4. Risultati e analisi
4.3 Fase 2: scoperta struttura
Il confronto diretto con la risoluzione dei problemi ha messo inizialmente in difficoltà molti allievi, richiedendo l’aiuto delle docenti. Lo scoglio maggiore è stato il problema 1.29, in cui la maggioranza degli alunni (13/18) ha avuto bisogno di aiuto. Poi le strade si sono divise (fig. 4.5 e 4.6): il GF non è riuscito a risolvere oltre, mentre il GMA ha visto aumentare la percentuale di riuscita in autonomia (da 5/12 nel p. 1.2 a 9/12 nel p. 2.3).
0 1 2 3 4 5 6 P. 1,1 P. 1,2 P. 1,3 P. 2,1 P. 2,2 P. 2,3 Num er o al lievi
Gruppo fragili
Corretto senza aiuto Corretto con aiuto Procedimento corretto, errore di calcolo Errato Non svolto Figura 4.5 – Esito attività di risoluzione gruppo fragili
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 P. 1,1 P. 1,2 P. 1,3 P. 2,1 P. 2,2 P. 2,3 P. 3,1 P. 3,2 P. 3,3 Num er o al lievi
Gruppo medio-avanzati
Corretto senza aiuto Corretto con aiuto Procedimento corretto, errore di calcolo Errato Non svolto Figura 4.6 – Esito attività di risoluzione gruppo medio-avanzati
Quanto avvenuto nel GF esemplifica quali siano stati i maggiori luoghi di difficoltà della classe di fronte all’artefatto:
- la grandezza dei dati (GF e 3/12 GMA): anche nel caso del p. 1.1, affrontato con successo dalla classe, gli allevi avevano grosse difficoltà a gestire il calcolo richiesto e si sono avvalsi di supporti o sono ricorsi alla rappresentazione (fig. 4.7);
- la quantità di problemi: le difficoltà incontrate hanno influito sui tempi di esecuzione e gli allievi sono arrivati a leggerne solo una parte (la Ia riga per 4/6 GF; fino al p. 3.1 per 6/12 GMA);
- la comprensione stessa del problema (GF, nonché 3/12 GMA): nella IIa e IIIa colonna (che implicano la sottrazione), gli alunni tendevano a sommare i dati.
Il comportamento è ben visibile nella scheda di Alan (fig. 4.7), unico GF ad aver affrontato tutti i problemi. Collocato nel GF principalmente per le fragilità in italiano è stato aiutato a leggere il testo ed è poi riuscito a correggersi e a risolvere in autonomia.
La percezione delle caratteristiche dell’artefatto spiega, invece, quanto avvenuto nel GMA. Come mostra la scheda di Mara, l’unica ad averlo messo per iscritto (fig. 4.8), gli allievi di questo gruppo si sono resi conto, più o meno coscientemente, che i numeri e i problemi erano sempre gli stessi e che si potevano trovare delle scorciatoie al calcolo (all. 8.5.2.1). Per questo motivo, la maggior parte di essi è poi riuscita ad affrontare i problemi della IIa riga in autonomia (tab. 8.1, p. 85). I problemi della IIIa riga cambiano invece le carte in tavola e la percentuale di insuccesso aumenta progressivamente. Figura 4.7 – Esempi delle difficoltà incontrate dai GF
Durante la discussione finale, gli allievi hanno condiviso le strategie e identificato le peculiarità dell’artefatto (all. 8.5.2.1). Il cartellone (fig. 4.9) è stato quindi aggiornato.
Un elemento per me fondamentale nel determinare il prosieguo è stato quello, non previsto, della prova di invenzione di altri problemi con variazione (all. 8.5.2.2). L’attività ha messo in luce la differenza che intercorre tra riconoscere le caratteristiche dell’artefatto e utilizzarlo: come emerge dagli interventi evidenziati nel protocollo (fig. 4.10), la classe sembrava in generale non riuscire a seguire quanto si stava facendo (fig. 4.11; per l’analisi all. 8.5.1.2).
Figura 4.8 – Risoluzione di Mara (GMA), dettaglio
Due soli allievi, Noa e Tami, sono riusciti a proporre problemi pertinenti, mostrando di aver già un alto livello di padronanza della variazione (fig. 4.11). Noa in particolare, nell’intervista seguita all’attività, spiega: “hanno una pagina con su gli stessi protagonisti con delle situazioni diverse. […] Con dei personaggi ci sono nove domande che si possono fare” (p. 92).
[Dati forniti da p. generatore: 4 lavagne gialle, 6 lavagne rosse, 10 lavagne totali] 78. AD: […] Come lo potremmo cambiare? Qualcuno vuole provare? 79. Mara: Io! …ma in che senso trasformarla?
80. AD: Allora, qui [indica prima colonna] abbiam visto che bisogna sempre trovare il totale. Noa ce ne ha fatta una in cui bisognava trovare il totale. Qua [indica seconda colonna] bisogna trovare il numero di uno dei due.
81. Perciò puoi scegliere se trovare quelle gialle o quelle rosse. La domanda può essere: quante sono le lavagne… [Risposte varie: colori, non tutti pertinenti, o n. totale]
82. AD: Sì, in tutto sono 10. Qua, chiediamo ancora quante sono le lavagne nella colonna in mezzo? [Qualche no] Cosa potremmo chiedere?
83. Nina: Ah! Le anatre nere!
84. AD: Non anatre, ora stiam parlando di… 85. Nina: lavagne nere!
86. AD: Le lavagne sono o gialle o rosse, che colore scegli? [Gialle] Allora qui vogliamo scoprire quante sono le lavagne gialle. Come possiamo fare il problema? Ci sono…
87. Nina: Ci sono 10 lavagne e… 88. Itan: e cinque lavandini!
89. Nina: e se ne sporcano 2. Quante lavagne ci sono ancora?
90. AD: Stai tenendo uguale come fanno loro che si fa la stessa situazione? [Scuote il capo]
91. Tami: Ci sono 10 lavagne e... 6 sono rosse, quante sono quelle gialle? [Più allievi rispondono col risultato]. 92. AD: [ripete problema di Tami.] come diventerà l’ultima colonna? Alan quale numero dobbiamo trovare
nell’ultima colonna? 93. Alan: Il 3.
[…]
99. Rosa: Tre anatre sono andate via.
100. AD: Perché anatre? Parliamo di lavagne. 101. Rosa: Delle lavagne… sono distrutte.
102. AD: I cinesi cambiano le parole? [Qualche no] Teniamo sempre la stessa situazione, quindi [ripete i problemi corretti finora formulati indicando le rispettive colonne].
La terza come diventa? 103. Alan: Quante sono le rosse.
104. Tami: Ci sono 10 lavagne e ci sono… no. Quattro lavagne sono gialle e quante sono quelle rosse?
4.3.1 Discussione
Alcune delle problematicità riscontrate sono in accordo con le precedenti ricerche sulla trasferibilità del metodo (cap. 2.4). A queste si aggiunge la mancata comprensione del problema. Ciò rispecchia l’analisi di Vergnaud, che vede, già nei problemi della classe 2 della Ia categoria, un luogo di difficoltà (all. 8.1.5).
La permanenza di tali problematicità mostra come l’adattamento introdotto (cap. 4.2) non abbia un influsso diretto in termini di appropriazione dell’artefatto. L’esito dell’attività nei GF indica che questi non sono riusciti a percepirne la struttura; mentre, negli allievi in cui vi è stata, sembra sia avvenuta come costruzione ex novo durante la risoluzione o in seguito all’interazione nella discussione conclusiva.
Questo aspetto, confrontato con l’esito dell’invenzione spontanea, mostra il divario tra la verbalizzazione delle caratteristiche dell’artefatto e la sua applicazione.
Questi aspetti mi hanno quindi portata a riorganizzare la fase di consolidamento in modo da consentire un allenamento mirato sull’artefatto prima di passare all’invenzione.
In particolare, le scelte prese allo scopo di giungere a un’appropriazione condivisa nella classe sono state:
- agire sui principali nodi di difficoltà (quantità di problemi e taglie numeriche implicate) così da semplificare l’artefatto e renderlo più manipolabile cognitivamente, ma mantenendone i
- considerare il divario di competenze emerso, così da agire in modo mirato sulle fragilità/capacità emerse.
Il consolidamento è stato dunque organizzato su due livelli di capacità, proponendo attività differenziate sia nei contenuti che nelle richieste:
- G1: composto dai GF, con l’aggiunta di 4 allievi medi, che fungono in parte da tutoring soprattutto per la lettura (11 alunni in totale);
- G2: composto dai restanti GMA (6 avanzati e 2 medi; 8 allievi in tutto).