

q² u¯_r₂(p₂)γ_νu_r₁(p₁) (63) Notare che si pu`o usare g^µν...

Consideriamo la sezione d’urto unpolarised, cio`e mediata sugli spin iniziali e sommata su quelli finali:

X

r1,r2,s1,s2

|A^s_s²₁^r_r²₁|² 4 = (e²

q²)²Tr

2 {(k_/2+ m)γµ(k_/1+ m)γν}Tr

2 {(p_/2+ M )γ^µ(p_/1+ M )γν} ≡ (e²

q²)²LµνM^µν (64)

Teoria delle Interazioni Forti Paolo Ciafaloni A.A. 2016 - 2017