Fisica dei Solidi

1) Un esperimento di scattering di luce visibile e’ eseguito su un campione di KBr che cristallizza con un reticolo cubico con due atomi per cella unitaria. Inviando radiazione di frequenza ν0=15798 cm^-1 nella direzione (100), si rileva ad una data temperatura T radiazione diffusa nella direzione (110) il cui spettro, oltre alla riga elastica, consta di tre righe alle frequenze ν =15445; 15797; e 15799 cm^-1.

c) Descrivere quantitativamente lo spettro osservato e determinare la velocita’ del suono del KBr se l’indice di rifrazione n=1.53.

d) Se il rapporto di intensita’ tra la riga a 15797 cm^-1 e quella a 15799 cm^-1 vale e, ricordando che l’intensita’ delle righe diffuse e’ proporzionale alla popolazione fononica (n_phon

(T ) = 1

e^ωphonβ

−1

), determinare la temperatura T.

2) Un gas di n elettroni di massa m* e tempo di scattering τ viene sottoposto ad un campo elettrico oscillante

E (t) = r r E

₀

e

^iωt.

Determinare il valore della conducibilita’ in continua e alla frequenza di 10000 cm^-1 e discutere l’origine fisica delle eventuali differenze.

n=5x10²³ elettroni/cm³; τ = 10^-14 s; m*=me.

Soluzione

In presenza di un campo oscillante la conducibilita’ in funzione della frequenza puo’ essere calcolata con la stessa procedura di quella in continua.

Si trova che in unita’ pratiche (Ω^-1cm^-1):

σ ⁽ ω ⁾ = σ

₀

1 + ( ωτ )

^{2 .Allora a}

ω

=0

σ

₀

=σ

(0)=

ω

_p²/60

Γ

dove

Γ

=1/

τ

e

ω

_p²=ne²/m*, con

Γ

espresso in cm^-1.

Si puo’ calcolare facilmente la conducibilita’ a qualsiasi frequenza. La conducibilita’ in alternata e’

minore di quella in continua poiche’ il sistema di elettroni ha un tempo caratteristico di risposta dato da τ. Infatti per ω<<1/t=ωt (frequenza di taglio), la conducibilita’ in alternata e’ circa identica a quella in continua, per frequenze maggiori (cioe’ periodi minori del tempo di scattering), gli urti non sono sufficientemente frequenti (rispetto alla variazioni del campo elettrico), affinche’ l’equilibrio termodinamico si stabilisca.Quindi le variazioni del campo elettrico vengono mediate a zero e anche in presenza di un campo elettrico la corrente elettrica a tali frequenze e’ zero.

3) La conducibilità di un cristallo di InSb intrinseco a T=400K è

σ

0=2 10^-4 (

Ω

cm). Da misure ottiche è noto che la posizione della banda di conduzione è 0.16 eV sopra la banda di valenza. La massa efficace degli elettroni in banda di conduzione e quella delle lacune in banda di valenza valgono rispettivamente: m*_e=0.015 m, m*_h=0.17 m, dove m è la massa elettronica.

a)Stimare la conducibilità

σ

0 a T=650 K.

b) Dire quale è la maggiore approssimazione fatta in questa stima.

Soluzione

L’ energia di 0.16 eV tra la banda di conduzione e quella di valenza costituisce la gap energetica per il semiconduttore. Poiche’ la conducibilita’ di un semiconduttore e’ determinata dalla somma di quella elettronica e di quella delle lacune e il numero di lacune e’ uguale a quello degli elettroni (semiconduttore intrinseco), si ha con ovvio significato dei simboli:

σ=ne(µ_e+µ_h).

Il numero di portatori alla temperatura T si scrive come:

n

= 2(

K_BT

2 π _h

²

⁾

3/ 2

(m

_em_h

)

^{3/ 4}

exp( −Eg / 2K

_BT )

Assumendo che l’energia di gap Eg sia indipendente dalla temperatura (che e’ l’assunzione piu’ forte, dipendendo Eg in modo esponenziale da T e decrescendo al crescere di T), e che anche le mobilita’

siano indipendenti da T (la loro dipendenza da T e’ secondo una legge a potenza, cioe’ meno forte della dipendenza da T della gap), si puo’ calcolare la conducibilita’ a T=650 K.

La prima assunzione e’ quella che da la maggiore approssimazione nella stima.

4) Il fluoruro di litio (Li⁵F¹⁹) ha una struttura cubica con due atomi per cella unitaria e il suo spettro infrarosso presenta un singolo assorbimento fononico a 295 cm^-1.

a) Stimare la temperatura di Einstein

Θ

E del LiF

b) Dire quale è il valore di saturazione del calore specifico C_v per temperature molto maggiori di

Θ

E. c) Se l’isotopo Li⁵ viene sostituito interamente con Li⁹, calcolare la variazione della frequenza fononica e giustificare il risultato.

(m_Li⁵=5 u.m.a.; m _Li⁹=9 u.m.a.; m_Fl=19 u.m.a.)

Soluzione

a)La frequenza di Einstein di un solido viene generalmente intesa come una misura media delle frequenze dei fononi ottici del solido stesso. Una sua possibile stima allora proviene da una misura dell’assorbimento fononico nell’ IR. Nella fattispecie ΘE≈ 295 cm^-1.

b)Poiche’ il LiF ha due atomi per cella unitaria e cioe’ 6 gradi di liberta’ che corrispondono a tre modi acustici e tre modi ottici (per definizione di piu’ alta frequenza) a temperature molto maggiori di quella di Einstein il valore di saturazione del calore specifico e’ 6R.

Se si cambia un isotopo del litio con un altro non cambia il potenziale di interazione tra gki atomi.

Cambia invece le frequenze di vibrazione perche’ cambia la massa ridotta del sistema. Allora se ν(Li³) e’ la frequenza di vibrazione iniziale quella dopo la completa sostituzione vale:

υ (Li

⁹

) = υ (Li

³

) µ

_Li³

µ

_Li⁹

5) Drogando il silicio con impurezze di fosforo (ND=10¹⁵ impurezze/cm³), i livelli energetici degli atomi donori si trovano al di sotto dell’energia corrispondente al minimo della banda di conduzione del

silicio. Questi livelli idrogenoidi sono descrivibili secondo la teoria di Bohr e uno spettro nell’IR dello stesso campione di silicio a T=0 K, mostra alcune transizioni nello spettro di assorbimento

:

Sapendo che la differenza di energia tra la due prime righe visibili nella figura ∆E₂₁=5meV e che la mobilita’

degli elettroni µe=1600 cm²/Vs, determinare la conducibilita’ estrinseca a T=50K. Si ricorda che il numero di portatori ionizzati alla temperatura T vale:

α

₁ 2

∆E₂₁

n

_ext

(T) = 2.5N

_D

* (T / 300)

^{3/ 2}

*10

¹⁹

2



  

 

1/ 2

e

^{−βEi/ 2}

Soluzione

Lo spettro mostrato in figura corrisponde alle transizioni tra lo stato fondamentale del livello d’impurezza (che a bassa temperatura si puo’ ritenere l’unico popolato) e i livelli superiori in approssimazione di dipolo elettrico. Quindi se il livello fondamentale e’ l’1s, le transizioni possibili sono verso i livelli 2p, 3p, 4p….

Quindi la prima transizione osservabile in approssimazione di dipolo e’ la 1sÆ2p, mentre la seconda e’

la 1sÆ3p. In approssimazione idrogenoide la differenza di energia tra queste due transizioni vale:

∆E₂₁= (E1s-E3p)-(E1s-E2p)=(E2p-E3p)=Ei(1/4 – 1/9)=(5/36)Ei, da cui e’ possibile ricavare Ei.

Poiche’ la conducibilita’ si scrive come:

σ = µ n

_ext

e

, dal valore n_ext alla temperatura di 50 K, si puo determinare σ.

6)La cella elementare di un cristallo di NaCl e’ cubica a facce centrate con il sodio nella posizione (0 0 0) e il cloro in quella (1/2 1/2 1/2). Inviando radiazione em nella direzione cristallografica [100], si osserva lo spettro di assorbimento mostrato in figura, con ν0= 512 cm^-1.

a)Calcolare la costante di forza fra piani primi vicini diversi, perpendicolari alla direzione [100].

b)(Facoltativa), dire in che direzione oscillano i piani di atomi in presenza del fonone a ν₀ α

ν₀ ν (cm^-1)

Soluzione

a)La direzione 110 e’ ortogonale ai piani contenenti gli atomi di sodio e a quelli contenenti gli atomi di cloro. L’assorbimento visibile in figura corrisponde allora al modo ottico di vibrazione relativo alla oscillazione in controfase dei piani contenenti atomi Na e Cl.

Poiche’ la frequenza di oscillazione e’

ν

_ott

^(cm

⁻¹

⁾ = 1 2 π ^c

k

m

, dove m e’ la massa ridotta, si puo’

ricavare la costante k.

b) Dalla regola di selezione di dipolo e’ noto che la probabilita di transizione e quindi il coefficiente di assorbimento sono proporzionali al modulo quadro dell’elemento di matrice del prodotto scalare d x ε.

Dove d e’ il dipolo e ε. la polarizzazione della luce incidente. Poiche’ la polarizzazione della luce e’trasversa i piani cristallini possono oscillare solo ortogonalmente alla direzione di propagazione della luce.

7) Le bande di conduzione e di valenza di un semiconduttore intrinseco sono rappresentate dalle espressioni:

a)le masse efficaci degli elettroni al fondo della banda di conduzione e delle lacune sulla cima della banda di valenza.

b)La conducibilita’ a 300 K sapendo che a questa temperatura µ_e= 2500 cm² V^-1 s^-1 e µ_h= 1800 cm² V^-1 s^-1.

c) Nell’ ideale condizione di assenza di ogni scattering, quale e’ la velocita’ massima che puo’

raggiungere un elettrone in banda di valenza. Specificare brevemente perche’, anche in presenza di un campo elettrico esterno, gli elettroni non possono raggiungere velocita’ superiori.

Soluzione

Dalle espressioni date delle curve di dipersione energia-impulso per la banda di conduzione e di valenza e’ evidente che entrambe presentano un massimo (valenza) e un minimo (conduzione) per k=0.

La differenza di energia tra il massimo e il minimo e’ per definizione la gap proibita E_G.

a)Per calcolare le masse efficaci si pone come al solito

m

espressioni superiori per le dispersioni si trova la massa della buca in banda di valenza e quella elettronica in banda di conduzione.

b)La conducibilita’ (intrinseca) si calcola dall’espressione: , dove n= numero di portatori intrinseci (

n=n

σ = σ

_h

+ σ

_e

= ne( µ

_h

+ µ

_e

)

h

=n

_e) si determina dall’espressione standard:

n = 2( k

_B

T 2 π _h

²

⁾

3/ 2

(m

_e

m

_h

)

^{3/ 4}

exp(−E

_G

/ 2k

_B

T)

c) In assenza di processi di scattering in principio un elettrone sul fondo della banda di conduzione puo’ essere accelerato fino al limite di banda, cioe’ puo’ passare da k=0 a k=

π

/a. Poiche’ k >

π

/a

sono equivalenti a valori nella prima zona di Brillouin (traslati di -

π

/a), e’ come se l’elettrone dopo aver raggiunto il limite di banda ricominciasse il suo moto da k=-

π

/a fino di nuovo a raggiungere

π

/a. Quindi in definitiva il moto sarebbe periodico (nello spazio k). La velocita’ massima che esso puo’ raggiungere nella banda di valenza si calcola a partire della dispersione e vale

v

_V

(k) = aB

h sin(ka)

, ed e’ massima a bordo zona

π

/a.

8)Un solido biatomico di parametro reticolare a=4Å cristallizza con struttura cubica semplice. Le branche fononiche sono ben descritte dalle relazioni:

hω = Asinka

2 per T bassa e hω₀ = B per T alta. I valori di Cv in unità 3NkB sono i seguenti:

Nel documento mentre la frequenza misurata sperimentalmente (cioe in presenza di penetrazione delle orbite) vale (pagine 32-38)