Lezioni sulla Teoria delle Connessioni e sulla Geometria Riemanniana (a.a. 2013/14) Mauro Nacinovich

Lezioni sulla Teoria delle Connessioni e sulla Geometria Riemanniana

(a.a. 2013 /14)

Mauro Nacinovich

Indice

Capitolo I. Gruppi e algebre di Lie 11

I.1. Nozioni fondamentali 11

I.2. Alcune osservazioni sull’applicazione esponenziale 15

I.3. Sottogruppi di Lie 16

I.4. La forma di Maurer-Cartan 17

I.5. Applicazioni a valori in un gruppo di Lie 20

I.6. Omomorfismi di gruppi ed algebre di Lie 21

I.7. Rappresentazioni lineari 22

I.8. Spazi omogenei 22

I.9. Gruppi di Lie di trasformazioni 25

Capitolo II. Strutture differenziali su alcuni gruppi e spazi omogenei 29 II.1. I quaternioni e la struttura di fferenziale di SU(2), SO(3), SO(4) 29

II.2. La trasformata di Cayley 32

II.3. I gruppi SL 2 (C), Sp(1, C), SO(3, C), SL 2 (R), SO(1, 2) 35 II.4. La quadrica di CP ⁵ ed alcuni omomorfismi di gruppi 37

II.5. Variet`a di Stiefel reali 42

II.6. Variet`a di Grassmann 47

II.7. Variet`a di Stiefel e di Grassmann complesse 49

II.8. Matrici di rango assegnato 51

II.9. Variet`a dei sottospazi Lagrangiani reali 52

II.10. Variet`a dei sottospazi Lagrangiani complessi 53 II.11. Variet`a di sottospazi proiettivi di una quadrica proiettiva reale 54 II.12. Variet`a di sottospazi proiettivi di una quadrica proiettiva complessa 55

II.13. Decomposizione di Cartan 56

Capitolo III. Fibrati principali 61

III.1. Prime definizioni 61

III.2. L’esempio degli spazi omogenei 63

III.3. Morfismi di fibrati principali 64

III.4. Classificazione dei fibrati principali 66

III.5. Il fibrato dei sistemi di riferimento 68

III.6. Jacobiano di un’applicazione di fferenziabile 69 III.7. Riduzione del gruppo strutturale e G-strutture 70 III.8. G-strutture su una variet`a di fferenziabile 72 III.9. Fibrati vettoriali associati a rappresentazioni lineari 72

3

Capitolo IV. Connessioni principali 77

IV.1. La distribuzione verticale 77

IV.2. Il concetto di connessione principale 79

IV.3. Pullback di una connessione principale 81

IV.4. Il fibrato delle connessioni principali 82

IV.5. Automorfismi di una connessione principale 83 IV.6. Forme di Christoffel ed equazioni di gauge 84 IV.7. Sollevamento orizzontale di campi di vettori 87 IV.8. Sollevamento orizzontale di cammini e trasporto parallelo 87

IV.9. Il gruppo di olonomia 89

Capitolo V. Di fferenziazione covariante e curvatura 93 V.1. Differenziale di forme tensoriali e pseudotensoriali 93 V.2. Di fferenziazione covariante di sezioni di fibrati vettoriali 94 V.3. Espressione locale del di fferenziale covariante 95 V.4. Forma di curvatura ed equazioni di struttura 97

V.5. Connessioni piatte 98

V.6. La famiglia delle connessioni principali 99

V.7. Fibrato degli endomorfismi e rappresentazione aggiunta 99

V.8. Curvatura 100

V.9. Trasporto parallelo di vettori 101

V.10. Di fferenziazione covariante secondo Koszul 103

V.11. Il Teorema di Ambrose-Singer 104

V.12. L’olonomia infinitesima 105

V.13. Connessioni invarianti canoniche su spazi omogenei 106

V.14. Connessioni invarianti 108

Capitolo VI. Variet`a differenziabili affini e Riemanniane 115

VI.1. Connessioni lineari 115

VI.2. Forme di torsione e di curvatura 117

VI.3. Derivazione covariante, torsione e curvatura 118 VI.4. Interpretazione geometrica della torsione e della curvatura 122

VI.5. Esistenza di connessioni simmetriche 123

VI.6. Derivata covariante lungo una curva e parallelismo 125

VI.7. Geodetiche 127

VI.8. Metriche (pseudo-)Riemanniane e connessione di Levi-Civita 129

VI.9. Esempi 131

VI.10. Estensione della metrica ai fibrati tensoriali 134 VI.11. Tensore di curvatura di una variet`a pseudo-Riemanniana 135 VI.12. Connessioni principali su variet`a dotate di una connessione lineare 136

Capitolo VII. Connessioni lineari invarianti 139

VII.1. Rappresentazione lineare d’isotropia 139

VII.2. Connessioni lineari canoniche su spazi omogenei riduttivi 141

VII.3. Connessioni lineari invarianti 144

VII.4. Connessioni lineari invarianti su spazi riduttivi 147

INDICE 5

VII.5. Spazi affini simmetrici 152

Capitolo VIII. Applicazione esponenziale e campi di Jacobi 161

VIII.1. L’applicazione esponenziale 161

VIII.2. Intorni normali ed intorni convessi 162

VIII.3. Definizione dei campi di Jacobi 164

VIII.4. Campi di Jacobi su una variet`a Riemanniana 167

VIII.5. Punti coniugati 170

Capitolo IX. Propriet`a metriche delle variet`a Riemanniane 173

IX.1. Geodetiche e distanza Riemanniana 173

IX.2. Il funzionale dell’energia 175

IX.3. Variet`a di Riemann compatte 176

IX.4. Il teorema di Hopf-Rinow 176

IX.5. Variet`a Riemanniane con curvatura sezionale negativa 180

IX.6. Un teorema di Bochner 186

Capitolo X. Gruppi di trasformazioni 189

X.1. Il gruppo delle isometrie di uno spazio metrico 189

X.2. Un teorema di Bochner-Montgomery 192

X.3. Alcuni risultati sui gruppi di trasformazioni 196

X.4. Parallelismo assoluto 199

Capitolo XI. Trasformazioni e decomposizione di de Rham 203

XI.1. Applicazioni a ffini 203

XI.2. Sottovariet`a affini 204

XI.3. Variet`a totalmente geodetiche 205

XI.4. Trasformazioni affini 206

XI.5. A ffinit`a infinitesime 208

XI.6. Isometrie di una variet`a Riemanniana 210

XI.7. Campi di Killing 213

XI.8. Riducibilit`a 214

XI.9. Decomponibilit`a e teorema di de Rham 216

Capitolo XII. Immersioni, isometrie, campi di Killing 219

XII.1. Immersioni pseudo-Riemanniane 219

XII.2. Propriet`a algebriche del tensore di curvatura 225

XII.3. La curvatura sezionale 228

Capitolo XIII. Operatori differenziali sulle variet`a Riemanniane 231 XIII.1. Elemento di volume ed operatore di Hodge 231 XIII.2. Codifferenziale, operatore di Lapleace-Beltrami, divergenza 232 XIII.3. Co-di fferenziazione covariante di forme differenziali 236

XIII.4. Divergenza di tensori simmetrici 238

XIII.5. L’operatore di Laplace-Beltrami 241

XIII.6. Il Laplaciano naturale 244

XIII.7. Il Laplaciano di Lichnerowicz 245

XIII.8. Laplaciano sulle forme differenziali alternate 247

Capitolo XIV. Metriche invarianti 251

XIV.1. Metriche pseudo-Riemanniane su spazi omogenei 251 XIV.2. La connessione di Levi-Civita sugli spazi omogenei 252

Capitolo XV. Metriche di Einstein 255

XV.1. Propriet`a del tensore di curvatura 255

XV.2. Curvatura sezionale 256

XV.3. Il tensore di Ricci 257

XV.4. Un Teorema di Myers 259

XV.5. Curvatura scalare 260

XV.6. Metriche di Einstein 261

Capitolo XVI. Spazi simmetrici 263

XVI.1. Spazi affini localmente simmetrici 263

XVI.2. Alcuni risultati sui gruppi di trasformazioni 266

XVI.3. Automorfismi affini e isometrie 270

XVI.4. Spazi Riemanniani globalmente simmetrici 276 XVI.5. Coppie simmetriche e simmetriche Riemanniane 279

Capitolo XVII. Algebre di Cli fford e Spinori 285

XVII.1. Algebre di Clifford 285

XVII.2. Involuzioni dell’algebra di Cli fford 287

XVII.3. I gruppi spinoriali 288

Appendice: Variet`a, forme di fferenziali 295

Capitolo XVIII. Variet`a topologiche e variet`a di fferenziabili 297 XVIII.1. Paracompattezza e partizione dell’unit`a 297

XVIII.2. Variet`a topologiche 298

XVIII.3. Alcuni esempi 299

XVIII.4. Variet`a topologiche con bordo 301

XVIII.5. Definizione di variet`a di fferenziabile 302

XVIII.6. Applicazioni differenziabili 303

XVIII.7. Funzioni reali di fferenziabili e partizione dell’unit`a 304 XVIII.8. Immersioni, sommersioni, diffeomorfismi 309 XVIII.9. Prodotto cartesiano di variet`a di fferenziabili 310

XVIII.10. Sottovariet`a differenziabili 311

XVIII.11. Diffeomorfismi 314

XVIII.12. Esistenza e unicit`a di strutture di fferenziali 315 Capitolo XIX. Campi di vettori e spazio tangente 317 XIX.1. Campi di vettori e curve integrali sulle variet`a 317

XIX.2. Vettori tangenti e fibrato tangente 319

XIX.3. Di fferenziale di un’applicazione differenziabile 321

XIX.4. Alcune osservazioni sul teorema d’immersione di Whitney 321

INDICE 7

XIX.5. Gruppi a un parametro di diffeomorfismi 322

XIX.6. Inclusioni isotope 324

XIX.7. Campi completi 325

XIX.8. Isotopie dello spazio ambiente 327

XIX.9. k-celle differenziabili 329

Capitolo XX. Fibrati vettoriali 331

XX.1. Fibrati differenziabili 331

XX.2. Fibrati vettoriali di fferenziabili 334

XX.3. Morfismi e operazioni di fibrati vettoriali 335

XX.4. Fibrati vettoriali e fibrato tangente 337

XX.5. Norme differenziabili e strutture Euclidee 339 XX.6. Classi di isomorfismo di fibrati vettoriali 339

XX.7. Fibrati vettoriali sulle sfere 341

Capitolo XXI. Forme di fferenziali negli spazi Euclidei 343

XXI.1. Forme differenziali in R ⁿ 343

XXI.2. Pull-back 344

XXI.3. Differenziale di una forma 344

XXI.4. Il complesso di de Rham 345

XXI.5. Coomologia di de Rham a supporti compatti 348 XXI.6. Il grado di un’applicazione propria di R ⁿ in s´e 351

XXI.7. Orientazione e sottovariet`a di R ⁿ . 354

XXI.8. Integrazione sulle sottovariet`a e formule di Stokes 355 Capitolo XXII. Calcolo differenziale sulle variet`a 361

XXII.1. Fibrato cotangente e tensori 361

XXII.2. Forme di fferenziali su una variet`a 362

XXII.3. Il lemma di Poincar´e-Volterra sugli intorni contrattili 364

XXII.4. Derivata di Lie di un tensore 364

XXII.5. Distribuzioni vettoriali e teorema di Frobenius 367 Capitolo XXIII. La coomologia di de Rham sulle variet`a 371

XXIII.1. Definizioni prinicipali 371

XXIII.2. Invarianza omotopica 372

XXIII.3. Complessi differenziali 373

XXIII.4. Le successioni di Mayer-Vietoris 377

XXIII.5. La dualit`a di Poincar´e 382

XXIII.6. Grado di un’applicazione 384

XXIII.7. La formula di K¨unnet 385

XXIII.8. Duale di Poincar´e in una sottovariet`a orientata 387

XXIII.9. La propriet`a semi-locale 389

Appendice: Complementi di topologia generale 395

Capitolo XXIV. Fibrati di Steenrod topologici 397

XXIV.1. Azione di gruppo 397

XXIV.2. Azioni continue 400 XXIV.3. Fibrati di Steenrod e fibrati principali 401

XXIV.4. Un Lemma di trivializzazione 403

XXIV.5. Richiami sui CW-complessi 404

XXIV.6. Invarianza omotopica dei fibrati di Steenrod a base CW 405

XXIV.7. Fibrati universali 406

XXIV.8. Fibrati di Milnor 409

Appendice: Gruppi classici 415

Capitolo XXV. Gruppi lineari e loro algebre di Lie 417

XXV.1. Algebre di Lie 417

XXV.2. Jacobiano dell’applicazione esponenziale 421

XXV.3. Algebra di Lie di un gruppo lineare 425

XXV.4. Algebre di Lie dei gruppi lineari e dei gruppi lineari speciali 428 XXV.5. Endomorfismi semisemplici e decomposizione di Wedderburn 428

XXV.6. Matrici triangolari 430

XXV.7. Sottogruppi di Lie del gruppo lineare 432

Capitolo XXVI. Gruppi lineari compatti 437

XXVI.1. Propriet`a topologiche di U(n) 437

XXVI.2. Il gruppo speciale unitario 439

XXVI.3. I gruppi O(n) ed SO(n) 440

XXVI.4. L’omomorfismo canonico SU(2)→SO(3) 442

XXVI.5. Il gruppo unitario simplettico Sp(n) 445

XXVI.6. Sfere e gruppi compatti 447

XXVI.7. Rivestimenti e gruppo degli spinori 449

Capitolo XXVII. La lista di Cartan dei gruppi classici 451 XXVII.1. Decomposizione di Cartan dei gruppi classici 451 XXVII.2. Alcuni gruppi di matrici e le loro algebre di Lie 452

XXVII.3. I gruppi U(p, q) e SU(p, q) 454

XXVII.4. I gruppi Sp(n, C) e SU ^∗ (2n) 455

XXVII.5. I gruppi SO(n, C) e SO ^∗ (2n) 457

XXVII.6. I gruppi Sp(p, q; C) 458

XXVII.7. I gruppi SO(p, q) 458

Capitolo XXVIII. Algebre di Lie 461

XXVIII.1. Nozioni fondamentali 461

XXVIII.2. Algebre di Lie lineari, derivazioni, rappresentazione aggiunta 462

XXVIII.3. Rappresentazioni lineari 465

XXVIII.4. Forme invarianti 467

XXVIII.5. Automorfismi 469

XXVIII.6. Algebre di Lie risolubili 470

XXVIII.7. Algebre di Lie semisemplici 470

XXVIII.8. Algebre di Lie nilpotenti 471

INDICE 9

XXVIII.9. Il teorema di Engel 471

XXVIII.10. Il Teorema di Lie 473

XXVIII.11. Il pi`u grande ideale di nilpotenza di una rappresentazione 476 XXVIII.12. Il radicale nilpotente e il nilradicale 477

XXVIII.13. Automorfismi speciali 479

Appendice: Complementi sulle connessioni 481

Capitolo XXIX. Espressioni in coordinate 483

XXIX.1. Espressione in coordinate delle equazioni di struttura 483

XXIX.2. Espressioni locali 485

XXIX.3. Forme e simboli di Christoffel 488

CAPITOLO I

Gruppi e algebre di Lie

I.1. Nozioni fondamentali

Definizione I.1.1. Un’algebra di Lie ¹ g su un campo k `e uno spazio vettoriale su k su cui `e assegnato un prodotto bilineare g × g 3 (X, Y) → [X, Y] ∈ g tale che

[X, X] = 0, ∀X ∈ g, (antisimmetria),

(1)

[X, [Y, Z]] + [Y, [Z, X]] + [Z, [X, Y]] = 0, ∀X, Y, Z ∈ g (identit`a di Jacobi).

(2)

Definizione I.1.2. Un gruppo di Lie `e un gruppo G su cui `e fissata una struttura di variet`a differenziabile per cui l’operazione di gruppo G×G 3 (a, b) → ab ⁻¹ ∈ G sia di fferenziabile.

Poich´e G `e localmente connesso, la componente connessa dell’identit`a G ⁰ di G `e connessa per archi ed `e un sottogruppo normale aperto e chiuso in G.

G ⁰ `e numerabile all’infinito e quindi condizione necessaria e sufficiente af- finch´e lo sia anche G `e che il quoziente G/G ⁰ sia al pi`u numerabile.

Per ogni elemento a di G, le

le traslazioni a sinistra : L _a :G 3 g → ag ∈ G, le traslazioni a destra : R _a :G 3 g → ga ∈ G, gli automorfismi interni : ad(a) :G 3 g → aga ⁻¹ ∈ G, sono di ffeomorfismi di G in s´e.

A volte scriveremo per semplicit`a

aX per L a

(X) ed Xa per R a

(X), se a ∈ G, X ∈ X(G).

Definizione I.1.3. Un campo di vettori X ∈ X(G) si dice invariante a sinistra se aX = L a∗ (X) = X, per ogni a ∈ G.

Proposizione I.1.4. I campi di vettori invarianti a sinistra formano una sot- toalgebra di Lie reale L(G) di X(M). L’applicazione

(1.1.1) T e G 3 X e → {X a = L a∗ (X e ) | a ∈ G} ∈ L(G)

`e un isomorfismo lineare. 

Definizione I.1.5. Indichiamo con g, e chiamiamo algebra di Lie di G, lo spa- zio vettoriale T e G, con la struttura di algebra di Lie reale che rende (1.1.1) un isomorfismo di algebre di Lie.

1 Vedi il Capitolo XXVIII.

11

Notazione I.1.6. Denoteremo con X ^∗ ∈ L(G) il campo di vettori invariante a sinistra corrispondente all’elemento X di g.

Proposizione I.1.7. Il campo X ^∗ ∈ L(G) genera un gruppo a un parametro φ X (t) di diffeomorfismi di G.

Dimostrazione. Sia X ∈ g. Se γ ∈ C ^∞ (I, G) `e una curva integrale di X ^∗ , abbiamo ˙γ = γ · X. Il flusso φ X (a, t) di X ^∗ soddisfa quindi la

φ X (a, t) = ab ⁻¹ φ X (b, t) ∀a, b ∈ G,

ed, a priori, per |t| sufficientemente piccolo. Questa formula ci permette di esten- dere la definizione di φ X (a, t) per ogni t ∈ R. Se infatti φ X (e, t) `e definita per |t| < , dalla

φ _X (a, t + s) = φ X (φ X (a, t), s) = φ X (a, t)φ X (e, s)

ricaviamo che la φ X (a, t) definita su un intervallo (t 1 , t ₂ ) ⊂ R, si pu`o estendere all’intervallo (t ₁ − , t ₂ + ) ponendo

φ X (a, t) = φ X (a, t ⁰ )φ X (e, t ⁰⁰ ), se t ⁰ ∈ (t ₁ , t ₂ ), |t ⁰⁰ | < , t = t ⁰ + t ⁰⁰ .  Definizione I.1.8. L’applicazione

(1.1.2) g 3 X −→ exp(X) = φ X (e, 1) ∈ G si dice l’ applicazione esponenziale di G.

Poich´e

(1.1.3) exp((t ₁ + t 2 )X) = exp(t 1 X) exp(t ₂ X) ∀t ₁ , t ₂ ∈ R, l’insieme {exp(tX) | t ∈ R} `e un sottogruppo abeliano di G.

Definizione I.1.9. {exp(tX) | t ∈ R} si dice il sottogruppo a un parametro di G generato da X ∈ g.

Proposizione I.1.10. Il gruppo a un parametro di diffeomorfismi di G generato dal campo di vettori invariante a sinistra X ^∗ ∈ g associato ad X ∈ g `e descritto dalla

(1.1.4) G × R 3 (a, t) −→ φ X (a, t) = a · exp(tX) ∈ G.  Proposizione I.1.11 (coordinate di prima specie). L’applicazione esponenziale definisce un di ffeomorfismo di un intorno aperto di 0 in g su un intorno aperto di e in G.

Dimostrazione. Infatti, il differenziale in 0 dell’applicazione esponenziale `e l’identit`a e quindi la tesi `e conseguenza del teorema dell’applicazione inversa.  Esempio I.1.12. Il gruppo delle matrici reali n×n invertibili GL n (R) `e un gruppo di Lie, di dimensione n ² . La sua algebra di Lie gl(n, R) `e l’algebra di Lie di tutte le matrici reali n × n e l’esponenziale coincide con quello definito per le matrici :

(1.1.5) exp(X) =

∞

X

h =0

1

h! X ^h .

I.1. NOZIONI FONDAMENTALI 13

Il suo sottogruppo SL n (R) delle matrici con determinante 1 `e anch’esso un gruppo di Lie. Ha dimensione (n <sup>2</sup> − 1) e la sua algebra di Lie sl n (R) `e formata dalle matrici reali con traccia nulla.

Esempio I.1.13. Il gruppo delle matrici complesse n × n invertibili GL n (C) `e un gruppo di Lie di dimensione 2n ² . La sua algebra di Lie gl n (C) consiste di tutte le matrici complesse n × n. L’esponenziale anche in questo caso coincide con l’esponenziale di matrici.

Il suo sottogruppo normale

(1.1.6) SL _n (C) = {a ∈ GL n (C) | det a = 1}

`e un gruppo di Lie di dimensione 2n ² − 1, con algebra di Lie (1.1.7) sl _n (C) = {A ∈ gl n (C) | tr(A) = 0}.

Esempio I.1.14. Il gruppo ortogonale

(1.1.8) O(n) = {a ∈ GL n (R) | ^t a = a ⁻¹ }

`e un gruppo di Lie compatto di dimensione ⁿ⁽ⁿ⁻¹⁾ ₂ . La sua algebra di Lie (1.1.9) o (n) = {A ∈ gl n (R) | A + ^t A = 0}

consiste delle matrici reali antisimmetriche.

Il suo sottogruppo normale

(1.1.10) SO(n) = {a ∈ O(n) | det a = 1}

ha indice due in O(n) ed O(n) ed SO(n) hanno la stessa algebra di Lie o(n).

Se n ≥ 3, il gruppo fondamentale di SO(n) `e isomorfo a Z 2 . Il suo rivestimento fondamentale, a due fogli, `e un gruppo di Lie compatto, che si indica con Spin(n) e si dice gruppo di spin.

Esempio I.1.15. Il gruppo unitario `e il gruppo (1.1.11) U(n) = {a ∈ GL n (C) | a ^∗ = a ⁻¹ }

`e un gruppo di Lie compatto di dimensione n ² , con algebra di Lie (1.1.12) u (n) = {A ∈ gl n (C) | A + A ^∗ = 0}.

Il gruppo speciale unitario

(1.1.13) SU(n) = {a ∈ U(n) | det a = 1}

`e un suo sottogruppo di Lie normale, di dimensione n ² − 1, con algebra di Lie (1.1.14) su (n) = {A ∈ u(n) | trac A = 0}.

Abbiamo un isomorfismo di gruppi di Lie SU(2) ' Spin(3).

Esempio I.1.16. Indichiamo con J ⁿ la matrice (2n) × (2n)

(1.1.15) J n =  _{0 −I}

n

I

0  . Il gruppo

(1.1.16) Sp(n) = {a ∈ U(2n) | J n a = J n ¯a}

si dice il gruppo simplettico compatto, o simplettico unitario, o simplettico ortogo- nale. Ha dimensione n(2n + 1) ed algebra di Lie

(1.1.17) sp (n) = {A ∈ u(2n) | AJ n + J n A ¯ = 0}.

I.1.1. La rappresentazione aggiunta.

Proposizione I.1.17. Per ogni a ∈ G, il differenziale nell’identit`a Ad(a) del- l’automorfismo ad(a) di G definisce un automorfismo dell’algebra di Lie g.

Dimostrazione. Siano X ∈ g ed a ∈ G. Abbiamo, con le notazioni introdotte in precedenza per i differenziali delle traslazioni a destra ed a sinistra,

[ad a ] ∗ (X _x ^∗ ) = aX ^∗ a ⁻¹ = axXa ⁻¹ = axa ⁻¹ (aXa ⁻¹ ) = [ad(a)(X)] ^∗ _ad(a)(x) . Questo dimostra che i campi X ^∗ ed (Ad(a)(X)) ^∗ sono ad(a)-correlati e perci`o

[(ad(a)) ∗ X ^∗ , (ad(a)) ∗ Y ^∗ ] = (ad(a)) ∗ ([X ^∗ , Y ^∗ ]), ∀X, Y ∈ g.

Qundi il diffeomorfismo ad(a) definisce un automorfismo dell’algebra di Lie L(G).

La tesi segue perch´e, per definizione, [X ^∗ , Y ^∗ ] = [X, Y] ^∗ .  Indichiamo con Aut _R (g) il gruppo

(1.1.18) Aut _R (g) = {λ ∈ GL R (g) | [λ(X), λ(Y)] = λ([X, Y]), ∀X, Y ∈ g}.

degli automorfismi dell’algebra di Lie reale g.

Si verifica immediatamente che

Proposizione I.1.18. L’applicazione G 3 a → Ad(a) ∈ Aut(g) `e un omomorfi-

smo di gruppi. 

Definizione I.1.19. L’omomorfismo G 3 a → Ad(a) ∈ Aut R (g) si dice la rappresentazione aggiunta di G.

I.1.2. Campi di vettori invarianti a destra. Sia G un gruppo di Lie.

Definizione I.1.20. Un campo di vettori X ∗ ∈ X(G) `e invariante a destra se dR a (X ∗ ) = X ∗ per ogni a ∈ G.

Ad ogni elemento X dell’algebra di Lie g di G associamo l’unico campo di vettori invariante a destra X ∗ che assume il valore X in e: X ∗ x = dR x (X) = Xx. In questo modo abbiamo definito una corrispondenza lineare biunivoca

(1.1.19) g 3 X −→ X ∗ = {x → dR x (X)} ∈ R(G)

di g con lo spazio R(G) dei campi di vettori invarianti a destra su G. Abbiamo Proposizione I.1.21. R(G) `e una sottoalgebra di Lie di X(G) e l’applicazione (1.1.19) `e un antiisomorfismo di algebre di Lie.

Dimostrazione. Poich´e le traslazioni a destra sono diffeomorfismi di G, `e [R a (X), R a (Y)] = R a ([X, Y]), per ogni a ∈ G ed X, Y ∈ X(G).

Da questo segue immediatamente che R(G) `e una sottoalgebra di Lie di X(G).

L’involuzione  : G 3 x → x ⁻¹ ∈ G di G `e un di ffeomorfismo che trasforma

campi di vettori invarianti a sinistra in campi di vettori invarianti a destra, con d  :

I.2. ALCUNE OSSERVAZIONI SULL’APPLICAZIONE ESPONENZIALE 15

L (G) 3 X ^∗ −→ −X ∗ ∈ R(G), se X ^∗ ed X ∗ sono i campi di vettori, rispettivamente invariante a sinistra e a destra, associati allo stesso elemento X ∈ g. In particolare, abbiamo

[X ∗ , Y ∗ ] = −[X, Y] ∗ , ∀X, Y ∈ g.

 I.2. Alcune osservazioni sull’applicazione esponenziale

Sia G un gruppo di Lie con algebra di Lie g. L’immagine dell’applicazione esponenziale exp : g → G non `e in generale surgettiva sulla sua componente connessa dell’identi`a G ⁰ .

Esempio I.2.1. L’immagine di exp : gl 2 (R) → GL 2 (R) non `e surgettiva sulla sua componente connessa dell’identit`a G ⁰ = {x ∈ GL 2 (R) | det x > 0}.

Sia x ∈ G ₀ . Consideriamo dapprima il caso in cui x sia diagonalizzabile. A meno di coniugio possiamo supporre che x = diag (λ 1 , λ ₂ ) con λ 1 λ ₂ > 0. Se X ∈ gl ₂ (R) `e

(1.2.1) exp(X) = k 1 X + k 2 I ₂ , con k 1 , k ₂ ∈ R.

In particolare, se λ ₁ , λ 2 , allora k ₁ , 0 e la matrice X `e quindi diagonale.

Poich´e gli autovalori dell’esponenziale di una matrice X diagonalizzabile sono gli esponenziali degli autovalori di X, ne segue che x ∈ exp(gl ₂ (R) se e soltanto se λ ₁ , λ ₂ > 0. Analogamente, se x ha un autovalore reale con molteplicit`a algebrica due e molteplicit`a geometrica uno, possiamo supporre a meno di coniugio che x abbia la forma

x = λ 1 0 λ

! .

Allora per la (1.2.1) anche X deve essere una matrice triangolare superiore e quindi x appartiene all’immagine dell’esponenziale se e soltanto se λ > 0.

Resta da considerare il caso in cui x abbia due autovalori complessi coniugati λ, ¯λ, oppure sia diagonalizzabile con un autovalore λ reale e negativo con molte- plicit`a due. Se scriviamo λ = ρ e <sup>iθ</sup> , con ρ > 0 e θ ∈ R, allora la x `e coniugata ad una matrice della forma

x = ρ cos θ −ρ sin θ ρ sin θ ρ cos θ

!

= exp

"

log ρ −θ θ

!#

.

In conclusione: exp(gl ₂ (R) `e l’insieme delle matrici reali 2 × 2 con determinante positivo che non hanno un autovalore reale negativo con molteplicit`a geometrica uno.

Osserviamo che da questo segue che, in generale, l’immagine dell’applicazio- ne esponenziale pu`o non essere n´e aperta n´e chiusa.

Ci sono due classi importanti di gruppi di Lie per cui l’esponenziale `e surget- tivo. Abbiamo:

Teorema I.2.2. Se G `e un gruppo di Lie connesso e compatto, con algebra di

Lie g, allora exp(g) = G.

Definizione I.2.3. Chiamiamo unipotente un sottogruppo di Lie G del gruppo lineare GL n (C) i cui elementi siano tutti unipotenti. Gli elementi x di C hanno cio`e tutti polinomio caratteristico (λ − 1) ⁿ .

Teorema I.2.4. Se G `e unipotente, allora exp : g → G `e un diffeomorfismo.

Osservazione I.2.5. I gruppi unipotenti sono particolari gruppi nilpotenti. Ri- cordiamo che un gruppo G si dice nilpotente se, per ogni a ∈ G l’applicazione di commutazione l’applicazione c a : G 3 x → [a, x] = axa ⁻¹ x ⁻¹ ha un’iterata banale.

Se esiste cio`e un intero k tale che c ^k _a (x) = e per ogni a, x ∈ G. Si verifica che questa condizione equivale al fatto che G ammetta una serie di composizione

1 = G 0 < G ₁ < · · · < G n = G, con [G, G k ] ⊂ G _k−1 , ∀1 ≤ k ≤ n.

I.3. Sottogruppi di Lie

Definizione I.3.1. Un sottogruppo H di G `e un suo sottogruppo di Lie se `e anche una sottovariet`a di fferenziabile di G, e con tale struttura differenziabile `e un gruppo di Lie.

L’algebra di Lie h di un sottogruppo di Lie H di G `e una sottoalgebra di Lie di g . Infatti i campi di vettori invarianti a sinistra su H sono restrizioni ad H di campi di vettori invarianti a sinsitra di G.

Viceversa, per ogni sottoalgebra di Lie h di G il sottogruppo H di G generato da exp(h) `e un un sottogruppo di Lie connesso di G. Questo `e conseguenza del fatto che i campi di vettori invarianti a sinistra corrispondenti agli elementi di h generano una distribuzione vettoriale di rango costante formalmente (e quindi totalmente) integrabile in G.

Ogni omorfismo differenziabile φ : G 1 → G 2 di gruppi di Lie determina un omomorfismo dφ(e) : g ₁ → g ₂ delle loro algebre di Lie. Il viceversa non `e sempre vero; lo `e quando G 1 `e semplicemente connesso.

In particolare, la G 3 a → ad(a) ∈ Aut(G) definisce un’applicazione G 3 a → Ad(a) ∈ Aut(g), che si dice la rappresentazione lineare aggiunta di G.

Vale il

Teorema I.3.2. Sia G un gruppo di Lie, con algebra di Lie g.

(1) Se H `e un sottogruppo di Lie di G, la sua algebra di Lie `e (1.3.1) h = {X ∈ g | exp(tX) ∈ H, ∀t ∈ R}.

(2) Ogni sottogruppo chiuso H di G `e un suo sottogruppo di Lie.

Esempio I.3.3 (Gruppi lineari). Un gruppo lineare `e un sottogruppo chiuso di un gruppo GL n (C).

Per il teorema di Ado ² , ogni algebra di Lie su un campo k `e isomorfa ad una sottoalgebra di Lie di gl(n, k).

2 Matrix representations of Lie algebras, Usp. Mat. Nauk 2 (1947), pp. 159-173.

I.4. LA FORMA DI MAURER-CARTAN 17

Per un teorema di Djokovic ³ , ogni algebra di Lie reale `e l’algebra di Lie di un gruppo lineare.

Tutti i gruppi di Lie compatti sono isomorfi a gruppi lineari.

Si pu`o definire sul rivestimento universale e G di un gruppo di Lie connes- so una struttura di gruppo di Lie per cui la proiezione canonica e G → G sia un omomorfismo di gruppi di Lie.

I rivestimenti universali f SL(n, R) dei gruppi di Lie SL ⁿ (R) sono gruppi di Lie che non sono isomorfi a gruppi lineari.

I.4. La forma di Maurer-Cartan

I.4.1. Forme di fferenziali a valori vettoriali. Siano V uno spazio vettoria- le reale di dimensione finita ed M una variet`a differenziabile. Indichiamo con Ω ^h (M, V) lo spazio delle forme di fferenziali alternate di grado h a valori in V. Esse sono le applicazioni C ^∞ (M)-multilineari alternate :

α: X(M) × · · · × X(M)

| {z }

h volte

→ C ^∞ (M, V) .

Ad esse si estende im modo naturale la definizione del differenziale. Naturalmente, se V non ha una struttura di algebra reale, non ha senso considerare il prodotto esterno di due forme a valori in V. Nel caso in cui V sia un’algebra, possiamo estendere la definizione del prodotto esterno in modo che, sulle forme di grado zero, coincida puntualmente con il prodotto definito in V. In particolare, nel caso delle algebre di Lie, possiamo dare la seguente definizione.

Definizione I.4.1. Se V = a `e un’algebra di Lie reale, il prodotto esterno di due forme di fferenziali α ∈ Ω <sup>p</sup> (M, a), β ∈ Ω <sup>q</sup> (M, a), `e la forma [α ∧ β] ∈ Ω ^{p +q} (M, a) definita da:

[α ∧ β](X ₁ , . . . , X p +q ) = X

σ∈S

1≤σ

<···<σ

≤p +q 1≤σ

<···<σ

≤p +q

ε(σ)[α(X _σ

, . . . , X _σ

), β(X _σ

, . . . , X _σ

)].

Il prodotto si estende poi per bilinearit`a a tutto Ω ^∗ (M, a).

In particolare, se α e β sono 1-forme a valori in a, abbiamo:

[α ∧ β](X, Y) = [α(X), β(Y)] − [α(Y), β(X)],

[α ∧ α](X, Y) = 2[α(X), α(Y)], ∀X, Y ∈ X(M).

I.4.2. Forme di fferenziali invarianti. Sia G un gruppo di Lie con algebra di Lie g.

Definizione I.4.2. Una forma differenziale ω ∈ Ω ^∗ (G) si dice invariante a sinistra se L ^∗ _a ω = ω per ogni a ∈ G.

3 A closure theorem for analytic subgroups of a real Lie group, Can.Math. Bull. 19 (1976), pp.

435-439.

Per una forma ω ∈ Ω ¹ (G) di grado uno essere invariante a sinistra `e equivalente al fatto che, per ogni campo di vettori X ∈ L(G) invariante a sinistra su G, la funzione ω(X) sia costante. Analogamente, una forma omogenea α ∈ Ω <sup>q</sup> (G) `e invariante a sinistra se, e soltanto se, per ogni scelta di X ₁ , . . . , X q ∈ L(G), la funzione α(X 1 , . . . , X q ) `e costante.

I.4.3. La forma di Maurer-Cartan.

Teorema I.4.3. Sia G un gruppo di Lie con algebra di Lie g. L’applicazione

(1.4.1) G × g 3 (a, X) −→ aX ∈ T G

`e un di ffeomorfismo. In particolare, i gruppi di Lie sono variet`a differenziabili parallelizzabili ed X(G) `e il C ^∞ (G)-modulo generato da L(G).

Dimostrazione. L’applicazione inversa della (1.4.1) `e la T G 3 v → (π(v), π(v) ⁻¹ · v) ∈ G × g,

ove π : T G → G `e la proiezione canonica del fibrato tangente sulla base.  Proposizione I.4.4. L’applicazione

(1.4.2) ω _G : T G 3 v −→ π(v) ⁻¹ · v ∈ g

`e una forma di fferenziale invariante a sinistra a valori in g.  Essa `e caratterizzata dall’equazione

(1.4.3) ω _G (X _a ^∗ ) = X, ∀X ∈ g, ∀a ∈ G.

Definizione I.4.5. La ω G si dice la forma di Maurer ⁴ -Cartan del gruppo G.

Proposizione I.4.6. La forma di Maurer-Cartan ω G ∈ Ω ¹ (G, g) di Lie G `e invariante a sinistra e soddisfa l’equazione di Maurer-Cartan

(1.4.4) dω _G + ¹ ₂ [ω G ∧ ω _G ] = 0 . Dimostrazione. Siano X, Y ∈ g. Allora :

dω _G (X ^∗ , Y ^∗ ) = X ^∗ ω _G (Y ^∗ ) − Y ^∗ ω _G (X ^∗ ) − ω _G ([X ^∗ , Y ^∗ ])

= −[ω G (X ^∗ ), ω G (Y ^∗ )] = − ¹ ₂ [ω G ∧ ω _G ] (X ^∗ , Y ^∗ ) .

Poich´e L(G) genera X(M) come C ^∞ (G)-modulo, otteniamo la tesi.  Lemma I.4.7. (1) La forma di Maurer-Cartan ω _G di G soddisfa:

(1.4.5) R ^∗ _a ω _G = Ad(a ⁻¹ ) ◦ ω G .

(2) Ogni forma di fferenziale η ∈ Ω ¹ (G, V), invariante a sinistra su G `e della forma η = T ◦ ω G , per un’applicazione linerare T : g → V.

4 Ludwig Maurer (1859-1927) matematico tedesco, professore all’Universit`a di T¨ubingen, ha

contribuito allo studio dei gruppi di matrici.

I.4. LA FORMA DI MAURER-CARTAN 19

Dimostrazione. Poich´e le traslazioni a destra e a sinistra commutano, il trasla- to a destra di un campo di vettori invariante a sinistra `e ancora invariante a sinistra.

Quindi, se X ∈ g ed a ∈ G, il campo R a∗ X ^∗ `e ancora invariante a sinistra. Esso

`e il campo Y ^∗ corrispondente ad L _a

_∗ R _a∗ X ^∗ = ad(a ⁻¹ ) _∗ (X ^∗ ) = [Ad(a ⁻¹ )(X)] ^∗ = Ad(a ⁻¹ ) (ω G (X ^∗ )). Questo dimostra la (1.4.5).

Se η ∈ Ω ¹ (G, V) `e invariante a sinistra, abbiamo η = T ◦ ω G con

T = η(e) : g = T e G → V. 

Esempio I.4.8. Consideriamo GL ⁿ (R) come un aperto dello spazio Euclideo R ^n×n delle matrici reali n × n, che possiamo ancora identificare con la sua alge- bra di Lie gl n (R). Utilizzando la (1.4.1), rappresentiamo il suo spazio tangente T GL _n (R) come il prodotto cartesiamo GL n (R) × gl n (R). In particolare, X(GL n (R)) si identifica allo spazio C ^∞ (GL n (R), gl n (R)). Poich´e la traslazione a sinistra R a `e la restrizione a GL n (R) della moltiplicazione a sinistra per la matrice a, che `e un’ap- plicazione lineare, il suo di fferenziale coincide in ogni punto con la moltiplicazione a sinistra per a. In particolare, i campi di vettori invarianti a sinistra corrispondono alle applicazioni

GL _n (R) 3 x −→ xA ∈ gl n (R)

al variare di A in gl n (R)). In questo sistema di coordinate, la forma di Maurer- Cartan di GL n (R) `e la

ω _GL

_(R) = x ⁻¹ dx.

In modo analogo, i campi di vettori invarianti a destra su GL n (R) si scrivono nella forma

GL _n (R) 3 x −→ Ax ∈ gl n (R) al variare di A in gl _n (R).

La forma che associa ad ogni vettore v tangente in x il valore A in e del campo di vettori invariante a destra ^∗ A con ^∗ A _x = v `e dato da

dx ◦ x ⁻¹ = ad(x) ◦ ω GL

(R) . La discussione nell’EsempioI.4.8 giustifica la

Notazione I.4.9. Se α ∈ C ^∞ (I, G) `e un arco differenziabile nel gruppo di Lie G, poniamo

α ⁻¹ (t) ˙ α (t) = ω G ( ˙ α (t)), α ˙ (t)α ⁻¹ (t) = ad(α(t))ω G ( ˙ α (t)).

Concludiamo questo paragrafo con una costruzione che generalizza l’esponen- ziale.

Proposizione I.4.10. Siano G un gruppo di Lie, con algebra di Lie g.

Sia I un connesso di R, t 0 ∈ I, x ₀ ∈ G ed X ∈ C ^k (I, g), con k ≥ 0. Allora sono univocamente determinati a , b ∈ C ^{k +1} (I, G) tali che



 



 



a(t 0 ) = x 0 ,

a ⁻¹ (t)˙a(t) = X(t) ∀t ∈ I,

(1.4.6)



 



 



b(t 0 ) = x 0 ,

˙b(t)b ⁻¹ (t) = X(t) ∀t ∈ I.

(1.4.7)

Dimostrazione. la soluzione delle (1.4.6), (1.4.7) sono rispettivamente α(t) = exp

Z t t

X(τ)dτ

!

x ₀ e β(t) = x 0 exp Z t

t

X(τ)dτ

! .

 I.5. Applicazioni a valori in un gruppo di Lie

Siano G un gruppo di Lie, con algebra di Lie g, ed M una variet`a di fferenziabile di classe C ^∞ , di dimensione m.

Definizione I.5.1. La derivata di Darboux di f ∈ C ^∞ (M, G) `e il pullback ω f = f ^∗ ω _G ∈ Ω ¹ (M, g) della forma di Maurer-Cartan di G.

La f si dice un integrale, o una primitiva di ω f , o mappa dei periodi associata ad ω f .

Proposizione I.5.2. Se f 1 , f 2 ∈ C ^∞ (M, G) ed ω f

= ω f

, allora esiste un elemento a ∈ G tale che f ₁ (p) = a f 2 (p) per ogni p ∈ M.

Dimostrazione. Consideriamo l’applicazione φ : M 3 p → f 1 (p)[ f 2 (p)] ⁻¹ ∈ G. Poich´e φ f 2 = f 1 , abbiamo

d φ = (d f 1 )[ f ₂ ] ⁻¹ − φ(d f ₂ )[ f ₂ ] ⁻¹ = (d f 1 )[ f ₂ ] ⁻¹ − f ₁ [ f ₂ ] ⁻¹ (d f ₂ )[ f ₂ ] ⁻¹ . Quindi

ω _φ = φ ⁻¹ d φ = f 2 [ f ₁ ] ⁻¹ (d f ₁ )[ f ₂ ] ⁻¹ − f ₁ [ f ₂ ] ⁻¹ (d f ₂ )[ f ₂ ] ⁻¹

= f 2 [ f 1 ] ⁻¹ d f ₁ − [ f 2 ] ⁻¹ d f ₂
[ f 2 ] ⁻¹ = ad( f 2 ) ω f

− ω _f

= 0.

Questa relazione implica che dφ = 0, e quindi f 1 [ f 2 ] ⁻¹ = costante = a ∈ G.  La derivata di Darboux ω = ω f di una f ∈ C ^∞ (M, G) soddisfa l’equazione di struttura

(1.5.1) dω + ¹ ₂ [ω ∧ ω] = 0.

Viceversa, abbiamo

Teorema I.5.3. Supponiamo che M sia connessa e semplicemente connessa.

Fissiamo un punto p ₀ ∈ M ed un elemento a ₀ di G. Se ω ∈ Ω ¹ (M, g) soddisfa (1.5.1), allora esiste una ed una sola f ∈ C ^∞ (M, G) tale che

(1.5.2) ω _f = ω ed f (p 0 ) = a 0 .

Dimostrazione. Consideriamo la variet`a prodotto M ×G. Siano π M : M ×G →

M π _G : M × G → G le proiezioni sui singoli fattori. Consideriamo su M × G la

forma α = π ^∗ _M ω − π ^∗ _G ω _G . Dico che ker α `e una distribuzione di rango m totalmente

integrabile. Infatti, se p ∈ M ed x ∈ G, l’applicazione che fa corrispondere a

v ∈ T p M il vettore (v, L x∗ ω (v)) ∈ T (p,x) (M × G) = T p M ⊕ T x G `e un’applicazione

I.6. OMOMORFISMI DI GRUPPI ED ALGEBRE DI LIE 21

lineare e bigettiva da T p M a ker α (p,x) . Se poi X, Y sono campi di vettori su M × G con coe fficienti in ker α, allora

α([X, Y]) = −dα(X, Y) = −d π ^∗ M ω − π ^∗ _G ω _G
(X, Y) = π ^∗ _G (dω G ) − π ^∗ _M (dω)(X, Y)

= [ω G (dπ _G (X)), ω _G (dπ _G (Y))] − [ω(dπ M (X)), ω(dπ M (Y))] = 0

perch´e ω G (dπ G (X)) = ω(dπ M (X)) ed ω G (dπ G (Y)) = ω(dπ M (Y)), in quanto X ed Y hanno valori in ker α.

Per il teorema di Frobenius vi `e una ed una sola variet`a integrale N di ker α che passa per il punto (p ₀ , a ₀ ). La restrizione ad N della π M `e un di ffeomorfismo locale.

Esso `e surgettivo per la ProposizioneI.4.10: infatti essa ci dice ogni cammino in M, di punto iniziale p <sub>0</sub> , si rialza ad un cammino in N di punto iniziale (p <sub>0</sub> , a <sub>0</sub> ). Poich´e abbiamo supposto che M fosse connessa, la N 3 (p, x) → p ∈ M `e surgettiva e quindi un rivestimento. Se M `e anche semplicemente connessa, il rivestimento

`e ad un solo foglio e quindi il grafico di un’applicazione f ∈ C ^∞ (M, G). Per

costruzione abbiamo allora ω f = ω. 

I.6. Omomorfismi di gruppi ed algebre di Lie Siano g 1 e g 2 due algebre di Lie sullo stesso campo k.

Definizione I.6.1. Un omomorfismo Φ : g 1 → g ₂ `e un’applicazione k-lineare tale che

Φ([X 1 , X ₂ ]) = [Φ(X 1 ), Φ(X 2 )], ∀X 1 , X ₂ ∈ g ₁ .

Siano G ₁ e G ₂ due gruppi di Lie, con algebre di Lie g ₁ e g ₂ , rispettivamente.

Definizione I.6.2. Un omomorfismo di gruppi di Lie φ : G 1 → G 2 `e un’appli- cazione di fferenziabile di classe C ^ω tale che

φ(x ⁻¹ ₁ x ₂ ) = [φ(x 1 )] ⁻¹ φ(x ₂ ), ∀x 1 , x ₂ ∈ G.

Proposizione I.6.3. (1) Se φ : G ₁ → G ₂ `e un omomorfismo di gruppi di Lie, allora Φ = dφ(e G

) : g 1 → g ₂ `e un omomorfismo di algebre di Lie reali.

(2) Se G 1 `e connesso, due omomorfismi di gruppi di Lie φ ₁ , φ ₂ : G 1 → G ₂ con dφ ₁ (e G

) = dφ 2 (e G

) sono uguali.

(3) Se G ₁ `e connesso e semplicemente connesso, ad ogni omomorfismo di algebre di Lie Φ : g 1 → g ₂ corrisponde uno ed un solo omomorfismo di gruppi di Lie φ : G ₁ → G ₂ con dφ(e _G

) = Φ.

Dimostrazione. (1). Per ogni X ∈ g 1 , i campi di vettori invarianti a sinistra X ^∗ su G ₁ e [ Φ(X)] ^∗ su G ₂ sono φ-correlati. Da questo segue che

[[Φ(X 1 )] ^∗ , [Φ(X 2 )] ^∗ ] = [Φ([X 1 , X ₂ ])] ^∗ , ∀X ₁ , X ₂ ∈ g ₁ ,

perch´e [[ Φ(X 1 )] ^∗ , [Φ(X 2 )] ^∗ ] e [ Φ([X 1 , X ₂ ])] ^∗ sono φ-correlati ad [X ₁ ^∗ , X ^∗ ₂ ] ed [X ₁ , X ₂ ] ^∗ , rispettivamente. Ne segue che Φ `e un omomorfismo di algebre di Lie.

(2). Per (1) `e φ ₁ (exp(X)) = exp(Φ(X)) = φ 2 (X) per ogni X ∈ g ₁ . In parti-

colare, φ 1 e φ 2 coincidono su un intorno aperto di e G

in G 1 . Quindi {x ∈ G 1 |

φ ₁ (x) = φ 2 (x)} `e un sottogruppo di G 1 che contiene un intorno aperto di e G

e quindi coincide con G ₁ , perch´e avevamo supposto che G ₁ fosse connesso.

(3). Consideriamo il gruppo di Lie prodotto diretto G = G 1 × G 2 , con algebra di Lie g = g 1 ⊕ g ₂ . Il sottospazio h = {(X, Φ(X)) | X ∈ g 1 } `e una sottoalgebra di Lie di g e quindi genera un sottogruppo di Lie analitico H di G. La restrizione ad H della proiezione canonica G → G <sub>1</sub> `e un omomorfismo di gruppi di Lie il cui nucleo ha algebra di Lie {0}. ` E quindi un rivestimento, e perci`o un diffeomorfismo, in quanto avevamo supposto che G ₁ fosse semplicemente connesso. 

I.7. Rappresentazioni lineari

Siano G un gruppo di Lie, e V uno spazio vettoriale sul campo k, con k uguale ad R o C.

Definizione I.7.1. Una rappresentazione lineare di G `e un omomorfismo di gruppi di Lie ρ : G → GL _k (V).

Una rappresentazione lineare (ρ, V) `e quindi un’applicazione ρ ∈ C ^∞ (G, GL _k (V)) tale che

ρ (x ⁻¹ ₁ x ₂ ) = [ρ(x 1 )] ⁻¹ ◦ ρ(x ₂ ), ∀x ₁ , x ₂ ∈ G.

Sia g un’algebra di Lie su k e V uno spazio vettoriale su k.

Definizione I.7.2. Una rappresentazione lineare di g su V `e un omomorfismo di algebre di Lie ρ ∗ : g → gl _k (V).

Ci`o significa che ρ ∗ `e k-lineare e che

ρ _∗ ([X, Y]) = [ρ ∗ (X), ρ ∗ (Y)] = ρ ∗ (X) ◦ ρ ∗ (Y) − ρ ∗ (Y) ◦ ρ ∗ (X), ∀X, Y ∈ g.

Dalla ProposizioneI.6.3 abbiamo:

Proposizione I.7.3. Se (ρ, V) `e una rappresentazione lineare di dimensione fi- nita di G, allora ρ ∗ = dρ(e G ) : g → gl <sub>k</sub> (V) `e una rappresentazione lineare di g.

I.8. Spazi omogenei

Se G `e un gruppo ed H un suo sottogruppo, indichiamo con GH l’insieme delle sue classi laterali sinistre, definito dalla relazione d’equivalenza

a ∼ b ⇐⇒ aH = bH ⇐⇒ a ⁻¹ b ∈ H.

Il gruppo G agisce su GH mediante le traslazioni a sinistra

` a : GH −→ GH, con ` a (π(b)) = π(ab), ∀a, b ∈ G.

Il nucleo d’infedelt`a dell’azione di G su G/H `e il pi`u grande sottogruppo normale di G contenuto in H, cio`e N = T a∈G aHa ⁻¹ . L’azione `e quindi fedele se H non con- tiene sottogruppi normali di G diversi da {e}. Osserviamo che il gruppo quoziente G/N agisce in modo fedele su G/H ' (G/N)/(H/N).

Supponiamo che G sia un gruppo topologico e consideriamo su GH la topo-

logia quoziente. Le traslazioni a sinstra definiscono allora omeomorfismi di GH

in s´e.

I.8. SPAZI OMOGENEI 23

Proposizione I.8.1. Sia H `e un sottogruppo di un gruppo topologico G. La proiezione nel quoziente π : G → GH `e un’applicazione aperta.

Dimostrazione. Infatti, se U `e un aperto di G, allora π ⁻¹ (π(U)) = [

g∈U gH = [

h∈H Uh

`e aperto perch´e unione di aperti. 

Teorema I.8.2. Sia G un gruppo topologico ed H un suo sottogruppo. Il quo- ziente G/H `e uno spazio regolare se, e soltanto se, H `e un sottogruppo chiuso di G.

In particolare, G `e uno spazio regolare se e soltanto se `e uno spazio ⁵ T ₁ e ci`o equivale al fatto che {e} sia un chiuso di G.

Dimostrazione. Se H `e un sottogruppo chiuso del gruppo topologico G, allora tutte le sue classi laterali sinistre sono chiusi di G e quindi G/H `e uno spazio topologico T ₁ . Viceversa, se G/H `e T <sub>1</sub> , allora H = π <sup>−1</sup> (π(e)) `e chiuso.

Supponiamo dunque che H sia chiuso. Siano F un chiuso di G/H ed x 0 un elemento di G con π(x ₀ ) < F. Poich´e G `e un gruppo topologico, l’applicazione

λ : G × G 3 (x, y)−→x ⁻¹ y ∈ G

`e continua. Il chiuso π <sup>−1</sup> (F) di G non contiene x <sub>0</sub> = λ(e, x 0 ). Possiamo perci`o trovare intorni aperti U e di e ed U 0 di x 0 in G tali che

x ⁻¹ ₁ x ₂ < π ⁻¹ (F) per ogni x ₁ ∈ U e , x ₂ ∈ U 0 . Consideriamo gli insiemi:

U ˜ ₀ = π ⁻¹ (π(U 0 )) = [

x∈H U ₀ x, e V ˜ = [

π(x)∈F U e x = [

x∈U

π ⁻¹ (xF).

Sia ˜ U che ˜ V sono aperti saturi. Il primo `e un intorno di x 0 , il secondo di π ⁻¹ (F).

Dimostriamo che ˜ U ₀ ∩ ˜ V = ∅. Se cos`ı non fosse, potremmo trovare x 1 ∈ U ₀ , x ₂ ∈ H, x ₃ ∈ U e , x ₄ ∈ π ⁻¹ (F) tali che x ₁ x ₂ = x 3 x ₄ . Da questa relazione troviamo x ⁻¹ ₃ x ₁ = x 4 x ⁻¹ ₂ ∈ π ⁻¹ (F), che contraddice la scelta di U e ed U 0 .

Ci`o dimostra che G/H soddisfa l’assioma T <sub>3</sub> e quindi `e regolare.  Consideriamo ora la situazione in cui G sia un gruppo di Lie.

Teorema I.8.3. Sia G un gruppo di Lie ed H un suo sottogruppo chiuso. Vi

`e allora sul quoziente M = G/H un’unica struttura di variet`a differenziabile per cui ξ = (G − − ^π → M), ove π `e la proiezione sul quoziente, sia un fibrato differen- ziabile localmente banale, con fibra tipica H. Inoltre, G opera su M mediante di ffeomorfismi.

5 Uno spazio topologico X soddisfa l’assioma di separazione T

se tutti i suoi sottoinsiemi finiti

sono chiusi; soddisfa l’assioma di separazione T

se dati un punto a di X ed un chiuso A di X che

non contenga a, esistono aperti disgiunti U e V con a ∈ U ed A ⊂ V; `e regolare se soddisfa entrambi

gli assiomi T

e T

.

Dimostrazione. Per il Teorema I.8.2, M `e uno spazio di Hausdorff e la proie- zione π : G → M aperta.

Per il Teorema I.3.2, H `e un sottogruppo di Lie di G. Siano g l’algebra di Lie di G ed h ⊂ g quella di H.

Scegliamo un complemento lineare m di h in g, di modo che g = h ⊕ m.

L’applicazione

f : m × H 3 (X, x) −→ exp(X) · x ∈ G

`e differenziabile di classe C <sup>ω</sup> . Lo spazio tangente di m × H in (0, e H ) `e m ⊕ h = g e d f (0, e _H ) `e l’identit`a su g.

Per il teorema delle funzioni implicite esistono allora intorni aperti N ₀ ⁰ di 0 in m , V ⁰ di e H in H, ed U ⁰ di e G in G tali che la restrizione di f ad N ₀ ⁰ × V ⁰ sia un diffeomorfismo su un intorno aperto U ⁰ di e G in G.

Poich´e H `e chiuso, possiamo scegliere gli intorni U ⁰ , V ⁰ , N ₀ ⁰ sufficientemente piccoli in modo che risulti

V ⁰ = U ⁰ ∩ H, exp(N ₀ ⁰ ) ∩ H = f (N ₀ ⁰ × {e H }) ∩ H = {e G }.

A questo punto scegliamo intorni N 0 ⊂ N ₀ ⁰ di 0 in m e e V ⊂ V ⁰ di e in H in modo che, con U = f (N 0 × V), sia U ² ∪ U ⁻² ⊂ U ⁰ e sia W = π(U) ⊂ M.

Dico che allora

f ₀ : N 0 × H 3 (X, x) −→ f (X, x) = exp(X)x ∈ π ⁻¹ (W) `e un diffeomorfismo.

Infatti, poich´e le traslazioni a destra mediante elementi di H sono di ffeomorfismi, e la f 0 commuta con le traslazioni a destra mediante elementi di H, essendo per costruzione un di ffeomorfismo locale su N 0 × V, lo `e anche in tutti i punti di N ₀ × H.

Basta quindi verificare che sia bigettiva. Poich´e π ⁻¹ (W) = S x∈H U x, la f `e sen- z’altro surgettiva. Mostriamo che `e anche iniettiva. Siano X ₁ , X ₂ ∈ N ₀ ed x ₁ , x ₂ ∈ H tali che exp(X ₁ )x 1 = exp(X 2 )x 2 . Abbiamo allora exp(−X 2 ) exp(X 1 ) = x 1 x ⁻¹ ₂ . Poich´e abbiamo supposto che U ² ∪U ⁻² ⊂ U ⁰ , abbiamo x 2 x ⁻¹ ₁ = exp(−X 2 ) exp(X 1 ) ∈ U ⁰ ∩ H = V ⁰ , perch´e exp(X 1 ), exp(X 2 ) ∈ U ed x 1 x ⁻¹ ₂ ∈ H. Quindi exp(X 1 ) = exp(X 2 )(x 2 x ⁻¹ ₁ ) con X 1 , X 2 ∈ N 0 , x 2 x ⁻¹ ₁ ∈ V ⁰ . Poich´e f : N ₀ ⁰ × V ⁰ → U ⁰ `e un di ffeomorfismo, ricaviamo che X 1 = X 2 ed x <sub>2</sub> x <sup>−1</sup> <sub>1</sub> = e H , cio`e x ₁ = x 2 .

Per ogni a ∈ G l’applicazione

γ a : N ₀ 3 X −→ π(a exp(X)) ∈ a(W) = W a

`e un omeomorfismo di N 0 su un aperto W a di M. Le ζ a = γ a ⁻¹ sono le carte locali di un atlante di clase C ^ω su M. Infatti

ζ a ◦ ζ _b ⁻¹ (X) = ζ a ◦ γ b (X) = pr m ◦ f ₀ ⁻¹ (a ⁻¹ b exp(X)),

∀X ∈ ζ a (W a ∩ W b ) = {X | a ⁻¹ b exp(X) ∈ U}.

Osserviamo infine che le

W a × H 3 (p, y) → a exp(ζ a (p))y ∈ π ⁻¹ (W a ), a ∈ G,

I.9. GRUPPI DI LIE DI TRASFORMAZIONI 25

definiscono un atlante di trivializzazioni locali per il fibrato differenziabile G − − → M. ^π

 Definizione I.8.4. Con la struttura differenziale descritta dal TeoremaI.8.3, chiamiamo G/H lo spazio omogeneo del gruppo di Lie G con stabilizzatore H.

I.9. Gruppi di Lie di trasformazioni

Per generalit`a sulle azioni di gruppo insiemistiche e topologiche rimandiamo al §XXIV.1. In questo paragrafo ci occuperemo soltanto di azioni di fferenziabili di gruppi di Lie.

Siano G un gruppo di Lie ed M una variet`a di fferenziabile.

Definizione I.9.1. Un’azione differenziabile a sinistra di G su M `e un’applica- zione differenziabile

(1.9.1) G × M 3 (x, p) −→ xp ∈ M tale che



 

 

 

 

 

 

e _G p = p,

x ₁ (x 2 p) = (x 1 x ₂ )p,

∀x ₁ , x ₂ ∈ G, ∀p ∈ M.

Gli elementi a di G definiscono diffeomorfismi di M in s´e

` a : M 3 p −→ ap ∈ M (traslazioni a sinistra).

Definizione I.9.2. L’azione (1.9.1) si dice

• e ffettiva se ` a = id M ⇐⇒ a = e G ;

• libera se le ` a con a , e G non hanno punti fissi;

• transitiva se per ogni coppia di punti p ₁ , p ₂ di M esiste un a ∈ G tale che ap ₁ = p 2 .

Definizione I.9.3. Sia p 0 ∈ M.

Il sottogruppo G p

= {x ∈ G | xp 0 = p 0 } si dice lo stabilizzatore di p ₀ in G.

Il sottoinsieme G(p 0 ) = {xp 0 | x ∈ G} si dice l’orbita di G in M per p ₀ . Lo stabilizzatore G p

`e un sottogruppo chiuso e quindi un sottogruppo di Lie di G. Indicheremo con g p

la sua algebra di Lie.

Ad ogni elemento X dell’algebra di Lie g di G associamo il gruppo a un parametro

R × M 3 (t, p) −→ exp(tX)p ∈ M

di di ffeomorfismi di M. Indichiamo con X ? il suo generatore infinitesimale. La curva γ(t) = exp(tX)p `e la soluzione del problema di Cauchy



 



 



˙γ(t) = X ?γ(t) , γ(0) = p.

Lemma I.9.4. ` E X _{∗ p} = 0 se e soltanto se X appartiene all’algebra di Lie g p

dello stabilizzatore G p di p in G.

Dimostrazione. Infatti X ? p = 0 se e soltanto se exp(tX) ∈ G p per ogni t ∈ R e l’a ffermazione `e quindi conseguenza della caratterizzazione dell’algebra di Lie di

un sottogruppo di Lie del TeoremaI.3.2. 

Proposizione I.9.5. I campi di vettori X ? formano una sottoalgebra di Lie di X(M). L’applicazione g 3 X → X _? ∈ X(M) `e un anti-omomorfismo di algebre di Lie. Abbiamo cio`e

[X, Y] ? = −[X ? , Y ? ], ∀X, Y ∈ g.

Per ogni p ₀ ∈ M, il differenziale nell’identit`a dell’applicazione λ _p

: G 3 x −→ xp 0 ∈ M

associa ad X ∈ g il valore in p ₀ del campo X _? . Il campo X _? `e λ p

-correlato al campo di vettori invariante a destra X _∗ associato all’elemento X di g.

L’algebra di Lie g p

di G p

`e il nucleo del di fferenziale dλ p

(e G ) : g → T p

M.

Dimostrazione. L’applicazione λ ^p

trasforma il semigruppo a un parametro R × G 3 (t, x) → exp(tX)x nel semigruppo a un parametro R × M 3 (t, p) → exp(tX)p e quindi il generatore infinitesimale X ∗ del primo, nel generatore infinite- simale X ? del secondo. In particolare, i campi di vettori X ∗ ed X ? sono λ p

correlati.

Da questa osservazione seguono tutte le affermazioni della proposizione.  Osservazione I.9.6. Se M = G ed (1.9.1) `e la moltiplicazione del gruppo, allora X <sub>?</sub> = X ∗ `e il campo di vettori invariante a destra associato ad X ∈ g.

Corollario I.9.7. Se (1.9.1) `e effettiva, allora l’applicazione g 3 X → X ? ∈ X(M)

`e iniettiva.

Se (1.9.1) `e libera, allora l’applicazione g 3 X → X <sub>? p</sub> ∈ T p M `e iniettiva per ogni p ∈ M.

Definizione I.9.8. I campi X ? si dicono trasformazioni G-infinitesime di M.

Teorema I.9.9. Sia (1.9.1) un’azione differenziabile a sinistra di G su M. Fis- siamo un punto p ₀ di M e siano G _p

lo stabilizzatore di p ₀ in G e G(p ₀ ) l’orbita di G per il punto p ₀ . Allora G(p 0 ) una sottovariet`a analitica di M, e l’applicazione

f , definita dal diagramma commutativo

G ^λ

^//

π 

G(p ₀ )

G/G p

f

n 66n n n n n n n n n n n n

un di ffeomorfismo G-equivariante (commuta cio`e con le traslazioni a sinistra per elementi di G) di classe C ^ω dello spazio omogeneo G/G _p

su G(p 0 ).

Dimostrazione. Dalla ProposizioneI.9.5 e dalla descrizione della struttura dif- ferenziale di G/G p

data dal TeoremaI.8.3, segue che il quoziente iniettivo di λ p

`e un’immersione di fferenziabile G-equivariante di classe C ^ω . Da questo fatto,

seguono le affermazioni del Teorema. 

Corollario I.9.10. Se l’azione (1.9.1) `e transitiva, M `e diffeomorfa, in modo

G-equivariante, a uno spazio omogeneo di G. 

I.9. GRUPPI DI LIE DI TRASFORMAZIONI 27

Esempio I.9.11. L’applicazione π : SO(n + 1) 3 a → ae 0 ∈ S ⁿ , ove e 0 `e un vettore di lunghezza unitaria in R ^{n +1} , definisce un di ffeomorfismo SO(n + 1)- equivariante tra la sfera S ⁿ e lo spazio omogeneo SO(n + 1)/SO(n).

Esempio I.9.12. Sia n un intero positivo. Il gruppo T ⁺ (n, R) delle matrici diagonali superiori con determinante diverso da zero `e un sottogruppo chiuso di GL <sub>n</sub> (R). Lo spazio omogeneo F = GL <sup>n</sup> (R)/T <sup>+</sup> (n, R) `e una variet`a differenziabi- le compatta di dimensione n(n−1)/2, che si dice variet`a bandiera reale completa e che `e di ffeomorfo al sottospazio di G n,1 (R) × · · · × G n,m (R) × · · · G n,n−1 (R) che consiste delle (n − 1)-uple (` 1 , . . . , ` m , . . . , ` _n−1 ) di sottospazi vettoriali di R ⁿ con {0} ( ` 1 ( · · · ( ` m ( · · · ( ` n−1 ( R ⁿ .

Osservazione I.9.13. In generale, se un gruppo di Lie G opera transitivamente su un insieme M, possiamo definire su M un’unica struttura di variet`a C ^ω per cui l’azione di G su M sia differenziabile.

Esempio I.9.14. Fissiamo una forma bilineare alternata non degenere ω su C ²ⁿ e sia M il sottoinsieme della Grassmanniana G 2n,n (C) formato dai sottospazi La- grangiani di C ²ⁿ , cio`e dai p ∈ G 2n,n (C) tali che ω(z, w) = 0 per ogni z, w ∈ p. Dico che p `e una variet`a connessa e compatta.

Identifichiamo C ²ⁿ con lo spazio H ⁿ delle n-uple di quaternioni, facendo cor- rispondere ad x

y

!

l’elemento x + jy. Ricordiamo che `e x + jy = ¯x − jy. Possiamo scegliere le coordinate in modo che il prodotto scalare standard su H ⁿ sia definito da

(q 1 |q ₂ ) _H = (x ^∗ ₂ − jy ^† ₂ )(x 1 + jy 1 ) = x ^∗ ₂ x ₁ + y ^∗ ₂ y ₁ + j(x ^† ₂ y ₁ − y ^† ₂ x ₁ )

= (q 1 |q 2 ) _C

+ jω(q 1 , q ₂ ), ove q 1 = x 1 + jy 1 , q ₂ = x 2 + iy 2 , x 1 , x ₂ , y ₁ , y ₂ ∈ C ⁿ .

Ragionando come nell’esempio precedente, possiamo identificare gli n-piani La- grangiani agli n-piani complessi generati da una base ortonormale di H ⁿ . Quindi il gruppo Sp(n) opera transitivamente su M. Lo stabilizzatore di p 0 = he 1 , . . . , e n i _C in Sp(n) `e il gruppo unitario U(n). Quindi M ' Sp(n)/U(n) `e una variet`a connessa e compatta di dimensione n(2n+1)−n <sup>2</sup> = n(n+1). Osserviamo che M ha dimensione pari ed in e ffetti `e una variet`a complessa compatta di dimensione n(n + 1)/2.

In modo del tutto analogo possiamo definire e discutere il concetto di azione di fferenziabile a destra. Siano P `e una variet`a differenziabile e G un gruppo di Lie.

Definizione I.9.15. Un’azione differenziabile a destra di G su P `e un’applica- zione differenziabile

(1.9.2) P × G 3 (σ, x) −→ σx ∈ P tale che



 

 

 

 

 

 

σe _G = σ,

(σx 1 )x 2 = σ(x 1 x ₂ ),

∀x ₁ , x ₂ ∈ G, ∀σ ∈ P.

Osservazione I.9.16. Se (1.9.1) `e un’azione differenziabile a sinistra, la M ×

G 3 (p, x) → x ⁻¹ p ∈ M `e un’azione differenziabile a destra su M e, viceversa,

se (1.9.2) `e un’azione differenziabile a destra, la G × P 3 (x, σ) → σx <sup>−1</sup> ∈ P `e un’azione di fferenziabile a sinistra su P.

Sar`a comunque conveniente nel seguito considerare i due tipi di azione in mo- do distinto. L’azione a sinistra sar`a spesso transitiva ed e ffettiva e coincider`a con le traslazioni a sinistra su uno spazio omogeneo. L’azione a destra sar`a di solito libera ed e ffettiva, ed agir`a tipicamente in modo transitivo sulle fibre di un fibrato diffe- renziabile. L’esempio tipico `e quello degli spazi omogenei M = G/H e dell’azione a sinistra di G come gruppo di traslazioni sulla base M del fibrato ξ = (π : G → M) e di H a destra su G, pensato come spazio totale di ξ.

Fissata un’azione a destra (1.9.2), ad ogni elemento X dell’algebra di Lie g di G associamo il generatore infinitesimale X ^? del gruppo a un parametro di trasformazioni

(1.9.3) P × R 3 (σ, t) −→ σ exp(tX) ∈ P.

La curva γ(t) = σ exp(tX) `e la soluzione del problema di Cauchy (1.9.4)



 



 



˙γ(t) = X ^? _γ(t) , t ∈ R, γ(0) = σ.

In particolare, X ^? si annulla in un punto σ ∈ P se e soltanto se X appartiene all’algebra di Lie dello stabilizzatore G σ di σ in G.

Osservazione I.9.17. Se P = G e (1.9.2) la moltiplicazione del gruppo, allora X ^? = X ^∗ `e il campo di vettori invariane a destra associato ad X ∈ g.

Fissata σ ∈ P, consideriamo l’applicazione differenziabile

(1.9.5) ` _σ : G 3 x −→ σx ∈ P.

Come nel caso delle azioni a sinistra, abbiamo

Proposizione I.9.18. Sia (1.9.2) un’azione differenziabile a destra. Allora (1) X _σ ^∗ = d` σ (e)(X), ∀σ ∈ P, ∀X ∈ g;

(2) ker d` <sub>σ</sub> (e) `e l’algebra di Lie dello stabilizzatore di σ in G.  Gli elementi a di G definiscono diffeomorfismi di M in s´e

r a : P 3 σ −→ σa ∈ P (traslazioni a destra).

Definizione I.9.19. L’azione (1.9.2) si dice

• effettiva se r a = id P ⇐⇒ a = e G ;

• libera se le r a con a , e G non hanno punti fissi;

• transitiva se per ogni coppia di punti σ ₁ , σ ₂ di P esiste un a ∈ G tale che σ 1 a = σ 2 .

Dalla ProposizioneI.9.18 otteniamo immediatamente

Corollario I.9.20. Se l’azione (1.9.2) `e libera, allora, per ogni σ ∈ P, l’ap-

plicazione g 3 X → X _σ ^? ∈ T σ P `e iniettiva. 

CAPITOLO II

Strutture di fferenziali su alcuni gruppi e spazi omogenei

II.1. I quaternioni e la struttura di fferenziale di SU(2), SO(3), SO(4) Indichiamo con H il corpo ¹ (non commutativo) dei quaternioni. Ricordiamo la rappresentazione matriciale

(2.1.1) H '

( α β

− ¯ β ¯α

!     

α, β ∈ C )

,

in cui la base canonica dei quaternioni puramente immaginarii `e data da i = i 0

0 −i

!

, j = 0 1

−1 0

!

, k = 0 i i 0

! , con le regole di prodotto

ij = −ji = k, jk = −kj = i, ki = −ik = j.

La matrice

1 1

1 = 1 0 0 1

!

`e l’identit`a in H. Gli elementi 111, i, j, k formano una base di H come spazio vettoriale reale. I numeri complessi si possono identificare al sottocorpo

C = {a + ib | a, b ∈ R}

di H, ed H `e uno spazio vettoriale complesso, per la moltiplicazione a sinistra per gli elementi di C, con base 111, j.

Utilizzando la (2.1.1), il piano complesso C corrisponde al sottoinsieme delle matrici diagonali

z 0 0 ¯z

!

, z ∈ C,

di H. In questo modo, l’isomorfismo di C ² su H fa corrispondere a (z 1 , z ₂ ) ∈ C ² il quaternione di matrice z ₁ z ₂

−¯z 2 ¯z 1

! .

Nella rappresentazione matriciale (2.1.1), il coniugato di un quaternione corri- sponde all’aggiunta (coniugata trasposta) della matrice associata.

1 I quaternioni si caratterizzano come l’unica algebra di divisione reale associativa e normata non commutativa.

29