E' possibile aermare che un modello tra quelli presentati in questo lavoro sia la miglior approssimazione per la valutazione dei prezzi di un'opzione tramite l'u- tilizzo dei dati reali? In realtà questa domanda potrebbe avere una risposta aer- mativa, in quanto per mezzo del modello di Black e Scholes, ad esempio, abbiamo potuto notare una certa congruenza con i dati di mercato realmente veri catosi. Purtroppo però non è sempre così, infatti se così fosse saremo tutti dei veggenti e le previsioni per il futuro sarebbero sempre perfette. Punto a sfavore di questi mo- delli è il fatto che usano dei dati storici, perciò passati, per fare delle previsioni sui valori futuri; l'utilizzo dei dati passati non è un metodo attendibile che ci può dare una previsione corretta perchè non tiene conto di quello che potrebbe accadere, come ad esempio un crollo di borsa o un rialzo improvviso dei prezzi. Un esempio di parametro storico utilizzato è la volatilità usata per il calcolo dei modelli; come
detto nei capitoli precedenti, la volatilità può essere storica, quindi calcolata sui dati passati, oppure implicita, ossia una misura volta al futuro.
La presenza dei salti fa sì che venga assunto un rischio maggiore da chi vende il contratto, che richiede un premio per il rischio. Ci si aspettano dei valori migliori per i modelli che incorporano la variabilità del salto, in quanto si va ad incrementare la complessità del modello cercando di fornire una stima migliore. Anche l'utilizzo dei processi di Lèvy e di Poisson ci aiutano nella miglior riproduzione dei valori nali.
Capitolo 4
Modelli jump diusion per opzioni
americane
In questo capitolo verranno trattate le applicazioni del modello diusivo a salti alla valutazione delle opzioni americane.
Come già spiegato in precedenza, la dierenza tra il caso delle opzioni europee e quello delle opzioni americane, riguarda il periodo temporale in cui è possibile esercitare il diritto intrinseco nell'opzione.
4.1 Il caso delle opzioni americane
Il caso delle opzioni americane è dierente da quello delle opzioni europee, e la valutazione di questa tipologia di opzioni risulta più di cile. La caratteristica principale di questo tipo di opzioni sta nel fatto che esse possono essere esercitate durante la loro vita, in ogni istante temporale tra il loro acquisto e la loro scadenza, e non solo al termine, potendo così dal luogo ad un esercizio anticipato.
Infatti se si è in possesso di un'opzione call ed il prezzo di un titolo sottostante cresce, può risultare possibile e conveniente esercitare la call acquistando il sotto- stante al prezzo di esercizio per poi rivenderlo al prezzo di mercato. In questo caso, l'aumento del prezzo del sottostante fa aumentare il valore dell'opzione, avendo così
la possibilità di vendere l'opzione e di incassare la dierenza di prezzo tra acquisto e vendita come nel caso di un normale titolo.
Si rende perciò necessario conoscere quando sia il momento ottimale per eser- citare l'opzione: infatti il problema sta proprio nel quando vi sia convenienza all'esercizio anticipato.
Innanziatutto è noto che un'opzione call americana scritta su un titolo che non paga dividendi, non avrà convenienza ad essere esercitata prima della scadenza ed avrà quindi lo stesso valore di un opzione call europea (CE); Vediamo ora il
perché.
Nel caso in cui avessimo una call americana (CA) con scadenza `T' e volessimo
tenerla no alla scadenza, avremo un valore pari al max(ST − K, 0); se, invece,
decidessimo per l'ipotesi di esercizio anticipato al tempo t, dove 0 < t < T , il valore sarà:
ST − er(T−t)K. (4.1)
Ipotizzando che r sia > 0, dove r è il tasso d'interesse privo di rischio, e che er(T−t)
sia anch'esso maggiore di uno, avremo che:
ST − er(T−t)K ≤ max(ST − K, 0) (4.2)
di conseguenza si evince che non ci sarà convenienza all'esercizio anticipato di una call americana senza dividendi, pertanto varrà la pena tenerla no a scadenza. Il suo valore a scadenza sarà pari a quello di un'opzione europea che invece prevede l'esercizio solo al termine del contratto, pertanto in questa ipotesi possiamo dire che vale la seguente uguaglianza:
CA= CE.
Risulta dierente il caso dell'opzione con dividendi (D).
In tal caso può esserci convenienza d'esercizio, per l'opzione americana, appena prima dello stacco dei dividendi, in quanto dopo lo stacco dei dividendi il valore del titolo sottostante si abbasserà, facendo diminuire anche quello dell'opzione. La formula1 analitica di valutazione, considerando un numero generico di dividendi,
di questa tipologia d'opzione è la seguente:
CA = (S0− De−rt)[Φ(b1) + Φ2(a1− b1;− √ t1/T )]− Ke−rT[Φ(b2e−r(T −tD)+ Φ2(a2− b2;− √ t1/T )] + De−rt1Φ(b2) (4.3)
in cui i valori a1, a2, b1 e b2 sono così calcolati:
a1 = log[(S0− De−rt)/K] + (r + σ2/2)T σ√T ; a2 = a1− σ √ T (4.4) b1 = log[(S0− De−rt)/S1] + (r + σ2/2)T σ√T ; b2 = b1− σ √ T (4.5) dove
Φ2(a, b, ρ) è la funzione di distribuzione normale bi-variata;
S1 è il prezzo del titolo sottostante, il cui valore è calcolabile risolvendo
l'equazione: C = S +D −K. Nel caso in cui ci trovassimo nel momento dello 1Dispensa a cura di Paolo Pianca. Opzioni su titoli con dividendi: proprietà e tecniche di
stacco del primo dividendo la formula sarebbe pari a C = S1+ D1− K.
Il caso delle opzioni americane, comprende non solo le opzioni di tipo call ma anche le opzioni put. L'esercizio anticipato di un'opzione americana put senza lo stacco dei dividendi sul titolo sottostante potrebbe essere vantaggioso, in questo caso, a dierenza delle call; questo perchè viene sfruttata la possibilità di investire un ammontare pari alla dierenza (K − St), che potrebbe rendere un importo
maggiore rispetto al possesso dell'opzione no a scadenza.