Come detto in precedenza, la relazione tra la quantità di risorse impiegate e la quantità di output generati all’interno del processo produttivo è delineata da una funzione di produzione. Tale funzione, sulla base della relazione tra input e output, definisce una frontiera produttiva per i possibili gruppi di unità produttive (“Production Possibility Set”), ovvero una specie di barriera che indica il massimo ammontare di output che può essere generato a partire da un dato livello di input ed il livello minimo di input richiesto per ottenere un certo output. La Figura 4.1 riporta un esempio di due frontiere produttive, in questo caso frontiere teoriche, la cui forma dipende principalmente dalle considerazioni e dalle assunzioni sottostanti.
Ecco quindi che l’efficienza di ogni unità produttiva potrebbe essere misurata rispetto alla frontiera teorica, ma in realtà ciò risulta difficile da realizzare per il fatto che, nella maggior parte dei casi, la frontiera teorica non è conosciuta. Infatti, solitamente, l’efficienza delle singole unità è misurata in relazione ad una frontiera produttiva empirica in quanto gli unici
Fonte: Paul C. Simak (2000), Inverse and Negative DEA and their Application to Credit Risk Evaluation, Tesi di PhD, Department of Mechanical and Industrial Engineering, University of Toronto
63
dati disponibili, nel momento in cui si attua un’analisi del mondo reale, sono quelli direttamente osservabili. Attraverso l’uso di tali informazioni è possibile pervenire alla definizione di una frontiera produttiva empirica, ordinariamente inferiore alla frontiera teorica (Figura 4.2).
La distinzione presentata in Figura 4.2 permette di identificare due misure di efficienza generalmente riferite ad ogni unità decisionale (DMU)67:
- Efficienza Totale: è misurata dalla distanza dell’unità decisionale dalla frontiera teorica ed indica la performance realizzata dall’unità rispetto alla migliore performance possibile;
- Efficienza Relativa: è misurata dalla distanza dell’unità decisionale dalla frontiera empirica ed evidenzia la performance dell’unità in esame rispetto alla migliore performance osservata.
In genere, la frontiera a cui si fa principalmente riferimento risulta la frontiera empirica; essa, oltre a rappresentare un benchmark di riferimento per il calcolo dell’efficienza di tutte le unità esaminate, costituisce anche il luogo di riferimento auspicabile per tutte le unità inefficienti (“efficiency reference set” o “peer group”). Infatti, come mostrato in Figura 4.3, le unità
67 Paul C. Simak (2000), Inverse and Negative DEA and their Application to Credit Risk Evaluation, Tesi di
PhD, Department of Mechanical and Industrial Engineering, University of Toronto.
Figura 4.2: Frontiera Teorica e Frontiera Empirica
Fonte: Paul C. Simak (2000), Inverse and Negative DEA and their Application to Credit Risk Evaluation, Tesi di PhD, Department of Mechanical and Industrial Engineering, University of Toronto
64
produttive che formano tale frontiera e le loro combinazioni lineari costituiscono i diversi “peer groups” per le unità produttive inefficienti .
Per esempio, come si evince dalla Figura 4.3, i “peer groups” per la DMU#1 si differenziano a seconda del sentiero scelto per il raggiungimento dell’efficienza: in particolare le unità 2 – 3 rappresentano il “peer group” nel caso in cui si scelga di minimizzare l’input a parità di output, mentre le unità 4 – 5 costituiscono le unità di riferimento qualora ci si rivolga verso una massimizzazione degli output a parità di input.
A questo punto è necessario sottolineare come esistano diversi modelli DEA distinti, per lo più, sulla base di due fattori: la tipologia della frontiera empirica impiegata nell’analisi e il sentiero scelto dalle unità decisionali per raggiungere la frontiera efficiente.
Per quanto riguarda la tipologia della frontiera si è soliti distinguere tra il modello CRS (Constant Returns to Scale), noto anche come modello CCR (Charnes, Cooper and Rhodes), e il modello VRS (Variable Returns to Scale) o modello BCC (Banker, Charnes and Cooper). Il modello CRS opera ipotizzando che un dato aumento degli input impiegati, indipendentemente dall’operazione di scala, generi un proporzionale incremento negli output del modello. In maniera del tutto differente agisce, invece, il modello VRS, il quale non considera le restrizioni assunte dal modello CRS, evidenziando così come l’operazione di scala influisca notevolmente sulla relazione tra input e output.
Fonte: Paul C. Simak (2000), Inverse and Negative DEA and their Application to Credit Risk Evaluation, Tesi di PhD, Department of Mechanical and Industrial Engineering, University of Toronto
65
Concentrando invece l’attenzione sui diversi sentieri di proiezione delle DMU inefficienti si possono individuare due modelli possibili68:
- input-oriented, modello che proietta le DMU sulla frontiera efficiente riducendo tutti gli input e, allo stesso tempo, mantenendo costante il livello di output (sentiero rappresentato dalla freccia a in Figura 4.3);
- output-oriented, utilizza una logica inversa al precedente in quanto, mantenendo costante il livello di input, aumenta proporzionalmente gli output fino a raggiungere la frontiera efficiente (sentiero rappresentato dalla freccia b in Figura 4.3);
In aggiunta a questi due modelli vi è un altro approccio, definito dalla letteratura come Modello Additivo, il quale opera combinando tra loro una riduzione degli input simultaneamente ad un incremento degli output.
Tale approccio non costituisce un vero e proprio modello, ma rappresenta per lo più una variazione dei due modelli sopra descritti in quanto cerca di aggregare in un unico problema entrambi gli orientamenti (input-oriented e output-oriented)69.
68 A. Charnes,W. W. Cooper, E. Rhodes (1978), Measuring the Efficiency of Decision Making Units, European
Journal of Operational Research, Vol. 2, No. 6, pp. 429-444 e Paul C. Simak (2000), Inverse and Negative DEA
and their Application to Credit Risk Evaluation, Tesi di PhD, Department of Mechanical and Industrial
Engineering, University of Toronto.
69
Charnes A., Cooper W. W., Golany B., Seiford L. M., Stutz J. (1985), Foundations of data envelopment
analysis and Pareto–Koopmans empirical production functions, Journal of Econometrics 30, 91–107 e
Tone K. (2001), A slacks – based measure of efficiency in Data Envelopment Analysis, European Journal of Operational Research 130, pp. 498-509.
Figura 4.4: Frontiere del Modello CRS e del Modello VRS
Fonte: Paul C. Simak (2000), Inverse and Negative DEA and their Application to Credit Risk Evaluation, Tesi di PhD, Department of Mechanical and Industrial Engineering, University of Toronto
66