Jan Mar May Jul Sep
13 14 15 16 17 18
Figura:Il valore delle azioni ENI tra Gennaio e Settembre 2011.
Antonio Leaci (Universitá del Salento) Introduzione al corso di Matematica A.A. 2021/22 9 / 74
Grafici ammissibili e NON ammissibili
-1 1 2 3
1 2 3
-1 1 2 3
1 2 3
Un grafico ammissibile e uno NON ammissibile.
Funzione composta. Se f : A → B e g : C → D sono due funzioni, e se l’immagine di A tramite f è un sottoinsieme di C, cioè
f (A) = {f (x ); x ∈ A } ⊂ C
allora si definiscefunzione composta g ◦ f la funzione data da
Equazioni
Sia f una funzione f : A → B
f è surgettiva se e solo seper ogni y ∈ B l’equazione f (x ) = y ammettealmeno una soluzione(cioè f (A) = B).
f è iniettiva se e solo se per y ∈ B l’equazione f (x ) = y ammette al piùuna soluzione.
∀x1,x2∈ A, x1̸= x2 =⇒ f (x1) ̸=f (x2). f è bigettiva se e solo seper ogni y ∈ B l’equazione f (x ) = y ammetteun’unica soluzione. Tale soluzione permette di definire la funzione inversaf−1:B → A come x = f−1(y ).
Naturalmente risulta
f−1(f (x )) = x ∀x ∈ A, f (f−1(y )) = y ∀y ∈ B.
Le proprietà precedenti dipendono non solo dall’espressione analitica della funzione ma anche dagli insiemi A e B. Per esempio se f è iniettiva allora la funzione f : A → f (A) è bigettiva.
Antonio Leaci (Universitá del Salento) Introduzione al corso di Matematica A.A. 2021/22 11 / 74
Equazioni
Sia f una funzione f : A → B
f è surgettiva se e solo seper ogni y ∈ B l’equazione f (x ) = y ammettealmeno una soluzione(cioè f (A) = B).
f è iniettiva se e solo se per y ∈ B l’equazione f (x ) = y ammette al piùuna soluzione.
∀x1,x2∈ A, x1̸= x2 =⇒ f (x1) ̸=f (x2).
f è bigettiva se e solo seper ogni y ∈ B l’equazione f (x ) = y ammetteun’unica soluzione. Tale soluzione permette di definire la funzione inversaf−1:B → A come x = f−1(y ).
Naturalmente risulta
f−1(f (x )) = x ∀x ∈ A, f (f−1(y )) = y ∀y ∈ B.
Le proprietà precedenti dipendono non solo dall’espressione analitica della funzione ma anche dagli insiemi A e B. Per esempio se f è iniettiva allora la funzione f : A → f (A) è bigettiva.
Equazioni
Sia f una funzione f : A → B
f è surgettiva se e solo seper ogni y ∈ B l’equazione f (x ) = y ammettealmeno una soluzione(cioè f (A) = B).
f è iniettiva se e solo se per y ∈ B l’equazione f (x ) = y ammette al piùuna soluzione.
∀x1,x2∈ A, x1̸= x2 =⇒ f (x1) ̸=f (x2).
f è bigettiva se e solo seper ogni y ∈ B l’equazione f (x ) = y ammetteun’unica soluzione. Tale soluzione permette di definire la funzione inversaf−1:B → A come x = f−1(y ).
Naturalmente risulta
f−1(f (x )) = x ∀x ∈ A, f (f−1(y )) = y ∀y ∈ B.
Le proprietà precedenti dipendono non solo dall’espressione analitica della funzione ma anche dagli insiemi A e B. Per esempio se f è iniettiva allora la funzione f : A → f (A) è bigettiva.
Antonio Leaci (Universitá del Salento) Introduzione al corso di Matematica A.A. 2021/22 11 / 74
Equazioni
Sia f una funzione f : A → B
f è surgettiva se e solo seper ogni y ∈ B l’equazione f (x ) = y ammettealmeno una soluzione(cioè f (A) = B).
f è iniettiva se e solo se per y ∈ B l’equazione f (x ) = y ammette al piùuna soluzione.
∀x1,x2∈ A, x1̸= x2 =⇒ f (x1) ̸=f (x2).
f è bigettiva se e solo seper ogni y ∈ B l’equazione f (x ) = y ammetteun’unica soluzione. Tale soluzione permette di definire la funzione inversaf−1:B → A come x = f−1(y ).
Naturalmente risulta
f−1(f (x )) = x ∀x ∈ A, f (f−1(y )) = y ∀y ∈ B.
Le proprietà precedenti dipendono non solo dall’espressione analitica della funzione ma anche dagli insiemi A e B. Per esempio se f è iniettiva allora la funzione f : A → f (A) è bigettiva.
Equazioni
Sia f una funzione f : A → B
f è surgettiva se e solo seper ogni y ∈ B l’equazione f (x ) = y ammettealmeno una soluzione(cioè f (A) = B).
f è iniettiva se e solo se per y ∈ B l’equazione f (x ) = y ammette al piùuna soluzione.
∀x1,x2∈ A, x1̸= x2 =⇒ f (x1) ̸=f (x2).
f è bigettiva se e solo seper ogni y ∈ B l’equazione f (x ) = y ammetteun’unica soluzione. Tale soluzione permette di definire la funzione inversaf−1:B → A come x = f−1(y ).
Naturalmente risulta
f−1(f (x )) = x ∀x ∈ A, f (f−1(y )) = y ∀y ∈ B.
Le proprietà precedenti dipendono non solo dall’espressione analitica della funzione ma anche dagli insiemi A e B. Per esempio se f è iniettiva allora la funzione f : A → f (A) è bigettiva.
Antonio Leaci (Universitá del Salento) Introduzione al corso di Matematica A.A. 2021/22 11 / 74
Esempi
-2 -1 1 2 -1
1 2 3 4
-2 -1 1 2
-8 -4 4 8
Figura:Grafici di x2, x3.
La funzione f (x ) = x2non è iniettiva, né surgettiva.
La funzione f (x ) = x3è iniettiva e surgettiva, dunque è bigettiva.
Per avere queste proprietà è fondamentale l’uso dei numerireali.
Disequazioni
Siano A, B ⊂ R e sia f una funzione f : A → B.
f è crescente se
∀x1,x2∈ A, x1<x2 =⇒ f (x1) <f (x2).
f è decrescente se
∀x1,x2∈ A, x1<x2 =⇒ f (x1) >f (x2).
Siano g e h due funzioni g, h : X → A.
Se f è crescente allora
g(x ) ≤ h(x ) se e solo se f (g(x )) ≤ f (h(x )). Se f è decrescente allora
g(x ) ≤ h(x ) se e solo se f (g(x )) ≥ f (h(x )). Se f non è crescente, né decrescente la soluzione è più complicata.
Antonio Leaci (Universitá del Salento) Introduzione al corso di Matematica A.A. 2021/22 13 / 74
Disequazioni
Siano A, B ⊂ R e sia f una funzione f : A → B.
f è crescente se
∀x1,x2∈ A, x1<x2 =⇒ f (x1) <f (x2).
f è decrescente se
∀x1,x2∈ A, x1<x2 =⇒ f (x1) >f (x2).
Siano g e h due funzioni g, h : X → A.
Se f è crescente allora
g(x ) ≤ h(x ) se e solo se f (g(x )) ≤ f (h(x )).
Se f è decrescente allora
g(x ) ≤ h(x ) se e solo se f (g(x )) ≥ f (h(x )). Se f non è crescente, né decrescente la soluzione è più complicata.
Disequazioni
Siano A, B ⊂ R e sia f una funzione f : A → B.
f è crescente se
∀x1,x2∈ A, x1<x2 =⇒ f (x1) <f (x2).
f è decrescente se
∀x1,x2∈ A, x1<x2 =⇒ f (x1) >f (x2).
Siano g e h due funzioni g, h : X → A.
Se f è crescente allora
g(x ) ≤ h(x ) se e solo se f (g(x )) ≤ f (h(x )).
Se f è decrescente allora
g(x ) ≤ h(x ) se e solo se f (g(x )) ≥ f (h(x )).
Se f non è crescente, né decrescente la soluzione è più complicata.
Antonio Leaci (Universitá del Salento) Introduzione al corso di Matematica A.A. 2021/22 13 / 74
Disequazioni
Siano A, B ⊂ R e sia f una funzione f : A → B.
f è crescente se
∀x1,x2∈ A, x1<x2 =⇒ f (x1) <f (x2).
f è decrescente se
∀x1,x2∈ A, x1<x2 =⇒ f (x1) >f (x2).
Siano g e h due funzioni g, h : X → A.
Se f è crescente allora
g(x ) ≤ h(x ) se e solo se f (g(x )) ≤ f (h(x )).
Se f è decrescente allora
g(x ) ≤ h(x ) se e solo se f (g(x )) ≥ f (h(x )).
Se f non è crescente, né decrescente la soluzione è più
Esempi
-3-2-1 1 2 3 2
4 6 8
-2 -1 1 2 -10
-5 5 10
Figura:Soluzione di x2≥ 4, x3≤ 8.
La funzione f (x ) = x2non è crescente, né decrescente.
x2≥ 4 se e solo se x ≤ −2 ∨ x ≥ 2 . La funzione f (x ) = x3è crescente.
x3≤ 8 se e solo se x ≤ 2 .
Antonio Leaci (Universitá del Salento) Introduzione al corso di Matematica A.A. 2021/22 14 / 74
Esempi
1 Sia f : R → R la funzione definita da f (x) = 5x − 3.
Per decidere se è bigettiva e per calcolarne l’inversa, dobbiamo studiare l’equazione:
5x − 3 = y .
Essa,per ogniy ∈ R, ammettel’unicasoluzione x = y +35 .
Dunque esiste la funzione inversa f−1: R → R data da f−1(y ) = y +35 .
2 Sia f : R → R una funzione bigettiva.
Se f è crescente allora anche f−1è crescente. Se f è decrescente allora anche f−1è decrescente.
3 Sia f : R → R una funzione bigettiva.
Se Gf è il grafico di f allora il grafico di f−1si ottiene riflettendo Gf rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante, ossia
scambiando i ruoli di x e y .
Esempi
1 Sia f : R → R la funzione definita da f (x) = 5x − 3.
Per decidere se è bigettiva e per calcolarne l’inversa, dobbiamo studiare l’equazione:
5x − 3 = y .
Essa,per ogniy ∈ R, ammettel’unicasoluzione x = y +35 .
Dunque esiste la funzione inversa f−1: R → R data da f−1(y ) = y +35 .
2 Sia f : R → R una funzione bigettiva.
Se f è crescente allora anche f−1è crescente.
Se f è decrescente allora anche f−1è decrescente.
3 Sia f : R → R una funzione bigettiva.
Se Gf è il grafico di f allora il grafico di f−1si ottiene riflettendo Gf rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante, ossia
scambiando i ruoli di x e y .
Antonio Leaci (Universitá del Salento) Introduzione al corso di Matematica A.A. 2021/22 15 / 74
Esempi
1 Sia f : R → R la funzione definita da f (x) = 5x − 3.
Per decidere se è bigettiva e per calcolarne l’inversa, dobbiamo studiare l’equazione:
5x − 3 = y .
Essa,per ogniy ∈ R, ammettel’unicasoluzione x = y +35 .
Dunque esiste la funzione inversa f−1: R → R data da f−1(y ) = y +35 .
2 Sia f : R → R una funzione bigettiva.
Se f è crescente allora anche f−1è crescente.
Se f è decrescente allora anche f−1è decrescente.
3 Sia f : R → R una funzione bigettiva.
Se Gf è il grafico di f allora il grafico di f−1si ottiene riflettendo Gf rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante, ossia