La nozione di fibrato principale generalizza il metodo del riferimento mobile introdotto per lo studio delle curve gobbe ed `e fondamentale nell’impostazione di Cartan del problema dell’equivalenza di strutture geometrico-differenziali.
III.1. Prime definizioni
Definizione III.1.1. Siano ξ = (P −−→ M) un fibrato diπ fferenziabile e G un gruppo di Lie. Un’azione differenziabile a destra di G su ξ `e un’azione differen-ziabile a destra di G su P che operi sulle fibre di ξ.
Richiediamo cio`e che
Ppa= Pp, ∀p ∈ M, ∀a ∈ G, ovvero che π ◦ Ra = π, ∀a ∈ G. (3.1.1)
In particolare, per ogni a ∈ G, la traslazione a destra Ra su P definisce un’equiva-lenza di ξ in s´e.
Definizione III.1.2. Un fibrato G-principale `e il dato di un fibrato differenzia-bile ξ, di un gruppo di Lie G, che si dir`a il suo gruppo strutturale, e di un’azione differenziabile a destra di G su ξ che sia libera e transitiva sulle fibre di ξ.
Richiediamo cio`e che valga la (3.1.1) e che inoltre
∀p ∈ M, ∀σ1, σ2 ∈ Pp, ∃! a ∈ G tale che σ2= σ1· a. (3.1.2)
Indicheremo nel seguito con σ−11 σ2l’unico elemento a ∈ G per cui σ2= σ1·a. Sia ξ= (P−−→ M) un fibrato G-principale.π
Lemma III.1.3. Per ogni σ0∈ P esiste un intorno aperto U di p0= π(σ0) in M ed una sezioneσ ∈ Γξ(U, P) tale che σ(x0)= σ0.
Dimostrazione. La fibra Pp0 `e una sottovariet`a propria di P. Per il teorema di trasversalit`a di Thom, possiamo trovare un intorno aperto U di p0in M ed un’ap-plicazione f ∈ C∞(U, P) con f (p0) = σ0 ed f t Pp0 in (p0, σ0). In particolare π ◦ f `e un diffeomorfismo tra due intorni di p0e quindi, per un intorno aperto U0
di p0 in U, l’immagine f (U0) `e il grafico di una sezione σ ∈ Γξ(U0, P) di ξ con
σ(p0)= σ0.
Corollario III.1.4. Ogni fibrato principale differenziabile `e localmente bana-le.
Dimostrazione. Se U `e un aperto di M e σ ∈ Γξ(U, P) una sezione di ξ su U, l’applicazione U × G 3 (p, a) → σ(p)a ∈ π−1(U) `e una trivializzazione di ξ su U.
La tesi segue quindi dal LemmaIII.1.3
Definizione III.1.5. Un suo atlante di trivializzazione A = {(Uα, σα) | α ∈ I} `e il dato di un ricoprimento aperto {Uα | α ∈ I} di M e, per ogni indice α ∈ I, di una sezione σα∈Γξ(Uα, P).
Alla coppia (Uα, σα) corrisponde la trivializzazione locale (3.1.3) σ˜α: Uα× G 3 (p, a) −→ σα(p) · a ∈ P|Uα = π−1(Uα).
Per ogni coppia di indici α, β ∈ I, con Uα,β = Uα ∩ Uβ , ∅, otteniamo una funzione ψα,β ∈C∞(Uα,β, G), definita da
(3.1.4) ψα,β : Uα,β 3 p −→ [σα(p)]−1σβ(p) ∈ G.
Le {ψα,β| Uα,β , ∅} si dicono le funzioni di transizione dell’atlante A . Proposizione III.1.6. Siano ξ un fibrato principale ed A = {(Uα, σα)}α∈I un suo atlante di trivializzazione. Le sue funzioni di transizione {ψα,β} soddisfano le condizioni
ψα,α(p)= e, ∀p ∈ Uα,α = Uα, (3.1.5)
ψα,βψβ,γ= ψα,γ su Uα,β,γ = Uα∩ Uβ∩ Uγ.
(3.1.6)
Teorema III.1.7. Siano M una variet`a differenziabile, G un gruppo di Lie, {Uα} un ricoprimento aperto di M eΨ = {ψα,β ∈C∞(Uα,β, G) | Uα,β , ∅} una famiglia di funzioni che soddisfino le(3.1.5), (3.1.6). Allora esiste un fibrato principale ξ su M, con gruppo strutturale G, per cui leψα,βsiano le funzioni di transizione di un atlante di trivializzazione corrispondente al ricoprimento {Uα}. Tale fibrato `e unico, a meno di diffeomorfismi che commutino con l’azione di G.
Dimostrazione. Consideriamo, a partire dalla famiglia Ψ, l’unione disgiunta P]=G
α∈IUα× G. Per le (3.1.5) e (3.1.6), la
Uα× G 3 (p, a) ∼ (q, b) ∈ Uβ× G ⇐⇒ (p= q, a = ψα,β(p)b)
`e una relazione d’equivalenza su P]. Poniamo P = P]/∼ ed indichiamo con ıα : Uα × G → P] le applicazioni naturali. Detta $ : P] → P la proiezione nel quoziente, otteniamo per ogni α applicazioni
˜
σα: Uα× G −−−−−→ıα ıα(Uα× G) ⊂ P] −−−−−→$ $ ◦ ıα(Uα× G)= P|Uα, che sono omeomorfismi su aperti di P. Risulta allora definita su P un’unica strut-tura di variet`a differenziabile che renda le ˜σαdiffeomorfismi.
III.2. L’ESEMPIO DEGLI SPAZI OMOGENEI 63
Definiamo π : P → M in modo che, per ogni indice α, il diagramma (ove la seconda freccia orizzontale `e l’inclusione)
Uα× G −−−−−→ Pσ˜α prUα y yπ Uα −−−−−→ M
sia commutativo. Otteniamo cos`ı un fibrato differenziabile ξ = (P −−→ M), su cuiπ definiamo un’azione a destra di G mediante il diagramma commutativo
Uα× G × G −−−−−−σ˜α×id→ P × GG (p,a,b)→(p,ab) y y(σ,a)→σ·a Uα× G −−−−−→ ˜ σα P. Abbiamo cio`e π( ˜σα(p, a))= p, ˜ σα(p, a) · b= ˜σα(p, ab).
In questo modo ξ= (P−−π→ M) acquista una struttura di fibrato principale con gruppo strutturale G.
Per ogni α,
σα: Uα3 p −→ ˜σα(p, e) ∈ P
`e una sezione differenziabile di ξ su Uα ed A = {(Uα, σα)} un suo atlante di trivializzazione, con funzioni di transizione {ψα,β}.
Se ξ0 = (P0 π0
−−→ M) `e un altro fibrato principale con gruppo strutturale G, che ammette un atlante di trivializzazioneA0 = {(Uα, σ0
α) | α ∈ I}, con σ0−1α σ0
β= ψα,β, definiamo un’equivalenza f : P → P0ponendo
f( ˜σα(p, a))= σ0
α(p) · a, ∀α ∈ I, p ∈ Uα, a ∈ G.
La condizione che le {ψα,β} siano le funzioni di transizione diA0ci dice che la f `e
ben definita.
III.2. L’esempio degli spazi omogenei
Gli spazi omogenei sono una classe fondamentale di fibrati principali. Dal TeoremaI.8.3 segue infatti:
Teorema III.2.1. Sia M una variet`a differenziabile e G un gruppo di Lie che opera transitivamente su M. Sia H lo stabilizzatore di un punto p0∈ M e
π : G 3 x −→ xp0 ∈ M.
III.3. Morfismi di fibrati principali Siano ξi = (Pi
πi
−−→ Mi), i = 1, 2, due fibrati principali, con gruppi struttura-li Gi. Saremo interessati essenzialmente ai casi in cui i due gruppi siano o uguali, oppure uno un sottogruppo dell’altro.
Definizione III.3.1. Un morfismo di fibrati principali Φ : ξ1 → ξ2 `e una tri-pletta ( f , F, φ) in cui la coppia ( f , F) definisca un morfismo di fibrati differenziabili
(3.3.1) P1 −−−−−→ PF 2 π1 y yπ2 M1 −−−−−→ f M2,
e φ : G1 → G2 sia un omomorfismo di gruppi di Lie che renda commutativo il diagramma (3.3.2) P1× G1 −−−−−→ PF×φ 2× G2 y y P1 −−−−−→ F P2,
in cui le frecce verticali sono definite dalle azioni dei gruppi.
Diciamo cheΦ = ( f, F, φ) : ξ1 → ξ2induce f tra le basi, F tra gli spazi totali e φ tra i gruppi di Lie.
Diciamo cheΦ = ( f, F, φ) : ξ1 → ξ2 `e un’immersione se F `e un’immersione. In questo caso φ `e un monomorfismo di gruppi.
Se G1 = G2 = G e φ `e l’identit`a, diciamo che Φ : ξ1 → ξ2 `e un morfismo di G-fibrati principali.
Se F `e un’inclusione, diciamo cheΦ = ( f, F, φ) : ξ1 → ξ2 `e un’inclusione di fibrati principali. In questo caso, se M1 = M2 ed f = IdM, diciamo che ξ1 `e un sottofibrato principaledi ξ2, o che `e stato ottenuto da ξ2 mediante una riduzione del gruppo strutturale, ovvero che ξ2`e stato ottenuto da ξ1mediante un’estensione del gruppo strutturale.
Proposizione III.3.2. Sia ξ = (P −−→ M) un fibrato principale con gruppoπ strutturale G, e G0un sottogruppo di Lie di G. Condizione necessaria e sufficiente affinch´e ξ ammetta una riduzione del gruppo strutturale a G0 `e che ammetta un atlante di trivializzazione con funzioni di transizione a valori in G0.
Dimostrazione. La condizione `e ovviamente necessaria. Dimostriamone la sufficienza.
Fissato un atlante di trivializzazioneA = {(Uα, σα) | α ∈ I} di ξ con funzioni di transizione ψα,β= σ−1 α σβ∈C∞ (Uα∩ Uβ, G0 ), sia P0=[ α∈I{σα(p) · a | p ∈ Uα, a ∈ G0}.
III.3. MORFISMI DI FIBRATI PRINCIPALI 65
Con la struttura differenziabile per cui le Ψ0
α : Uα× G0 3 (p, a) −→ σ(p) · a ∈ P0∩ PUα
siano diffeomorfismi, P0 `e una sottovariet`a differenziabile di P. La restrizione π0 = π|P0 definisce un sottofibrato differenziabile ξ0 = (P0 π0
−−→ M), che `e principale con
gruppo strutturale G0, ed `e una riduzione di ξ a G0.
Osservazione III.3.3. Se ξ `e un fibrato principale con gruppo strutturale G, e G `e un sottogruppo di Lie di un gruppo di Lie G0, esiste unico, a meno di equivalenze, un fibrato principale ξ0che si ottiene da ξ per estensione a G0del gruppo strutturale. Ci`o `e facile conseguenza del TeoremaIII.1.7.
Lemma III.3.4. Il pullback di un fibrato G-principale ha un’unica struttura di fibrato G-principale che rende l’applicazione naturale associata un morfismo di fibrati G-principali.
Dimostrazione. Sia η = (Q−−−π→ N) un fibrato G-principale. Sia f ∈η C∞(M, N) e consideriamo il pullback f∗(η) di η mediante f . Il suo spazio totale `e
Ef∗(η) = {(p, τ) | p ∈ M, τ ∈ Q, πη(τ)= f (p)} ed `e un fibrato G-principale per l’azione
(3.3.3) (p, τ) · a= (p, τ · a), ∀(p, τ) ∈ Ef∗(η), ∀a ∈ G.
Si verifica immediatamente che il morfismo associato, ( f , ˆf, idG) : f∗(η) → η, con ˆ
f(p, τ)= τ, `e un morfismo di fibrati G-principali.
Definizione III.3.5. Il pullback f∗(η), con la struttura di fibrato G-principale definita dalla (3.3.3), si dice il pullback o immagine inversa del fibrato G-principale η.
I morfismi di fibrati G-principali sono completamente determinati dalle appli-cazioni indotte tra le basi. Vale infatti la
Proposizione III.3.6. Siano ξ = (P −−→ M), ηπξ = (Q πη
−−→ N) due fibrati G-principali ed f ∈ C∞(M, N). Condizione necessaria e sufficiente affinch´e esista un’applicazione differenziabile F ∈ C∞(P, Q) per cui ( f , F, idG) : ξ → η sia un morfismo di fibrati G-principali, `e che ξ sia equivalente ad f∗(η).
Dimostrazione. Sia ξ = (P −−→ M) un fibrato G-principale per cui esista unπξ morfismo ( f , F, idG) : ξ → η di fibrati G-principali.
Allora (idM, ˇF, idG) : ξ → f∗(η), con ˇF(σ)= (πξ(σ), F(σ)) ∈ Ef∗(η)per σ ∈ P
`e un’equivalenza di fibrati G-principali.
Proposizione III.3.7. Siano M, N due variet`a differenziabili, G un gruppo di Lie e ξ= (P−−→ N) un fibrato principale su N con gruppo strutturale G. Abbiamo:π (1) Se f0, f1∈C∞(M, N) sono omotope, allora f0∗(ξ) e f1∗(ξ) sono equivalenti. (2) Se M `e contrattile, ogni G-fibrato principale di base M `e banale.
Dimostrazione. (1) Sia ˜f = { ft} ∈ C∞
(M × R, N) un’omotopia tra f0 ed f1
e consideriamo il fibrato G-principale ˜f∗(ξ). L’equivalenza si ottiene utilizzando l’esistenza di una G-connessione principale sul fibrato ˜f∗(ξ) ed il corrispondente trasporto parallelo1(vedi §IV.8) lungo le curve t → (p, t) in M × R.
(2) Sia ξ= (E−−→ M) un fibrato G-principale. Supponiamo che M sia contrat-π tile e sia ˜f = { ft} ∈C∞
(M × R, M) un’omotopia con f1 = idM ed f0costante. Per il punto (1), ξ ' f1∗(ξ) ed f0∗(ξ), che `e un fibrato banale, sono equivalenti.
III.4. Classificazione dei fibrati principali
La ProposizioneIII.3.7 `e fondamentale per la classificazione dei fibrati princi-pali con base M. John Milnor2ha introdotto la nozione di fibrato universale.
Definizione III.4.1. Un fibrato G-principale ζ = (Eζ πζ
−−−→ Bζ) si dice m-universale se per ogni fibrato G-principale ξ = (Eξ
πξ
−−−→ Bξ) con una base Bξ
di dimensione minore o uguale ad m esiste un’applicazione f ∈C∞(Bξ, Bζ), unica a meno di omotopia, tale che f∗(ζ) sia equivalente a ξ.
Utilizzando i risultati di §XXIV.7 e quelli relativi all’approssimazione C∞
dell’omotopia, ricaviamo dal TeoremaXXIV.7.6 l’enunciato Teorema III.4.2. Ogni fibrato ζ = (Eζ
πζ
−−→ Bζ) il cui spazio totale Eζ sia m-connesso3`e m-universale.
III.4.1. Alcuni esempi. Costruiamo in questo paragrafo alcuni fibrati princi-pali m-universali rispetto ad alcuni gruppi classici.
Sottogruppi del gruppo ortogonale. Fissiamo due interi positivi m ed n e consideriamo SO(m) ed SO(n) come sottogruppi disgiunti di SO(m+ n), ciascuno contenuto nel commutatore dell’altro. Il quoziente E = SO(m + n)/SO(n) si pu`o identificare alla variet`a di Stiefel Vn+m,m(R) delle m-uple ortonormali di Rm+n. Fis-siamo un sottogruppo chiuso G di SO(m) e poniamo M= SO(m + n)/(G × SO(n)). L’inclusione {e} × SO(n) < G × SO(n) definisce un’applicazione SO(m + n)-equivariante π : E → M che definisce un G-fibrato principale. Ricordiamo che la variet`a di Stiefel Vm+n,m(R) delle m-uple ortonormali di Rm+n`e (n − 1)-connessa e che πn(Vm+n,m(R)) = Z se n `e pari, Z2 se n `e dispari.
1Per un argomento topologico, che non faccia uso della struttura differenziabile e dell’esistenza di connessioni principali, si veda il TeoremaXXIV.6.2 nell’appendice.
2John Milnor Construction of Universal Bundles, I Annals of Mathematics Second Series, Vol. 63, No. 2 (Mar., 1956), pp. 272-284, e Construction of Universal Bundles, II, Annals of Mathematics Second Series, Vol. 63, No. 3 (May, 1956), pp. 430-436.
3Ricordiamo che uno spazio topologico E `e m-connesso se `e connesso per archi ed i suoi gruppi di omotopia πi(E) sono banali per 1 ≤ i ≤ n.
III.4. CLASSIFICAZIONE DEI FIBRATI PRINCIPALI 67
Definizione III.4.3. Chiamiamo
(3.4.1) SO(m+ n)/SO(n) −−−−−→ SO(mπ + n)/(G × SO(n))
l’n-fibrato principale ortogonale standard con gruppo strutturale G ⊂ SO(m). Il fibrato (3.4.1) `e G-principale (n−1)-universale.
Sottogruppi del gruppo speciale unitario. Siano m, n due interi positivi e consideriamo SU(m) ed SU(n) come sottogruppi disgiunti di SU(m+ n) contenuti ciascuno nel commutatore dell’altro. Il quoziente E = SU(m+n)/SU(n) `e la variet`a di Stiefel Vm+n,n(C). `E πq(Vm+n,n(C)) = 0 se 0 ≤ q < 2n, Z se q= 2n.
Se G `e un sottogruppo chiuso di SU(m), la proiezione naturale π : E → M su M = SU(m + n)/(G × SU(n)) definita dall’inclusione {e} × SU(n) < G × SU(n) definisce un G-fibrato principale.
Definizione III.4.4. Chiamiamo
(3.4.2) SU(m+ n)/SU(n) −−−−−→ SU(mπ + n)/(G × SU(n)) l’n-fibrato principale unitario standard con gruppo strutturale G ⊂ SU(m).
Il fibrato (3.4.2) `e G-principale (2n−1)-universale.
Sottogruppi del gruppo unitario simplettico. Ricordiamo che il gruppo uni-tario simplettico Sp(n) `e il sottogruppo delle trasformazioni di U(2n) che lasciano invariante la forma alternata ω= dz1∧ dzn+1+ · · · + dz2n−1∧ dz2n. Siano m, n interi positivi e consideriamo Sp(m) ed Sp(n) come sottogruppi di Sp(m+ n), ciascuno contenuto nel commutatore dell’altro. Il quoziente Sp(m+ n)/Sp(n) `e la variet`a di Stiefel quaternionica Vm+n,m(H) delle m-uple ortonormali rispetto al prodotto scalare quaternionico standard di Hn. Abbiamo
πq(Vm+n,m(H)) = 0 se 0 ≤ q < 4n, Z se q= 4n.
Se G `e un sottogruppo chiuso di Sp(m), la proiezione naturale π : E → M su M = Sp(m + n)/(G × Sp(n)) definita dall’inclusione {e} × Sp(n) < G × Sp(n) definisce un G-fibrato principale.
Definizione III.4.5. Chiamiamo
(3.4.3) Sp(m+ n)/Sp(n) −−−−−→ Sp(mπ + n)/(G × Sp(n))
l’n-fibrato principale quaternionico standard con gruppo strutturale G ⊂ Sp(m). Il fibrato (3.4.3) `e G-principale (4n−1)-universale.
Sottogruppi del gruppo lineare. Siano m ed n interi positivi. Consideriamo GLm(R) ed SLn(R) come due sottogruppi disgiunti di SLm+n(R) che commutano tra loro. Le loro rappresentazioni in SLm+n(R) sono date rispettivamente da
GLm(R) 3 x → x sgn(det x)I n ! ∈ SLm+n(R) e SLn(R) 3 x → Im x ! ∈ SLm+n(R).
Per la decomposizione di Cartan, SLm+n(R)/SLn(R) `e omotopicamente equi-valente al quoziente SO(m+ n)/SO(n) ed `e quindi (n−1)-connesso. Ne segue che, se G `e un sottogruppo chiuso di GLm(R), allora
(3.4.4) SLm+n(R)/SLn(R) −→ SLm+n(R)/(G × SLn(R)) `e un fibrato G-principale (n−1)-universale.
Costruzioni analoghe ci permettono di ottenere fibrati G-principali k-universali per sottogruppi chiusi di GLm(C) e GLm(H).
III.5. Il fibrato dei sistemi di riferimento
Sia η= (E−−→ M) un fibrato vettoriale di rango n su una variet`a differenziabile$ M di dimensione m. Per ogni punto p di M indichiamo con Fp(η) l’insieme di tutti gli isomorfismi lineari σ : Rn → Ep. Su Fp(η) il gruppo lineare GLn(R) agisce, per composizione a destra, in modo libero e transitivo. L’unione disgiunta F(η)= tp∈MFp(η) `e lo spazio totale di un fibrato principale L(η) = (F(η)−−→ M),π con gruppo strutturale GLn(R). La proiezione π : L(η) → M associa a σ ∈ Lp(η) il punto p.
Definizione III.5.1. Il fibrato principale z(η), con gruppo strutturale GLn(R), si dice il fibrato dei sistemi di riferimento di η.
Abbiamo un morfismo differenziabile di fibrati vettoriali, associato al diagramma L(η) × Rn −−−−−−−−→ E(σ,v)−→σv prL(η y y$ L(η) −−−−−→ π M,
che ci mostra come il pullback del fibrato vettoriale allo spazio totale dei suoi sistemi di riferimento sia un fibrato vettoriale banale.
Una trivializzazione locale di L(η) `e descritta dal dato di n sezioni s1, . . . , sn∈ Γη(U, E), defininite su un aperto U di M, per cui s1(p), . . . , sn(p) siano linear-mente indipendenti in Ep per ogni p ∈ U. Ad esse associamo la sezione σ ∈ ΓL(η)(U, L(η)) definita da σ(p) : Rn 3 (k1, . . . , kn ) →Xn i=1k i si(p) ∈ Ep.
Il fibrato dei sistemi di riferimento di η `e caratterizzato dal fatto che le sue sezioni locali definiscono trivializzazioni locali di η. Viceversa, vale la
III.6. JACOBIANO DI UN’APPLICAZIONE DIFFERENZIABILE 69
Proposizione III.5.2. Ad ogni fibrato principale ξ = (P −−→ M), con grup-π po strutturale GLn(R), possiamo associare un fibrato vettoriale η = (E −−→ M)$ di rango n, unico a meno di equivalenza, di cui ξ sia il fibrato dei sistemi di riferimento.
Dimostrazione. Sia A = {(Uα, σα)} un atlante di trivializzazione di ξ. Le sue funzioni di tranzizione ψα,β = σ−1
α σβ ∈ C∞(Uα,β, GLn(R)) ci permettono di definire un fibrato vettoriale con fibra tipica Rnnel modo seguente.
Sull’unione disgiunta ˜E = FαUα× Rnintroduciamo la relazione di equivalen-za Uα × Rn 3 (pα, vα) ∼ (pβ, vβ) ∈ Uβ× Rn se pα = pβ e vα = ψα,β(pβ)vβ. Il quoziente E = ˜E/∼`e lo spazio totale di un fibrato vettoriale di rango n di cui ξ `e il fibrato dei sistemi di riferimento.
Se η0 = (E0 $0
−−−→ M) `e un altro fibrato vettoriale di cui ξ sia il fibrato dei sistemi di riferimento, definiamo un’applicazione ˜E → E0 associando a (p, v) ∈ Uα× Rn l’elemento σα(p)v ∈ E0. Per passaggio al quoziente otteniamo l’equivalenza tra η
ed η0.
Abbiamo quindi:
Teorema III.5.3. La η ←→ L(η) `e una corrispondenza biunivoca tra la cate-goria dei fibrati vettoriali di rango n su M, modulo equivalenza, e quella dei fibrati principali su M con gruppo strutturale GLn(R), modulo equivalenza.
Definizione III.5.4. Il fibrato dei sistemi di riferimento del fibrato tangente di una variet`a differenziabile M si indica con z(M) e si dice il fibrato dei sistemi di riferimento su M. Indichiamo con L(M) il suo spazio totale.
Abbiamo
Proposizione III.5.5. Ogni diffeomorfismo f : M1 → M2 di variet`a di fferen-ziabili si rialza in modo unico ad un isomorfismo di fibrati principali che renda commutativo il diagramma (3.5.1) L(M1) ˜ f −−−−−→ L(M2) y y M1 −−−−−→f M2.
III.6. Jacobiano di un’applicazione differenziabile
Siano M, N due variet`a differenziabili, di dimensioni m, n rispettivamente. Sia-no L(M) = (L(M) −−−πM→ M) ed L(N) = (L(N) −−−π→ N) i loro fibrati dei si-N stemi di riferimento. Ad una f ∈ C∞(M, N) associamo il fibrato GLm(R) × GLn(R)-principale Lf su M, con spazio totale
e proiezione π(σ, τ) = πM(τ). Al differenziale della f `e associato il suo jacobiano J f : Lf → HomR(Rm, Rn)
J f (σ, τ)= τ−1◦ d f ◦σ : Rm
→ Rn nei sistemi di riferimento σ e τ.
III.7. Riduzione del gruppo strutturale e G-strutture
Il Teorema III.5.3 stabilisce una corrispondenza biunivoca tra fibrati vettoriali e fibrati principali con gruppo strutturale GLn(R). Osserviamo che, se, nella dimo-strazione della ProposizioneIII.5.2, avessimo ristretto la costruzione ad un sottofi-brato principale ξ0di ξ, con gruppo strutturale G < GLn(R), avremmo ottenuto un fibrato vettoriale canonicamente isomorfo a quello associato a ξ.
Siano η= (E −−→ M) un fibrato vettoriale reale di rango n e G un sottogruppo$ di Lie di GLn(R).
Definizione III.7.1. Un G-atlante di trivializzazione di η `e un suo atlante di trivializzazione A = {(Uα, σα)}α∈I con funzioni di transizione ψα,β = σ−1
α σβ ∈
C∞(Uα,β, G).
Due G-atlanti di trivializzazione A ed A0, sono equivalenti se A ∪ A0 `e ancora un G-atlante di trivializzazione.
L’unione di tutti i G-atlanti di trivializzazione equivalenti ad un G-atlante di trivializzazione assegnato `e un G-atlante di trivializzazione massimale.
Una G-struttura, o riduzione a G del gruppo strutturale `e il dato di una clas-se di equivalenza di G-atlanti di trivializzazione di η, ovvero di un G-atlante di trivializzazione massimale.
Una carta locale di trivializzazione (U, σU) di η `e compatibile con la G-struttura se appartiene al suo G-atlante di trivializzazione massimale.
Osserviamo che un G-atlante di trivializzazione A = {(Uα, σα)}α∈I di η de-termina un fibrato G-principale zG(η), ottenuto da z(η) per riduzione del gruppo strutturale, con spazio totale
(3.7.1) LG(η)=[α∈I{σα(p)a | p ∈ Uα, a ∈ G} ⊂ L(η).
Definizione III.7.2. Chiamiamo zG(η) un fibrato di G-sistemi di riferimento di η.
Siano η = (E −−→ M) ed η$ 0 = (E0 $0
−−−→ M0) due fibrati vettoriali di rango n. Un isomorfismo di fibrati vettoriali
E ˜ f −−−−−→ E0 $ y y$0 M −−−−−→ Mf 0
III.7. RIDUZIONE DEL GRUPPO STRUTTURALE E G-STRUTTURE 71
si rialza ad un isomorfismo dei corrispondenti fibrati dei sistemi di riferimento L(η) ˜ f∗ −−−−−→ L(η0) π y yπ0 M −−−−−→f M0, con ˜f∗(σ)= ˜f∗◦σ ∈ Lπ(σ)(Rn, E0 π(σ)).
Definizione III.7.3. Siano η, η0 due fibrati vettoriali dello stesso rango, dotati di una G-struttura. Un isomorfismo ( f , ˜f) di η in η0 `e un G-isomorfismo se
(3.7.2) f˜∗(LG(η))= LG(η0).
Se i due fibrati hanno la stessa base ed f `e l’identit`a, chiamiamo il corrispondente G-isomorfismo una G-equivalenza.
Proposizione III.7.4. Sia η = (E −−→ M) un fibrato vettoriale di rango n. A$ meno di equivalenza, le G-strutture su η sono in corrispondenza biunivoca con le
G-riduzioni del fibrato z(η) dei suoi sistemi di riferimento.
Sia G un sottogruppo chiuso di GLn(R). Se U = {Uα} `e un ricoprimento aperto di M, indichiamo con Cq(U , G) l’insieme delle q-catene di applicazioni di classeC∞del ricoprimentoU , a valori in G:
(3.7.3) Cq(U , G)) = {(gα0,α1,...,αq ∈C∞
(Uα0,α1,...,αq, G))}. Indichiamo poi con
(3.7.4) Z1(U , G))=n (gα,β∈ C1(U , G)) gα,βgβ,γ = gα,γ su Uα,β,γ, ∀α, β, γo , e scriviamo (3.7.5) δ(gα)= (gα◦ g−1β ) ∈ Z1(U , G)), ∀(gα) ∈ C0(U , G).
Proposizione III.7.5. Siano (gα,β), (g0α,β) ∈ Z1(U , G)) funzioni di transizione delle trivializzazioni di due fibrati vettoriali di rango n
ξ= (E−−→ M)$ e ξ0= (E0 $0 −−−→ M)
sulla stessa base M, entrambi con gruppo strutturale G. Condizione necessa-ria e sufficiente affinch´e i due fibrati siano G-equivalenti `e che esista una (hα) ∈ C0(U , G) tale che
(3.7.6) g0α,β= hαgα,βh−1β su Uα,β, ∀α, β.
In particolare, il fibrato ξ `e G-equivalente al fibrato banale se, e soltanto se,
(gα,β)= δ(hα) per qualche (hα) ∈ C0(U , G).
Esempio III.7.6. Ogni fibrato vettoriale di rango n ammette una O(n)-struttura. Sia infatti η= (E−−→ M) un fibrato vettoriale di rango n ed$ A = {(Uα, σα) | α ∈ I} un suo atlante di trivializzazione, conU = {Uα} ricoprimento aperto localmente finito di M. Sia {χα} una partizione differenziabile dell’unit`a subordinata ad U . Possiamo allora definire un prodotto scalare sulle fibre di E ponendo
g(v1, v2)=X
La O(n) stuttura su η associata alla metrica g si pu`o ottenere dall’atlanteA ap-plicando il procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt alle basi σα(p)(e1), . . . , σα(p)(en) di Eprispetto al prodotto scalare gp = g|Ep.
III.8. G-strutture su una variet`a differenziabile
Siano M una variet`a differenziabile di dimensione m e e G `e un sottogruppo di Lie del gruppo lineare4GLm(R).
Definizione III.8.1. Una G-struttura su M `e una G-struttura sul suo fibrato tangente.
Osservazione III.8.2. Il concetto di G-struttura ci permette di considerare in modo concettualmente unitario diverse geometrie su M. Ad esempio:
un’orientazione su M `e equivalente al dato di una GL+
m(R)-struttura; una misura di Radon di classeC∞
di una SL(m, R)-struttura; una metrica Riemanniana di una O(m)-struttura;
una struttura quasi-compessa di una GLn(C)-struttura (m = 2n pari); una struttura quasi-Hermitiana5di una U(n)-struttura (m= 2n pari); una struttura quasi-simplettica di una Sp(n, R)-struttura (m = 2n )6; una struttura iper-unitaria di una Sp(n)-struttura7(m= 4n);
una 1-struttura si dice un parallelismo completo.
Esempio III.8.3. La fibrazione canonica SO(n+1) −→ Sn`e una SO(n)-riduzione del fibrato dei sistemi di riferimento di Sne quindi una SO(n)-struttura su Sn.
La fibrazione canonica SO(n+ 1) −→ RPn `e una O(n)-riduzione del fibrato dei sistemi di riferimento di RPne quindi una struttura Riemanniana su RPn.
La fibrazione canonica SU(n+ 1) −→ CPn
`e una U(n)-riduzione del fibrato dei sistemi di riferimento su CPne quindi una struttura quasi-Hermitiana su CPn.
III.9. Fibrati vettoriali associati a rappresentazioni lineari
III.9.1. Fibrati vettoriali associati. La costruzione della Proposizione III.5.2 si generalizza al caso di fibrati principali generali e di rappresentazioni lineari del loro gruppo strutturale.
Sia ξ= (P→ M) un fibrato principale su M, con gruppo strutturale G.−π Fissata una rappresentazione lineare di dimensione finita ρ : G → GLR(V), definiamo su P × V una relazione di equivalenza ponendo
(3.9.1) (σ, v) ∼ (σ · a, ρ(a−1)(v)) ∀σ ∈ P , ∀v ∈ V , ∀a ∈ G.
4La nozione di G-struttura per una variet`a differenziabile `e stata introdotta in S.S. Chern, Pseudo-groupes continus infinis, Colloque de G´eom´etrie differentielle, Strasbourg (1953), pp. 119-136.
5Affinch´e si possa parlare di struttura Hermitiana occorre che si possa definire sul fibrato tangente una struttura quasi-complessa che sia un’isometria per la struttura quasi-Hermitiana.
6
Ricordiamo che Sp(n, R) = {a ∈ SL(2n, R) |taΩa = Ω} per una matrice antisimmetrica non degenereΩ di tipo (2n) × (2n).
III.9. FIBRATI VETTORIALI ASSOCIATI A RAPPRESENTAZIONI LINEARI 73
Notazione III.9.1. Indicheremo con EV il quoziente (P×V)/∼e scriveremo per semplicit`a σρv, o anche σv, quando si possa sottintendere la rappresentazione ρ senza creare confusione, per indicare la classe in EV di (σ, v) ∈ P × V. Se α= σv, il vettore v ∈ V `e univocamente determinato da α e σ. Possiamo quindi denotarlo con v= σ−1α.
Proposizione III.9.2. Il quoziente EV = (P × V)/∼ `e lo spazio totale di un fibrato vettoriale ξV = (EV
πV
−−−→ M) con fibra tipica V. La proiezione nel quoziente $ : P × V 3 (σ, v) → σv ∈ EV definisce un morfismo di fibrati vettoriali che rende commutativo il diagramma (3.9.2) P × V −−−−−→ E$ V prP y yπV P −−−−−→ M.π Definizione III.9.3. ξV = (EV πV
−−−→ M) `e il fibrato vettoriale associato a ξ e alla rappresentazione lineare (ρ, V) del suo gruppo strutturale.
Riassumiamo questa costruzione nell’enunciato:
Proposizione III.9.4. Sia ξ un fibrato principale sulla variet`a differenziabile M, con gruppo strutturale G. Ad ogni rappresentazione lineare ρ di G su uno spazio vettoriale V risulta associato un fibrato vettoriale ξV su M, con fibra tipica V, tale che(3.9.2) sia un diagramma commutativo di morfismi di fibrati vettoriali. Definizione III.9.5. Chiamiamo le sezioni differenziabili del fibrato vettoriale ξV quantit`a di tipo(ρ, V).
Scriveremo per semplicit`aΓξ(M, EV) invece diΓξV(M, EV).
Una sezione s ∈Γξ(M, EV) del fibrato ξV si rialza alla funzione ˜s ∈C∞(P, V), definita da
(3.9.3) ˜s(σ)= σ−1s(π(σ)).
Definizione III.9.6. Chiamiamo la ˜s il sollevamento su P della sezione s.
Proposizione III.9.7. Condizione necessaria e sufficiente affinch´e una f ∈ C∞(P, V) sia il sollevamento di una sezione di ξV `e che risulti
(3.9.4) f(σa)= ρ(a−1) f (σ), ∀σ ∈ P, ∀a ∈ G.
Dimostrazione. La tesi `e conseguenza immediata della (3.9.1). Infatti (σa) f (σa))= $(σ, ρ(a)ρ(a−1) f (σ))= $(σ, f (σ)) = σ f (σ).
Quindi il valore di σ f (σ) dipende solo da π(σ) e possiamo perci`o definire una sezione differenziabile s di ξV ponendo s(π(σ))= σ f (σ) per ogni σ ∈ P. Notazione III.9.8. Indichiamo con Eρ(P, V) lo spazio delle f ∈C∞(P, V) che soddisfano la (3.9.4).
Proposizione III.9.9. La (21.1.1) stabilisce un isomorfismo lineare s ↔ ˜s tra
Esempio III.9.10. Sia z(M) = (L(M)→ M) il fibrato dei sistemi di riferimento−π di una variet`a differenziabile M.
Il fibrato associato alla rappresentazione canonica di GLm(R) su Rm`e il fibrato tangente T M → M.
Il fibrato associato alla rappresentazione duale GLm(R) 3 a → (a†)−1∈ GLm(R) `e il fibrato cotangente T∗M → M.
I fibrati tensoriali Tp,qMsono associati alle rappresentazioni tensoriali : ρ(a)(v1⊗ · · · ⊗ vp⊗ w1⊗ · · · ⊗ wq)
= a(v1) ⊗ · · · ⊗ a(vp) ⊗ta−1(w1) ⊗ · · · ⊗ta−1(wq) ∀v1, . . . , vp, w1, . . . , wq ∈ Rm.
Osservazione III.9.11. La Proposizione III.9.9 ci permette di associare ad ogni sezione differenziabile del fibrato ξV una funzione a valori in V. Come abbiamo visto, alle funzioni definite su una variet`a differenziabile e a valori in uno spa-zio vettoriale si possono applicare le diverse operaspa-zioni del calcolo differenziale. Ad esempio, possiamo calcolarne il differenziale e le derivate rispetto a campi di vettori.
III.9.2. Forme tensoriali e pseudotensoriali. Sia ξ= (P −−π→ M) un fibrato principale con gruppo strutturale G e ρ : G → GLR(V) una sua rappresentazione lineare reale di dimensione finita.
Definizione III.9.12. Una q-forma alternata φ ∈ Ωq(P, V) si dice pseudotenso-riale di tipo(ρ, V) se soddisfa
(3.9.5) R∗aφ = ρ(a−1) · φ ∀a ∈ G.
La φ si dice tensoriale se `e anche orizzontale, cio`e se `e pseudotensoriale ed inoltre (3.9.6) φ(X1, ..., Xq)= 0 quando almeno uno degli Xisia verticale.
Indichiamo con Ωqρ(P, V) lo spazio delle q-forme pseudotensoriali di tipo (ρ, V) e con Ωqρ,0(P, V) il sottospazio delle q-forme tensoriali di tipo (ρ, V).
Esempio III.9.13. Su z(M) la forma canonica8
(3.9.7) θ= σ−1dπ ∈ Ω1
(F(M), Rm).
`e una 1-forma tensoriale per la rappresentazione canonica di GL(m, R).
Se ξ `e un sottofibrato di z(M), con gruppo strutturale G ⊂ GL(m, R), la