FIRE Ignition Module

La modellazione dello spray si basa su una catena sequenziale di processi che portano il combustibile liquido, accelerato e pressurizzato, prima ad una fase di atomizzazione poi di miscelazione con il gas presente nell’ambiente dove il combustibile viene iniettato. Il getto in uscita dall’ugello si apre a forma di cono e viene polverizzato in gocce piccolissime di diametro estremamente variabile. Il processo di atomizzazione è molto complesso ed è regolato dall’interazione spray- gas e principalmente dall’azione combinata fra le forze aerodinamiche che sorgono nel moto relativo getto-gas e gocce-gas e le forze di tensione superficiale. La teoria più convincente suppone che l’atomizzazione sia legata all’insorgere di oscillazioni sulla superficie del getto uscente dall’ugello che vengono amplificate dall’azione

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delle forze aerodinamiche. Quando l’ampiezza delle oscillazioni supera un certo valore critico, dal getto si separano legamenti liquidi e gocce (atomizzazione primaria o “breakup” primario). Le gocce formatesi dopo la disintegrazione del nucleo liquido (parent drop) sono sottoposte all’azione combinata di forze di diversa natura, che provocano una distribuzione di pressione non uniforme sulla loro superficie. Questo porta alla deformazione della goccia e alla separazione di gocce più piccole (child drop), detta breakup secondario. I fenomeni dominanti nel processo fisico appena descritto sono l’inerzia, la forza aerodinamica, la viscosità e la tensione superficiale. [22]

Lagrangian Multiphase (spray) Module

Le simulazioni spray coinvolgono fenomeni relativi ad un flusso multi-fase e per essi richiedono la soluzione numerica delle equazioni di conservazione per le fase gas e liquido contemporaneamente. Riguardo la fase liquida, la maggior parte delle analisi di spray per scopi ingegneristici sono basate su un metodo statistico definito Discrete Droplet Method (DDM), il quale opera risolvendo equazioni differenziali ordinarie per la traiettoria, quantità di moto e trasferimento di massa e calore delle singole gocce, ciascuna di esse facente parte di un gruppo di gocce identiche e non interagenti fra di loro definito “parcel” o “blob”, Figura 9.6.

Figura 9.6 - “Parcel” o “blob” di gocce di comustibile.

Ogni parcel di gocce, in uscita dall’ugello, viene introdotto nel dominio di calcolo con determinate condizioni iniziali: posizione, dimensione, velocità, temperatura e numero di gocce per parcel. Il processo di atomizzazione dello spray è diverso a seconda del sottomodello selezionato all’interno di FIRE, pertanto è possibile

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modellare, per differenti regimi di flusso, dispersione turbolenta, evaporazione delle gocce, break-up secondario, collisione delle gocce e interazione con le pareti, Figura 9.7.

Figura 9.7 - Spray di combustibile e impingment sulle pareti.

9.5.3.1 Equazioni di dinamica della goccia in ambiente gassoso

Il bilancio di forze che descrive la dinamica di una goccia in ambiente gassoso è possibile esprimerlo attraverso la seguente equazione:

𝑚

𝑑𝑢

𝑑𝑡

= 𝐹

+ 𝐹

+ 𝐹

+ 𝐹

Dove 𝑚_𝑑 è la massa della goccia e uid la sua velocità. In questa equazione di bilancio compaiono a secondo membro quattro forze espresse nella seguente maniera:

𝐹_𝑖𝑑𝑟: forza aerodinamica

𝐹

= 𝐷

∙ 𝑢

Dove uirel rappresenta la velocità relativa del flusso rispetto alla goccia mentre 𝐷𝑝una funzione espressa come:

149 9–Programmi di calcolo utilizzati

𝐷

=1

2𝜌

𝐴

𝐶

|𝑢

|

Dove 𝜌𝑔 è la densità del gas che circonda la goccia, 𝐶𝑑è il coefficiente di resistenza

aerodinamica, funzione del numero di Reynolds della goccia 𝑅𝑒𝑑, e 𝐴𝑑 l’area

trasversale della goccia.

Tra le varie formulazione del 𝐶_𝑑 presenti in letteratura, FIRE utilizza quella formalizzata da Schiller e Naumann:

Fig: forza comprendente gli effetti della gravità e del gallegiamento

𝐹

= 𝑉

∙ (𝜌

𝜌

)𝑔

Con 𝑉𝑝 il volume della goccia, 𝜌𝑝e 𝜌𝑔 le densità rispettivamente della goccia e del

gas circostante e 𝑔𝑖 il vettore di accelerazione gravitazionale.

𝐹_𝑖𝑝: forza di pressione

𝐹

= 𝑉

∙ ∇𝑝

Con ∇p gradiente di pressione.

𝐹_𝑖𝑏: forza comprendente tutte le altre forze esterne.

Inserendo nell’equazione di bilancio iniziale le formule delle forze, e dividendo tutto per la massa della goccia, si perviene all’equazione dell’accelerazione:

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9.5.3.2 Sottomodelli spray Evaporation Model – Dukowicz

FIRE dispone di diversi modelli per il riscaldamento e l’evaporazione delle gocce, e per ognuno di essi sono disponibili due parametri (𝐸₁ e 𝐸₂) per meglio accordarli con i risultati sperimentali. Selezionando il modello di evaporazione idoneo alla simulazione che si vuole eseguire sarà possbile intervenire con ulteriori coefficienti correttivi che tengono conto del riscaldamento non uniforme, la deformazione e la circolazione interna della goccia.

I processi di trasferimento di massa e calore sono descritti da un modello derivato dagli studi di Dukowicz. Esso si basa essenzialmente sulle seguenti assunzioni:

 Simmetria sferica;

 Gas-film quasi-stazionario attorno alla goccia;

 Temperatura uniforme lungo il diametro della goccia;  Proprietà fisiche uniformi del fluido circostante;

 Equilibrio termico liquido-vapore sulla superficie della goccia.

Con l’assunzione di temperatura uniforme lungo il diametro della goccia, il tasso di variazione della temperatura globale della goccia da un’iterazione all’altra, è determinato dall’equazione di bilancio dell’energia, la quale stabilisce che l’energia condotta alla goccia la riscalda o le fornisce calore per la vaporizzazione:

cpd rappresenta il calore specifico della goccia, Td la sua temperatura, L il calore latente di evaporazione e 𝑄̇ il flusso di calore convettivo fornito dal gas alla goccia ed espresso come:

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Dove α è il coefficiente di scambio termico convettivo attraverso il film che circonda la goccia, 𝑇_𝑠 la temperatura sulla superficie della goccia, 𝑇_∞ la temperatura dell’ambiente lontano dalla goccia e 𝐴_𝑠 la superficie della goccia. Il modello di evaporazione di Dukowicz si basa sul concetto che la goccia evapora in un gas non condensabile. Introducendo i termini di flusso di calore superficiale locale (𝑞_𝑠̇ ) e flusso di massa di vapore (𝑓_𝑣𝑠̇ ) con l’assunzione di uniformità delle condizioni nella superficie della goccia, l’equazione che governa il flusso di massa è la seguente:

E quindi l’equazione di energia della goccia diventa:

Turbolent dispersion model

Le particelle che passano attraverso il flusso presente in camera interagiscono con i vortici turbolenti che incontrano nel loro cammino, vedi Figura 9.8. Questa interazione fa sì che la particella venga allontanata dalla sua posizione di una quantità che varia in base alla sua stessa inerzia e alla velocità istantanea del vortice turbolento. Questi effetti turbolenti sulle gocce dello spray possono essere risolti solo con un modello di dispersione turbolenta.

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Figura 9.8 - Immagine rappresentativa della cella per l’influenza dei vortici sulla posizione della goccia.

La velocità istantanea del gas dentro un vortice turbolento si ottiene dalla velocità media del fluido nel dominio 𝑢𝑖𝑔 e dalla energia cinetica turbolenta k. Il tempo di

interazione di una particella con i vortici viene calcolato in base a due criteri:  Eddy life time: l’interazione dura per tutto l’arco di esistenza del vortice;  Droplet dispersion time: l’interazione dura giusto il tempo affinché una

particella attraversi il vortice.

FIRE dispone di due modelli di dispersione interni, Enable e O’Rourke, con la possibilità di importare un modello dall’esterno tramite il comando User. Il modello O’Rourke si utilizza quando all’interno di un singolo time step la particella attraversa più vortici, in caso contrario si può utilizzare il più semplice modello Enable.

Il modello Enable, sviluppato da Gosman e Ionnadis, descrive gli effetti della turbolenza sulle particelle dello spray attraverso un metodo di dispersione stocastica. La velocità della particella che fluttua attraverso i vortici, definita 𝑢_𝑖′ , è determinata casualmente da una distribuzione Gaussiana con deviazione standard  = √2𝑘 3⁄ , dove k è l’energia cinetica turbolenta del gas nella zona della particella.

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Con 𝑅_𝑛𝑖 numero random nell’intervallo [0 < 𝑅𝑛_𝑖 < 1] e 𝑒𝑟𝑓 −1 _{l’inverso della}

funzione di Gauss. La velocità di fluttuazione 𝑢𝑖′ è scelta come funzione del tempo

continua a tratti e viene aggiornata una volta passato il tempo di correlazione 𝑡_turb. Questo parametro 𝑡turb, definito come il tempo dell’interazione fra particella e vortice, è il valore

minimo tra i due criteri visti in precedenza, ovvero:

Dove 𝐶𝜏 = 0.01 e 𝐶𝑙 = 0.16432 sono le costanti del modello.

Se durante la simulazione il time step supera il valore calcolato di 𝑡_turb, FIRE setterà il successivo valore di time step pari a 𝑡_turb.

Break-up model

Il getto di combustibile liquido in uscita dall’ugello è soggetto ad oscillazioni amplificate dall’azione delle forze aerodinamiche. Quando l’ampiezza delle oscillazioni supera un certo valore critico dal getto si separano legamenti liquidi e gocce. Queste gocce diventano instabili sotto l’azione di forze indotte dal moto relativo e si scindono in gocce più piccole. Il numero di Weber della goccia, definito come:

𝑊𝑒_𝑑 = 𝜌𝑔𝑢

2_𝐷

𝜎

dove 𝜌_𝑔e σ sono rispettivamente la densità e la tensione superficiale della goccia, u è la velocità relativa e D il diametro della goccia, misura l’importanza relativa delle forze esterne (forze aerodinamiche destabilizzanti) rispetto a quelle interne (tensione superficiale). Una goccia che si muove all’interno di un gas a velocità crescente subisce una deformazione superficiale significativa per 𝑊𝑒𝑑 più alto

dell’unità, e che oltre un certo valore critico (pari a 12 per i combustibili liquidi) questa deformazione porta alla frantumazione. Si veda Tabella 9.2 e Figura 9.9.

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Tabella 9.2 - Meccanismi e tempi di break-up.

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KH-RT Model

In questo modello le onde superficiali di Kelvin-Helmholtz (KH) e le perturbazioni di Rayleigh- Taylor (RT) sono in continua competizione per il break-up delle gocce. Il meccanismo KH è favorito dalle alte velocità relative ed elevata densità dell’ambiente che circonda la goccia. Il meccanismo RT è guidato dalla rapida decelerazione che le gocce subiscono poco dopo l’immissione in camera. Questo causa lo sviluppo di onde sulla superficie delle gocce al punto di stagnazione (punto in un campo di flusso dove la velocità locale del fluido è nulla). Il break-up KH è simulato attraverso le equazioni del modello WAVE. Questo modello si basa sul concetto che la crescita di un iniziale perturbazione sulla superficie di un liquido è legata alla sua lunghezza d’onda e ad altri parametri fisici e dinamici del combustibile iniettato e del dominio del fluido. Il modello WAVE sfrutta due tipologie di break-up, uno per le alte velocità ed uno per le basse velocità definito “Rayleigh type break-up”. Per il primo caso la dimensione delle gocce prodotte è posta uguale alla lunghezza d’onda dell’onda superficiale che cresce più velocemente o più probabilmente instabile.

Il Rayleigh type break-up produce gocce più grandi delle originali gocce parent. Questo regime non è importante per i sistemi di iniezione ad alta pressione.

Nel modello WAVE la riduzione del raggio delle gocce parent viene calcolato secondo l’equazione:

Dove τa è il tempo del break-up, calcolabile come:

La costante 𝐶2 è un fattore correttivo e dipende dal tipo di iniettore utilizzato.

𝑟_stable è il raggio della goccia prodotta dal break-up, ed è proporzionale alla

lunghezza d’onda Λ dell’onda che cresce più velocemente sulla superficie del liquido:

156 Il valore di 𝐶₁ venne stimato da Reitz pari a 0.61. La lunghezza d’onda Λ e la sua frequenza di crescita Ω dipendono dalle propretà locali del flusso.

Dove σ è la tensione superficiale, We il numero di Weber, Oh il numero di Ohnesorge e T calcolabile come T = Oh 𝑊𝑒0.5.

Le costanti 𝐶₁ e 𝐶₂, secondo gli studi di Wakisaka, sono funzioni lineari della pressione del gas:

La pressione del gas per questa formulazione è in MPa. I valori delle costanti 𝐶₇ e 𝐶8 utilizzate da Wakisaka sono 0.29 e 16. Le costanti di Wakisaka possono variare

all’interno dei seguenti range:

Per quanto riguarda il break-up RT, le perturbazioni sono descritte attraverso la frequenza di crescita Ω e il corrispondente numero d’onda K:

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Dove g è la decelerazione della goccia lungo la direzione del moto. Si definisce lunghezza di break- up L:

Le gocce che rientrano all’interno di tale parametro sono soggette solamente a break-up KH.

Tutte le costanti C presenti nelle equazioni sono settabili all’interno del software. Esiste infine un ulteriore costante 𝐶₆ che determina la frazione di volume del parcel che si stacca a formare child parcel, ovvero determina il numero di eventi di break-up lungo l’asse dello spray.