6.1 Esercizio
Un ambiente `e riscaldato tramite un radiatore elettrico che dissipa una potenza Pr = 2kW . La capacit`a termica del radiatore `e Cr = 8000J/oC e la sua resistenza termica verso l’ambiente `e ϑra= 0.04oC/W. La capacit`a termica dell’ambiente sia Ca= 800000J/oC e la resistenza termica verso l’esterno sia ϑae= 0.01oC/W .
1. Ricavare una rappresentazione di stato del sistema, assumendo come variabili di sta-to le temperature del radiasta-tore (Tr) e dell’ambiente (Ta) rispetto alla temperatura Te
dell’ambiente esterno, considerata costante.
2. Calcolare il tempo necessario per portare l’ambiente da 10oC a 20oC per Te= 10oC.
3. Calcolare l’andamento a regime della temperatura Ta a radiatore spento assumendo che la temperatura esterna Te vari nel tempo tra Temax= 35oC e Temin = 5oC con andamento sinusoidale di periodo T = 24h.
Soluzione
1. La potenza dissipata dal radiatore in parte concorre ad aumentarne la temperatura e in parte viene ceduta all’ambiente:
Pr = CrT˙r+Tr− Ta ϑra
. (24)
La potenza in ingresso all’ambiente in parte concorre ad aumentarne la temperatura e in parte viene ceduta all’esterno:
Tr− Ta ϑra
= CaT˙a+Ta− Te ϑae
. (25)
ponendo u = Pr, x1 = Tr−Te, x2 = Ta−Tee ricordando che Te`e costante, le due equazioni precedenti possono essere scritte nel modo seguente:
˙x1 = −Cr1ϑrax1+C 1
rϑrax2+ C1
ru
˙x2 = 1 x1−
1 + 1
x2
Poich´e gli autovalori di A sono
λ1 = −3.15754 · 10−3 λ2 = −1.23712 · 10−4, il sistema `e asintoticamente stabile.
2. Assumendo che anche il radiatore si trovi inizialmente alla temperatura di 10oC, lo stato iniziale del sistema `e
x(0) =
"
0 0
# ,
dunque si tratta di calcolare la risposta al gradino di ampiezza Pr a partire da condizioni iniziali nulle. Sfruttando la particolare forma di B e C si pu`o calcolare facilmente la funzione di trasferimento W (s) che risulta
W (s) = C(sI − A)−1B = α12b1
(s − λ1)(s − λ2) = 3.90625 · 10−9
(s + 3.15754 · 10−3)(s − 1.23712 · 10−4), dove α12 denota il complemento algebrico dell’elemento di indici 1, 2 della matrice sI − A e b1 l’elemento non nullo di B. La trasformata di Laplace dell’uscita in corrispondenza di un ingresso a gradino di ampiezza Pr= 2000W risulta pertanto
Y (s) = 3.90625 · 10−9
(s + 3.15754 · 10−3)(s + 1.23712 · 10−4) 2000
s = 7.81250 · 10−6
s(s + 3.15754 · 10−3)(s + 1.23712 · 10−4) e pu`o essere espressa come somma di frazioni parziali come segue:
Y (s) = 20
s + 0.81550
s + 3.15754 · 10−3 − 20.81550 s + 1.23712 · 10−4. Pertanto, la risposta y(t) cercata `e
y(t) = 20 + 0.81550e−3.15754·10−3t
− 20.81550e−1.23712·10−4t
t ≥ 0
il cui andamento `e riportato in Fig.11. Affinch´e la temperatura dell’ambiente sia di 20oC, l’uscita deve essere pari a 10oC (la sovratemperatura rispetto a Te = 10oC), ossia deve essere
10 = 20 + 0.81550e−3.15754·10−3t
− 20.81550e−1.23712·10−4t.
Risolvendo numericamente si trova che l’ambiente raggiunge la tempertura di 20oC in un tempo
t = 5928.47s ≈ 1h 38¯ ′ 48′′.
3. Il modello ricavato al punto 1, poich´e assume Te costante, non `e adatto allo scopo. `E invece necessario ricavare una nuova rappresentazione di stato per il sistema in cui Te sia
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 x 104 0
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
t [s]
∆T [°C]
Figura 11:
l’ingresso e Tal’uscita. Le equazioni (24) e (25) naturalmente sono ancora valide; ponendo Pr = 0 e riarrangiando si trova
T˙r = −CrTϑrra +CTa
rϑra
T˙a = CTr
aϑra −
1
Caϑra +C 1
aϑae
Ta+C1
aϑaeTe .
Tali equazioni rappresentano un sistema lineare avente Tr(t) e Ta(t) come variabili di stato e Te(t) come ingresso. Si potrebbe allora porre y(t) = Ta(t), studiare la risposta di tale sistema all’ingresso
Te(t) = Temax+ Temin
2 +Temax− Temin
2 sin 2π T t
= 20 + 15 sin 7.2722 · 10−5t e valutarne il comportamento a regime (si invita a farlo per esercizio).
In alternativa si pu`o sfruttare la propriet`a che la funzione di trasferimento valutata in jω fornisce, in modulo e fase, la risposta a regime ad un ingresso sinusoidale di ampiezza unitaria. Detto ¯T = Temax+T2 emin, ponendo x1 = Tr − ¯T , x2 = Ta− ¯T , u = Te − ¯T e y = Ta− ¯T ci si riconduce allo studio della risposta a regime del sistema
˙x1 = −Crxϑ1ra +Cx2
rϑra
˙x2 = Cx1
aϑra −
1
Caϑra +C1
aϑae
x2+C1
aϑaeu
Il sistema `e descritto dalle matrici seguenti:
A =
"
−3201 3201
1
32000 −64001
#
, B =
"
0
1 8000
#
, C =h 0 1
i.
Si noti che la matrice A `e la stessa del caso precedente poich´e esprime la dinamica propria del sistema, ovvero i legami fra le variabili di stato (Tr e Ta) ed `e pertanto indipendente dalla scelta dell’ingresso. Anche in questo caso la particolare forma di B e C permette di calcolare facilmente la funzione di trasferimento, che risulta essere
W (s) = C(sI − A)−1B = 1.25 · 10−4s + 3.906 · 10−7
(s + 3.15754 · 10−3)(s − 1.23712 · 10−4). Poich´e risulta
|W (jω)| = 0.8621, φ(W (jω)) = −0.5312 si avr`a
y∞(t) = 12.932 sin(7.2722 · 10−5t − 0.5312), e quindi
Ta,∞(t) = 20 + 12.932 sin(7.2722 · 10−5t − 0.5312).
Ci`o significa che la temperatura dell’ambiente varia fra 20 − 12.932 = 7.068oC e 20 + 12.932 = 32.932oC ed `e sfasata in ritardo rispetto alla temperatura esterna di 0.5312·242π ≈ 2 ore, come si vede in Fig.12 (che riporta in grigio l’ingresso e in nero la risposta totale, comprensiva cio`e del transitorio iniziale che per`o diventa ben presto trascurabile).
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
x 105 t [s]
20°C
5°C 35°C
Figura 12:
xxx
Un’asta rigida e omogenea (Fig.13) di lunghezza L e massa m `e incernierata ad una estremit`a e vincolata a muoversi su un piano verticale. L’altra estremit`a poggia su un carrello ed `e soggetta a una forza elastica di costante k e ad uno smorzamento d. Un carico F (t) agisce sulla mezzeria perpendicolarmente all’asta. Detto ϑ l’angolo formato dall’asta con l’orizzontale, il sistema `e retto dall’equazione
2. Calcolare ∆l affinch´e, in assenza di carico, si abbia equilibrio per ϑ = 0.
3. Linearizzare il sistema attorno al punto di equilibrio corrispondente a θ = 0 e F = 0.
4. Sfruttare il risultato del punto precedente per studiare il comportamento alle piccole os-cillazioni del sistema illustrato in Fig.14 dove un motore elettrico di massa M = 50Kg e sbilanciamento s = 2.5Kg · m `e posto sulla mezzeria di un’asta di lunghezza L = 2m e massa m = 80Kg. In particolare, calcolare l’ampiezza delle oscillazioni per k = 104 Nm e d = 102 N sm se il motore opera a n = 2950rpm.
Soluzione
1. Posto x1(t) = ϑ(t), x2(t) = ˙ϑ(t) e u(t) = F (t), l’equazione del secondo ordine (27) `e equivalente alle seguenti due equazioni del primo ordine:
˙x1 = x2
˙x2 = −mgL
2I cos x1−kL
I (L sin x1− ∆l) −L2d
I x2cos x1− uL
2I cos x1, che sono la rappresentazione di stato cercata.
2. All’equilibrio deve essere ˙x1 = ˙x2 = 0. Posto poi u = 0 e x1 = ϑ = 0, le due equazioni precedenti diventano:
0 = x2 0 = −mgL
2I +kL
I ∆l − L2d I x2, da cui
∆l = mg 2k.
3. La rappresentazione di stato trovata al punto 1 `e del tipo:
˙x = f (x, u).
Calcolando lo Jacobiano della trasformazione f in corrispondenza di x1 = x2 = u = 0, si ottiene il sistema lineare
˙x1 = x2 (28)
˙x2 = −kL2
I x1−L2d
I x2− L
2Iu, (29)
le cui matrici associate sono A =
"
0 1
−kLI2 −LI2d
#
, B =
"
0
−2IL
#
e che descrive il comportamento del sistema alle piccole oscillazioni. Si noti che alle piccole oscillazioni la gravit`a `e ininfluente (perch´e?).
4. Lo sbilanciamento s genera una forza centrifuga di intensit`a |F | = sω2 dove ω = 2πn60 ; considerando la sola componente verticale di tale forza (la componente orizzontale non influisce su ϑ), il sistema illustrato in Fig.14 pu`o essere schematizzato come in Fig.15 e dunque descritto dalle (28) e (29), a patto di porre I = mL32 + ML42 (la somma dei momenti di inerzia dell’asta e del motore rispetto alla cerniera). Si noti che la forzante F (t) `e sinusoidale di pulsazione ω, dal momento che `e la proiezione lungo la verticale della forza centrifuga, che ruota appunto ad una velocit`a di ω rad/s. Ponendo C = [ 1 0 ] si ha poi
y(t) = Cx(t) = ϑ(t).
La funzione di trasferimento risulta
W (s) = − L/2
Is2+ dL2s + kL2.
L’ampiezza della risposta a regime ad un ingresso sinusoidale di pulsazione ω e ampiezza
|F | = sω2 `e allora: Sostituendo i valori forniti si ottiene infine:
A ≈ 0.016rad,
che corrisponde a spostamenti massimi all’estremit`a dell’asta di ±0.032m.
xx