APPUNTI DI TOPOGRAFIA
MODULO 1
ELEMENTI DI TRIGONOMETRIA PIANA E USO DI MACCHINE CALCOLATRICI
UNITA’ DIDATTICA N°1
Alfabeto Greco
Lettera Greca minuscola maiuscola
Corrispondente
lettera italiana Nome dellelettere
A a alfa B b beta g gamma d delta E e épsilon Z z zeta H e éta th theta I i iota K c cappa l lambda M m mu N n nu cs csi O o òmicron p pi (greco) P r rho s sigma T t tau Y u (francese) upsilon f fi X ch chi ps psi o oméga Segni Matematici
Segno significato Segno significato
perpendicolare, a 90° circa
non perpendicolare maggiore
parallelo maggiore o uguale
uguale e parallelo minore
uguale (identico) minore o uguale
coincidente sommatoria
non uguale (diverso) appartiene
congruenete non appartiene
DEFINIZIONE DI ANGOLO
Si definisce angolo la parte di piano compresa fra due semirette che hanno origine nello stesso punto
fig. 1 DEFINIZIONE DI ANGOLO ORIENTATO
Per evitare l’incertezza se si intendao l’angolo fra i due segmenti OA e OB è opportuno dare un orientamento al senso di rotazione che deve avere un segmento per sovrapporsi all’altro con il quale forma l’angolo in questione.
In topografia si usa il senso orario e si dirà che l’angolo è rappresentato dalla rotazione che deve compiere il segmento OA per sovrapporsi ad OB. Si scriverà quindi:
= AOB; = BOA. Esercizio proposto
Rappresentare in scala opportuna la spezzata (poligonale aperta) della quale sono noti i seguenti elementi:
AB = 16,28m; BC = 19,32m; CD = 15,12m; DE = 10,92m; EF = 13,12m; ABC = = 140°; BCD = = 130°; CDE = = 100°; DEF = = 280°.
Suggerimento: utilizzando un goniometro destrorso (che avanza con la graduazione in senso orario), posizionare lo zero nella direzione della prima lettera della terna che individua il generico angolo e il numero che rappresenta la sua ampiezza nella direzione della terza lettera.
UNITA’ DI MISURA DEGLI ANGOLI Le unità di misura angolari utilizzati in topografia sono :
i sessagesimali (sg); i sessadecimali (sd); i centesimali o gon (g);
i radianti (rad) per la verità questi sono quasi mai utilizzati in topografia. I Sessagesimali
L’unità di misura è il grado che si definisce come la novantesima parte dell’angolo retto.
L’angolo sessagesimale si indica con i gradi (°), i primi (‘) e i secondi (“). primi e secondi sono sottomultipli del grado.
In particolare:
1° (un grado) = 60’ (sessanta primi) 1’ (un primo) = 60” (sessanta secondi) perciò: 1° = 3600”
In genere un angolo in sessagesimali si indica: sg= g° p’ s”. Ad esempio = 65°44’38”.
I Sessadecimali
L’unità di misura è la stessa del sistema sessagesimale.
Il sistema sessadecimale è stato introdotto per semplificare le operazioni di calcolo un tempo onerose. L’angolo sessadecimale è composto da gradi, decimi, centesimi,millesimi e decimillesimi di grado.
Un esempio di angolo sessadecimale è il seguente: = 121°,6359.
Sia per i sessagesimali che per i sessadecimali le calcolatrici scientifiche vanno impostate in DEG (D).
PASSAGGIO DA SESSAGESIMALI A SESSADECIMALI
Per effettuare la conversione da sessagesimale a sessadecimale , tenendo conto della relazione esistente fra il grado e i suoi sottomultipli, si può utilizzare la seguente relazione:
" 3600 " s ' 60 ' p g sd . Esercizio risolto
Trasformare in sessadecimale il seguente angolo: = 113° 15’ 22”
= 113° + 15’/60’ + 22”/3600” = 113°,2561
Si ripete l’esercizio usando la calcolatrice scientifica (le procedure si riferiscono alla calcolatrice SHARP EL-506R) sulla quale, dopo averla impostata in DEG si pigiano i seguenti tasti:
1 1 3 DMS 1 5 DMS 2 2 DMS 2ndf DEG
Esercizio proposto
Trasformare con e senza calcolatrice scientifica da sessagesimale a sessadecimale i seguenti angoli:
PASSAGGIO DA SESSADECIMALE A SESSAGESIMALE
Quando si vuole trasformare un angolo da sessadecimale a sessagesimale si procede nel seguente modo:
sia dato:
= 73°,1347
= 73° (0,1347 x 60)’ = 73° 08’,082 = 73° 08’ (0,082 x 60)” = 73° 08’04”,92.
Utilizzando la calcolatrice scientifica, dopo averla impstata in DEG, il procedimento è il seguente:
7 3 , 1 3 4 7 2ndf DMS
Esercizio proposto
Trasformare con e senza calcolatrice scientifica da sessadecimale a sessagesimale i seguenti angoli:
= 329°,1234; = 15°,9999. I Centesimali (o Gon)
Sono strutturati in modo analogo ai sessadecimali, perciò hanno una parte intera rappresentata dai gradi centesimali (o gon) e quattro decimali che rappresentano i decimi, centesimi, millesimi e decimillesimi di grado.
L’angolo giro in centesimali conta 400 gon, l’angolo piatto 200 gon e l’angolo retto 100 gon. Perciò il grado centesimale corrisponde alla centesima parte dell’angolo retto.
Vi sono modi diversi per scrivere un angolo centesimale. 1° modo: = 75c, 42¯73¯ ¯
75c = gradi centesimali 42¯ = primi centesimali 73¯ ¯ = secondi centesimali
essendo: 1¯ (un primo centesimale) = 1c /100 (un centesimo di grado)
ed 1¯ ¯ (un secondo centesimale) = 1c /10000 (un decimillesimo di grado)
2° modo: = 75g, 42c 73cc 75g = gradi centesimali 42c = primi centesimali 73cc = secondi centesimali
analogamente a prima si avrà:
1c = 1g /100 ed 1cc = 1g /10000. 3° modo: è molto utilizzato perché più pratico e veloce
= 75c, 4273.
4° modo: è il modo più utilizzato perché più pratico, veloce e moderno = 75g, 4273 oppure = 75,4273 gon.
Per operare con i centesimali le calcolatrici scientifiche vanno impostate in GRAD (G). PASSAGGIO DA SESSAGESIMALI A GON
L’operazione è composta dai due seguenti passaggi: passaggio da sessagesimali a sessadecimali; passaggio da sessadecimali a gon.
Poiché il primo passaggio è già noto focalizzeremo la nostra attenzione sul secondo passaggio. Per la sua effettuazione è sufficiente considerare che lo stesso angolo misurato nelle due unità di misura diverse ha valori numericamente diversi. In particolare esso sarà tanto più grande quanto più tacche contiene l’angolo piatto di quel determinato sistema a cui viene riferito.
Esiste quindi una proporzione diretta fra il valore dell’angolo in un determinato sistema e l’angolo piatto di quel sistema di riferimento. Queste considerazioni ci consentono di scrivere:
g /200g =sd /180° da cui: g =sd x 200g /180° ed effettuando le dovute semplificazioni:
g = sd10g / 9° (1).
Esercizio risolto
Trasformare in gon il seguente angolo:
= 83° 53’ 48” 1° passaggio: = 83° + 53’/60’ + 48”/3600” = 83°,8967. 2° passaggio: = 83°,8967 x 10g /9° = 93,2185 gon.
Si risolve il problema utilizzando la calcolatrice scientifica che inizialmente deve essere impostata in DEG e alla fine risulterà impostata in GRAD:
Esercizio proposto
Trasformare con e senza l’uso della calcolatrice scientifica da sessagesimale a centesimale i seguenti angoli:
= 79° 03’ 12”; = 115° 15’ 13”; = 179° 52’08”. PASSAGGIO DA CENTESIMALI A SESSAGESIMALI L'operazione è composta dai due seguenti passaggi:
passaggio da centesimali a sessadecimali; passaggio da sessadecimali a sessagesimali.
Poiché il secondo passaggio è già noto focalizzeremo la nostra attenzione sul primo passaggio. Per la sua effettuazione è sufficiente invertire la (1) dalla quale si ricava:
sd =g9°/10g .
Esercizio risolto
Trasformare in sessagesimale il seguente angolo:
= 126,4467 gon 1° passaggio: = 126,44679°/10g = 113°,8020.
2° passaggio:
= 113° (0,802060)’ = 113° 48’,12 = 113° 48’ (0,1260)” = 113° 48’ 07”,2.
Si risolve il problema utilizzando la calcolatrice scientifica che inizialmente deve essere impostata in GRAD e alla fine risulterà impostata in DEG:
1 2 6 , 4 4 6 7 2ndf DRG 2ndf DMS
Esercizio proposto
Trasformare con e senza l’uso della calcolatrice scientifica da sessagesimale a centesimale i seguenti angoli:
= 12°56’41”; = 42°11’09”; = 14°37’51”. Esercizio proposto
Trasformare con e senza l’uso della calcolatrice scientifica da centesimale a sessagesimale i seguenti angoli:
SISTEMA ASSOLUTO O ANALITICO
L’unità di misura è il radiante che è l’angolo che sottende un arco lungo come il raggio della circonferenza a cui l’arco appartiene.
= 1 rad se AB = R
fig. 2 Tra arco, angolo e raggio del settore circolare OAB esiste la seguente relazione:
rad = AB / R
L’angolo giro nel sistema assoluto vale 2 radianti, l’angolo piatto vale radianti, l’angolo retto vale /2 radianti.
Per operare con i radianti le calcolatrici scientifiche vanno impostate in RAD (R). PASSAGGIO FRA SESSADECIMALI, CENTESIMALI E RADIANTI
Per effettuare questi passaggi, tenendo conto della proporzionalità fra l’angolo in una determinata unità di misura e il corrispondente angolo piatto, è sufficiente applicare le seguenti uguaglianze:
rad rad g gon sd
200
180
UNITA’ DIDATTICA N°2
FUNZIONI
Si dice funzione l’operatore matematico che ad ogni valore della variabile indipendente x associa un solo valore della variabile dipendente y.
In generale si scrive:
y = f(x) Alcuni esempi di funzioni sono i seguenti:
y = 2x + 3; y = x2- 1; y x.
FUNZIONI GONIOMETRICHE
Nelle funzioni goniometriche la variabile indipendente è un angolo mentre la variabile dipendente è un numero adimensionato.
Le funzioni goniometriche più importanti per la topografia sono: 1. la funzione seno (sin);
2. la funzione coseno (cos); 3. la funzione tangente (tg); 4. la funzione cotangente (cotg).
DEFINIZIONE DI SENO E COSENO TANGENTE E COTANGENTE
Per definire le funzioni goniometriche utilizzeremo il cerchio goniometrico. Tale cerchio è caratterizzato dal fatto che il suo raggio è sempre unitario. Ciò non vuol dire che deve necessariamente valere un centimetro o un decimetro o un metro o un ... ma vuol dire che qualunque sia la sua lunghezza essa va presa come unità di misura del disegno.
fig. 4
Si definisce seno dell’angolo la proiezione del raggio BC sull’asse orizzontale (per questo detto asse dei seni) perciò:
Analogamente si definisce coseno dell’angolo la proiezione del raggio BC sull’asse verticale (per questo detto asse dei coseni) perciò:
AC = BD = cos.
In base alla definizione data sia il seno che il coseno avranno valori compresi fra -1 e 1.
Si definisce tangente dell’angolo il segmento EF della retta tangente al cerchio goniometrico e parallela all’asse dei seni. Essendo E il punto di tangenza col cerchio ed F il punto di intersezione fra la retta tangente e il prolungamento del raggio del cerchio goniometrico. Perciò:
EF = tg.
Si definisce cotangente dell’angolo il segmento GH della retta tangente al cerchio goniometrico e parallela all’asse dei coseni. Essendo G il punto di tangenza col cerchio e H il punto di intersezione fra la retta tangente e il prolungamento del raggio del cerchio goniometrico. Perciò:
GH = cotg.
In base alla definizione data sia la tg che la cotg hanno valori compresi fra meno infinito (- ) e più infinito (+ ).
Esercizio risolto
Calcolare graficamente, in base alle definizioni, e con l’uso della calcolatrice scientifica il seno, il coseno, la tangente e la cotangente del seguente angolo: = 56°.
Raccogliere i risultati in una tabella scrivendoli con 2 decimali per la risoluzione grafica e con 5 per la risoluzione con calcolatrice scientifica.
Risoluzione grafica:
Si costruisce la figura in modo preciso assumendo come unità di misura il raggio BC. Quindi si misurano con accuratezza i segmenti CD, AC, EF ed GH dividendo la lunghezza di ogni segmento per la lunghezza del raggio BC si determinano i valori delle funzioni goniometriche. Dalla figura si legge:
BC = 27 mm; CD = 23 mm; AC = 15 mm;
EF = 38 mm; GH = 19 mm.
Risoluzione con calcolatrice scientifica:
Dopo avere impostato la calcolatrice in DEG si procede nel seguente modo: sin 5 6 = 0,82904; cos 5 6 = 0,55919;
tg 5 6 = 1,48256.
risoluzione grafica risoluzione con calcolatrice scientifica sin56° cos56° tg56° cotg56° 0,85 0,56 1,41 0,70 0,82904 0,55919 1,48256
non siamo ancora in grado di calcolarlo
Si nota una sufficiente rispondenza fra le due serie di risultati. Naturalmente i risultati grafici sono affetti da inevitabili errori di graficismo.
Esercizio proposto
Calcolare graficamente, in base alle definizioni, e con l’uso della calcolatrice scientifica il seno, il coseno, la tangente e la cotangente dei seguenti angoli: = 20°; = 40°; = 70°.
Raccogliere i risultati in una tabella scrivendoli con 2 decimali per la risoluzione grafica e con 5 per la risoluzione con calcolatrice scientifica.
RELAZIONI FONDAMENTALI Fra le funzioni goniometriche esistono alcune importanti proprietà. Relazione fra seno e coseno
Fra seno e coseno esiste la seguente importante relazione fondamentale: sin2 + cos2 = 1
Per dimostrare quanto asserito è sufficiente applicare il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo ABC della fig. 4 percio:
AB2 + AC2 = BC2 (2) quindi essendo:
AB = sin; AC = cos; BC = 1 sostituendo nella (2) si ottiene:
sin2 + cos2 = 1 come volevamo dimostrare.
Relazione fra seno coseno e tangente
tg = sin / cos (3)
Per dimostrare quanto asserito è sufficiente notare che i triangoli ABC e CFE della fig. 4 sono simili (in quanto hanno gli angoli uguali) quindi si può scrivere la seguente proporzione:
EF : AB = CE : AC (4) quindi essendo:
EF = tg; AB = sin; CE = 1; AC = cos sostituendo nella (4) si ottiene:
tg = sin / cos come volevamo dimostrare. Relazione fra seno coseno e cotangente
Fra seno, coseno e cotangente esiste la seguente importante relazione fondamentale: cotg = cos / sin (5)
Per dimostrare quanto asserito è sufficiente notare che i triangoli CHG e CBD della fig. 4 sono simili (in quanto hanno gli angoli uguali) quindi si può scrivere la seguente proporzione:
GH : BD = CG : CD (6) quindi essendo:
GH = cotg; BD = cos; CG = 1; CD = sin sostituendo nella (6) si ottiene:
cotg = cos / sin come volevamo dimostrare. Relazione fra tangente e cotangente
Fra tangente e cotangente esiste la seguente importante relazione fondamentale: cotg = 1 / tg
Per dimostrare quanto asserito mettiamo a sistema la (3) con la (5) cioè: tg = sin / cos
cotg = cos / sin
moltiplicando membro a membro le due equazioni del sistema otteniamo:
sin cos cos sin g cot tg
ed effettuando le semplificazioni del caso otteniamo:
da cui:
cotg = 1 / tg come volevamo dimostrare. Da questa relazione risulta evidente che pur non essendoci il tasto cotg sulle calcolatrici scientifiche la cotangente di un angolo può essere calcolata come reciproco della tangente dello stesso angolo.
Esercizio risolto
Calcolare la cotangente di 58°.
Dopo aver impostato la calcolatrice in DEG si procede nel seguente modo:
1 : tg 5 8 = 0,62487
Esercizio risollto
Dato sin = 3 / 5 determinare: cos, tg e cotg.
sapendo che: sin2 + cos2 = 1 _________
si ricava: cos = 1 - sin2 = 4 / 5 per la tangente utilizzando la (3) si ricava: tg = sin / cos = 3/4 per la cotangente utilizzando la (5) si ricava: cotg = cos / sin = 4 / 3. Esercizio risolto
Data tg = 5 determinare: sin; cos e cotg.
per la cotangente si utilizza la sua relazione con la tangente: cotg = 1 / tg = 1 / 5 per determinare seno e coseno si scrive il seguente sistema: sin / cos = 5
sin2 + cos2 = 1 risolviamo per sostituzione: sin = 5 cos
(5 cos)2 + cos2 = 1 25 cos2+ cos2 = 1 26 cos2 = 1 ______ cos = 1 / 26 ___ e razionalizzando: cos = 26 / 26 ___ infine: sin = 5 26 / 26. Esercizio proposto
Sapendo che cotg = 3 determinare sin, cos, e tg. Esercizio proposto
SEGNI DELLE FUNZIONI GONIOMETRICHE NEI VARI QUADRANTI
In base alle definizioni date per le funzioni goniometriche, ragionando sul cerchio goniometrico determiniamo i segni del seno e del coseno. Tenendo conto che se la proiezione del raggio è un segmento a destra dell’origine (sull’asse dei seni) o verso l’alto (sull’asse dei coseni) il segno è più viceversa è meno. Per i segni delle funzioni tangente e cotangente si utilizzano le relazioni (3) e (5).
1° quadrante 0°90° 2° quadrante 90°180° 3° quadrante 180°270° 4° quadrante 270°360° sin cos tg cotg + + + + + -+ + -+ -fig. 5
VALORI DELLE FUNZIONI GONIOMETRICHE DI ALCUNI ARCHI NOTEVOLI Trattiamo l’argomento utilizzando il seguente esercizio che risolviamo solo parzialmente. Esercizio
Degli archi notevoli 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 180°, 270°, 360° determinare i valori del seno, coseno, tangente e cotangente raggruppandoli in appositi specchietti. Nei seguenti modi:
1. grafico (scrivere i risultati con due decimali);
2. analitico (utilizzando ragionamenti sui triangoli ove è necessario);
3. con l’uso della calcolatrice scientifica (scrivere i risultati con cinque decimali). Svolgimento:
1. Omettiamo la risoluzione grafica per la quale si procede come visto nell’esercizio di pagina 12. 2. Nella risoluzione analitica si procede in due diversi modi a seconda degli angoli che si prendono in considerazione. In particolare per gli angoli: 0°, 90°, 180°, 270° e 360° il valore delle funzioni goniometriche si ricava facendo delle considerazioni sul cerchio goniometrico in base alle definizioni date per le funzioni stesse.
Per gli altri angoli è necessario ragionare su appositi triangoli costruiti ad hoc sul cerchio goniometrico.
Per determinare il sin30° e cos30° si ribalta il triangolo ABC rispetto all’asse dei coseni e si costruisce quindi il triangolo equilatero B’BC (equilatero in quanto ha i tre angoli di 60°).
Perciò essendo: B’B = BC = 1 si avrà: AB = B’B / 2 = 1 / 2 cioè: sin30° = 1 / 2. fig. 6
Per determinare cos30° si utilizza la relazione fondamentale fra seno e coseno: __________
cos30° = 1 - sin2 30° sostituendo il valore del seno trovato: __________
cos30° = 1 - (1 / 2)2 ________
cos30° = 1 - 1 / 4 __ cos30° = 3 / 2. Per determinare tg30° si utilizza la relazione fondamentale (3).
__ __ tg30° = sin30° / cos30° = 1 / 2 : 3 / 2 = 1 / 3 e razionalizzando: __
tg30° = 3 / 3.
Per determinare cotg30° è sufficiente ricordare che la cotangente è il reciproco della tangente. Quindi:
__ cotg30° = 1 / tg30° = 1 : 1 / 3 quindi: __
cotg30° = 3 .
Procedendo in modo analogo per 45° e 60° si ottengono i risultati del seguente specchietto: 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360° sin 0 ½ 22 2 3 1 0 -1 0 cos 1 32 2 2 ½ 0 -1 0 1 tg 0 33 1 3 imp. 0 imp. 0
3. Omettiamo la risoluzione con l’uso della calcolatrice scientifica per la quale si procede come per l’esercizio di pagina 11.
FUNZIONI GONIOMETRICHE INVERSE
Nelle funzioni inverse le variabili cambiano di significato cioè la x diventa variabile dipendente e la y variabile indipendente. Se ad esempio la funzione diretta o semplicemente funzione è la seguente:
y = x2 la funzione inversa è:
y x .
Le funzioni inverse goniometriche associano un angolo (arco) ad un numero. Per questo sono dette funzioni arco. Le funzioni goniometriche inverse che assumono importanza per la topografia sono:
arcoseno (arcsin) che è la funzione inversa del seno; arcocoseno (arccos) che è la funzione inversa del coseno; arcotangente (arctg) che è la funzione inversa della tangente. Arcoseno
L’arcoseno di un numero è l’angolo il cui seno è uguale al numero di partenza. La funzione arcoseno si scrive nel seguente modo:
= arcsin y dove: = angolo (arco)
arcsin = funzione inversa y = numero adimensionato.
Poichè come già detto (vedi pag. 11) il seno può assumere solo valori compresi fra -1 e 1 la variabile indipendente y potrà avere solo valori compresi in questo intervallo (estremi inclusi). Esercizio risolto
Calcolare l’arcoseno di 0,38.
Si imposta la calcolatrice nell’unità di misura in cui si intende ottenere l’angolo, (DEG per i sessagesimali e i sessadecimali, GRAD per i centesimali) supponiamo DEG quindi:
2NDF sin 0 , 3 8 = 22°,33368 2NDF DMS 22°20'01",25 Arcocoseno
L’arcocoseno di un numero è l’angolo il cui coseno è uguale al numero di partenza. La funzione arcocoseno si scrive nel seguente modo:
dove: = angolo (arco)
arccos = funzione inversa y = numero adimensionato.
Poiché come già detto (vedi pag. 11) il coseno può assumere solo valori compresi fra -1 e 1 la variabile indipendente y potrà avere solo valori compresi in questo intervallo (estremi inclusi). Esercizio risolto
Calcolare l’arcocoseno di 0,38.
Si imposta la calcolatrice nell’unità di misura in cui si intende ottenere l’angolo, (DEG per i sessagesimali e i sessadecimali, GRAD per i centesimali) supponiamo DEG quindi:
2NDF COS 0 , 3 8 = 67°,66632 2NDF DMS 67°39'58",75 Arcotangente
L’arcotangente di un numero è l’angolo la cui tangente è uguale al numero di partenza. La funzione arcotangente si scrive nel seguente modo:
= arctg y dove: = angolo (arco)
arctg = funzione inversa y = numero adimensionato.
Poichè come già detto (vedi pag. 10) la tangente può assumere solo valori compresi fra - e + la variabile indipendente y potrà avere tutti i valori compresi in questo intervallo.
Esercizio risolto
Calcolare l’arcotangente di 43.
Si imposta la calcolatrice nell’unità di misura in cui si intende ottenere l’angolo, (DEG per i sessagesimali e i sessadecimali, GRAD per i centesimali) supponiamo DEG quindi:
2NDF tg 4 3 = 88°,66778 2NDF DMS 88°40'04",01 Esercizio proposto
Calcolare l’arcoseno, l’arcocoseno e l’arcotangente dei seguenti numeri: 0,23499; 0,56232; 2,87940.
TRIGONOMETRIA
La trigonometria (dal greco misura dei triangoli) studia le relazioni tra i lati e gli angoli dei triangoli. Essa utilizza le funzioni goniometriche per la risoluzione dei triangoli.
Risolvere un triangolo vuol dire determinare tutti i suoi elementi (tre lati, tre angoli e la superficie).
Una cosa nota a priori per qualsiasi triangolo è che la somma dei suoi angoli interni corrisponde all’angolo piatto. Questa affermazione può essere dimostrata nel modo seguente:
fig. 7
si traccia AD prolungamento di AB, si traccia AE parallela a BC quindi si nota che:
CAE = (angoli alterni interni) e
EAD = (angoli corrispondenti) Perciò: + + = 180°.
TRIANGOLI RETTANGOLI
Sono quei triangoli che hanno sempre un angolo retto (90°). In esso i lati che definiscono l’angolo retto sono detti cateti mentre il lato opposto all’angolo retto è detto ipotenusa.
Per risolvere questo tipo di triangoli si possono utilizzare alcuni teoremi già noti quali ad esempio Pitagora ed Euclide oppure i seguenti teoremi trigonometrici.
PRIMO TEOREMA SUI TRIANGOLI RETTANGOLI
Enunciato: in un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto fra l’ipotenusa e il seno dell’angolo ad esso opposto.
In base all’enunciato si possono scrivere le seguenti formule:
c = a sin
b = a sin (7)
fig. 8
le (7) possono anche essere scritte nel modo seguente:
AB = BC sin AC = BC sin
Dimostrazione: per la dimostrazione utilizziamo il cerchio goniometrico sul quale riportiamo, anche se ribaltato, il triangolo ABC.
fig. 9
I triangoli ABC ed A’B’C sono simili perciò fra i loro lati si può scrivere la seguente proporzione: AB : A’B’ = BC : B’C ed essendo: A’B’ = sin B’C = 1 si ha: AB : sin = BC : 1 quindi:
AB = BC sin come volevamo dimostrare. SECONDO TEOREMA SUI TRIANGOLI RETTANGOLI
Enunciato: in un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto fra l’ipotenusa e il coseno dell’angolo ad esso adiacente.
In base all’enunciato si possono scrivere le seguenti formule:
b = a cos
c = a cos (8)
fig. 10
le (8) possono anche essere scritte nel modo seguente:
AC = BC cos AB = BC cos
Dimostrazione: per la dimostrazione utilizziamo la fig. 9. Sulla quale, come per la dimostrazione precedente si nota che i triangoli ABC ed A’B’C sono simili perciò fra i loro lati si può scrivere la seguente proporzione:
AC : A’C = BC : B’C ed essendo: A’C = cos B’C = 1 si ha: AC : cos = BC : 1 quindi:
AC = BC cos come volevamo dimostrare. TERZO TEOREMA SUI TRIANGOLI RETTANGOLI
Enunciato: in un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto fra l’altro cateto e la tangente dell’angolo ad esso opposto.
In base all’enunciato si possono scrivere le seguenti formule:
c = b tg
b = c tg (9)
fig. 11
le (9) possono anche essere scritte nel modo seguente:
AB = AC tg AC = AB tg
Dimostrazione: per la dimostrazione utilizziamo la prima relazione delle (7) e la prima relazione delle (8) mettendole a sistema:
c = a sin b = a cos dividendo membro a membro otteniamo:
c : b = a sin : a cos semplificando:
c : b = sin : cos cioè:
c = b tg come volevamo dimostrare. QUARTO TEOREMA SUI TRIANGOLI RETTANGOLI
Enunciato: in un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto fra l’altro cateto e la cotangente dell’angolo ad esso adiacente.
b = c cotg c = b cotg le precedenti possono anche essere scritte nel modo seguente:
AC = AB cotg AB = AC cotg
Dimostrazione: per la dimostrazione è sufficiente invertire le (9). Esercizio risolto
Del triangolo ABC retto in A sono noti i seguenti elementi: c = 31,08 m; a = 51,98 m. Risolvere il triangolo.
Nella risoluzione di questi problemi è sempre opportuno disegnare il triangolo, in scala per verificare i risultati, mettendo i vertici in senso orario qualora non venga specificato, esplicitamente o implicitamente, il contrario.
2
2 c
a
b
in questo caso che fra i dati non vi sono angoli si è liberi di scegliere per essi l’unità di misura che si desidera.
Scegliamo i centesimali perciò impostiamo la calcolatrice in GRAD.
Essendo: c = a sin
si ricava: = arcsin (c /a) = 40,8014 gon = 100g- = 59,1986 gon
S = ½ b c = 647,40 m2.
Esercizio risolto
Del triangolo ABC retto in A sono noti i seguenti elmenti: b = 27,45 m; CBA = = 32,865 gon. Risolvere il triangolo.
La calcolatrice va impostata in GRAD = 100g- = 67,135 gon essendo: b = a sin
si ricava: a = b / sin = 55,61 m c = b tg = 48,36 m S = ½ b c = 663, 74 m2
Esercizio proposto
Del triangolo ABC retto in A sono noti i seguenti elementi: c = 35,61 m; b = 25,88 m. Risolvere il triangolo.
(R. a = 44,02 m; = 59,9909 gon; = 40,0091 gon; S = 460,79 m2.) Esercizio proposto
Del triangolo ABC retto in A sono noti i seguenti elementi: a = 68,51 m; CBA = = 12,5133 gon. Risolvere il triangolo.
(R. b = 13,38 m; c = 67,19 m; = 87,4867 gon; S = 449,50 m2.)
FORMULE PER IL CALCOLO DELL’AREA DI UN TRIANGOLO RETTANGOLO Per calcolare l’area di un triangolo rettangolo possono essere utilizzate formule diverse a seconda degli elementi noti.
fig.12
In particolare se sono noti i cateti la formula da utilizzare è: S = ½ b c. (10)
Quando invece è noto un cateto e un angolo si utilizza la seguente formula:
S = ½ b2 tg
opuure:
S = ½ c2tg.
Le precedenti si ottengono dalla (10) dove, utilizzando il terzo teorema sui triangoli rettangoli, alla c prima e alla b poi si sostituiscono le seguenti espressioni:
c = b tg e b = c tg. Quando è nota l’ipotenusa e un angolo si può utilizzare la seguente espressione:
S = 1/4 a2 sin(2).
A questa formula si giunge ragionando sulla figura 13 che si ottiene ribaltando intorno al lato AC il triangolo della figura 12.
fig. 13
SABC = ½ SBCB’ = ½ ( ½ B’CBH) ed essendo:
B’C = a e BH = a sin(2) dal triangolo rettangolo BCH si ha:
Esercizio risolto
Del triangolo ABC retto in A sono noti i seguenti elementi: CBA = = 75,2018 gon, S = 864,30 m2. Risolvere il triangolo.
La calcolatrice va impostata in GRAD. Essendo: S = ½ c2tg si ricava: tg S c 2 = 26,64 m quindi: b = c tg = 64,89 m 2 2 c b a = 70,15 m; = 100g- = 24,7982 gon. Esercizio risolto
Del triangolo ABC retto in A sono noti i seguenti elementi: BC = a = 58,35 m, S = 615,00 m2. Risolvere il triangolo.
La calcolatrice va impostata in GRAD. Essendo: S = 1/4 a2 sin(2) si ricava: = ½ arcsin (4 S : a2) = 25,7019gon quindi: = 100g- = 74,2981 gon c = a sin = 22,58 m b = a cos = 53,66 m. Esercizio proposto
Del triangolo ABC retto in A sono noti i seguenti elementi: S = 6482,00 m2; = 53° 31’ 42”. Risolvere il triangolo.
(R. a = 164,68 m; b = 97,89 m; c= 132,43 m; = 36° 28’ 18”.) Esercizio proposto
Del triangolo ABC retto in A sono noti i seguenti elementi: a = 254,36 m; S = 10000 m2. Risolvere il triangolo.
(R. = 19° 05’ 39”; = 70° 54’ 21”; b 240,37 m; c = 83,21 m.) CONSIDERAZIONI CONCLUSIVE SUI TRIANGOLI RETTANGOLI
Come sin qui visto per risolvere un triangolo rettangolo è necessario conoscere almeno due elementi dei quali almeno uno deve essere lineare (lati, perimetro, superficie, ...).
RISOLUZIONE DEI TRIANGOLI QUALSIASI
Sono qualsiasi quei triangoli per i quali l’unica cosa nota a priori è la somma degli angoli interni (180° o 200 gon o rad). Per la risoluzione di questi triangoli, a seconda dei dati e dopo averli scomposti in due triangoli rettangoli, si possono utilizzare i teoremi sui triangoli rettangoli. Ma la risoluzione risulta molto più spedita se vengono applicati i teoremi per essi specifici. Esistono diversi teoremi per la risoluzione dei triangoli rettangoli, fra questi assumono particolare importanza:
1. il teorema dei seni; 2. il teorema di Carnot.
TEOREMA DEI SENI
Enunciato: in un triangolo qualsiasi il rapporto fra il lato e il seno dell’angolo opposto è costante ed è uguale al doppio del raggio del cerchio circoscritto (il cerchio circoscritto passa per i tre vertici del triangolo. Il suo centro è detto circocentro e si ottiene come intersezione degli assi dei tre lati. Ciascun asse di ciascun lato passa per il punto medio del lato ed è perpendicolare al lato).
fig.14
HO, MO ed NO sono gli assi rispettivamente dei lati AB, BC ed AC.
In base all’enunciato possiamo scrivere la seguente formula: R 2 sin c sin b sin a (11)
Dalla (11) si possono scrivere le seguenti sei relazioni: sin b sin a ; sin c sin a ; sin c sin b ; 2 R sin a ; sin 2 R b ; sin 2 R c .
Dimostrazione: effettueremo la dimostrazione verificando che sono vere le tre uguaglianze della (11). Per fare ciò ci serviremo dei triangoli rettangoli DBC ed ADC prima e AEC ed ABE poi ed infine del triangolo sempre rettangolo HBO.
Dimostriamo che: a : sin = b : sin. B
Applicando il primo teorema sui triangoli rettangoli ai triangoli rettangoli DBC e ADC possiamo scrivere: D c a DBC: CD = a sin fig. 15 E ADC: CD = b sin A b C
nelle precedenti tenendo conto che i termini di sinistra sono uguali possiamo scrivere: a sin = b sin
da cui si ricava:
a : sin = b : sin (12).
Applicando il primo teorema sui triangoli rettangoli ai triangoli AEC e ABE possiamo scrivere: AEC: AE = b sin
ABE: AE = c sin
nelle precedenti tenendo conto che i termini di sinistra sono uguali possiamo scrivere: b sin = c sin
da cui si ricava:
b : sin = c : sin (13).
Per dimostrare l’ultima uguaglianza del teorema ritorniamo sulla figura 14, nella quale si nota che l’angolo AOB è uguale a due volte per la nota proprietà della geometria la quale afferma che l’angolo al centro che insiste su un certo arco è il doppio dell’angolo alla circonferenza che insiste sullo stesso arco. Perciò applicando il primo teorema sui triangoli rettangoli al triangolo HBO possiamo scrivere:
HB = c/2 = R sin da cui si ricava:
c : sin = 2 R (14).
La (12), (13) e (14) insieme dimostrano il teorema dei seni.
Esercizio risolto
Del triangolo ABC sono noti i seguenti elementi:
a = 28,23 m; = 53,1200 gon; = 71,1600 gon. Risolvere il triangolo. B
= 200g - ( +) = 75,7200 gon
c a b : sin = a : sin b = a sin : sin = 34,26 m h
A C c : sin = a : sin c = a sin : sin = 35,36 m b
S = ½ b h essendo: h = a sin sostituendo nella precedente si ha:
S = ½ a b sin = 448,83 m2.
La formula utilizzata per il calcolo della superficie è detta di camminamento. Si può esprimere nel modo seguente:
l’area di un triangolo qualsiasi è data dal semi prodotto fra due lati e il seno dell’angolo compreso. Perciò:
S = ½ a b sin S = ½ a c sin S = ½ b c sin
Esercizio risolto
Del triangolo ABC sono noti: = 71,43 gon; = 49,58 gon. ed il raggio del cerchio ad esso circoscritto: R = 33,12 m. Risolvere il triangolo. = 200g- ( +) = 78,99 gon a : sin = 2 R a = 2 R sin = 59,68 m b : sin = 2 R b = 2 R sin = 46,53 m c : sin = 2 R c = 2 R sin = 62,67 m S = ½ a c sin = 1313,59 m2. Esercizio proposto
Del triangolo ABC sono noti i seguenti elementi:
b = 403,82 m; = 53° 27’ 24”; = 58° 19’ 42”. Risolvere il triangolo.
(R. = 68° 12’ 54”; c = 370,11 m; a = 349,38 m; S = 60037,36 m2.) Esercizio proposto
Del triangolo ABC sono noti il raggio del cerchio circoscritto R = 191,24 m e gli angoli = 65,0500 gon; = 56,8889 gon. Risolvere il triangolo.
RISOLUZIONE DI UN TRIANGOLO DEL QUALE SONO NOTI DUE LATI E UN ANGOLO NON COMPRESO
Quando i dati del problema sono due lati e un angolo non compreso fra essi ad esempio: a = 10 m; b = 11 m; = 30°
si procede come segue: B b : sin = a : sin cioè: c a sin : b = sin : a da cui: A C = arcsin(b sin : a) b
sostituendo i numeri: = arcsin 0,55
ricordando la definizione di arcoseno e di seno risulta che esistono due angoli il cui seno vale 0,55 e questi sono:
= 33° 22’ 01”,25 e = 146° 37’ 58”,75. Il problema è quale dei due è quello giusto?
Per evitare l’errore è necessario effettuare la risoluzione grafica cioè bisogna costruire il triangolo in scala utilizzando i soli dati.
Supponendo che gli elementi noti siano di nuovo a, b ed si possono presentare i tre seguenti casi:
1° caso:
A C b
fig. 15
Si costruisce la figura mettendo in orizzontale e nella scala decisa il lato noto adiacente all’angolo noto (in questo caso b). Quindi col goniometro si traccia un segmento lungo indefinitamente che forma l’angolo noto col lato b. Con il compasso si traccia un cerhio avente apertura a puntando in C In questo caso non si forma il triangolo perciò non esiste soluzione.
2° caso:
Si costruisce la figura mettendo in orizzontale e nella scala decisa il lato noto adiacente all’angolo noto (in questo caso b). Quindi col goniometro si traccia un segmento lungo indefinitamente che forma l’angolo noto col lato b. Con il compasso avente apertura a puntando in C si traccia un cerchio In questo caso si forma il triangolo perciò esiste una soluzione. Per determinare la soluzione si procede nel modo seguente:
B c a = acsin (b sin : a) = 180° - ( +)
c = a sin : sin; S = ½ a b sin. A C
b fig.16
3° caso:
fig. 17
Si costruisce la figura mettendo in orizzontale e nella scala decisa il lato noto adiacente all’angolo noto (in questo caso b). Quindi col goniometro si traccia un segmento lungo indefinitamente che forma l’angolo noto col lato b. Con il compasso avente apertura a puntando in C si traccia un cerhio.
In questo caso si formano due triangoli che hanno gli stessi dati (AB1C e AB2C) perciò
esistono due soluzioni.
Per determinare le soluzioni si procede come segue:
Triangolo AB1C:
1= acsin (b sin : a) ACB1 = 1 = 180° - ( +)
AB1 = c1 = a sin1 : sin; S1 = ½ a b sin1. Triangolo AB2C:
essendo il triangolo CB1B2 isoscele siha che: B1B2C =1
quindi: 2 = 180° -1
Esercizio risolto
Del triangolo ABC sono noti: = 40°12’00”; a = 40,16m; b = 45,12m. Risolvere il triangolo.
Si costruisce la figura mettendo in orizzontale e nella scala decisa il lato noto adiacente all’angolo noto (in questo caso b). Quindi col goniometro si traccia un segmento lungo indefinitamente che forma l’angolo noto col lato b. Con il compasso avente apertura a puntando in C si traccia un cerchio.
In questo caso si formano due triangoli che hanno gli stessi dati (AB1C e AB2C) perciò:
esistono due soluzioni.
Per determinare le soluzioni si procede come segue:
Triangolo AB1C:
1= arcsin (b sin : a) = 46°29’00” ACB1 = 1 = 180° - ( +) = 93°19’00”
AB1 = c1 = a sin1 : sin = 62,12m; S1 = ½ a b sin1 = 904,49m2.
Triangolo AB2C:
essendo il triangolo CB1B2 isoscele siha che: B1B2C =1
quindi: 2 = 180° -1 = 133°31’00”
da cui: 2 = 180° - ( +2) = 6°17’00”; AB2= c2 = a sin2 : sin = 6,81m; S2 = ½ a b sin2= 99,16m2.
Esercizio proposto
Risolvere il triangolo ABC del quale sono noti i seguenti elementi: a = 20,12m; b = 40,31m; = 75°30’.
(R. Il problema non è risolvibile.) Esercizio proposto
Risolvere il triangolo ABC del quale sono noti i seguenti elementi: b = 81,12m; c = 107,84m; = 84,68gon.
TEOREMA DI CARNOT
Se gli elementi noti sono due lati e l’angolo compreso, oppure i tre lati il problema non può essere risolto con il teorema dei seni.
In questo caso entra in gioco il Teorema di Carnot il cui enunciato si esprime nel seguente modo: In un triangolo qualunque il quadrato di un lato è uguale alla somma del quadrato degli altri due diminuiti del doppio prodotto fra questi ultimi e il coseno dell’angolo che essi comprendono. B c a A b C (15) a2 b2 c2 2bccos a b2c22bccos a c 2ac cos b2 2 2 b a2 c2 2accos a b 2ab cos c2 2 2 c a2b2 2abcos
Per trovare gli angoli quando sono noti i tre lati si applicano le seguenti formule che si ottengono invertendo le (15) bc 2 a c b cos ar 2 2 2 ac 2 b c a cos ar 2 2 2 ab 2 c b a cos ar 2 2 2
Dimostrazione del Teorema di Carnot
Per dimostrare il teorema utilizziamo dei triangoli rettangoli B c a H A b C triangolo BCH: a2 = BH2 + HC2 (16)
triangolo ABH: BH = c sin (17) AH = c cos (18) triangolo ABC: HC = b – AH e sostituendo la (18) diventa: HC = b - c cos (19) Sostituendo la (17) e la (19) nella (16) otteniamo:
2 2 2 (csin) (bccos) a bc c b c
a2 2sin2 2 2 cos2 2 cos bc c b a (sin cos ) 2 1 2 2 2 2 2 cos e infine: a2 b2 c2 2bccos c.v.d. Esercizio risolto
Risolvere il triangolo ABC del quale sono noti i seguenti elementi: AB = c = 52,40 m; BC = a = 42,65 m; CA = b = 65,40 m . B c a A b C cos 2 2 2 2b c bc a 2 2 2 cos 2bc b c a bc a c b ar 2 cos 2 2 2 45 1124 40 , 52 40 , 65 2 65 , 42 40 , 52 40 , 65 cos ar g , 2 2 2
cos 2 2 2 2a c ac b 2 2 2 cos 2ac a c b ac b c a ar 2 cos 2 2 2 95 9006 40 , 52 65 , 42 2 40 , 65 40 , 52 65 , 42 cos , 2 2 2 g ar
cos 2 2 2 2a b ab c 2 2 2 cos 2ab a b c ab c b a ar 2 cos 2 2 2 58 9871 40 , 65 65 , 42 2 40 , 52 40 , 65 65 , 42 cos , 2 2 2 g ar 2 11 , 1115 1123 , 45 40 , 52 40 , 65 2 1 2 1b c sen sen m S g Esercizio risolto
Risolvere il triangolo ABC del quale sono noti i seguenti elementi: BC = a = 24,05m; CA = b = 22,82m; ACB = = 41,7705gon. B c a A b C cos 2 2 2 a b ab c 24,05222,8222(24,0522,82)cos41g,7705 15,15m
cos 2 2 2 2b c bc a 2 2 2 cos 2bc b c a bc a c b ar 2 cos 2 2 2 84 0079 15 , 15 82 , 22 2 05 , 24 15 , 15 82 , 22 cos , 2 2 2 g ar
cos 2 2 2 2a c ac b 2 2 2 cos 2ac a c b ac b c a ar 2 cos 2 2 2 74 2160 15 , 15 05 , 24 2 82 , 22 15 , 15 05 , 24 cos , 2 2 2 g ar Per la calcolatrice usa 2ndF cos ((...) : (...)) = Ricordati di impostarla in Grad 2 44 , 167 0079 , 84 15 , 15 82 , 22 2 1 2 1b c sen sen m S g Esercizio risolto
Risolvere il triangolo ABC del quale sono noti i seguenti elementi: BC = a = 30,15m; CA = b = 68,42m; ACB = = 32,4128gon. B c a A b C a b 2ab cos c 2 2 30,15268,422230,1568,42cos 44,59m b c 2bc cos a2 2 2
2 2 2 cos 2bc b c a bc a c b ar 2 cos 2 2 2 21 3889 59 , 44 42 , 68 2 15 , 30 59 , 44 42 , 68 cos , 2 2 2 g ar
cos 2 2 2 2a c ac b 2 2 2 cos 2ac a c b ac b c a ar 2 cos 2 2 2 1461860 59 , 44 15 , 30 2 42 , 68 59 , 44 15 , 30 cos , 2 2 2 g ar Per la calcolatrice usa 2ndF cos ((...) : (...)) = Ricordati di impostarla in Grad. 2 92 , 502 3889 , 81 59 , 44 42 , 68 2 1 2 1b c sen sen m S g
Formule per il calcolo dell’area di un tiangolo qualsiasi B c a h H A b C S = ½ bh b c sin 2 1 S a c sin 2 1 S a b sin 2 1 S Formula di CAMMINAMENTO per un Triangolo g cot g cot c 2 1 S g cot g cot b 2 1 S g cot g cot a 2 1 S 2 2 2
Formula delle COTANGENTI
Si usa quando sono noti: un Lato + i due Angoli adiacenti
Anche L'area + 2 Angoli
) c P )( b P )( a P ( P
S Formula di ERONE dove: Pa2bc
Esercizio risolto
Risolvere il triangolo ABC del quale sono noti i seguenti elementi: CBA = = 60,128gon; ACB = = 88,031gon; S = 10,8830m2.
B c a A b C 8410 , 51 ) ( 200g g g g a S cot cot 2 1 2 ) cot (cot 2 S g g a = 21088,30(cotg60g128cotg88g,031)= 44,60 m 69 , 49 128 , 60 sin 8410 , 51 sin 60 , 44 sin sin g g a b m 24 , 60 031 , 88 sin 8410 , 51 sin 60 , 44 sin sin g g a c m Esercizio proposto:
Risolvere il triangolo ABC che ha l’angolo BAC = ottuso (si dice ottuso un angolo maggiore di 90° e minore di 180°) e del quale sono noti i seguenti elementi AB = c = 86,55m; CA = b = 62,40m; S = 1815,00m²
(R. a = 139,22m; = 137°46’05”; = 17°32’01”; = 24°41’54”) CONSIDERAZIONE SUI TRIANGOLI QUALSIASI
Per risolvere un triangolo qualsiasi è necessario conoscere tre elementi dei quali almeno uno deve essere lineare (altezza, superficie, lato ecc. ecc.).
Con i teoremi sviluppati si sono ricavate delle formule che consentono di calcolare lati o angoli. Bisogna però prestare molta attenzione quando si fa l’arcoseno per ricavare gli angoli (perché la calcolatrice ci da sempre un angolo del 1° quadrate e questo, a volte non è sufficiente) e precedere il calcolo dalla risoluzione grafica del problema (fare la figura in scala partendo dai dati).
CERCHI NOTEVOLI DEI TRIANGOLI
Un cerchio si dice notevole quando basta il nome per individuarlo in tutte le sue caratteristiche. Oltre al cerchio circoscritto del quale abbiamo già parlato nel teorema dei seni esistono altri due cerchi notevoli dei quali tratteremo: il cerchio inscritto e il cerchio ex-inscritto.
IL CERCHIO INSCRITTO
E' il cerchio interno al triangolo che contemporaneamente tange ai tre lati. Il suo centro si chiama incentro e si ottiene come intersezione delle bisettrici degli angoli del triangolo (si ricorda che la bisettrice è una linea interna al triangolo che partendo da un vertice divide in due parti uguali l'angolo di quel vertice).
Per determinare il raggio è sufficiente prendere in considerazione i tre triangoli in figura ABO BCO CAO e ragionare sulle superfici:
CAO BCO ABO ABC S S S S r b r a r c SABC 2 1 2 1 2 1 ) ( 2 1r c a b SABC ed infine: c b a S 2 r ABC IL CERCHIO EX-INSCRITTO
E' il cerchio "inscritto fuori", esso è contemporaneamente tangente ad un lato ed al prolungamento degli altri due. Quindi come il cerchio inscritto esso è tangente ai tre lati ma sta fuori dal triangolo.
Da quanto detto si evince che ogni triangolo ha tre cerchi ex-inscritti uno per ogni lato.
Il centro del cerchio ex-inscritto, si chiama ex-incentro e si ottiene come intersezione delle bisettrici degli angoli esterni al triangolo adiacenti al lato di tangenza e della bisettrice dell'angolo interno opposto al lato detto.
Per determinare il raggio è sufficiente prendere in considerazione i tre triangoli in figura ABOa CBOa CAOa e ragionare sulle superfici:
a a a CAO CBO ABO ABC S S S S a a a ABC c r b r a r S 2 1 2 1 2 1 ) ( 2 1r c b a SABC a e infine: a c b S 2 r ABC a
formule analoghe si hanno per determinare i raggi dei cerchi ex-inscritti ai lati b e c:
b c a S 2 r ABC b c b a S 2 r ABC c
RISOLUZIONE DEI QUADRILATERI
Per risolvere un quadrilatero è necessario sapere che la somma degli angoli interni vale 360°. Inoltre è necessario conoscere almeno 5 elementi dei quali almeno 2 devono essere lineari.
Per la risoluzione dei quadrilateri ci si serve dei triangoli utilizzando uno dei seguenti metodi: si considera il quadrilatero come somma di due triangoli qualsiasi;
si considera il quadrilatero come differenza di due triangoli qualsiasi;
si considera il quadrilatero come somma di tre triangoli rettangoli e di un rettangolo. Primo metodo
Si utilizza questo metodo quando:
si conoscono due lati consecutivi e tre angoli;
si conoscono tre lati e due angoli opposti, in questo caso però si corrono i rischi visti nel teorema dei seni per la risoluzione di un triangolo del quale sono noti due lati e un angolo non compreso; si conoscono tre lati e i due angoli fra essi compresi;
si conoscono tutti i lati e un angolo; si conoscono tutti i lati e una diagonale.
B b C a c A D d
Le formule da utilizzare sono quelle dei triangoli qualsiasi. Secondo metodo
Si utilizza questo metodo quando:
non è possibile utilizzare il primo metodo; si conoscono due lati opposi e tre angoli.
B b C a ' c ' E A d D Per la risoluzione:
si prolungano i due lati incogniti fino a farli intersecare nel punto E; quindi dopo aver calcolato: ’ = 180° - e ’ = 180° -
si calcolano con le formule dei triangoli qualsiasi gli elementi dei due triangoli ABE ed CED; ed infine per differenza fra gli elementi dei due triangoli sopra detti si calcolano gli elementi del
Terzo metodo
Si utilizza questo metodo quando:
non è possibile utilizzare il primo e il secondo metodo;
si conoscono due lati opposi e tre angoli e quindi in alternativa al secondo metodo; si conoscono tre lati e i due angoli non compresi.
B b T C a c A K H D d Per la risoluzione:
si tracciano le perpendicolari (BK e CH) ad uno dei lati incogniti (in questo caso AD);
partendo da un vertice (in questo caso C) si traccia la perpendicolare (CT) ai segmenti tracciati prima;
si calcolano con le formule dei triangoli rettangoli gli elementi incogniti. RISOLUZIONI GRAFICHE
Si riportano di seguito alcuni casi importanti di problemi sulla risoluzione dei quadrilateri,con la risoluzione grafica e con indicazioni sul metodo più idoneo per la risoluzione analitica.
Per la risoluzione analitica si usa il primo metodo dopo aver tracciato la diagonale AC. Per la risoluzione analitica si
usa il terzo metodo dopo aver prolungato i lati incogniti AD e BC. Per la risoluzione analitica si usa il primo metodo dopo aver tracciato la diagonale AC o la diagonale BD, Per la risoluzione analitica si usa il terzo metodo dopo aver tracciato da B e C le perpendicolari al lato AD.
Per la risoluzione analitica si usa il primo metodo dopo aver tracciato la diagonale AC. Per la risoluzione analitica si usa il primo metodo dopo aver tracciato la diagonale BD. Per la risoluzione analitica si usa il primo metodo dopo aver tracciato la diagonale AC.
RISOLUZIONE DEI POLIGONI
Per risolvere un poligono di n lati è necessario conoscere almeno 2n – 3 elementi dei quali almeno n – 2 devono essere lineari
Per la risoluzione dei poligoni ci si serve dei triangoli considerando, in genere, il poligono come somma di triangoli.
La somma degli angoli interni di un poligono si ottiene con la seguente formula: = (n – 2) 180.
Alla quale si giunge facendo il seguente ragionamento:
l'esagono della figura è stato scomposto in 6 triangoli, sapendo che la somma degli angoli interni di un triangolo è 180° e togliendo l'angolo giro (360° = 2180°) si ottiene:
= 6180 - 2180°
quindi sostituendo a 6 la lettera n, che indica il numero dei vertici di un generico poligono, e raccogliendo il 180° si ottiene:
= (n – 2)180.
FORMULA DI CAMMINAMENTO
Si applica per determinare l'area di un poligono (per cui anche di un triangolo e di un quadrilatero), del quale sono noti tutti i lati meno uno e tutti gli angoli meno i due adiacenti al lato incognito D d E c e C F b B A a
Applichiamo la regola al poligono della figura nel quale abbiamo supposto di conoscere i lati a, b, c, d, e e gli angoli , , ,
S = ½a b sin + b c sin + c d sin + d e sin- a c sin(+) - b d sin(+) – c e sin(+) + a d sin(++) + b e sin(++) – a e sin(+++).
La formula sopra scritta si legge nel seguente modo:
la superficie è uguale ad un mezzo della somma dei prodotti dei lati consecutivi (presi a due a due) per il seno dell'angolo fra essi compreso, diminuita dalla somma dei prodotti fra i lati alterni (presi a due a due) per il seno della somma degli angoli fra essi compresi, aumentata dalla somma dei prodotti fra i lati bi-alterni (presi a due a due) per il seno della somma degli angoli fra essi compresi, diminuita dalla somma dei prodotti fra i lati tri-alterni (presi a due a due) per il seno della somma degli angoli fra essi compresi, e così via.
Ogni tornata inizia da uno dei lati adiacenti a quello incognito e finisce quando si arriva all'altro lato adiacente al lato incognito.
La formula si blocca quando si moltiplicano insieme i due lati adiacenti al lato incognito.
Il segno davanti ad ogni termine dipende dal numero di angoli che sono all'argomento del seno ed è + se tale numero è dispari, - in caso contrario.
Dimostrazione della formula di camminamento
Per la dimostrazione utilizziamo il quadrilatero in figura C D b d B F E A a
nel quale supponiamo noti i lati a, b, d e gli angoli , e dopo averlo diviso in due triangoli rettangoli e in un trapezio rettangolo tramite i segmenti DE ed CF.
S = SBCF + SCDEF + SAED
S = ½ BF CF + ½ (CF + DE) FE + ½ AE DE (20)
utilizzando i teoremi sui triangoli rettangoli ricaviamo le quantità che compaiono nella (20):
BF = b cos; CF = b sin; DE = d sin; EA = d cos; FE = a – BF – EA = a - b cos- d cos;
sostituendo nella (20) e raccogliendo otteniamo:
quindi:
S = ½ b2 sin cos + a b sin- b2 sin cos- b d sin cos + a d sin- b d sin cos + - d2 sin cos + d2 sin cos
semplificando:
S = ½a b sin- b d sin cos + a d sin- b d sin cos raccogliendo:
S = ½a d sin + a b sin- b d (sin cos + sin cos) (21) ricordando che per la formula di addizione del seno (vedi goniometria di Matematica):
sin( +) = sin cos + sin cos la (21) diventa:
S = ½ a d sin + a b sin - b d sin( + )
che è ciò che si otterrebbe applicando la formula di camminamento, e quindi la formula stessa è dimostrata.