Il formalismo della Funzione di Memoria [12] [13] del secondo ordine permette l’estensione dell’idrodinamica semplice alla regione di piccole lunghezze d’onda e grandi frequenze; può essere derivato dall’equazione di Langevin generalizzata.
Lo stato di un sistema meccanico a N gradi di libertà è descritto dal vettore
Γ(r, p), che evolve nel tempo secondo le equazioni canoniche del moto:
dΓ
dt = iLΓ (A.1)
dove L = iH, è l’operatore di Liouville, che presenta numerose analogie con l’operatore Hamiloniano quantistico.
iL= N X j=1 " ∂ H ∂ pj ! · ∂ ∂ rj ! − ∂ H ∂ rj ! · ∂ ∂ pj !#
Risolvendo l’equazione si ottiene:
Γt= eiLtΓ (A.2)
dove eiLt è il propogatore.
Sia A(Γ, t) una variabile dinamica [16], dipendente dalla posizione e dall’impulso delle particelle del sistema; essa soddisfa l’equazione di Langevin generalizzata:
dA(Γ, t)
dt = iLA(Γ, t) =⇒ A(Γ, t) = e
iLtA(Γ, 0) (A.3)
La funzione di correlazione temporale di A(t) può quindi essere espressa come: C(t) =Z dΓρo(Γ)A∗(Γ)eiLtA(Γ, 0) (A.4)
dove ρo(Γ) è la distribuzione di probabilità nell’ensamble del sistema e l’integrale è
sull’intero spazio delle fasi. L’equazione A.4 può quindi essere scritta come: C(t) =
Z
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dove ψA(Γ) = ρ01/2A; supponendo ora, senza perdita di generalità, che il valor
medio di A sull’ensamble sia finito, si ha che ψA(Γ) è quadrato-integrabile. Per tale
ragione, ψA(Γ) può essere trattata in modo simile alla funzione d’onda in meccanica
quantistica. Grazie all’analogia tra il formalismo della funzione di correlazione e del prodotto scalare quantistico, è possibile applicare delle tecniche matematiche di meccanica quantistica allo studio delle funzioni di correlazione temporale classiche (Mori,1964).
Si definisca l’operatore di proiezione P:
PB(t) = < A, B(t) >
< A, A > A (A.6)
La funzione di autocorrelazione della variabile A può quindi essere espressa come la proiezione di A(t) su A:
PA(t) = CAA(t)/CAA(0) (A.7)
La funzione A evolve nel tempo secondo l’equazione A.3; pertanto avremo: dA(t)
dt = e
iLtiLA(0) (A.8)
E’ possibile sfruttare una proprietà del propagatore, il quale soddisfa la seguente identità, valida per due qualunque operatori O1 e O2 tali che O1+ O2 = 1 :
eiLt= eiO1Lt+
Z t
0
dτ eiL(t−τ )iO2LeiO1Lt (A.9)
Dalla definizione dell’operatore di proiezione deriva che: eiLtP iLA= eiLt< iLA, A
∗>
< AA∗> A= iΩA(t) (A.10)
avendo definito Ω = <LA,A∗>
<AA∗> . Dall’equazione A.3 e dal fatto che
dA(t)
dt = eiLt(P +
Q)iLA segue che: dA(t)
dt = iΩA(t) + e
iQLtiQLA+Z t
0
dτ eiL(t−τ )iP LeiQLtQiLA (A.11) Assumendo che G = QiLA, possiamo definire la forza random, che risulta essere un vettore ortogonale ad A:
F(τ) = eiQLτG= QF (τ) (A.12)
La funzione di autocorrelazione della forza random definisce la funzione memoria M(t):
M(t) = < F(τ)F
∗(0) >
< AA∗ > (A.13)
La funzione integranda dell’equazione A.11 dipende dal termine iP LF (τ), che sfruttando l’hermitianità degli operatori Q e L, può essere espressa come:
iP LF(τ) = iP LQF (τ) = < iLQF(τ), A ∗ > < AA∗> A= − < F(τ), F∗(0) > < AA∗ > A= −M(τ)A (A.14)
I risultati appena illustrati conducono quindi all’equazione di Langevin generalizzata: ˙ A(t) − iΩA(t) + Z t 0 M(t − τ)A(τ) dτ + F (t) = 0 (A.15) Tale equazione può essere scritta in termini della funzione di autocorrelazione Y(t), facendo il prodotto scalare con A∗ dell’equazione precedente e sfruttando il fatto
che F (t) appartiene allo spazio ortogonale ad A: ˙Y (t) − iΩY (t) +Z t
0
M(t − τ)Y (τ) dτ = 0 (A.16) Dal momento che l’obiettivo della trattazione è descrivere i risultati di un esperimento di scattering anelastico e che il fattore di struttura dinamico è la quantità accessibile sperimentalmente, sia F(Q,t) la funzione di autocorrelazione della densità nel dominio del tempo eFe(Q, z) la sua trasformata di Laplace. Avremo allora che:
˙F(Q, t) − iΩF(Q, t) +Z t
0
M(1)(Q, t − s)F (Q, s) ds = 0 (A.17) Una alternativa alla risoluzione dell’equazione, che implicherebbe la derivazione di una espressione analitica della funzione di memoria, è osservare che M(1)(Q, t) è
essa stessa una funzione di autocorrelazione, a cui è possibile applicare il formalismo appena mostrato ricorrendo a una funzione di memoria del secondo ordine. Questo procedimento può essere iterato n volte, ottenendo una serie di equazioni concatenate tutte della medesima forma:
˙
M(i−1)(Q, t) − iΩ(i−1)M(i−1)(Q, t) +
Z t
0
M(i)(Q, t − s)M(i−1)(Q, s) ds = 0 (A.18) con
iΩ(i−1) = ˙M(i−1)(0)/M(i)(0)
Nel nostro caso è sufficiente considerare fino al secondo ordine: ˙
M(1)(Q, t) − iΩM(1)(Q, t) +
Z t
0
M(2)(Q, t − s)M(1)(Q, s) ds = 0 (A.19) Faceondo riferimento alle equazioni A.17 e A.19, si ottiene una singola equazione integro-differenziale del secondo ordine:
¨
F(Q, t) + ωo2(Q) F (Q, t) +
Z t
0
M(2)(Q, t − s) ˙F (Q, s) ds = 0 (A.20) in cui la quantità Ω è stata posta uguale a zero per le proprietà fisiche delle funzioni di correlazione temporale e ωo2(Q) = M(2)(Q, 0).
Passando in trasformata di Laplace entrambe le equazioni A.17 e A.19 si ottiene:
e F(z) = F(Q, 0) z+ Me(1)(Q,0) z+Me(2)(Q,z) = S(Q) z+ ω20 z+Me(2)(Q,z) (A.21) Dal momento che il formalismo della funzione di memoria è stato introdotto per generalizzare l’idrodinamica semplice ad alti Q, si può ottenere una espressione
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analitica di M(2)(Q, t) confrontando le equazioni 2.29 e A.21; in questo modo si
identifica la funzione di memoria del secondo ordine con
f M(2)(Q, z) = νQ2+C 2 S(γ − 1) γ Q2 z+ DTQ2 (A.22) M(2)(Q, t) = 2νQ2δ(t) + C 2 SQ2 γ (γ − 1)e −γDTQ2t (A.23)
L’espressione trovata è valida nel limite di piccoli Q ed evidenzia i due processi che sono alla base del decadimento della funzione di autocorrelazione della densità. Il primo termine è riconducibile al rilassamento viscoso e agisce su scale molto piccole, contrariamente al secondo addendo che ha un tempo caratteristico dell’ordine di τ = γD1
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