Figura 7.7: Tipico andamento temporale delle funzioni componenti la soluzione transitoria: a) nel caso di radice reale negativa; b) nel caso di radici complesse coniugate
l'asse delle ascisse è di lunghezza costante e pari alla costante di tempo. pxj = p(Aje−t/Tj) = −Aj Tj e−t/Tj = −xj Tj (7.18)
7.8 Esempi applicativi
Verrano proposti in questo paragrafo alcuni esempio applicativi relati- vi la soluzione di transitori elettrici descritti da equazioni dierenziali del primo ordine (quindi con la presenza nel circuito di un solo indut- tore o condensatore). Per circuiti di questo tipo la soluzione può essere calcolata molto semplicemente analizzando in maniera opportuna la rete elettrica.
7.8.1 Transitorio con ingressi costanti
Si consideri il circuito di Figura 7.8, dove si voglia determinare l'an- damento nel tempo della corrente che circola nell'induttore a seguito della chiusura dell'interruttore S. L'equazione che governa il transito- rio è la (7.19) e la soluzione può essere espressa nella forma (7.20) che presenta l'andamento indicato in Figura 7.9.
Figura 7.8: Circuito in regime transitorio
Figura 7.9: Andamento della corrente nell'induttore
V = Ri + Ldi
dt (7.19)
i(t) = [i(0+) − i(∞)]e−t/τ + i(∞) (7.20) I passi da seguire per ottenere la (7.20) sono i seguenti:
• Calcolo della grandezza di stato all'istante iniziale, i(0+). Nell'i-
potesi che il circuito sia regime prima dell'esecuzione della mano- vra, tale valore può essere ottenuto risolvendo all'istante t = 0−
la rete ottenuta sostituendo all'induttore, un corto circuito (es- sendo gli ingressi stazionari) ed imponendo poi la continuità dello stato i(0+) = i(0−).
• Calcolo della soluzione di regime, i(∞), risolvendo la rete che si
ottiene dopo la manovra di chiusura dell'interruttore, sostituendo all'induttore, un corto circuito.
7.8. ESEMPI APPLICATIVI 109
• Calcolo della costante di tempo τ. Il valore della costante di tem-
po con cui evolve il transitorio può essere ottenuta come rapporto tra il valore di induttanza L e un opportuno valore di resisten- za Req (τ = L/Req). Il valore della resistenza Req è pari alla
resistenza equivalente di Thevenin vista dai morsetti dell'indut- tore, dopo che la manovra di chiusura dell'interruttore è stata eettuata.
I passi elencati in precedenza si possono estendere a reti più comples- se (ma sempre con un unico elemento passivo) e alla determinazio- ne dell'andamento di grandezze di rete che non siano di stato che, naturalmente, presentano l'andamento indicato in (7.20).
Più in generale, la procedura per la determinazione dell'andamento di una grandezza di rete in regime transitorio con ingressi stazionari, si può riassumere nei seguenti passi.
• Calcolo del valore assunto della grandezza di stato (tensione sul
condensatore, corrente nell'induttore) all'istante t = 0−, risol-
vendo la rete a regime ottenuta quando non sia ancora stata eseguita la manovra che ha causato il transitorio e sostituen- do all'induttore un corto circuito ed al condensatore un circuito aperto.
• Calcolo del valore della grandezza di interesse all'istante t =
0+. Nel caso sia una grandezza di stato si impone la continuità
vc(0+) = vc(0−), iL(0+) = iL(0−). Nel caso la grandezza non
sia di stato è necessario risolvere la rete che si ottiene, dopo aver eseguito la manovra, sostituendo all'induttanza un generatore di corrente i(0−) e al condensatore un generatore di tensione con
tensione v(0−) (in questo caso sono possibili discontinuità nel
passaggio tra 0− e 0+).
• Calcolo del valore di regime della grandezza di interesse (t = ∞)
risolvendo la rete che si ottiene, a manovra eseguita, sostituen- do all'induttore un corto circuito ed al condensatore un circuito aperto.
tra la capacità/induttanza del condensatore/induttore ed il va- lore della resistenza equivalente di Thevenin vista ai morset- ti del condensatore/induttore dopo aver eseguito la manovra (τ = ReqC oppure τ = L/Req).
7.8.2 Transitorio con ingressi sinusoidali
Si consideri ancora il circuito di Figura 7.8, dove si voglia determina- re l'andamento nel tempo della corrente che circola nell'induttore a seguito della chiusura dell'interruttore S. In questo caso si supponga che il generatore di tensione presenti un andamento nel tempo di tipo sinusoidale vg =
√
2V sin(ωt + α).
L'equazione dierenziale del transitorio è indicata in (7.21).
√
2V sin(ωt + α) = Ri + Ldi
dt (7.21)
L'integrale dell'omogenea associata e l'integrale particolare (solu- zione di regime, determinabile risolvendo la rete utilizzando le op- portune grandezze fasoriali e poi ritornando nel dominio temporale) assumono le forme indicate in (7.22)-(7.23).
it = Ae− R Lt (7.22) ip = √ 2V √ R2 + ω2L2 sin(ωt + α − arctan ωL R ) (7.23)
Il valore della costante di integrazione A si ottiene imponento alla soluzione completa i = it+ipla condizione iniziale di induttore scarico
i(0+) = 0 come indicato in (7.24).
0 = A + √ 2V √ R2 + ω2L2 sin(α − arctan ωL R ) (7.24)
Capitolo 8
Legge dell'induzione
elettromagnetica
8.1 Introduzione
Nei Capitoli precedenti si sono analizzati i fenomeni elettromagneti- ci, modellando i sistemi elettrici attraverso bipoli che potevano essere individuati da misure ai morsetti. Si sono quindi utilizzate leggi fa- cilmente manipolabili come le LKT e LKC e legami alla porta dei bipoli (LC - legami costitutivi), derivati dalle più generali equazioni di Maxwell, che hanno consentito di studiare il comportamento dei circuiti in condizione di regime e transitoria. Per comprendere meglio il funzionamento delle macchine elettriche e dei fenomeni coinvolti nella trasformazione elettromeccanica dell'energia conviene approfon- dire ulteriormente i fenomeni che coinvolgono le cariche elettriche in movimento.
A tal proposito, si ricorda che lo studio dei fenomeni legati alle cariche elettriche in movimento all'interno dei materiali richiede l'in- troduzione di ulteriori campi vettoriali (oltre al campo elettrico ~E e di induzione dielettrica ~D), il campo magnetico ~H e il campo di in-
duzione magnetica ~B. Il legame tra i due campi è indicato in (8.1), dove il coe ciente µ prende il nome di permeabilità magnetica. La rappresentazione della curva nel piano B −H del legame espresso dal- la (8.1) e ad esempio rappresentato in Figura 8.1, prende il nome di caratteristica di magnetizzazione. Se la caratteristica viene tracciata
Figura 8.1: Caratteristiche di magnetizzazione
utilizzando un provino di materiale mai sottoposto a campi magnetici, si parla di caratteristica di prima magnetizzazione.
~
B = µ ~H (8.1)