2.2 Il modello
2.2.3 Errori t ∼ GEV(0,1,ξ)
Per permettere ai rendimenti di assumere valori ancora più estremi si sono modellati i disturbi con una distribuzione GEV. Come accade per la t-Student, questa distribuzione è caratterizzata da un parametro ξ ∈ R che determina la forma della distribuzione e che deve essere stimato a partire dai dati.
La distribuzione GEV in realtà ha una funzione di densità di probabilità che degenerain tre distinti tipi di distribuzione a seconda del valore assunto da ξ, con tre distinte definizioni di media e varianza per ogni distribuzione. Ciò ha posto il problema di rendere la varianza di yt esattamente uguale ad ext e la media pari
a zero.
A tal fine, il modello di partenza di Taylor è stato modificato nella seguente forma: yt= ext/2 s 1 1 ξ2(Γ2− Γ21) t (2.44) xt = β0+ β1xt−1+ ηt (2.45) t⊥ ηt t∼ GEV(µ, σ, ξ) , ηt ∼ N (0, 1) (2.46)
dove Γk = Γ(1 − kξ), µ = 0 è il parametro di location mentre σ = 1 definisce
il parametro di scala. Per la distribuzione GEV vale la seguente definizione di varianza:
V ar[] = σ2 1
ξ2(Γ2− Γ 2
1) (2.47)
dove σ2 indica il parametro di scala unitario per convenzione e conseguentemente
la varianza di yt diventa: V ar[y|x, θ, ξ] = Eh(ex/2 s 1 1 ξ2(Γ2− Γ21) )2|x, θ, ξi (2.48) = Ehex 1 1 ξ2(Γ2− Γ21) σ2|x, θ, ξi (2.49) = ex 1 1 ξ2(Γ2− Γ21) σ2 1 ξ2(Γ2− Γ 2 1) (2.50) = ex (2.51)
stata tolta poi la media empirica per rendere i rendimenti a media zero. Il vettore β è stato scelto come nelle precedenti simulazioni, ovvero β = 0.45, 0.8. E’ stato poi applicato il filtro di Liu e West con un numero di particelle n = 10000. I risultati della serie simulata vengono indicati nelle figure 2.12 e 2.11.
Figura 2.11: Istogramma delle osservazioni generate tramite il modello SV-GEV
Figura 2.12: Grafico dei livelli della serie generata tramite il modello SV-GEV. Il gra- fico riporta anche media e deviazione standard empiriche calcolate su tutto il campione simulato.
Per la stima del parametro relativo alla forma della distribuzione, si è ini- zializzata la stima assumendo una distribuzione a priori uniforme sull’intervallo (-1,0.45). Questo al fine di evitare che la media e varianza della distribuzione determinata dal parametro ξ diventassero infinite e quindi poco utili sul piano pratico. I primi due momenti sono quindi così definiti, in termini di una generica variabile x ∼ GEV (µ, σ, ξ): E[x] = µ + σΓ(1−ξ)−1ξ se ξ 6= 0, ξ < 1 µ + σγ se ξ = 0 ∞ se ξ ≥ 1 V ar[x] = σ2 1 ξ2(Γ2− Γ21) se ξ 6= 0, ξ < 1 2 σ2 π2 6 se ξ = 0 ∞ se ξ ≥ 1 2
dove γ indica la costante di Eulero e Γk = Γ(1 − kξ). Nell’algoritmo utilizzato
si è ridotta la probabilità che ξ assumesse valori maggiori di 0.5 introducendo anche un ciclo if ad ogni iterazione che sostituisse i valori pari a 0.5 rendendoli uguali a 0.45. Per il calcolo dei pesi e la stima dei parametri si è utilizzata la stessa metodologia già usata per il modello SV-t, inizializzando i parametri con le prior definite in (2.18) e (2.19) e valutandoli con le equazioni (2.31) e (2.42), leggermente modificate rispetto a quelle di Liu e West ed adattate per la stima di ξ. Il parametro di shrinkage, α, è pari a 0.98. I risultati del filtraggio sono presentati nelle figure successive.
Figura 2.13: Valore dei parametri stimati dal modello al variare del tempo. La linea rossa indica il parametro teorico mentre quella blu il valore stimato dal filtro.
Figura 2.14: Grafico della log-volatilità stimata tramite il modello SV-GEV. Le bande tratteggiate indicano i quantili al 97.5 e allo 0.025, mentre la linea rossa è la log-volatilità simulata.
Figura 2.15: Andamento del RMSE della log-volatilità, xt per il modello SV-GEV.
Il RMSE è leggermente superiore a quello ottenuto con i modelli normale (1) e t-Student (1.4). Prima di passare alle applicazioni a dati reali, nella tabella sotto si riassumono le principali caratteristiche dei modelli stimati utilizzando le serie generate.
Tabella 2.1: Tabella riassuntiva dei principali parametri utilizzati e stimati per i tre modelli presentati in questo capitolo.
SV-N SV-t SV-GEV True T 1000 1000 1000 - n 10000 10000 10000 - αLW 0.999 0.990 0.980 - Var(y) 22.197 49.279 26.107 - RMSE 1.041 1.388 1.603 - β0 0.624 0.615 0.835 0.450 β1 0.648 0.585 0.610 0.800 ν - 14.919 - 12 ξ - - 0.103 0.100
Gli stati, così come usato per il modello SV-t, gli stati sono stati inizializzati utilizzando come prior la stessa definita nell’equazione (2.20) per il modello SV con errori gaussiani.
Nel capitolo successivo si tratta l’applicazione a dati reali, con finalità di combinare i risultati dei modelli per ottenere una stima previsionale basata su differenti output e non utilizzando solamente il modello migliore: in questo modo si sfrutta tutta l’informazione disponibile e derivante dalle diverse specificazioni.
Stima della volatilità su dati reali
3.1
Metodologia applicata
I tre modelli presentati nel capitolo precedente verranno ora utilizzati al fine di stimare la volatilità dei rendimenti su commodities del settore energetico e dei metalli. In questi mercati la gestione della volatilità è fondamentale sopratutto per finalità di copertura (Morales and Andreosso-O’Callaghan (2012)). Sono state reperite da Bloomberg le serie storiche dei prezzi spot e futures di platino, oro, argento, rame e petrolio per un periodo che va da gennaio 2010 a dicembre 2013 con frequenza giornaliera.
Si sono calcolati quindi i rendimenti logaritmici di ogni serie, sui quali si sono applicati i tre algoritmi. Una volta stimati parametri e vettore degli stati, tramite questi si è ricostruita sequenzialmente nel tempo la serie storica dei rendimenti. In altre parole, al prediction step al tempo t di ogni algoritmo non solo si ottengono le particelle relative ad xt (propagando xt−1) ma anche la previsione one-step-
ahead di yt, utilizzando le particelle di xt ottenute tramite le equazioni (2.13),
(2.24) e (2.44). In questo modo non otteniamo solamente una stima puntuale per la previsione di yt ma anche una stima della densità previsiva di yt+11.
L’idea è quella di combinare tramite opportuni pesi i tre output di stima, in modo da avere un vettore degli stati (e delle osservazioni one-step-ahead) composto dalle stime combinate dei tre algoritmi: potrebbe sembrare un contro senso combinare previsioni ottenute con il modello migliore con altre che hanno un RMSE maggiore. Tuttavia, si è dimostrato che utilizzando dei pesi appropriati
1Il procedimento vale anche per la combinazione dei tre modelli, ottenendo la distribuzione
empirica della combinazione. Questa sarà utile a fini di allocazione di portafoglio, come spiegato nella sezione 3.3.
il RMSE della stima combinata è inferiore a quello delle singole previsioni (Wallis (2011)). A tal fine, si è deciso di definire come criterio della bontà di stima il Root Mean Square Prediction Error, ovvero l’errore quadratico medio tra il rendimento previsto e quello reale, in modo che il modello con un RMSPE minore avesse un peso maggiore nella determinazione degli stati. Non è stato possibile utilizzare come criterio per definire i pesi il RMSPE degli stati a causa della loro non osservabilità. Il valore al tempo t della previsione fcomp è quindi definito come
media ponderata delle tre previsioni f1, f2, f3:
fcomp = f1w1+ f2w2+ f3(1 − w1− w2) (3.1)
con i pesi w inversamente proporzionali al RMSPE dei rendimenti, definito come: RM SP Ek,t = v u u t 1 τ τ −1 X t=0 (ˆyk,t− yt)2 (3.2)
dove k = {1, 2, 3} indica rispettivamente il modello normale, t-Student e GEV. τ è considerato pari a 20 in modo da ottenere un RMSPE medio delle ultime 20 osservazioni ed ˆyk,t indica la previsione di yt dal modello k al tempo t − 1. I pesi
wk,t sono definiti secondo la seguente equazione:
wk,t = RM SP Ek,t−1 P3 j=1RM SP E −1 j,t (3.3) I motivi dell’uso anche della serie dei prezzi futures dei metalli preziosi sono molteplici. In tali contratti la volatilità gioca un ruolo fondamentale sul valore, andando ad impattare direttamente sulle decisioni di investimento. L’alta volatili- tà inoltre è caratteristica intrinseca dei mercati delle commodities ed è necessario coglierne la dinamica nel miglior modo possibile sopratutto se si attua una stra- tegia di copertura. Inoltre è noto che il prezzo future esprime anche le aspettative sul futuro prezzo spot, che potrà essere sovra o sottostimato in base al grado di correlazione del future con il mercato (Hull (2010)).
La theory of storage conferma inoltre che le aspettative di mercato sul futuro prezzo spot si manifestano gradualmente nei prezzi a termine in base anche al livello di scorte di quel bene (Fama and French (1988)). Nel caso del petrolio ed in particolar modo della sua volatilità, essi sono noti per avere grossi impatti a livello macroeconomico.
poi presentare successivamente i risultati ottenuti su questi dati.