Con l’ipotesi di flusso irrotazionale, la velocità del fluido ammette potenziale, ed è possibile esprimere la velocità come gradiente del potenziale:
𝑉⃗ = ∇𝜙 che in un sistema di coordinate cartesiano diventa:
𝑉⃗ = ∇𝜙 = (𝜕𝜙 𝜕𝑥, 𝜕𝜙 𝜕𝑦, 𝜕𝜙 𝜕𝑧) = (𝑢, 𝑣, 𝑤)
In questa relazione 𝑉⃗ rappresenta la velocità della vena fluida e 𝜙 è la funzione potenziale. In generale l’ipotesi di irrotazionalità è valida in regioni dove non si hanno ricircoli, scie, vortici.
Il rotore della velocità è definito come:
𝑟𝑜𝑡𝑉⃗ = 𝑑𝑒𝑡 ( 𝑖̂ 𝑗̂ 𝑘̂ 𝜕 𝜕𝑥 𝜕 𝜕𝑦 𝜕 𝜕𝑧 𝑢 𝑣 𝑤 ) = (𝜕𝑤 𝜕𝑦 − 𝜕𝑣 𝜕𝑧, 𝜕𝑢 𝜕𝑧− 𝜕𝑤 𝜕𝑥, 𝜕𝑣 𝜕𝑥− 𝜕𝑢 𝜕𝑦)
Applicando l’operatore rotore alla velocità definita dal potenziale, si verifica l’assunzione di flusso irrotazionale:
∇ ∧ 𝑉⃗ = ∇ ∧ ∇𝜙 = 0
L’ipotesi di incomprimibilità del fluido, cioè densità costante 𝜌 ≅ 𝑐𝑜𝑠𝑡 , permette di semplificare l’equazione di continuità:
𝜕𝜌
𝜕𝑡 + ∇ ∙ (𝜌𝑉⃗ ) = 0 nel seguente modo:
41 Quindi, inserendo la velocità ricavata dal potenziale si ottiene:
∇2𝜙 = 0
Quest’ultima relazione è detta equazione di Laplace o di continuità del flusso potenziale che in un sistema di coordinate cartesiano diventa:
∇2𝜙 =𝜕2𝜙 𝜕𝑥2 + 𝜕2𝜙 𝜕𝑦2 + 𝜕2𝜙 𝜕𝑧2 = 0
In Figura 2.2 è riportato uno schema di un moto ondoso piano che vede rappresentati il dominio fluido e le pareti che lo delimitano, ossia il fondale e la superficie libera dell’acqua a contatto con l’aria:
Figura 2.2: Dominio di fluido in cui è applicata la teoria del potenziale
Nel sistema di coordinate x,y,z con origine posta sulla superficie libera, asse z positivo verso l’alto e asse y trasversale al piano del foglio, il potenziale 𝜙(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) è funzione delle coordinate spaziali e del tempo, e permette di definire la velocità in ogni punto del dominio fluido.
Il risultato espresso nell’equazione di Laplace è molto importante poiché possiamo applicare il principio di sovrapposizione degli effetti, ossia, se 𝜙1 e 𝜙2 sono due soluzioni dell’equazione di Laplace, ciò significa che lo è anche 𝜙1+ 𝜙2.
L’equazione che regola la dinamica del problema è quella di Bernoulli, che possiamo usare introducendo anche l’ipotesi di fluido inviscido. Tale equazione dice che ad un incremento/decremento della velocità del fluido corrisponde una tendenza inversa della pressione o un equivalente cambiamento dell’energia potenziale.
L’equazione di Bernoulli dunque, nelle particolari ipotesi in cui ci si è ricondotti, restituisce il valore della pressione p in funzione del potenziale scalare 𝜙:
𝜕𝜙 𝜕𝑡 + (∇𝜙)2 2 + 1 𝜌(𝑝 + 𝜌𝑔𝑧) = 𝐶(𝑡) con C(t) generica funzione del tempo.
42 Nicola Incampo, matr. 770407 Le forze idrodinamiche agenti su un corpo investite da moto ondoso sono perciò ricavabili per integrazione della pressione esercitata dal fluido sulla superficie immersa 𝑆𝐵.
Si può dunque concludere che il potenziale deve obbedire alle equazioni di Laplace e di Bernoulli, che devono essere vere in qualunque punto del campo fluido; da esso è poi possibile calcolare analiticamente la pressione sulle superfici immerse del corpo.
In realtà il problema è molto complesso da risolvere analiticamente e determinare così le forze agenti su un corpo soggetto a mondo ondoso.
Esistono dei software (Ansys Aqwa, Comsol Multiphisics, Wamit) che risolvono numericamente le suddette equazioni e sono quindi in grado di calcolare le forze dovute al moto ondoso su oggetti di qualsiasi geometria.
Per risolvere l’equazione alle derivate parziali di Laplace è necessario imporre delle determinate condizioni al contorno di tipo cinematico e dinamico, che vengono di seguito riportate.
2.2.1 Le condizioni al contorno
Per un sistema di WEC che lavora a largo, ad una sufficiente distanza dalla costa, i limiti fisici del fluido sono solamente due, il fondale e la superficie libera (profilo dell’onda). Qualora venissero a mancare l’ipotesi di lontananza dalla costa e/o l’elevata profondità del mare, le conseguenti interazioni tra l’acqua e il fondale/costa renderebbero inesatte le equazioni che ci si accinge a ricavare.
Poiché questo è proprio il caso di EDS, volutamente concepito per lavorare vino alla costa, si è consci di compiere un’approssimazione la cui entità andrebbe a posteriori quantificata con una elaborata campagna sperimentale.
Si andranno ora a definire in modo rigoroso le condizioni fisiche in cui si espande il fluido, ossia
le condizioni al contorno fondamentali a chiudere il cerchio relativo al calcolo in forma analitica delle azioni esercitate dalle onde su un generico corpo.
Con riferimento alla Figura 2.2, tali condizioni verranno definite alla superficie libera dell’acqua, sulle pareti del corpo in esame e sul fondo marino; esse saranno usate per completare la trattazione analizzando la teoria lineare di Airy, in cui avverrà una semplificazione delle stesse.
La prima condizione che si presenterà è quella sulla superficie libera d’acqua, la quale verrà divisa in una di carattere cinematico e in un’altra di carattere dinamico.
43 2.2.1.1 Superficie libera: condizioni al contorno cinematica e dinamica
Le particelle d’acqua situate sulla superficie libera varieranno di continuo la loro posizione nel tempo, ma giaceranno sempre su di essa. Matematicamente ciò equivale ad imporre che il potenziale è legato alla derivata temporale di 𝜂(𝑥, 𝑡) nel seguente modo:
𝑑𝜂(𝑥, 𝑡) 𝑑𝑡 = 𝜕𝜂(𝑥, 𝑡) 𝜕𝑡 + 𝜕𝜂(𝑥, 𝑡) 𝜕𝑥 𝑢 = 𝑤 = 𝜕𝜙 𝜕𝑧𝑧=𝜂
Nel caso particolare in cui l’altezza dell’onda è molto piccola rispetto alle altre grandezze del moto (profondità e lunghezza d’onda), è possibile, trascurando i termini non lineari, ottenere:
𝜕𝜂 𝜕𝑡 =
𝜕𝜙 𝜕𝑧𝑧=𝜂
La condizione dinamica invece esprime l’influenza che le forze agenti sulla superficie libera hanno su quest’ultima, e per descriverla si parte dall’equazione di Bernoulli.
La pressione alla superfice libera del fluido è pari a quella atmosferica; se si assume trascurabile la tensione superficiale, allora la pressione netta all’interfaccia fluido- atmosfera è nulla, cioè:
𝑃𝜂 = 𝑃𝑎𝑡𝑚 = 0 Allora l’equazione di Bernoulli diviene:
𝜕𝜙 𝜕𝑡 + 1 2|∇𝜙| 2+𝑝−𝑝𝑎 𝜌 + 𝑔𝑧 = 𝐶(𝑡) 𝑝 − 𝑝𝑎 = 0
↓
𝜕𝜙 𝜕𝑡 + 1 2|∇𝜙|2+ 𝑔𝑧 = 𝐶(𝑡)È dimostrabile che il termine 𝐶(𝑡) può essere considerato nullo; inoltre, nel caso di onde di tipo lineari aventi un’altezza molto minore rispetto alla lunghezza, ℎ ≪ 𝜆, il termine
1 2|∇𝜙|
2 diventa trascurabile poiché di ordine superiore.
Così, con l’eliminazione della seconda non linearità, si linearizza l’equazione di Bernoulli ed imponendo la condizione 𝑧 = 𝜂 si ottiene la condizione dinamica:
𝜂 = −1𝑔𝜕𝜙𝜕𝑡 𝑧 = 0
Per cui, combinando quest’ultima con quella cinematica, si ottiene: 𝑔𝜕𝜙𝜕𝑧 +𝜕𝜕𝑡2𝜙2 = 0 𝑧 = 0
44 Nicola Incampo, matr. 770407 2.2.1.2 Condizione al contorno sul fondale
Per quanto riguarda il fondale, si impone che esso sia impenetrabile. Inoltre, data l’elevata profondità a cui ci si trova, si imporrà anche che la velocità ortogonale al fondale sia nulla, ossia quest’ultimo è “sordo” agli spostamenti di masse d’acqua superficiali.
La somma di queste due ipotesi equivale ad affermare che il flusso attraverso il fondale sia nullo, quindi:
𝜕𝜙
∂z = 0 𝑧 = −ℎ
2.2.1.3 Condizione al contorno di impermeabilità del corpo
Come fatto per il fondale, anche per il corpo galleggiante si imporrà la condizione di impermeabilità, ossia che le particelle di fluido abbiano velocità normali alla sua superficie nulle.
A questo punto si introduce l’ipotesi di linearità del problema, scomponendo il potenziale 𝜙̂ = 𝜑 nella somma di due potenziali di velocità 𝜑𝐴 e 𝜑𝑟:
Potenziale 𝜑𝐴 derivante dall’interazione fra il corpo galleggiante, considerato
fermo nello spazio, e l’onda incidente; quest’ultima frange per la presenza dell’ostacolo, devia il suo percorso originale e varia la sua ampiezza. Da ciò nasce la cosiddetta onda di diffrazione.
Per cui 𝜑𝐴, secondo il principio di sovrapposizione degli effetti, può essere visto come la somma dei due termini incidente e di diffrazione:
𝜑𝐴 = 𝜑𝐴𝑖+ 𝜑𝐴𝑑
Potenziale 𝜑𝑟 di radiazione, il quale è indotto dal movimento del corpo galleggiante in assenza di moto ondoso (mare piatto).
Imporre l’assenza di penetramento vuol dire, per i due contributi 𝜑𝐴 e 𝜑𝑟, scrivere le seguenti relazioni analitiche:
𝜕𝜑𝐴 𝜕𝑛 𝑆𝐵 = 𝜕(𝜑𝐴𝑖+ 𝜑𝐴𝑑) 𝜕𝑛 𝑆𝐵 = 0 ↔ 𝜕𝜑𝐴𝑖 𝜕𝑛 𝑆𝐵 = −𝜕𝜑𝐴𝑑 𝜕𝑛 𝜕𝜑𝑟 𝜕𝑛 𝑆𝐵 = 𝑛𝑗 𝑗 = 1, 2, 3
(per un’ampiezza unitaria della velocità di spostamento del corpo) dove 𝑆𝐵 indica la superficie bagnata del corpo.
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