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Le altezze H1 ed H2, dei due estremi rigidi del pannello possono essere determinate come quote parti della differenza fra l’altezza netta di interpiano H e l’altezza efficace Heff. Ipotizzando che la deformabilità nelle zone di nodo sia inversamente proporzionale all’altezza delle travi di collegamento, si possono dunque scrivere le seguenti relazioni:
dove hs,inf e hs,sup sono rispettivamente le altezze del solaio inferiore e superiore. Inoltre i parametri geometrici ai e aj sono definiti in funzione dell’altezza delle travi murarie dalle relazioni:
Si suppone che l’elemento maschio sia costituito da una parte deformabile con resistenza finita, e di due parti infinitamente rigide e resistenti all’estremità dell’elemento (Fig. 4.23). Il comportamento del maschio murario viene supposto elasto-plastico con limite di deformazione. Si suppone cioè che il maschio abbia comportamento lineare elastico finchè non viene verificato uno dei seguenti possibili meccanismi di rottura nel piano:
- rottura per pressoflessione o ribaltamento: avviene quando il momento flettente M, in una delle sezioni di estremità della parte deformabile, raggiunge il momento ultimo, corrispondente allo schiacciamento della zona compressa della sezione. La sezione viene considerata parzializzata con deformazione lineare (conservazione della sezione piana) e si assume, a rottura, un diagramma delle compressioni con distribuzione costante pari a 0,85fd (Fig.4.24). Ottenendo la dimensione della zona compressa x dalla condizione di equilibrio, imponendo che la risultante delle tensioni sia pari a P, e moltiplicando quest’ultima per l’eccentricità alla base del pannello, il momento ultimo può essere definito dalla seguente espressione:
Mu= l2t σn 2 (1− σn 0,85 fd )
CAPITOLO 4 – CASO STUDIO: L’OBITORIO
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- rottura per taglio: avviene quando il taglio V nel maschio raggiunge il valore
ultimo Vu. Il taglio ultimo, relativamente a edifici esistenti, è inteso come quel valore associato a rottura per fessurazione diagonale e stimabile attraverso la seguente relazione di Turnšek-Cacovic
dove l e t sono la larghezza e lo spessore del pannello, σ0 è la tensione normale media agente sul pannello, b è il coefficiente di forma relativo alla distribuzione delle tensioni tangenziali nella sezione trasversale del pannello, ftd è la resistenza a trazione per fessurazione diagonale di progetto e τ0d è la tensione tangenziale resistente a taglio di riferimento (ftd= 1,5τ0d). La Circolare1 suggerisce di utilizzare valori di b variabili in funzione della snellezza λ dei pannelli, secondo la formulazione proposta da Benedetti e Tomaževic, ovvero:
- b = 1 per λ = h/l ≤ 1; - b = λ per 1 <λ < 1,5; - b = 1,5 per 1,5 ≤ λ.
In presenza di crisi per pressoflessione la plasticizzazione del pannello è attesa in prossimità degli spigoli e, in riferimento a una modellazione a plasticità concentrata, può configurarsi come una cerniera plastica alla quale andrà attribuita una capacità di deformazione. Nel caso invece che si raggiunga la crisi per taglio, questa potrà essere simulata da una cerniera plastica nel centro del pannello alla quale andrà attribuita, rispetto alla pressoflessione, una capacità di deformazione molto minore.
1 § C.8.7.1.5 della Circolare applicativa n. 617 del D.M. 14/01/2008
Vt=l tftd b
√
1+ σ0 ftd =l t1,5 τ0d b√
1+ σ0 1,5 τ0dCAPITOLO 4 – CASO STUDIO: L’OBITORIO
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I limiti di deformazione plastica nella verifica allo SLV, qualora si esegua un’analisi non lineare, definiti dalla Circolareapplicativa n.617 del D.M. 14/01/2008con riferimento allo spostamento relativo tra la sezione di base e quella di testa, sono:
- crisi per pressoflessione: spostamento ultimo del pannello ≤ 0,6% H in riferimento a edifici esistenti;
- crisi per taglio: spostamento ultimo del pannello ≤ 0,4% H.
4.5.1.2. Elemento fascia muraria
L’elemento fascia è formulato in maniera analoga all’elemento maschio, ma con alcune differenze. Vengono mantenuti gli offset rigidi, individuando quindi una lunghezza efficace dell’elemento. Nel caso di aperture allineate verticalmente (Fig. 4.24a) le analisi comparative finora svolte indicano che si ottengono buoni risultati assegnando una lunghezza efficace pari alla luce libera delle aperture. In presenza di aperture non allineate verticalmente si può pensare di assumere una lunghezza efficace come indicato nella seguente figura, caso b.
(a) (b)
Fig. 4.24 – Definizione della lunghezza efficace delle fasce
L’elemento fascia si suppone posizionato, nel piano verticale, in prossimità dell’asse baricentrico nella direzione di maggiore sviluppo della trave muraria e collegato alle estremità degli elementi maschio mediante bracci verticali infinitamente rigidi a flessione e a taglio, di lunghezza pari a:
Hv=hs+ht 2
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essendo hs e ht rispettivamente, le altezze del solaio e della trave di collegamento in muratura (Fig. 4.25 a).
(a) (b)
Fig. 4.25 – Modellazione di travi in muratura
Spesso, negli edifici di nuova progettazione, gli spessori dei pannelli sopra e sottofinestra sono ridotti, al fine di garantire l’alloggiamento di avvolgibili e apparecchi di riscaldamento e/o condizionamento; in questi casi nello schema resistente le travi murarie non vengono incluse, e si considerano solo eventuali cordoli in cls armato (Fig. 4.26).
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Per quanto riguarda gli edifici esistenti, l’accoppiamento che può essere fornito dalle travi in muratura è funzione della compressione a cui esse sono soggette in direzione orizzontale. Solo questa compressione, infatti, fornisce la resistenza flessionale che impedisce l’attivazione del meccanismo di ribaltamento. È quindi molto importante la presenza di elementi resistenti a trazione, quali cordoli in cls armato e catene metalliche, che opponendosi a tale meccanismo, generano un incremento di compressione nelle fasce murarie; in questo modo aumenta, appunto, la resistenza a flessione delle stesse e si instaura un meccanismo a puntone inclinato che garantisce l’accoppiamento dei pannelli murari (Fig. 4.27).
Fig. 4.27 – Risposta delle fasce murarie ad azioni sismiche
In presenza di fasce murarie con capacità di accoppiamento, si distinguono due possibili meccanismi di rottura:
- rottura per pressoflessione: l’espressione del momento ultimo corrisponde a quella dei maschi, assumendo uno sforzo assiale pari ad Hp. Quest’ultimo viene assunto pari al minimo tra la resistenza a trazione dell’elemento teso, disposto orizzontalmente, e il valore 0,4fhdht.fhd indica il valore di calcolo della resistenza a
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compressione della muratura in direzione orizzontale. Il coefficiente 0,4 fornisce il valore dello sforzo assiale che massimizza il momento ultimo (più precisamente si dovrebbe assumere 0,85/2);
- rottura a taglio: la resistenza a taglio della fascia viene espressa con criteri simili a quelli utilizzati per l’elemento maschio, tenendo conto però della diversa giacitura dei letti di malta rispetto alla linea d’asse dell’elemento e considerando che la compressione normale ai letti di malta al di sotto delle aperture è praticamente nulla. La resistenza a taglio può essere valutata mediante l’espressione seguente:
Vt= h·t·c
in cui h e t sono rispettivamente l’altezza e lo spessore della fascia, c la coesione. La norma non definisce espressamente limiti di deformazione per le fasce di piano; quindi si ritiene che si possano cautelativamente assumere anche in questo caso valori adottati nei maschi. Inoltre, al fine di tener conto della possibilità di un comportamento maggiormente fragile delle fasce, si può assumere un limite di deformazione anelastica, associata alla rottura per taglio, minore rispetto a quello considerato per i maschi murari.
4.5.1.3. Elementi infinitamente rigidi
Per modellare la collaborazione in cui si scompone una sezione a T o a L, a livello del piano baricentrico del solaio soprastante, vengono utilizzati elementi infinitamente rigidi a taglio e a flessione (Fig. 4.28), così da garantire la compatibilità degli spostamenti verticali delle pareti all’incrocio.
Bracci infinitamente rigidi devono essere inseriti nel modello a telaio equivalente anche per modellare correttamente la connessione fra gli elementi di una struttura
in cui non si abbia allineamento verticale fra le aperture o, più in generale, in cui la struttura portante presenti configurazione differente tra piani successivi (Fig. 4.29).
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Fig. 4.28 – Modellazione delle intersezioni tra pannelli murari
Fig. 4.29 – Modellazione di una parete caratterizzata da irregolare distribuzione delle aperture
4.5.2. Modello del caso studio
L’edificio oggetto di studio, realizzato interamente in muratura, è stato dapprima modellato sul software Autocad tramite un telaio equivalente 3D, seguendo il metodo SAM appena illustrato. La definizione del telaio è scaturita dallo studio dei vari prospetti, interni ed esterni, prestando particolare attenzione alla morfologia e alla posizione delle aperture, in modo da individuare le porzioni soggette a danneggiamento e quelle identificabili come nodi rigidi. Nei casi in cui le aperture originarie (Fig. 4.30) siano state successivamente tamponate, si è ritenuto opportuno ritenerle a tutti gli effetti delle aperture, in quanto non è effettivamente attestata la presenza di ammorsature ai maschi murari che delimitano
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l’apertura. Tale condizione, anche se approssimata, risulta sicuramente più conservativa nell’indagine del comportamento della struttura e della ridistribuzione delle tensioni.
Fig. 4.30 – Pianta piano terra con indicazione delle aperture originarie
Successivamente, il modello è stato importato sul software di calcolo Midas/Gen, utilizzato per implementare l’analisi statica non lineare (Pushover).
Dai dati rilevati in pianta e in alzato, sono state definite, e assegnate, le varie sezioni rettangolari ai maschi e alle fasce di piano; mentre per gli elementi infinitamente rigidi si è definita una sezione fittizia di dimensioni 2x2cm.
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89 Sono stati definiti n. 6 tipi di materiale:
- 2 con parametri meccanici dipendenti dai due tipi di muratura considerati e riportati al § 4.3 della presente tesi;
- 2 con modulo elastico E pari all’acciaio e peso per unità di volume relativo alla tipologia di muratura;
- 1 con modulo elastico E pari all’acciaio e peso per unità di volume pari a 0 per evitare, nel caso delle zone nodali, di sovrastimarlo;
- 1 con modulo elastico E elevato in modo da ottenere una rigidezza infinita.
I moduli elastici sono stati ridotti del 50% per tenere in considerazione, durante l’analisi statica non lineare, la presenza di elementi fessurati.
L’edificio si presenta con impalcati a comportamento differente:
- comportamento rigido o poco deformabile per l’impalcato di sottotetto; - comportamento deformabile per l’impalcato d’interpiano.
Il comportamento rigido, all’interno del software di calcolo Midas/Gen, è stato schematizzato collegando, attraverso dei rigid link, un nodo (nodo master) a tutti i nodi (slaves) appartenenti al livello di piano interessato.
Fig. 4.32 – Schematizzazione dell’impalcato rigido di sottotetto
La struttura vera e propria della copertura non è stata modellata, ma è stato scelto di riprodurne l’effetto, in termini di carico totale, sommando tale contributo al peso proprio dell’ultimo impalcato.
Le fasce di piano, prive di cordoli, non hanno alcuna capacità di accoppiamento ma si riconosce ad esse una qualche capacità di collegamento di tipo pendolare.
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Per questo motivo, si è ritenuto opportuno assegnare dei releases nel piano, alle estremità delle fasce murarie; mentre per i maschi, le releases sono state assegnate fuori dal piano, annullando la loro rigidezza, in quanto altrimenti presenterebbero un comportamento indefinitamente elastico.
I vincoli a terra sono stati considerati come degli incastri(fig. 4.33).
Fig. 4.32 – Schematizzazione dell’impalcato rigido di sottotetto
4.6. Analisi statica non lineare
L’analisi statica non lineare (detta anche Pushover) consiste nell’applicare alla struttura i carichi gravitazionali e, per la direzione considerata dell’azione sismica, un sistema di forze orizzontali distribuite, ad ogni livello della costruzione, proporzionalmente alle forze d’inerzia e aventi risultante (taglio alla base) Fb.
Tali forze sono scalate in modo da far crescere monotonamente, sia in direzione positiva che negativa, e fino al raggiungimento delle condizioni di collasso locale o globale, lo spostamento orizzontale dc di un punto di controllo coincidente con il centro di massa dell’ultimo livello della costruzione (o comunque prossimo a quest’ultimo).Il diagramma
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Fig. 4.33– Schematizzazione Analisi Pushover
L’analisi Pushover viene utilizzata per i seguenti scopi: - valutare i rapporti di sovraresistenza αu/α1;
- verificare l’effettiva distribuzione della domanda inelastica negli edifici progettati con il fattore di riduzione q;
- come metodo di progetto per gli edifici di nuova costruzione sostitutivo dei metodi di analisi lineari;
- come metodo per la valutazione della capacità di edifici esistenti.
4.6.1. Distribuzione di forze di inerzia
Il D.M. 14/01/2008 prescrive di considerare almeno due distribuzioni di forze d’inerzia, ricadenti l’una nelle distribuzioni principali (Gruppo 1) e l’altra nelle distribuzioni secondarie (Gruppo 2).
Gruppo 1 - distribuzioni principali:
- distribuzione proporzionale alle forze statiche2, applicabile solo se il modo di vibrare fondamentale nella direzione considerata ha una partecipazione di massa non inferiore al 75% ed a condizione di utilizzare come seconda distribuzione la 2 a);
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- distribuzione corrispondente ad una distribuzione di accelerazioni proporzionale alla forma del modo di vibrare, applicabile solo se il modo di vibrare fondamentale nella direzione considerata ha una partecipazione di massa non inferiore al 75%; - distribuzione corrispondente alla distribuzione dei tagli di piano calcolati in
un’analisi dinamica lineare, applicabile solo se il periodo fondamentale della struttura è superiore a TC.
Gruppo 2 - distribuzioni secondarie:
a) distribuzione uniforme di forze, da intendersi come derivata da una distribuzione uniforme di accelerazioni lungo l’altezza della costruzione;
b) distribuzione adattiva, che cambia al crescere dello spostamento del punto di controllo in funzione della plasticizzazione della struttura.
In particolare, per le costruzioni esistenti, come precisato al § C8.7.1.4 della Circolare n. 617, l’analisi statica non lineare è applicabile per la risposta sismica globale della struttura, indipendentemente dalla percentuale di massa partecipante,
del primo modo di vibrare nella direzione considerata, purchè si adottino come
distribuzione principale e secondaria, rispettivamente la prima distribuzione del Gruppo 1 e la prima distribuzione del Gruppo 2.
Il numero di analisi da eseguire, oltre alle distribuzioni di forze orizzontali, viene determinato in funzione delle seguenti considerazioni:
- direzione della forzante: la forza sismica si deve considerare applicata secondo la direzione principale della struttura considerata e secondo la direzione ad essa ortogonale;
- verso della forzante: per ciascuna direzione di applicazione, la forza sismica si deve considerare agente con verso concorde e discorde rispetto a quello fissato come positivo.
4.6.2. Verifica di spostamento
La verifica delle strutture con l’analisi statica non lineare consiste nel confrontare la
capacità della struttura con la domanda, cioè con i livelli di deformazione o spostamento
CAPITOLO 4 – CASO STUDIO: L’OBITORIO
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comportamento globale del sistema MDOF, è possibile determinare lo spostamento ultimo della struttura, ovvero la capacità, per le diverse condizioni di carico.
La Circolare n. 617 al § C.7.3.4.1 definisce la capacità di spostamento allo stato limite ultimo come lo spostamento corrispondente a una riduzione del taglio max del 15% (20% per edifici in muratura). Per la determinazione della domanda di spostamento, l’analisi richiede che al sistema strutturale reale venga associato un sistema strutturale equivalente ad un grado di libertà (oscillatore semplice):
Fig. 4.34– Sistema e diagramma bilineare equivalente
La forza F* e lo spostamento d* del sistema equivalente sono legati alle corrispondenti grandezze Fb e dc del sistema reale dalle relazioni:
F* = Fb/Γ d* = dc/Γ
dove Γ è il fattore di partecipazione modale definito dalla relazione:
Il vettore τ è il vettore di trascinamento corrispondente alla direzione del sisma considerata; il vettore φ è il modo di vibrare fondamentale del sistema reale normalizzato ponendo dc
=1, mentre la matrice M è la matrice di massa del sistema reale.
Alla curva di capacità del sistema equivalente occorre ora sostituire una curva bilineare avente un primo tratto elastico ed un secondo tratto perfettamente plastico (Fig.4.34). Detta
Fbu la resistenza massima del sistema strutturale reale ed F*bu la resistenza massima del sistema equivalente, il tratto elastico si individua imponendone il passaggio per il punto 0,6F*bu della curva di capacità del sistema equivalente, la forza di plasticizzazione F*y si
Γ=φTM τ φT
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individua imponendo l’uguaglianza delle aree sottese dalla curva bilineare e dalla curva di capacità per lo spostamento massimo d*u corrispondente ad una riduzione di resistenza ≤
0,20F*bu (per edifici in muratura).
Il periodo elastico del sistema bilineare è dato dall’espressione:
Dove m* = φTMτ e k* è la rigidezza del tratto elastico della bilineare.
Per poter confrontare la capacità offerta dalla struttura con la domanda propria dell’evento sismico, è necessario trasformare lo spettro di risposta elastico dalla relazione accelerazione-periodo a quella accelerazione-spostamento (Fig. 4.35).
(a) (b)
Fig. 4.35 – Trasformazione dello spettro elastico in accelerazione-periodo (a) in spettro accelerazione-spostamento (b)
Anche la bilatera del sistema equivalente, ottenuta a partire dalla curva di capacità, deve essere riscritta secondo la relazione accelerazione-spostamento dividendo le ordinate per la massa partecipante.
La relazione che lega lo spettro elastico in accelerazione-periodo con quello in formato accelerazione-spostamento è la seguente:
dove Sae ed Sde sono, rispettivamente, il valore dell’accelerazione spettrale ed il valore dello spostamento spettrale, corrispondenti al periodo T.
T*=2 π
√
m * k* Sde= T2 4 π2SaeCAPITOLO 4 – CASO STUDIO: L’OBITORIO
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La curva di capacità attraverso la bilineare equivalente, in accelerazione-spostamento, e lo spettro di risposta, nel formato ADRS, vengono inseriti nello stesso grafico, al fine di determinare la domanda sismica del sistema equivalente SDOF (Fig.4.36 e 4.37).
Fig. 4.36 – rappresentazione del procedimento per il calcolo dello spostamento anelastico nel caso di strutture nel campo dei brevi periodi T*<TC.
Fig. 4.37 – rappresentazione del procedimento per il calcolo dello spostamento anelastico nel caso di strutture nel campo dei medi e lunghi periodi T*>TC.
Per la determinazione della domanda è necessario prolungare il tratto elastico della curva bilineare fino ad incrociare lo spettro di risposta in corrispondenza del periodo elastico T* proprio del sistema equivalente. Al punto di intersezione, così determinato, corrispondono lo spostamento massimo de,max, richiesto dal sisma di progetto, e l’accelerazione Sae, che sarebbe richiesta al sistema se questo avesse un comportamento indefinitamente elastico. Nel caso in cui il periodo elastico della costruzione T* risulti ≥ TC la domanda in
spostamento per il sistema anelastico è assunta uguale a quella di un sistema elastico di pari periodo:
CAPITOLO 4 – CASO STUDIO: L’OBITORIO
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Nel caso in cui, invece, T*< TC la domanda in spostamento per il sistema anelastico è
maggiore di quella di un sistema elastico di pari periodo e si ottiene da quest’ultima mediante l’espressione:
dove q*= Se(T)m*/F*y rappresenta il rapporto tra la forza di risposta elastica e la forza di
snervamento del sistema equivalente. Se risulta q*≤1 allora si ha d*max = d*e,max.
Una volta trovata la domanda in spostamento d*max del sistema SDOF per lo stato limite in esame, occorre ricavare la domanda massima del sistema reale mediante la formula inversa:
dc,max = Γ.d*c,max
In conclusione, qualora la capacità di spostamento della struttura du risulti ≥ della domanda di spostamento dc,max la verifica globale potrà ritenersi soddisfatta.
4.6.3. Impostazione dell’analisi statica non lineare per il caso studio
L’analisi pushover per il caso studio è stata implementata sul software di calcolo Midas/Gen 2013.
Per la corretta impostazione dell’analisi PO, il software richiede di passare attraverso l’impostazione di 4 punti fondamentali:
1) Pushover Global Control
- Initial load: si definisce il caso di carico iniziale cioè quello relativo allo stato di fatto, con i relativi fattori di scala ψ2j;
- Substeps: n. di sottostep che il programma può utilizzare per cercare la soluzione all’interno di ogni singolo step (tra 10-30);
- Maximum Iteration: le iterazioni sono i tentativi che l’algoritmo compie per arrivare a convergenza, nello specifico hanno lo scopo di ricercare le condizioni di equilibrio della struttura per il singolo step;
d*max=de ,max * q* [1+(q *−1)]TC T*⩾de ,max *
CAPITOLO 4 – CASO STUDIO: L’OBITORIO
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- Converge Criteria: per strutture rigide dove la forza è dominante rispetto allo spostamento si utilizza il criterio di convergenza Force Norm.
2) Pushover load cases
Questo punto consiste nell’impostazione dei parametri relativi al sistema di forze prese in considerazione per l’analisi. In particolare, si possono impostare:
- General control:
N° step: numero di parti in cui si divide il carico di spinta da 30-200, dipende dalla complessità del modello;
Use initial load: tenere conto del caso di carico di partenza, ovvero quello relativo allo stato di fatto.
- Control option: permette di impostare se il programma debba scegliere da solo il punto di controllo, cercando quello di massimo spostamento, Global – Max
Traslation Displacement, oppure che il nodo di controllo sia scelto dall’utente, Master Node;
- Load pattern: impostazione del tipo di forze spingenti.
3) Define pushover hinge properties
Per ogni materiale in gioco deve essere definito il legame costitutivo che interessa la parte dell’elemento che subisce deformazioni oltre il limite elastico.
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In figura 4.38 è riportata la cerniera FEMA utilizzata nel caso studio per descrivere il comportamento del materiale; AB è il tratto elastico del fenomeno, B è il punto di snervamento, BC è il fenomeno di plasticità, C individua lo sviluppo della plasticità della muratura (per edifici esistenti, 0,4% nel caso di rottura a taglio e 0,6% nel