Come già discusso nei paragra precedenti, il modello di Black e Scholes assume che la dinamica del prezzo del sottostante segua un moto browniano geometrico continuo, diusivo. In questa tesi, si vuole analizzare un'alternativa a questo mo- dello di valutazione, e quindi considerare un processo in cui il prezzo dell'azione segua un moto browniano geometrico con salti, è per questo motivo che il processo segue la dinamica di Levy (vedi Par. 3.3 ) ed è de nito come modello diusivo con salti.
I modelli diusivi con salti (modelli ibridi) sono stati introdotti da Merton nel 1976, proprio per incorporare, nel modello principale di prezzamento, movimenti giornalieri dei prezzi e i salti aleatori a cui essi potevano e possono andare incontro, riuscendo a dare in questo modo una visione più realistica del mercato e dei prezzi futuri. Il modello di Merton è anche detto `modello jump diusion', proprio perchè il prezzo del sottostante segue un processo di Levy del tipo a salti casuali. Esso è più parsimonioso rispetto a quello Black e Scholes del 1973, e verrà de nito nel seguente modo.
Consideriamo il prezzo del sottostante, al tempo t, St, ; in un modello diusivo a
salti l'equazione dierenziale stocastica di questo prezzo è:
dSt = µSt− dt + σSt− dZt+ St− dJt
dove:
(Jt) è il processo composto di Poisson cosí de nito : Jt =
∑Nt
i=1Yi.
I salti, rappresentati dal simbolo Jt, sono indipendenti ed identicamente distribuiti
(i.i.d.) con distribuzione F, così de nita: X ∼ s exp(−v2
2 + v ℵ(0, 1))
in cui s è la media dei salti; v è la volatilità dell'ampiezza del salto e ℵ(0, 1) è la distribuzione normale standardizzata. Il numero di salti Nt (visto nei precedenti
paragra ) è un processo di Poisson con intensità pari a λ, per cui il prezzo del sottostante segue un processo browniano con salti. Rispetto al modello `base' di Black e Scholes, in quello di Merton (1976), si vuole catturare l'asimmetria negativa e l'eccessiva curtosi delle serie storiche.
Ipotizziamo ora che il prezzo del sottostante durante un intervallo di tempo (dt) salti, usando il processo di Poisson (dNt) possiamo dire che la probabilità dei
salti sia pari a:
P rob.{che si verifichi 1 salto in (t, t + ∆t)} ∼= λdt;
P rob.{che non si verifichino salti in (t, t + ∆t)} ∼= 1− λdt;
P rob.{che si verifichino N salti in (t, t + ∆t)} ∼= 0.
(3.37)
dove λ è un parametro appartenente all'insieme dei numeri reali positivi, ed è indipendente dal tempo. Dato l'intervallo di tempo che va da t a t+∆t, nel quale il prezzo del sottostante varia da St a ytSt, l'ampiezza del salto sarà:
∆St
St
= ytSt− St
St
= yt− 1. (3.38)
Come de nito in precedenza, l'ampiezza dei salti è rappresentata dal simbolo k, la cui media equivale a [E(yt− 1) = eµ+
1 2σ
2
1− E[yt− 1])2] = e2µ+σ
2
(esigma2 − 1)]. Questo perchè Merton considera y
t come
variabile casuale lognormale, per cui la formula (3.38), per ∆ t → 0 diventerà:
dSt
St
= (α− λk)dt + σdWt+ (yt− 1)dNt (3.39)
dove con α(dt) rappresentiamo il rendimento istantaneo atteso del titolo aggiustato con la componente deterministica: -λk(dt), così da rendere la componente diusiva imprevedibile. Il valore atteso invece sarà:
E(dSt St
) = E[(α− λk)dt] + E[σdWt] + E[(yt− 1)dNt]
= (α− λk)dt + 0 + λkdt = αdt, (3.40)
per cui la variazione del prezzo del sottostante atteso (E(dSt
St )), appena descritta,
è riferita alla componente di salto dNt (nell'intervallo di tempo preso in considera-
zione), mentre la probabilità che si veri chi un salto con una determinata ampiezza (k) risulta pari a
λkdt = E[(yt− 1)dNt] = E[yt− 1]E[dNt]. (3.41)
Nel modello diusivo a salti troviamo due tipologie di `casualità'. La prima è il processo di Poisson (dNt), la cui funzione è quella di modellizzare i salti, i
cosiddetti `jumps'; con questo termine, si fa riferimento a dei movimenti discreti, ossia movimenti che accadono all'improvviso. Cosiccome il salto è un movimento casuale, così è casuale anche la sua dimensione; inoltre essi sono indipendenti gli uni dagli altri. Riprendendo le probabilità dei salti viste prima, nella (3.37), mostriamo cosa accade nelle nostre formule nei diversi casi. Se il prezzo del sottostante non
subisce salti nell'intervallo prestabilito, il modello jump diusion è un semplice modello browniano di questo tipo:
dSt
St
= (α− λk)dt + σWt.
Nel caso in cui, invece, il numero di salti sia pari a 1, avremo:
dSt
St
= (α− λk)dt + σWt+ (yt− 1)
dove (yt− 1) è l'ampiezza del salto avvenuto sul prezzo del sottostante.
Inoltre questo prezzo è modellato dal processo esponenziale di Levy, sotto questa ipotesi:
St= S0eLt,
con
0≤ t ≤ T ;
dove Lt è la somma di un moto browniano e un processo composto di Poisson:
Lt = (α− σ2 2 − λk)t + σWt | {z } M oto browniano + Nt ∑ i=1 Yi | {z }
P rocesso composto di P oisson
. (3.42)
L'unica dierenza rispetto al modello di Black e Scholes è data dall'aggiunta del processo composto di Poisson: ∑Nt
i=1Yi; il quale contiene due termini casuali:
il processo di Poisson con intensità λ e la dimensione dei salti. Merton nel suo modello assume che i salti seguano una distribuzione normale e siano i.i.d, con media µ e varianza σ2, e ne segue che:
f (dxi) = 1 √ 2πσ2 exp− (dxi− µ)2 2σ2 .
È proprio questa formula che, moltiplicata all'intensità del salto (λ), ci porterà alla formula di Levy introdotta precedentemente ((3.42)); si avrà perciò :
l(dx) = λf (dx).
Entriamo ora più nel dettaglio, mostrando la formula di valutazione per le opzioni, utile per le nostre prossime valutazioni, quando il modello jump diusion ha salti distribuiti normalmente (yi ∼ N(α, δ2)). Introduciamo la formula per
l'opzione call europea:
C(S, k, T ) = ∞ ∑ n=0 e−λ′T(λ′T )n n! CBS(S, K, rn, σn, T ) (3.43) con λ′ = λeα+σ2/2; δn2T = δ2T + δ2; rnT = (r + µ)T − n(α + δ2/2);
dove CBS è il prezzo dell'opzione call calcolata con il metodo Black e Scholes. Nel caso in cui in questo modello non ci fossero salti la volatilità implicita sarebbe piatta, inoltre se nella (3.43) non avessimo scritto la prima parte della formula (CBS), essa non sarebbe stata altro che la formula di Black e Scholes (vedi Par.3.1). Per arrivare a questa formula iniziamo con il considerare un portafoglio Π formato dal sottostante St, una posizione lunga V (St, t) e una corta ∆:
Πt= V (St, t)− ∆St.
dSt= (α− λk)Stdt + σStdWt+ (yt− 1)StdNt.
Questa equazione si modi ca in un processo jump diusion applicando la formula di Itô: dV (St, t) = ∂V ∂tdt + (α− λk)St ∂V ∂St dt + St2σ 2 2 ∂2V ∂S2 t dt+ σSt ∂V ∂St dWt+ [V (ytSt, t)− V (St, t)]dNt
dove con gli ultimi due valori ([V (ytSt, t)−V (St, t)]dNt), viene espressa la dierenza
del prezzo dell'opzione causata dall'avvenimento del salto. Si speci ca, inoltre, che nel caso non sussitano salti nell'intervallo preso in considerazione, per la valutazione dell'opzione sarà più comodo e logico usare la classica formula di Black e Scholes, poiché le fonti di rischio dWt e dNt risultano nulle.