Esplicitazione delle componenti di forza per un WEC in alzata

In Figura 2.5 si riporta un esempio di corpo a sezione cilindrica, con diametro pari ad a, sottoposto all’azione di una generica onda caratterizzata da lunghezza d’onda 𝜆 e da ampiezza 𝐴_𝑤.

50 Nicola Incampo, matr. 770407 Figura 2.5: Corpo con sezione circolare investito da un’onda a bassa ripidezza ([5])

Se valgono le ipotesi:

 Corpi stretti: lunghezza d’onda 𝜆 ≫ 𝑎, dimensione caratteristica del galleggiante; tale dimensione caratteristica, per il caso di galleggiante sferico, la si ritrova nel suo diametro mentre, per un galleggiante cilindrico (con area di base parallela alla direzione di propagazione dell’onda) è pari al diametro di base dello stesso;

 Onde poco “ripide”: ampiezza d’onda 𝐴_𝑤 ≪ 𝜆;

allora è applicabile la teoria linearizzata mostrata in precedenza per determinare in maniera analitica i diversi contributi che vanno a formare le azioni d’onda su un corpo semimmerso. Il corpo di generica geometria a cui si fa ora riferimento è rappresentato in Fig. 2.6 in cui:

 𝜉 = spostamento verticale del sistema a partire dalla posizione di equilibrio statico;

 m = la massa del corpo;

 mg = peso del corpo; in assenza di onde, mg viene detta forza di galleggiamento e 𝜉 = 0;

Nell’equazione dinamica che verrà scritta si considereranno soltanto le perturbazioni al sistema posto nella condizione di equilibrio, quindi non apparirà il contributo dovuto alla forza peso. Per essere chiari questo non vale in generale ma dipende dalle caratteristiche geometriche e cinematiche del sistema meccanico interagente con le onde. Questo discorso sarà approfondito nel momento in cui verrà analizzato il lato prettamente meccanico del sistema.

51 Figura 2.6: Generico sistema WEC, caratterizzato da moto di heave, vincolato al fondale per

mezzo del PTO ([5])

In Figura 2.6 si nota la presenza del dispositivo PTO, Power Take-Off, che rappresenta la presa di potenza del sistema il quale, in un ipotetico sistema WEC reale trasformerebbe l’energia meccanica in energia elettrica, ma che, in un modello in scala di laboratorio, viene rimpiazzato con un sistema volto alla dissipazione di energia, quale può essere ad esempio uno smorzatore viscoso o coulombiano, spesso posto in parallelo ad un elemento elastico. Si analizzano i singoli contributi previsti dalla teoria lineare:

 Campi d’onda incidente 𝜙_𝑖 e difratta 𝜙_𝑑

Contributi che danno luogo alle azioni esercitate dal moto ondoso sul corpo in analisi considerato fisso nello spazio. Questi due campi presi singolarmente soddisfano le condizioni al contorno sul fondo e alla superficie libera dell’acqua, mentre la loro composizione soddisfa anche la condizione al contorno sulla superficie bagnata del corpo, rappresentata dalla seguente relazione:

𝜕𝜙𝑑

𝜕𝑛

= −

𝜕𝜙𝑖

𝜕𝑛 Sulla superficie bagnata S La pressione di eccitazione dovuta a questi due campi d’onda che, integrata, provoca la spinta sul corpo, è pari a:

𝑝_𝑒 = −𝜌𝜕(𝜙𝑑+ 𝜙𝑖) 𝜕𝑡

in cui 𝜌 rappresenta la densità dell’acqua. Integrando il campo di pressioni che si ha sulla superficie bagnata e proiettandola lungo la direzione verticale si ottiene la componente di spinta di eccitazione sul corpo lungo la direzione di heave:

52 Nicola Incampo, matr. 770407 𝐹_𝑒 = − ∫ 𝑛_𝑧𝑝_𝑒𝑑𝑆

𝑆

Figura 2.7: Configurazione del sistema per avere dalla cella di carico la misura della componente di eccitazione ([5])

In Figura 2.7 si può osservare la cella di carico per la lettura della forza di eccitazione, considerando perfettamente rigide le due asta tra cui la cella è montata.

 Campo d’onda di radiazione 𝜙𝑟

Contributo funzione del moto del corpo in acqua ferma; tale contributo soddisfa le condizioni al contorno sul fondo, alla superficie libera e sulla superficie bagnate del corpo in movimento:

𝜕𝑛

=

𝑑𝜉

𝑑𝑡

𝑛

La pressione dovuta al campo di radiazione che, integrata sulla superficie bagnata del corpo e proiettata in direzione verticale fornisce la componente radiativa di heaving, si calcola nel seguente modo:

𝑝_𝑟 = −𝜌𝜕𝜙𝑟 𝜕𝑡 La relativa forza vale invece:

𝐹_𝑟 = − ∫ 𝑛_𝑧𝑝_𝑟𝑑𝑆

53 Per analogia con il caso di eccitazione, si riporta in Figura 2.8 il corpo in moto in direzione verticale sul quale agisce la componente di forza di radiazione 𝐹𝑟 che, essendo funzione del

moto del sistema, rientra nell’insieme delle cosiddette Forze di campo.

Le forze di campo che in generale possono essere funzioni di accelerazione, velocità e spostamento del sistema su cui agiscono (in questo caso il sistema in esame è rappresentato dalla semplice boa vincolata al fondale), vanno dunque a modificare quelle che sono le caratteristiche strutturali del sistema, ossia le proprietà inerziali, di smorzamento ed elastiche del sistema.

Figura 2.8: Il contributo di radiazione dovuto al moto del sistema in acqua ferma

In questo semplice caso di galleggiante con un grado di libertà (quello verticale di heaving), vincolato a terra tramite il PTO, le proprietà strutturali del sistema sono la massa del corpo e lo smorzamento e la rigidezza del PTO, ipotizzandolo composto dal parallelo di una molla di rigidezza K e da uno smorzatore viscoso di costante C.

54 Nicola Incampo, matr. 770407 Le forze sviluppate da un tale PTO sono dunque date dalla somma di un contributo elastico e di uno di smorzamento, quindi da un termine proporzionale allo spostamento tramite la costante K e da un altro proporzionale alla velocità tramite la costante C.

Considerando queste con verso opposto a quello del moto, preso quest’ultimo positivo verso l’alto, si esprimono come segue:

𝐹𝑃𝑇𝑂 = −𝐶𝜉̇ − 𝐾𝜉

 Forza idrostatica di restoring

Se, in assenza di onde incidenti, il corpo viene fissato ad una quota 𝜉 ≠ 0, la forza di galleggiamento (o spinta di Archimede) in tal caso non andrebbe a bilanciare la forza peso. La differenza tra i due dà origine alla forza idrostatica di restoring 𝐹𝑠𝑡.

La spinta di Archimede è pari al prodotto:

𝐹𝐴𝑟𝑐ℎ = 𝑔𝜌𝑉𝑖𝑚𝑚

dove 𝑔, 𝜌 e 𝑉𝑖𝑚𝑚 rappresentano rispettivamente costante di accelerazione gravitazionale,

densità dell’acqua e volume del corpo immerso.

La forza di restoring, legata alla variazione di volume immerso nel tempo, in generale si esprime così:

𝐹𝑠𝑡 = 𝑔𝜌Δ𝑉𝑖𝑚𝑚

Nell’ipotesi di piccoli spostamenti attorno alla posizione di equilibrio statica la variazione di volume immerso nel tempo si può così approssimare:

Δ𝑉𝑖𝑚𝑚 ≈ −𝑆𝑐𝑠𝜉

in cui 𝑆_𝑐𝑠 rappresenta l’area racchiusa dal perimetro definito dal battente idrostatico sul corpo galleggiante; il segno meno è dovuto alla convenzione con cui è stata scelta la coordinata libera.

La forza di restoring assume dunque la seguente forma: 𝐹_𝑠𝑡 = −𝑔𝜌𝑆_𝑐𝑠𝜉

in cui il prodotto 𝑔𝜌𝑆_𝑐𝑠 può essere visto come una costante elastica equivalente di restoring, indicata con 𝑘_{𝑟𝑒𝑠𝑡}, misurata in [𝑁/𝑚].

Per cui, in relazione al contributo idrostatico, ricordando le ipotesi di piccoli spostamenti, è equivalente considerare al suo posto una molla fittizia avente costante di rigidezza pari a 𝑘𝑟𝑒𝑠𝑡, come riportato in Figura 2.10.

55 Figura 2.10: Molla lineare equivalente facente le veci del contributo idrostatico di restoring

([5])

Anche il contributo idrostatico, come quello di radiazione, ha le caratteristiche di una forza di campo essendo proporzionale allo spostamento del sistema, quindi tale da modificare il comportamento elastico della struttura a cui viene applicato.

Considerando ora tutte le forze presentate con i rispettivi versi e scrivendo l’equilibrio dinamico in direzione verticale, si ottiene l’equazione di moto del sistema meccanico galleggiante, vincolato a terra tramite il PTO, soggetto alla forzante d’onda composta, a sua volta, dai tre contributi di radiazione, di eccitazione e di restoring; in Figura 2.11 vengono riportati tutti questi contributi, non esplicitati, presi positivi verso l’alto nella scrittura dell’equazione di equilibrio.

Figura 2.11: Equilibrio dinamico del sistema WEC analizzato ([5])

L’equazione di equilibrio dinamico del sistema in direzione verticale vale: 𝐹_𝑒 + 𝐹_𝑟+ 𝐹_𝑠𝑡+ 𝐹_𝑃𝑇𝑂− 𝑚𝜉̈ = 0

56 Nicola Incampo, matr. 770407 Isolando in un membro dell’equazione i termini strutturali e nell’altro quelli di forzamento, si ottiene:

𝑚𝜉̈ + 𝐶𝜉̇ + 𝐾𝜉 = 𝐹𝑒+ 𝐹𝑟− 𝑘𝑟𝑒𝑠𝑡𝜉

Vista la semplicità del sistema, è stato possibile esplicitare sia il termine di forzamento del sistema che scrivere l’equazione del moto del sistema attraverso gli equilibri dinamici in direzione verticale; non sarà possibile fare ciò per EDS, essendo la geometria e la cinematica molto più complesse rispetto al WEC in alzata qui considerato, per cui si utilizzerà il metodo delle equazioni di Lagrange, che consiste nella scrittura di determinate forme energetiche del sistema da derivare successivamente per la stesura delle equazioni di moto.

Non sono ancora stati esplicitati i termini di eccitazione e di radiazione poiché è necessario fare una ulteriore ipotesi circa il contenuto in frequenza dell’onda che investe il sistema. A riguardo si considererà il caso di onda incidente monocromatica, esprimibile, in forma complessa, nel seguente modo:

Allora il sistema essendo lineare sia per quel che riguarda la parte strutturale che quella di forzamento, può essere espresso da un modello scritto nel dominio delle frequenze, in cui è possibile eliminare la dipendenza dal tempo, essendo tutte le grandezze di tipo armoniche. Per cui si esprimono i vettori complessi rotanti di spostamento, forza di eccitazione e forza di radiazione:

𝜉 (𝑡) = 𝑋𝑒𝑖𝜔𝑡 _𝑓

𝑒(𝑡) = 𝐹𝑒𝑒𝑖𝜔𝑡 𝑓 𝑟(𝑡) = 𝐹𝑟𝑒𝑖𝜔𝑡

in cui X, 𝐹_𝑒 e 𝐹_𝑟 sono le ampiezze di tipo complesso dei suddetti vettori rotanti.

Si esprime il modello matematico del sistema (equazione del moto forzato) nel dominio dei numeri complessi:

𝑚𝜉 ̈(𝑡) = 𝑓 _𝑒(𝑡) + 𝑓 𝑟(𝑡) + 𝑓 𝑠𝑡(𝑡) + 𝑓 𝑃𝑇𝑂(𝑡)

in cui i vettori rotanti 𝑓 𝑠𝑡(𝑡) e 𝑓 𝑃𝑇𝑂(𝑡) vengono esplicitati nel seguente modo:

𝑓 _𝑠𝑡(𝑡) = −𝑔𝜌𝑆𝑐𝑠𝜉 (𝑡) = −𝑘𝑟𝑒𝑠𝑡𝜉 (𝑡) 𝑓 𝑃𝑇𝑂(𝑡) = −𝐶𝜉 ̇(𝑡) − 𝐾𝜉 (𝑡)

E’ dunque possibile eliminare la dipendenza dal tempo nell’equazione complessa, giungendo al modello lineare nel dominio delle frequenze del sistema analizzato:

−𝜔2_𝑚𝑋𝑒𝑖𝜔𝑡_{= (𝐹}

𝑒+ 𝐹𝑟− 𝑘𝑟𝑒𝑠𝑡𝑋 − 𝑖𝜔𝐶𝑋 − 𝐾𝑋)𝑒𝑖𝜔𝑡

−𝜔2_{𝑚𝑋 − 𝐹}

57 Nel caso di onda monocromatica, la forza di radiazione si scompone a sua volta in due contributi, uno proporzionale all’accelerazione e l’altro alla velocità, entrambi chiaramente di tipo armonico.

Si riportano i casi del dominio del tempo in forma scalare e complessa, per poi anche qui considerare soltanto i vettori ampiezza complessa:

 Espressione scalare: 𝐹𝑟(𝑡) = −𝐴𝜉̈(𝑡) − 𝐵𝜉̇(𝑡)

 Espressione complessa: 𝑓 _𝑟(𝑡) = −𝐴𝜉 ̈(𝑡) − 𝐵𝜉 ̇(𝑡)

I termini A e B rappresentano i coefficienti di massa aggiunta [kg] e di smorzamento

idrodinamico [Ns/m]; esse, in generale, sono funzione della pulsazione d’onda che investe

il sistema ma, per il caso di moto armonico, assumono valore costante. Quindi è solo in presenza di onde del genere che è possibile esprimere il contributo di radiazione nella precedente forma.

L’equazione del modello del sistema espresso nel dominio delle frequenze è dunque il seguente:

{−𝜔2_{(𝑚 + 𝐴) + 𝑖𝜔(𝐵 + 𝐶) + (𝜌𝑔𝑆}

𝑐𝑠+ 𝐾)}𝑋 = 𝐹𝑒

I termini A, B e 𝐹𝑒 sono tutti e tre funzione della pulsazione d’onda 𝜔.

Essi, per i casi di acque profonde e di geometrie del galleggiante abbastanza semplici, sono ricavabili da bibliografia (Figura 2.12).

Nel caso invece la geometria del natante assume una geometria più complessa e/o non si rispetta l’ipotesi di lavorare in acque profonde, si può ricorrere a simulazioni numeriche, ad esempio a codici commerciali basati sul Boundary-Element-Method (BEM), attraverso alcuni software come Wamit, Ansys/Aqua, Aquaplus etc..

Oppure, un'altra via è quella di strumentare opportunamente un modello in scala di laboratorio e ricavare queste grandezze sperimentalmente.

Si riportano in Figura 2.12 gli andamenti di massa aggiunta e smorzamento idrodinamico, in funzione della pulsazione d’onda, per un caso di boa sferica e in acque profonde [20].

58 Nicola Incampo, matr. 770407 Figura 2.12: In alto, andamenti di massa aggiunta e smorzamento idrodinamico per il caso di boa sferica di raggio pari a r=5 [mt] posta in acque profonde (100 metri circa), in funzione della

frequenza dell’onda incidente. In basso, si ha invece l’andamento del mod ulo della forza di eccitazione

La cosa più giusta da fare sarebbe quella di adoperare entrambi i metodi, cercando di ottenere una mutua validazione di essi.

59 In realtà, per il caso di acque basse, condizione in cui lavora il sistema EDS, il modello matematico del flusso potenziale potrebbe non essere valido a causa dell’insorgere di non- linearità., di cui si parlerà meglio nei capitoli 3 e 4, relativi alle fasi di costruzione delle equazioni di moto del sistema e di taratura sperimentale dei parametri strutturali ma, soprattutto, di quelli di forzamento.

Presa coscienza di questo fatto, l’idea è quella di capire se l’errore che si commette nell’adoperare questo modello per acque basse è accettabile ed eventualmente cercare dei termini correttivi. Tale strategia si è resa necessaria poiché in letteratura c’è poco materiale riguardo alla modellazione analitica di forze esercitate da onde in acque basse.

2.6 Esplicitazione delle componenti di forza per un WEC a