Si applica per determinare l'area di un poligono (per cui anche di un triangolo e di un quadrilatero), del quale sono noti tutti i lati meno uno e tutti gli angoli meno i due adiacenti al lato incognito D d E c e C F b B A a
Applichiamo la regola al poligono della figura nel quale abbiamo supposto di conoscere i lati a, b, c, d, e e gli angoli , , ,
S = ½a b sin + b c sin + c d sin + d e sin- a c sin(+) - b d sin(+) – c e sin(+) + a d sin(++) + b e sin(++) – a e sin(+++).
La formula sopra scritta si legge nel seguente modo:
la superficie è uguale ad un mezzo della somma dei prodotti dei lati consecutivi (presi a due a due) per il seno dell'angolo fra essi compreso, diminuita dalla somma dei prodotti fra i lati alterni (presi a due a due) per il seno della somma degli angoli fra essi compresi, aumentata dalla somma dei prodotti fra i lati bi-alterni (presi a due a due) per il seno della somma degli angoli fra essi compresi, diminuita dalla somma dei prodotti fra i lati tri-alterni (presi a due a due) per il seno della somma degli angoli fra essi compresi, e così via.
Ogni tornata inizia da uno dei lati adiacenti a quello incognito e finisce quando si arriva all'altro lato adiacente al lato incognito.
La formula si blocca quando si moltiplicano insieme i due lati adiacenti al lato incognito.
Il segno davanti ad ogni termine dipende dal numero di angoli che sono all'argomento del seno ed è + se tale numero è dispari, - in caso contrario.
Dimostrazione della formula di camminamento
Per la dimostrazione utilizziamo il quadrilatero in figura C D b d B F E A a
nel quale supponiamo noti i lati a, b, d e gli angoli , e dopo averlo diviso in due triangoli rettangoli e in un trapezio rettangolo tramite i segmenti DE ed CF.
S = SBCF + SCDEF + SAED
S = ½ BF CF + ½ (CF + DE) FE + ½ AE DE (20)
utilizzando i teoremi sui triangoli rettangoli ricaviamo le quantità che compaiono nella (20):
BF = b cos; CF = b sin; DE = d sin; EA = d cos; FE = a – BF – EA = a - b cos- d cos;
sostituendo nella (20) e raccogliendo otteniamo:
quindi:
S = ½ b2 sin cos + a b sin- b2 sin cos- b d sin cos + a d sin- b d sin cos + - d2 sin cos + d2 sin cos
semplificando:
S = ½a b sin- b d sin cos + a d sin- b d sin cos raccogliendo:
S = ½a d sin + a b sin- b d (sin cos + sin cos) (21) ricordando che per la formula di addizione del seno (vedi goniometria di Matematica):
sin( +) = sin cos + sin cos la (21) diventa:
S = ½ a d sin + a b sin - b d sin( + )
che è ciò che si otterrebbe applicando la formula di camminamento, e quindi la formula stessa è dimostrata.
Esercizi
1) Rappresentare in scala opportuna la spezzata (poligonale aperta) della quale sono noti i seguenti elementi:
AB = 26,28m; BC = 29,44m; CD = 25,12m; DE = 16,95m; EF = 23,12m; ABC = = 130°; DCB = = 100°; CDE = = 130°; FED = = 150°.
2) Trasformare, con e senza calcolatrice scientifica, in sessadecimale i seguenti angoli: = 13°15’52” = 172°09’33”; = 93°59’01”
(R. = 13°,2644; = 172°,1592; = 93°,9836) 3) Trasformare, con e senza calcolatrice scientifica, da sessadecimale a sessagesimale i seguenti angoli:
= 29°,5234; = 115°,2619.
(R. = 29°31’24”; = 115°15’43”) 4) Trasformare, con e senza l’uso della calcolatrice scientifica, da sessagesimale a centesimale i seguenti angoli:
= 9°13’22”; = 115°55’32”; = 79°42’38”.
(R. = 10g,2475; = 128g,8062; = 88g,5673) 5) Trasformare, con e senza l’uso della calcolatrice scientifica, da sessagesimale a centesimale i seguenti angoli:
= 112°56’41”; = 32°11’09”; = 14°55’51”.
(R. = 125g,4941; = 35g,7620; = 16g,5898) 6) Trasformare, con e senza l’uso della calcolatrice scientifica, da centesimale a sessagesimale i seguenti angoli:
= 22,5681gon; = 34,2290gon; = 43,6331gon.
(R. = 20°18’41”; = 30°48’22”; = 39°16’11”) 7) Dati: = 32°,5451; = 29,2298gon; = 43°53’31”; = 0,1264rad. Effettuare, con e senza l’uso della calcolatrice scientifica, le seguenti operazioni e dare il risultato in sessagesimali:
; 2 . (R. = 44°37’28”; = 55°53’19”) 8) Calcolare graficamente, in base alle definizioni, e con l’uso della calcolatrice scientifica il seno, il coseno, la tangente e la cotangente del seguenti angoli: = 40°; = 140°; = 250°.
Raccogliere i risultati in una tabella scrivendoli con 2 decimali per la risoluzione grafica e con 5 per la risoluzione con calcolatrice scientifica.
9) Sapendo che: sin = 1/3, senza utilizzare la calcolatrice scientifica, determinare cos, e tg, cotg. (R. ;cotg 2 2 4 2 tg ; 3 2 2 cos )
10) Sapendo che: cotg = ½ e che al terzo quadrante, senza utilizzare la calcolatrice scientifica, determinare sin, cos, e tg.
(R. ;tg 2 5 5 cos ; 5 5 2 sin ) 11) Sapendo che: sin tg = 3 e che al primo quadrante, determinare sin, cos, tg e cotg.
(R. sin = 0,95307; cos = 0,30278; tg = 3,14773 e cotg = 0,31769) 12) Calcolare l’arcoseno, l’arcocoseno e l’arcotangente dei seguenti numeri: 0,44499; 0,58832; 1,87940.
13) Del triangolo ABC retto in A sono noti i seguenti elementi: b = 37,35m; CBA = = 42,845gon. Risolvere il triangolo.
(R. = 57g,155; c = 46,85m; a = 59,92m; S = 874,92m2) 14) Del triangolo ABC retto in A sono noti i seguenti elementi: c = 25,61m; b = 37,88m. Risolvere il triangolo.
(R. a = 45,72m; = 34°03’43”; = 55°56’17”; S = 485,05m2) 15) Del triangolo ABC retto in A sono noti i seguenti elementi:
a = 118,22m; CBA = = 32,5143gon. Risolvere il triangolo.
(R. b = 57,79m; c = 103,13m; = 67,4857gon; S = 2979,94m2) 16) Del triangolo ABC retto in A sono noti i seguenti elementi:
ABC = = 65,2018gon, S = 564,58m2. Risolvere il triangolo.
(R. a = 50,43m; b = 43,08m; c = 26,21m; = 34,7982gon;) 17) Del triangolo ABC retto in A sono noti i seguenti elementi:
BC = a = 58,35m, S = 515,00 m2. Risolvere il triangolo.
(R. b = 55,30m; c = 18,63m; = 79,3156gon; = 20,6844gon;) 18) Del triangolo ABC retto in A sono noti i seguenti elementi: S = 5482,39m2; = 57°32’41”. Risolvere il triangolo.
(R. a = 155,61m; b = 83,51m; c = 131,30m; = 32°27’19”) 19) Del triangolo ABC retto in A sono noti i seguenti elementi: AD = altezza relativa all’ipotenusa = 84,63 m; S = 7645,56 m2. Risolvere il triangolo.
(R. a = 180,68m; b = 148,44m; c = 103,02m; = 55°14’21”; = 34°45’39”) 20) Del triangolo ABC sono noti i seguenti elementi:
a = 38,23 m; = 63,1205gon; = 71,1666gon. Risolvere il triangolo.
(R. = 65,7129gon; b = 41,08m; c = 39,22m S = 674,08m2) 21) Del triangolo ABC sono noti: = 69,43gon; = 52,58gon ed il raggio del cerchio ad esso circoscritto R = 43,14m. Risolvere il triangolo.
22) Del triangolo ABC sono noti i seguenti elementi:
b = 383,82m; = 55°37’24”; = 63°19’42”. Risolvere il triangolo.
(R. = 61°02’54”; a = 362,03m; c = 391,96m; S = 62084,35m2) 23) Del triangolo ABC sono noti il il raggio del cerchio circoscritto R = 201,24m e gli angoli = 65,0500gon; = 56,8889gon. Risolvere il triangolo.
(R. = 78,0611gon; a = 343,34m; b = 378,82m; c = 313,67m; S = 50681,94m2) 24) Risolvere il triangolo ABC del quale sono noti i seguenti elementi:
b = 79,22m; c = 108,84 m; = 84,6855gon.
(R. a = 95,86m; = 65,3332gon; = 49,9813gon; S = 3687,68m2) 25) Del triangolo ABC sono noti: = 42° 13’ 18”; a = 40,16 m; b = 45,12 m. Risolvere il triangolo.
(R. 1 =49°01’30”; 1 = 88°45’12”; c1 =59,75m; S1 = 905,80m2; 2 = 130°58’30”; 2 = 6°48’12”; c2 = 7,08m; S2 = 107,33m2) 26) Risolvere il triangolo ABC del quale sono noti i seguenti elementi:
a = 30,12 m; b = 50,31 m; = 73°53’.
(R. Il problema non è risolvibile.) 27) Risolvere il triangolo ABC del quale sono noti i seguenti elementi:
AB = c = 55,45 m; BC = a = 39,65 m; CA = b = 63,43 m .
(R. = 42,4748gon; = 90,9431gon; = 66,5821gon; S = 1088,19m2) 28) Risolvere il triangolo ABC del quale sono noti i seguenti elementi:
BC = a = 28,15m; CA = b = 42,82m; ACB = = 44,7705gon.
(R. c = 28,06m = 44,9587gon; = 110,2708gon; S = 389,76m2) 29) Risolvere il triangolo ABC del quale sono noti i seguenti elementi:
CBA = = 60°,128; ACB = = 88°,031; S = 108,83m2.
(R. = 31°,841; a = 11,51m; b = 18,92m; c = 21,82m) 30) Risolvere il triangolo ABC che ha l’angolo BAC = ottuso e del quale sono noti i seguenti elementi: AB = c = 86,55m; CA = b = 62,40m; S = 1815,00m²
(R. a = 139,22m; = 137°46’05”; = 17°32’01”; = 24°41’54”) 31) Del triangolo ABC sono noti: AB = c = 65,45 m; BC = a = 49,65 m; CA = b = 55,43 m . Risolvere il triangolo, fare la figura in scala 1:800, quindi trovare i raggi dei cerchi inscritto ed ex- inscritti e rappresentare tali cerchi in figura.
(R. = 52,9071gon; = 61,7242gon; = 85,3687gon; S = 1339,87m2; r = 15,71m; Ra = 37,62m; Rb = 44,91m; Rc = 67,62m) 32) Del triangolo ABC sono noti: a = 123,12m; b = 109,45m; = 57°13’52”. Risolvere il triangolo. Quindi tracciati gli ex-incentri relativi ad ogni lato collegarli tra loro e risolvere il triangolo che ne viene fuori.
(R. c = 112,03m; = 67°32’00”; = 55°14’08”; S = 5665,50m2; OaOb = 233,92m; OaOc = 181,95m; ObOc = 221,52m; A = 56°14’00”; = 62°22’56”; = 61°23’04”; S = 17690,96m2)
33) Dal vertice A del triangolo ABC si sono collimati i vertici B e C, utilizzando un distanziometro elettronico e si sono ottenuti i seguenti elementi:
punto di
stazione collimatipunti letture al cerchioorizzontale topografichedistanze
B 23°14’21” 439,88m
A C 320°21’11” 1829,59m
risolvere il triangolo.
(R. BC = 741,00m; S = 162408,10m2; = 62°53’10”; = 85°13’01”; = 31°53’49”) 34) Dal punto S di stazione si sono collimati i vertici A, B e C di un triangolo, utilizzando un distanziometro elettronico e si sono ottenuti i seguenti elementi:
punto di
stazione punticollimati letture ai lerchioorizzontale distanzetopografiche
A 23,6214gon 2991,15m B 170,1648gon 3014,77m S C 295,4965gon 4399,13m risolvere il triangolo. (R. a = 6222,48m; b = 6288,98m; c = 5484,32m; = 70,4210gon; = 71,8087gon; = 57,7703gon; S = 15417193,29m2) 35) Del quadrilatero ABCD sono noti: AB = 76,45m; BC = 93,28m; = 123,12gon; = 113,76gon; = 72,28gon. Risolvere il quadrilatero.
(R.: AD = 98,86mm; CD = 123,80m; = 90,84gon; S = 15595,06m2) 36) Del quadrilatero ABCD sono noti: AB = 82,365m; CD = 160,449m; = 112,35gon; = 129,66gon; = 98,44gon. Risolvere il quadrilatero.
(R.: BC = 78,815m; AD = 141,615m; = 59,55gon; S = 12043,37m2) 37) Del quadrilatero ABCD sono noti: AB = 165,82m; AD = 202,44m; CD = 112,45m; = 91,556gon; = 135,658gon. Risolvere il quadrilatero.
(R.: BC = 152,47m; = 86,269gon; = 86,517gon; S = 23658,17m2) 38) Del quadrilatero ABCD sono noti: BC = 56,15m; AD = 50,34m; CD = 49,05m; = 57°,315; = 74°,919. Risolvere il quadrilatero.
(R.: AB = 89,39m; = 91°,104; = 136°,662; S = 3270,49m2) 39) Del quadrilatero ABCD sono noti: AB = 79,44m; BC = 107,67m; AD = 66,90m; CD = 34,02m; BD = 110,81m. Risolvere il quadrilatero.
(R.: = 98°...; = 54°...; = 86°...; = 121°...; S = ...m2) 40) Del quadrilatero ABCD sono noti: AB = 42,16m; BC = 39,76m; CD = 53,28m; = 127°42’13”; = 84°35’22”. Risolvere il quadrilatero.
(R.: AD = 55,96m; = 71°29’23”; = 76°13’02”; S = ...m2) 41) Del quadrilatero ABCD sono noti: AB = 102,32m; BC = 124,44m; CD = 53,23m; = 133,2734gon; = 107,4321gon. Calcolare la lunghezza del lato AD e la distanza fra il vertice A e il punto E ottenuto dall’intersezione delle due diagonali.
42) Del poligono ABCDE si sono misurati i seguenti elementi: AB = 39,82m; BC = 42,16m; CD = 33,33m; = 123°45’; 117°34’; = 93°12’; = 95°44’. Risolvere il poligono.
(R.: DE = ...m; AE = ...m; = ...; S = ...m2) 43) Del poligono ABCDE si sono misurati i seguenti elementi: AB = 28,92m; BC = 42,53m; CD = 29,66m; DE = 36,32m; 122°14’; = 117°35’; = 103°46’. Calcolare l’area.