Introduzione al corso di Matematica

Introduzione al corso di Matematica

Antonio Leaci¹

1Universitá del Salento

Dipartimento di Matematica e Fisica “Ennio De Giorgi”

antonio.leaci@unisalento.it

A.A. 2021/22

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1 Equazioni e disequazioni

2 Equazioni e disequazioni razionali

3 Equazioni e disequazioni irrazionali

4 Disequazioni con il valore assoluto

5 Equazioni e disequazioni esponenziali

6 Equazioni e disequazioni logaritmiche

Antonio Leaci (Universitá del Salento) Introduzione al corso di Matematica A.A. 2021/22 2 / 74

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1 Equazioni e disequazioni

2 Equazioni e disequazioni razionali

3 Equazioni e disequazioni irrazionali

4 Disequazioni con il valore assoluto

5 Equazioni e disequazioni esponenziali

6 Equazioni e disequazioni logaritmiche

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1 Equazioni e disequazioni

2 Equazioni e disequazioni razionali

3 Equazioni e disequazioni irrazionali

4 Disequazioni con il valore assoluto

5 Equazioni e disequazioni esponenziali

6 Equazioni e disequazioni logaritmiche

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1 Equazioni e disequazioni

2 Equazioni e disequazioni razionali

3 Equazioni e disequazioni irrazionali

4 Disequazioni con il valore assoluto

5 Equazioni e disequazioni esponenziali

6 Equazioni e disequazioni logaritmiche

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1 Equazioni e disequazioni

2 Equazioni e disequazioni razionali

3 Equazioni e disequazioni irrazionali

4 Disequazioni con il valore assoluto

5 Equazioni e disequazioni esponenziali

6 Equazioni e disequazioni logaritmiche

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1 Equazioni e disequazioni

2 Equazioni e disequazioni razionali

3 Equazioni e disequazioni irrazionali

4 Disequazioni con il valore assoluto

5 Equazioni e disequazioni esponenziali

6 Equazioni e disequazioni logaritmiche

Riferimenti bibliografici

1 Il corso di Matematica delle scuole superiori.

2 Il primo capitolo delle dispense di Analisi Matematica 1 nella pagina Web dei docenti di Analisi

(http://www.unisalento.it/people/antonio.leaci).

3 Il materiale disponibile sul sito

http://riesci.ing.unisalento.it nella sezione Materiale e Test.

4 Il libro di P.Boieri, G.Chiti: Precorso di Matematica, Zanichelli, 1994.

5 Il libro di A.Esposito, R.Fiorena: Lezioni di Analisi Matematica - analisi “zero”, Liguori, Napoli, 1999.

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Riferimenti bibliografici

1 Il corso di Matematica delle scuole superiori.

2 Il primo capitolo delle dispense di Analisi Matematica 1 nella pagina Web dei docenti di Analisi

(http://www.unisalento.it/people/antonio.leaci).

3 Il materiale disponibile sul sito

http://riesci.ing.unisalento.it nella sezione Materiale e Test.

4 Il libro di P.Boieri, G.Chiti: Precorso di Matematica, Zanichelli, 1994.

5 Il libro di A.Esposito, R.Fiorena: Lezioni di Analisi Matematica - analisi “zero”, Liguori, Napoli, 1999.

Riferimenti bibliografici

1 Il corso di Matematica delle scuole superiori.

2 Il primo capitolo delle dispense di Analisi Matematica 1 nella pagina Web dei docenti di Analisi

(http://www.unisalento.it/people/antonio.leaci).

3 Il materiale disponibile sul sito

http://riesci.ing.unisalento.it nella sezione Materiale e Test.

4 Il libro di P.Boieri, G.Chiti: Precorso di Matematica, Zanichelli, 1994.

5 Il libro di A.Esposito, R.Fiorena: Lezioni di Analisi Matematica - analisi “zero”, Liguori, Napoli, 1999.

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Riferimenti bibliografici

1 Il corso di Matematica delle scuole superiori.

2 Il primo capitolo delle dispense di Analisi Matematica 1 nella pagina Web dei docenti di Analisi

(http://www.unisalento.it/people/antonio.leaci).

3 Il materiale disponibile sul sito

http://riesci.ing.unisalento.it nella sezione Materiale e Test.

4 Il libro di P.Boieri, G.Chiti: Precorso di Matematica, Zanichelli, 1994.

5 Il libro di A.Esposito, R.Fiorena: Lezioni di Analisi Matematica - analisi “zero”, Liguori, Napoli, 1999.

Riferimenti bibliografici

1 Il corso di Matematica delle scuole superiori.

2 Il primo capitolo delle dispense di Analisi Matematica 1 nella pagina Web dei docenti di Analisi

(http://www.unisalento.it/people/antonio.leaci).

3 Il materiale disponibile sul sito

http://riesci.ing.unisalento.it nella sezione Materiale e Test.

4 Il libro di P.Boieri, G.Chiti: Precorso di Matematica, Zanichelli, 1994.

5 Il libro di A.Esposito, R.Fiorena: Lezioni di Analisi Matematica - analisi “zero”, Liguori, Napoli, 1999.

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Perché studiare la Matematica?

(PISA, 1564 – ARCETRI(FI),1642)

La filosofia è scritta in questo grandissimo libro che continua- mente ci sta aperto innanzi a gli occhi (io dicol’universo), ma non si può intendere se prima non s’impara a intendere la lin- gua, e conoscere i caratteri, ne’ quali è scritto. Egli è scrit- to in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche, senza i quali mezzi è impossibile a intenderne umanamente parola; senza questa è un aggirarsi vanamente per un oscuro labirinto.

Perché studiare la Matematica?

(LECCE, 1928 – PISA, 1996)

I confini tra matematica pura ed applicata sono labili.

Alla matematica pura si domanda la coerenza interna dei suoi enunciati, alla matematica applicata la capacità di rappresentarediverse realtà esternealla matematica stessa.

La distinzione tra matematica pura ed applicata non risiede nella diversa qualità dei teoremi che vi si dimostrano, ma nei diversi criteri di interesse che inizialmente le ispirano.

E. De Giorgi, Riflessioni su Matematica e Sapienza, 1996

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Esempi di applicazioni della Matematica in Ingegneria

Analisi Matematica I e II, Geometria ed Algebra, Calcolo delle Probabilità e Statistica e Ricerca Operativa sono utilizzate, oltre che nei corsi di Fisica I, II e Meccanica Razionale, ad esempio in:

Ing.Ind.: Teoria dei Circuiti, Meccanica Applicata, Ottimizzazione (equazioni differenziali, calcolo di integrali, ricerca di

massimi/minimi tramite derivate).

Ing.Civ.: Scienza delle Costruzioni, Fluidodinamica

(Teoria dell’elasticità, equazioni differenziali alle derivate parziali, calcolo di integrali, metodo degli elementi finiti (FEM)).

Ing.Inf.: Teoria dei Segnali e dei Sistemi, Automatica,

Telecomunicazioni (serie e trasformata di Fourier, trasformata di Laplace e trasformata Z, Analisi Complessa, equazioni

differenziali alle derivate parziali), Computer Graphics ed Elaborazione di Audio, Immagini e Videodigitali.

Esempi di applicazioni della Matematica in Ingegneria

Analisi Matematica I e II, Geometria ed Algebra, Calcolo delle Probabilità e Statistica e Ricerca Operativa sono utilizzate, oltre che nei corsi di Fisica I, II e Meccanica Razionale, ad esempio in:

Ing.Ind.: Teoria dei Circuiti, Meccanica Applicata, Ottimizzazione (equazioni differenziali, calcolo di integrali, ricerca di

massimi/minimi tramite derivate).

Ing.Civ.: Scienza delle Costruzioni, Fluidodinamica

(Teoria dell’elasticità, equazioni differenziali alle derivate parziali, calcolo di integrali, metodo degli elementi finiti (FEM)).

Ing.Inf.: Teoria dei Segnali e dei Sistemi, Automatica,

Telecomunicazioni (serie e trasformata di Fourier, trasformata di Laplace e trasformata Z, Analisi Complessa, equazioni

differenziali alle derivate parziali), Computer Graphics ed Elaborazione di Audio, Immagini e Videodigitali.

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Esempi di applicazioni della Matematica in Ingegneria

Analisi Matematica I e II, Geometria ed Algebra, Calcolo delle Probabilità e Statistica e Ricerca Operativa sono utilizzate, oltre che nei corsi di Fisica I, II e Meccanica Razionale, ad esempio in:

Ing.Ind.: Teoria dei Circuiti, Meccanica Applicata, Ottimizzazione (equazioni differenziali, calcolo di integrali, ricerca di

massimi/minimi tramite derivate).

Ing.Civ.: Scienza delle Costruzioni, Fluidodinamica

(Teoria dell’elasticità, equazioni differenziali alle derivate parziali, calcolo di integrali, metodo degli elementi finiti (FEM)).

Ing.Inf.: Teoria dei Segnali e dei Sistemi, Automatica,

Telecomunicazioni (serie e trasformata di Fourier, trasformata di Laplace e trasformata Z, Analisi Complessa, equazioni

differenziali alle derivate parziali), Computer Graphics ed Elaborazione di Audio, Immagini e Videodigitali.

I numeri reali

L’ambiente in cui si svolgerà la nostra trattazione è quello dei numeri realiR. Questo insieme sarà l’oggetto delle prime lezioni del corso di Analisi Matematica I, dove sarà introdotto anche l’insieme dei numeri complessiC.

Diamo per note le definizioni e le proprietà dei numeri naturali ( N = {0, 1, 2, 3, . . .} ),

dei numeri interi ( Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .} ), dei numeri razionali ( Q = {p/q : p ∈ Z, q ∈ N, q ̸= 0} ).

Brevemente possiamo dire che i numeri reali ammettono una rappresentazione decimale finita, illimitata periodica o aperiodica

x = a₀.a₁a₂a₃a₄· · · = a0+ a₁ 10+ a₂

10² + a₃ 10³ + a₄

10⁴ + · · · . dove a₀∈ Z, ak è una cifra decimale e non si ha definitivamente a_k =9 in quanto, ad esempio, 13.249 = 13.25.

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I numeri reali

L’ambiente in cui si svolgerà la nostra trattazione è quello dei numeri realiR. Questo insieme sarà l’oggetto delle prime lezioni del corso di Analisi Matematica I, dove sarà introdotto anche l’insieme dei numeri complessiC.

Diamo per note le definizioni e le proprietà dei numeri naturali ( N = {0, 1, 2, 3, . . .} ),

dei numeri interi ( Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .} ), dei numeri razionali ( Q = {p/q : p ∈ Z, q ∈ N, q ̸= 0} ).

Brevemente possiamo dire che i numeri reali ammettono una rappresentazione decimale finita, illimitata periodica o aperiodica

x = a₀.a₁a₂a₃a₄· · · = a0+ a₁ 10+ a₂

10² + a₃ 10³ + a₄

10⁴ + · · · . dove a₀∈ Z, ak è una cifra decimale e non si ha definitivamente a_k =9 in quanto, ad esempio, 13.249 = 13.25.

I numeri reali

L’ambiente in cui si svolgerà la nostra trattazione è quello dei numeri realiR. Questo insieme sarà l’oggetto delle prime lezioni del corso di Analisi Matematica I, dove sarà introdotto anche l’insieme dei numeri complessiC.

Diamo per note le definizioni e le proprietà dei numeri naturali ( N = {0, 1, 2, 3, . . .} ),

dei numeri interi ( Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .} ), dei numeri razionali ( Q = {p/q : p ∈ Z, q ∈ N, q ̸= 0} ).

Brevemente possiamo dire che i numeri reali ammettono una rappresentazione decimale finita, illimitata periodica o aperiodica

x = a₀.a₁a₂a₃a₄· · · = a0+ a₁ 10+ a₂

10² + a₃ 10³ + a₄

10⁴ + · · · . dove a₀∈ Z, ak è una cifra decimale e non si ha definitivamente a_k =9 in quanto, ad esempio, 13.249 = 13.25.

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Equazioni e disequazioni

Per studiare le equazioni e disequazioni sono fondamentali i concetti di Funzione iniettiva, surgettiva, bigettiva.

Funzione crescente o decrescente.

Ricordiamo che unafunzione f : A → B è una relazione tra due insiemi A , B tale che

∀ x ∈ A ∃! y ∈ B tale che f (x) = y . e il suo grafico G_f è l’insieme

G_f = { (x , y ) ∈ A × B : x ∈ A , y = f (x ) } .

Equazioni e disequazioni

Per studiare le equazioni e disequazioni sono fondamentali i concetti di Funzione iniettiva, surgettiva, bigettiva.

Funzione crescente o decrescente.

Ricordiamo che unafunzione f : A → B è una relazione tra due insiemi A , B tale che

∀ x ∈ A ∃! y ∈ B tale che f (x) = y .

e il suo grafico G_f è l’insieme

G_f = { (x , y ) ∈ A × B : x ∈ A , y = f (x ) } .

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Equazioni e disequazioni

Per studiare le equazioni e disequazioni sono fondamentali i concetti di Funzione iniettiva, surgettiva, bigettiva.

Funzione crescente o decrescente.

Ricordiamo che unafunzione f : A → B è una relazione tra due insiemi A , B tale che

∀ x ∈ A ∃! y ∈ B tale che f (x) = y . e il suo grafico G_f è l’insieme

G_f = { (x , y ) ∈ A × B : x ∈ A , y = f (x ) } .

Equazioni e disequazioni

Per studiare le equazioni e disequazioni sono fondamentali i concetti di Funzione iniettiva, surgettiva, bigettiva.

Funzione crescente o decrescente.

Ricordiamo che unafunzione f : A → B è una relazione tra due insiemi A , B tale che

∀ x ∈ A ∃! y ∈ B tale che f (x) = y .

e il suo grafico G_f è l’insieme

G_f = { (x , y ) ∈ A × B : x ∈ A , y = f (x ) } .

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Equazioni e disequazioni

Per studiare le equazioni e disequazioni sono fondamentali i concetti di Funzione iniettiva, surgettiva, bigettiva.

Funzione crescente o decrescente.

Ricordiamo che unafunzione f : A → B è una relazione tra due insiemi A , B tale che

∀ x ∈ A ∃! y ∈ B tale che f (x) = y . e il suo grafico G_f è l’insieme

G_f = { (x , y ) ∈ A × B : x ∈ A , y = f (x ) } .

Una funzione empirica

Jan Mar May Jul Sep

13 14 15 16 17 18

Figura:Il valore delle azioni ENI tra Gennaio e Settembre 2011.

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Grafici ammissibili e NON ammissibili

-1 1 2 3

1 2 3

-1 1 2 3

1 2 3

Un grafico ammissibile e uno NON ammissibile.

Funzione composta. Se f : A → B e g : C → D sono due funzioni, e se l’immagine di A tramite f è un sottoinsieme di C, cioè

f (A) = {f (x ); x ∈ A } ⊂ C

allora si definiscefunzione composta g ◦ f la funzione data da

Equazioni

Sia f una funzione f : A → B

f è surgettiva se e solo seper ogni y ∈ B l’equazione f (x ) = y ammettealmeno una soluzione(cioè f (A) = B).

f è iniettiva se e solo se per y ∈ B l’equazione f (x ) = y ammette al piùuna soluzione.

∀x1,x₂∈ A, x1̸= x2 =⇒ f (x₁) ̸=f (x₂). f è bigettiva se e solo seper ogni y ∈ B l’equazione f (x ) = y ammetteun’unica soluzione. Tale soluzione permette di definire la funzione inversaf⁻¹:B → A come x = f⁻¹(y ).

Naturalmente risulta

f⁻¹(f (x )) = x ∀x ∈ A, f (f⁻¹(y )) = y ∀y ∈ B.

Le proprietà precedenti dipendono non solo dall’espressione analitica della funzione ma anche dagli insiemi A e B. Per esempio se f è iniettiva allora la funzione f : A → f (A) è bigettiva.

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Equazioni

Sia f una funzione f : A → B

f è surgettiva se e solo seper ogni y ∈ B l’equazione f (x ) = y ammettealmeno una soluzione(cioè f (A) = B).

f è iniettiva se e solo se per y ∈ B l’equazione f (x ) = y ammette al piùuna soluzione.

∀x1,x₂∈ A, x1̸= x2 =⇒ f (x₁) ̸=f (x₂).

f è bigettiva se e solo seper ogni y ∈ B l’equazione f (x ) = y ammetteun’unica soluzione. Tale soluzione permette di definire la funzione inversaf⁻¹:B → A come x = f⁻¹(y ).

Naturalmente risulta

f⁻¹(f (x )) = x ∀x ∈ A, f (f⁻¹(y )) = y ∀y ∈ B.

Le proprietà precedenti dipendono non solo dall’espressione analitica della funzione ma anche dagli insiemi A e B. Per esempio se f è iniettiva allora la funzione f : A → f (A) è bigettiva.

Equazioni

Sia f una funzione f : A → B

f è surgettiva se e solo seper ogni y ∈ B l’equazione f (x ) = y ammettealmeno una soluzione(cioè f (A) = B).

f è iniettiva se e solo se per y ∈ B l’equazione f (x ) = y ammette al piùuna soluzione.

∀x1,x₂∈ A, x1̸= x2 =⇒ f (x₁) ̸=f (x₂).

f è bigettiva se e solo seper ogni y ∈ B l’equazione f (x ) = y ammetteun’unica soluzione. Tale soluzione permette di definire la funzione inversaf⁻¹:B → A come x = f⁻¹(y ).

Naturalmente risulta

f⁻¹(f (x )) = x ∀x ∈ A, f (f⁻¹(y )) = y ∀y ∈ B.

Le proprietà precedenti dipendono non solo dall’espressione analitica della funzione ma anche dagli insiemi A e B. Per esempio se f è iniettiva allora la funzione f : A → f (A) è bigettiva.

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Equazioni

Sia f una funzione f : A → B

f è surgettiva se e solo seper ogni y ∈ B l’equazione f (x ) = y ammettealmeno una soluzione(cioè f (A) = B).

f è iniettiva se e solo se per y ∈ B l’equazione f (x ) = y ammette al piùuna soluzione.

∀x1,x₂∈ A, x1̸= x2 =⇒ f (x₁) ̸=f (x₂).

f è bigettiva se e solo seper ogni y ∈ B l’equazione f (x ) = y ammetteun’unica soluzione. Tale soluzione permette di definire la funzione inversaf⁻¹:B → A come x = f⁻¹(y ).

Naturalmente risulta

f⁻¹(f (x )) = x ∀x ∈ A, f (f⁻¹(y )) = y ∀y ∈ B.

Le proprietà precedenti dipendono non solo dall’espressione analitica della funzione ma anche dagli insiemi A e B. Per esempio se f è iniettiva allora la funzione f : A → f (A) è bigettiva.

Equazioni

Sia f una funzione f : A → B

f è surgettiva se e solo seper ogni y ∈ B l’equazione f (x ) = y ammettealmeno una soluzione(cioè f (A) = B).

f è iniettiva se e solo se per y ∈ B l’equazione f (x ) = y ammette al piùuna soluzione.

∀x1,x₂∈ A, x1̸= x2 =⇒ f (x₁) ̸=f (x₂).

f è bigettiva se e solo seper ogni y ∈ B l’equazione f (x ) = y ammetteun’unica soluzione. Tale soluzione permette di definire la funzione inversaf⁻¹:B → A come x = f⁻¹(y ).

Naturalmente risulta

f⁻¹(f (x )) = x ∀x ∈ A, f (f⁻¹(y )) = y ∀y ∈ B.

Le proprietà precedenti dipendono non solo dall’espressione analitica della funzione ma anche dagli insiemi A e B. Per esempio se f è iniettiva allora la funzione f : A → f (A) è bigettiva.

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Esempi

-2 -1 1 2 -1

1 2 3 4

-2 -1 1 2

-8 -4 4 8

Figura:Grafici di x², x³.

La funzione f (x ) = x²non è iniettiva, né surgettiva.

La funzione f (x ) = x³è iniettiva e surgettiva, dunque è bigettiva.

Per avere queste proprietà è fondamentale l’uso dei numerireali.

Disequazioni

Siano A, B ⊂ R e sia f una funzione f : A → B.

f è crescente se

∀x₁,x₂∈ A, x₁<x₂ =⇒ f (x₁) <f (x₂).

f è decrescente se

∀x1,x₂∈ A, x1<x₂ =⇒ f (x₁) >f (x₂).

Siano g e h due funzioni g, h : X → A.

Se f è crescente allora

g(x ) ≤ h(x ) se e solo se f (g(x )) ≤ f (h(x )). Se f è decrescente allora

g(x ) ≤ h(x ) se e solo se f (g(x )) ≥ f (h(x )). Se f non è crescente, né decrescente la soluzione è più complicata.

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Disequazioni

Siano A, B ⊂ R e sia f una funzione f : A → B.

f è crescente se

∀x₁,x₂∈ A, x₁<x₂ =⇒ f (x₁) <f (x₂).

f è decrescente se

∀x1,x₂∈ A, x1<x₂ =⇒ f (x₁) >f (x₂).

Siano g e h due funzioni g, h : X → A.

Se f è crescente allora

g(x ) ≤ h(x ) se e solo se f (g(x )) ≤ f (h(x )).

Se f è decrescente allora

g(x ) ≤ h(x ) se e solo se f (g(x )) ≥ f (h(x )). Se f non è crescente, né decrescente la soluzione è più complicata.

Disequazioni

Siano A, B ⊂ R e sia f una funzione f : A → B.

f è crescente se

∀x₁,x₂∈ A, x₁<x₂ =⇒ f (x₁) <f (x₂).

f è decrescente se

∀x1,x₂∈ A, x1<x₂ =⇒ f (x₁) >f (x₂).

Siano g e h due funzioni g, h : X → A.

Se f è crescente allora

g(x ) ≤ h(x ) se e solo se f (g(x )) ≤ f (h(x )).

Se f è decrescente allora

g(x ) ≤ h(x ) se e solo se f (g(x )) ≥ f (h(x )).

Se f non è crescente, né decrescente la soluzione è più complicata.

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Disequazioni

Siano A, B ⊂ R e sia f una funzione f : A → B.

f è crescente se

∀x₁,x₂∈ A, x₁<x₂ =⇒ f (x₁) <f (x₂).

f è decrescente se

∀x1,x₂∈ A, x1<x₂ =⇒ f (x₁) >f (x₂).

Siano g e h due funzioni g, h : X → A.

Se f è crescente allora

g(x ) ≤ h(x ) se e solo se f (g(x )) ≤ f (h(x )).

Se f è decrescente allora

g(x ) ≤ h(x ) se e solo se f (g(x )) ≥ f (h(x )).

Se f non è crescente, né decrescente la soluzione è più

Esempi

-3-2-1 1 2 3 2

4 6 8

-2 -1 1 2 -10

-5 5 10

Figura:Soluzione di x²≥ 4, x³≤ 8.

La funzione f (x ) = x²non è crescente, né decrescente.

x²≥ 4 se e solo se x ≤ −2 ∨ x ≥ 2 . La funzione f (x ) = x³è crescente.

x³≤ 8 se e solo se x ≤ 2 .

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Esempi

1 Sia f : R → R la funzione definita da f (x) = 5x − 3.

Per decidere se è bigettiva e per calcolarne l’inversa, dobbiamo studiare l’equazione:

5x − 3 = y .

Essa,per ogniy ∈ R, ammettel’unicasoluzione x = ^{y +3}₅ .

Dunque esiste la funzione inversa f⁻¹: R → R data da f⁻¹(y ) = ^{y +3}₅ .

2 Sia f : R → R una funzione bigettiva.

Se f è crescente allora anche f⁻¹è crescente. Se f è decrescente allora anche f⁻¹è decrescente.

3 Sia f : R → R una funzione bigettiva.

Se G_f è il grafico di f allora il grafico di f⁻¹si ottiene riflettendo G_f rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante, ossia

scambiando i ruoli di x e y .

Esempi

1 Sia f : R → R la funzione definita da f (x) = 5x − 3.

Per decidere se è bigettiva e per calcolarne l’inversa, dobbiamo studiare l’equazione:

5x − 3 = y .

Essa,per ogniy ∈ R, ammettel’unicasoluzione x = ^{y +3}₅ .

Dunque esiste la funzione inversa f⁻¹: R → R data da f⁻¹(y ) = ^{y +3}₅ .

2 Sia f : R → R una funzione bigettiva.

Se f è crescente allora anche f⁻¹è crescente.

Se f è decrescente allora anche f⁻¹è decrescente.

3 Sia f : R → R una funzione bigettiva.

Se G_f è il grafico di f allora il grafico di f⁻¹si ottiene riflettendo G_f rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante, ossia

scambiando i ruoli di x e y .

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Esempi

1 Sia f : R → R la funzione definita da f (x) = 5x − 3.

Per decidere se è bigettiva e per calcolarne l’inversa, dobbiamo studiare l’equazione:

5x − 3 = y .

Essa,per ogniy ∈ R, ammettel’unicasoluzione x = ^{y +3}₅ .

Dunque esiste la funzione inversa f⁻¹: R → R data da f⁻¹(y ) = ^{y +3}₅ .

2 Sia f : R → R una funzione bigettiva.

Se f è crescente allora anche f⁻¹è crescente.

Se f è decrescente allora anche f⁻¹è decrescente.

3 Sia f : R → R una funzione bigettiva.

Se G_f è il grafico di f allora il grafico di f⁻¹si ottiene riflettendo G_f rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante, ossia

Equazioni equivalenti

Definizione

Due equazioni si diconoequivalentise e solo se ogni soluzione della prima è soluzione della seconda e viceversa. In modo analogo si definisce l’equivalenza di disequazioni

Proposizione

L’equazione f (x ) = g(x ) si trasforma in una equivalente

sommando o sottraendo ad ambo i membri una stessa funzione definita nell’intersezione dei domini di f e g.

L’equazione f (x ) = g(x ) si trasforma in una equivalente

moltiplicando o dividendo ambo i membri per una stessa funzione definita nell’intersezione dei domini di f e g ediversa da zero.

Antonio Leaci (Universitá del Salento) Introduzione al corso di Matematica A.A. 2021/22 16 / 74

Equazioni equivalenti

Definizione

Due equazioni si diconoequivalentise e solo se ogni soluzione della prima è soluzione della seconda e viceversa. In modo analogo si definisce l’equivalenza di disequazioni

Proposizione

L’equazione f (x ) = g(x ) si trasforma in una equivalente

sommando o sottraendo ad ambo i membri una stessa funzione definita nell’intersezione dei domini di f e g.

L’equazione f (x ) = g(x ) si trasforma in una equivalente

moltiplicando o dividendo ambo i membri per una stessa funzione definita nell’intersezione dei domini di f e g ediversa da zero.

Equazioni equivalenti

Definizione

Due equazioni si diconoequivalentise e solo se ogni soluzione della prima è soluzione della seconda e viceversa. In modo analogo si definisce l’equivalenza di disequazioni

Proposizione

L’equazione f (x ) = g(x ) si trasforma in una equivalente

sommando o sottraendo ad ambo i membri una stessa funzione definita nell’intersezione dei domini di f e g.

L’equazione f (x ) = g(x ) si trasforma in una equivalente

moltiplicando o dividendo ambo i membri per una stessa funzione definita nell’intersezione dei domini di f e g ediversa da zero.

Antonio Leaci (Universitá del Salento) Introduzione al corso di Matematica A.A. 2021/22 16 / 74

Equazioni equivalenti

Definizione

Due equazioni si diconoequivalentise e solo se ogni soluzione della prima è soluzione della seconda e viceversa. In modo analogo si definisce l’equivalenza di disequazioni

Proposizione

L’equazione f (x ) = g(x ) si trasforma in una equivalente

sommando o sottraendo ad ambo i membri una stessa funzione definita nell’intersezione dei domini di f e g.

L’equazione f (x ) = g(x ) si trasforma in una equivalente

moltiplicando o dividendo ambo i membri per una stessa funzione definita nell’intersezione dei domini di f e g ediversa da zero.

Disequazioni equivalenti

Proposizione

La disequazione f (x ) < g(x ) si trasforma in una equivalente sommando o sottraendo ad ambo i membri una stessa funzione definita nell’intersezione dei domini di f e g.

La disequazione f (x ) < g(x ) si trasforma in una equivalente moltiplicando o dividendo ambo i membri per una stessa funzione definita nell’intersezione dei domini di f e g estrettamente

positiva.

La disequazione f (x ) < g(x ) si trasforma moltiplicando o dividendo ambo i membri per una stessa funzione h, definita nell’intersezione dei domini di f e g estrettamente negativa, nella disequazione equivalente f (x )h(x ) > g(x )h(x ).

Antonio Leaci (Universitá del Salento) Introduzione al corso di Matematica A.A. 2021/22 17 / 74

Disequazioni equivalenti

Proposizione

La disequazione f (x ) < g(x ) si trasforma in una equivalente sommando o sottraendo ad ambo i membri una stessa funzione definita nell’intersezione dei domini di f e g.

La disequazione f (x ) < g(x ) si trasforma in una equivalente moltiplicando o dividendo ambo i membri per una stessa funzione definita nell’intersezione dei domini di f e g estrettamente

positiva.

La disequazione f (x ) < g(x ) si trasforma moltiplicando o dividendo ambo i membri per una stessa funzione h, definita nell’intersezione dei domini di f e g estrettamente negativa, nella disequazione equivalente f (x )h(x ) > g(x )h(x ).

Disequazioni equivalenti

Proposizione

La disequazione f (x ) < g(x ) si trasforma in una equivalente sommando o sottraendo ad ambo i membri una stessa funzione definita nell’intersezione dei domini di f e g.

La disequazione f (x ) < g(x ) si trasforma in una equivalente moltiplicando o dividendo ambo i membri per una stessa funzione definita nell’intersezione dei domini di f e g estrettamente

positiva.

La disequazione f (x ) < g(x ) si trasforma moltiplicando o dividendo ambo i membri per una stessa funzione h, definita nell’intersezione dei domini di f e g estrettamente negativa, nella disequazione equivalente f (x )h(x ) > g(x )h(x ).

Antonio Leaci (Universitá del Salento) Introduzione al corso di Matematica A.A. 2021/22 17 / 74

Disequazioni equivalenti

Proposizione

La disequazione f (x ) < g(x ) si trasforma in una equivalente sommando o sottraendo ad ambo i membri una stessa funzione definita nell’intersezione dei domini di f e g.

La disequazione f (x ) < g(x ) si trasforma in una equivalente moltiplicando o dividendo ambo i membri per una stessa funzione definita nell’intersezione dei domini di f e g estrettamente

positiva.

La disequazione f (x ) < g(x ) si trasforma moltiplicando o dividendo ambo i membri per una stessa funzione h, definita nell’intersezione dei domini di f e g estrettamente negativa, nella disequazione equivalente f (x )h(x ) > g(x )h(x ).

Equazioni e disequazioni razionali

Si tratta del caso in cui si consideranopolinomi o rapporti di polinomi.

Consideriamo dapprima le potenze fn : R → R, f (x) = xⁿ, n ∈ N.

Distinguiamo tra n dispari ed n pari. I grafici sono:

-1 1

-2 -1 1 2

-1 1

1 2

Figura:Alcune potenze dispari e pari.

Antonio Leaci (Universitá del Salento) Introduzione al corso di Matematica A.A. 2021/22 18 / 74

Radici di indice dispari

Se n ∈ N è dispari risulta x1<x₂ ⇒ (x₁)ⁿ< (x₂)ⁿe l’immagine della funzione f_n(x ) = xⁿè tutto R. Allora si può definire la funzione inversa f_n⁻¹: R → R data dalla relazione fn⁻¹(y ) = x ⇔ y = f_n(x ).

La funzione f_n⁻¹: R → R si chiamaradice n-esimae si denota con f_n⁻¹(y ) =√ⁿ

y . Dunque x =√ⁿ

y ⇔ y = xⁿe√ⁿ

xⁿ=x. Anche f_n⁻¹è bigettiva e strettamente crescente.

I grafici sono i seguenti:

-2 -1 1 2

-1 1

Radici di indice pari

Se n ∈ N è pari risulta 0 ≤ x1<x₂ ⇒ (x1)ⁿ< (x₂)ⁿe l’immagine della funzione fn(x ) = xⁿristretta a [0, +∞) è [0, +∞). Allora si può definire la funzione inversa f_n⁻¹: [0, +∞) → [0, +∞) data dalla relazione f_n⁻¹(y ) = x ⇔ y = f_n(x ). La funzione f_n⁻¹si chiamaradice n-esimae si denota con f_n⁻¹(y ) =√ⁿ

y . Essa è bigettiva e strettamente crescente in [0, +∞). Dunque le radici pari sono sempre positive e√ⁿ

xⁿ = |x |.

I grafici sono i seguenti:

-1 1 2

-1

Alcune radici pari. 1

Antonio Leaci (Universitá del Salento) Introduzione al corso di Matematica A.A. 2021/22 20 / 74

Potenze con esponente negativo o razionale

Per n ∈ N con n > 0 si definisce la funzione

f : R \ {0} → R \ {0} f (x ) = x⁻ⁿ= _x¹n .

Per q = n

m con n ∈ Z e m ∈ N con m ̸= 0 si definisce la funzione f : (0, +∞) → (0, +∞) f (x ) = x^q= √^m

xⁿ. Se considerassimo anche le x < 0 avremmo, ad esempio,

(−8)^1/3= −2 e (−8)^2/6=p⁶

(−8)²=2, dunque la definizione sarebbe mal posta. Proprietà:

x^p· x^q=x^p+q, x^p

x^q =x^p−q, (x^p)^q=x^{p q}, x^p· y^p= (x · y )^p.

Potenze con esponente negativo o razionale

Per n ∈ N con n > 0 si definisce la funzione

f : R \ {0} → R \ {0} f (x ) = x⁻ⁿ= _x¹n .

Per q = n

m con n ∈ Z e m ∈ N con m ̸= 0 si definisce la funzione f : (0, +∞) → (0, +∞) f (x ) = x^q = √^m

xⁿ.

Se considerassimo anche le x < 0 avremmo, ad esempio, (−8)^1/3= −2 e (−8)^2/6=p⁶

(−8)²=2, dunque la definizione sarebbe mal posta. Proprietà:

x^p· x^q=x^p+q, x^p

x^q =x^p−q, (x^p)^q=x^{p q}, x^p· y^p= (x · y )^p.

Antonio Leaci (Universitá del Salento) Introduzione al corso di Matematica A.A. 2021/22 21 / 74

Potenze con esponente negativo o razionale

Per n ∈ N con n > 0 si definisce la funzione

f : R \ {0} → R \ {0} f (x ) = x⁻ⁿ= _x¹n .

Per q = n

m con n ∈ Z e m ∈ N con m ̸= 0 si definisce la funzione f : (0, +∞) → (0, +∞) f (x ) = x^q = √^m

xⁿ. Se considerassimo anche le x < 0 avremmo, ad esempio,

(−8)^1/3= −2 e (−8)^2/6=p⁶

(−8)²=2, dunque la definizione sarebbe mal posta.

Proprietà:

x^p· x^q=x^p+q, x^p

x^q =x^p−q, (x^p)^q=x^{p q}, x^p· y^p= (x · y )^p.

Potenze con esponente negativo o razionale

Per n ∈ N con n > 0 si definisce la funzione

f : R \ {0} → R \ {0} f (x ) = x⁻ⁿ= _x¹n .

Per q = n

m con n ∈ Z e m ∈ N con m ̸= 0 si definisce la funzione f : (0, +∞) → (0, +∞) f (x ) = x^q = √^m

xⁿ. Se considerassimo anche le x < 0 avremmo, ad esempio,

(−8)^1/3= −2 e (−8)^2/6=p⁶

(−8)²=2, dunque la definizione sarebbe mal posta. Proprietà:

x^p· x^q=x^p+q, x^p

x^q =x^p−q, (x^p)^q=x^{p q}, x^p· y^p= (x · y )^p.

Antonio Leaci (Universitá del Salento) Introduzione al corso di Matematica A.A. 2021/22 21 / 74

Potenze con esponente negativo o razionale

Esempi:

8^−2/3= 1

√3

8² = 1 (√³

8)² = 1 4,

(3^{x y}· 3^y)

1

x y = 3^{x y +y}
_{x y}¹

=3

y (x +1)

x y =3^{x +1x} , (2ⁿ+2ⁿ⁺¹)²= (2ⁿ(1 + 2))²=4ⁿ· 9 ,

4

s

√81

64 = 3

8^1/4 = 3 2^3/4 = 3

2

√4

2 ,

2^{x +y}· 2^−y
_{x y}¹

=2^1y ,

4^x2−1=1 ⇒ x = −1 ∨ x = 1 .

Potenze con esponente negativo o razionale

Esempi:

8^−2/3= 1

√3

8² = 1 (√³

8)² = 1 4, (3^{x y}· 3^y)

1

x y = 3^{x y +y}
_{x y}¹

=3

y (x +1)

x y =3^{x +1x} ,

(2ⁿ+2ⁿ⁺¹)²= (2ⁿ(1 + 2))²=4ⁿ· 9 ,

4

s

√81

64 = 3

8^1/4 = 3 2^3/4 = 3

2

√4

2 ,

2^{x +y}· 2^−y
_{x y}¹

=2^1y ,

4^x2−1=1 ⇒ x = −1 ∨ x = 1 .

Antonio Leaci (Universitá del Salento) Introduzione al corso di Matematica A.A. 2021/22 22 / 74

Potenze con esponente negativo o razionale

Esempi:

8^−2/3= 1

√3

8² = 1 (√³

8)² = 1 4, (3^{x y}· 3^y)

1

x y = 3^{x y +y}
_{x y}¹

=3

y (x +1)

x y =3^{x +1x} , (2ⁿ+2ⁿ⁺¹)²= (2ⁿ(1 + 2))²=4ⁿ· 9 ,

4

s

√81

64 = 3

8^1/4 = 3 2^3/4 = 3

2

√4

2 ,

2^{x +y}· 2^−y
_{x y}¹

=2^1y ,

4^x2−1=1 ⇒ x = −1 ∨ x = 1 .

Potenze con esponente negativo o razionale

Esempi:

8^−2/3= 1

√3

8² = 1 (√³

8)² = 1 4, (3^{x y}· 3^y)

1

x y = 3^{x y +y}
_{x y}¹

=3

y (x +1)

x y =3^{x +1x} , (2ⁿ+2ⁿ⁺¹)²= (2ⁿ(1 + 2))²=4ⁿ· 9 ,

4

s

√81

64 = 3

8^1/4 = 3 2^3/4 = 3

2

√4

2 ,

2^{x +y}· 2^−y
_{x y}¹

=2^1y ,

4^x2−1=1 ⇒ x = −1 ∨ x = 1 .

Antonio Leaci (Universitá del Salento) Introduzione al corso di Matematica A.A. 2021/22 22 / 74

Potenze con esponente negativo o razionale

Esempi:

8^−2/3= 1

√3

8² = 1 (√³

8)² = 1 4, (3^{x y}· 3^y)

1

x y = 3^{x y +y}
_{x y}¹

=3

y (x +1)

x y =3^{x +1x} , (2ⁿ+2ⁿ⁺¹)²= (2ⁿ(1 + 2))²=4ⁿ· 9 ,

4

s

√81

64 = 3

8^1/4 = 3 2^3/4 = 3

2

√4

2 ,

2^{x +y}· 2^−y
_{x y}¹

=2^y1,

4^x2−1=1 ⇒ x = −1 ∨ x = 1 .

Potenze con esponente negativo o razionale

Esempi:

8^−2/3= 1

√3

8² = 1 (√³

8)² = 1 4, (3^{x y}· 3^y)

1

x y = 3^{x y +y}
_{x y}¹

=3

y (x +1)

x y =3^{x +1x} , (2ⁿ+2ⁿ⁺¹)²= (2ⁿ(1 + 2))²=4ⁿ· 9 ,

4

s

√81

64 = 3

8^1/4 = 3 2^3/4 = 3

2

√4

2 ,

2^{x +y}· 2^−y
_{x y}¹

=2^y1,

4^x2−1=1 ⇒ x = −1 ∨ x = 1 .

Antonio Leaci (Universitá del Salento) Introduzione al corso di Matematica A.A. 2021/22 22 / 74

Equazioni e disequazioni di 1

grado

Un caso molto semplice

ax + b = 0 a ̸= 0 l’unica soluzione è x = −b a. ax + b > 0 a ̸= 0 le soluzioni sono:

Se a > 0 allora x > −b a :

3x − 2 > 0 ⇔ x > 2 3 Se a < 0 allora x < −b

a :

−3x − 2 > 0 ⇔ x < −2 3

Equazioni e disequazioni di 1

grado

Un caso molto semplice

ax + b = 0 a ̸= 0 l’unica soluzione è x = −b a.

ax + b > 0 a ̸= 0 le soluzioni sono:

Se a > 0 allora x > −b a :

3x − 2 > 0 ⇔ x > 2 3 Se a < 0 allora x < −b

a :

−3x − 2 > 0 ⇔ x < −2 3

Antonio Leaci (Universitá del Salento) Introduzione al corso di Matematica A.A. 2021/22 23 / 74

Equazioni e disequazioni di 1

grado

Un caso molto semplice

ax + b = 0 a ̸= 0 l’unica soluzione è x = −b a. ax + b > 0 a ̸= 0 le soluzioni sono:

Se a > 0 allora x > −b a :

3x − 2 > 0 ⇔ x > 2 3 Se a < 0 allora x < −b

a :

−3x − 2 > 0 ⇔ x < −2 3

Equazioni e disequazioni di 1

grado

Un caso molto semplice

ax + b = 0 a ̸= 0 l’unica soluzione è x = −b a. ax + b > 0 a ̸= 0 le soluzioni sono:

Se a > 0 allora x > −b a :

3x − 2 > 0 ⇔ x > 2 3

Se a < 0 allora x < −b a :

−3x − 2 > 0 ⇔ x < −2 3

Antonio Leaci (Universitá del Salento) Introduzione al corso di Matematica A.A. 2021/22 23 / 74

Equazioni e disequazioni di 1

grado

Un caso molto semplice

ax + b = 0 a ̸= 0 l’unica soluzione è x = −b a. ax + b > 0 a ̸= 0 le soluzioni sono:

Se a > 0 allora x > −b a :

3x − 2 > 0 ⇔ x > 2 3 Se a < 0 allora x < −b

a :

−3x − 2 > 0 ⇔ x < −2 3

Equazioni di 2

grado

L’equazione è ax²+bx + c = 0 con a ̸= 0.

Per risolverla usiamo il metodo delcompletamento del quadrato.

ax²+bx + c = a

 x²+b

ax + c a



=a

 x²+b

ax + b² 4a² +c

a − b² 4a²



=a

"

 x + b

2a

2

+4ac − b² 4a²

#

=0 ,

da cui otteniamo:

 x + b

2a

2

= b²− 4ac 4a² = ∆

4a².

Antonio Leaci (Universitá del Salento) Introduzione al corso di Matematica A.A. 2021/22 24 / 74

Equazioni di 2

grado

Sono possibili tre casi:

se ∆ > 0 esistono due soluzioni distinte x₁= −b −√

∆

2a , x₂= −b +√

∆

2a ,

se ∆ = 0 esiste un’unica soluzionedoppia x₁=x₂= − b

2a, se ∆ < 0 non esistono soluzioni reali. Osservazione

Per ∆ ≥ 0 risulta x₁+x₂= −^b_a, x₁x₂= ^c_a e vale la fattorizzazione ax²+bx + c = a(x − x₁)(x − x₂) .

Equazioni di 2

grado

Sono possibili tre casi:

se ∆ > 0 esistono due soluzioni distinte x₁= −b −√

∆

2a , x₂= −b +√

∆

2a ,

se ∆ = 0 esiste un’unica soluzionedoppia x₁=x₂= − b

2a,

se ∆ < 0 non esistono soluzioni reali. Osservazione

Per ∆ ≥ 0 risulta x₁+x₂= −^b_a, x₁x₂= ^c_a e vale la fattorizzazione ax²+bx + c = a(x − x₁)(x − x₂) .

Antonio Leaci (Universitá del Salento) Introduzione al corso di Matematica A.A. 2021/22 25 / 74

Equazioni di 2

grado

Sono possibili tre casi:

se ∆ > 0 esistono due soluzioni distinte x₁= −b −√

∆

2a , x₂= −b +√

∆

2a ,

se ∆ = 0 esiste un’unica soluzionedoppia x₁=x₂= − b

2a, se ∆ < 0 non esistono soluzioni reali.

Osservazione

Per ∆ ≥ 0 risulta x₁+x₂= −^b_a, x₁x₂= ^c_a e vale la fattorizzazione ax²+bx + c = a(x − x₁)(x − x₂) .

Equazioni di 2

grado

Sono possibili tre casi:

se ∆ > 0 esistono due soluzioni distinte x₁= −b −√

∆

2a , x₂= −b +√

∆

2a ,

se ∆ = 0 esiste un’unica soluzionedoppia x₁=x₂= − b

2a, se ∆ < 0 non esistono soluzioni reali.

Osservazione

Per ∆ ≥ 0 risulta x₁+x₂= −^b_a, x₁x₂= ^c_a e vale la fattorizzazione ax²+bx + c = a(x − x₁)(x − x₂) .

Antonio Leaci (Universitá del Salento) Introduzione al corso di Matematica A.A. 2021/22 25 / 74

Esempi di completamento del quadrato

2x²+3x + 5 = 2

 x²+3

2x + 5 2



= 2



x²+23 4x + 9

16 +5 2− 9

16



=2

 x + 3

4

2

+31 8

−x²+2x − 3 = −

x²− 2 x + 3

= −



x²− 2 x + 1 − 1 + 3

=

− (x − 1)²− 2

Esempi di completamento del quadrato

2x²+3x + 5 = 2

 x²+3

2x + 5 2



= 2



x²+23 4x + 9

16 +5 2− 9

16



=2

 x + 3

4

2

+31 8

−x²+2x − 3 = −

x²− 2 x + 3

= −



x²− 2 x + 1 − 1 + 3

=

− (x − 1)²− 2

Antonio Leaci (Universitá del Salento) Introduzione al corso di Matematica A.A. 2021/22 26 / 74

Disequazioni di 2

grado

Studiamo la disequazioneax²+bx + c > 0con a ̸= 0 e indichiamo con S l’insieme delle soluzioni.

Dalla fattorizzazione precedente segue:

se a > 0







∆ >0 ⇒ S = (−∞, x₁) ∪ (x₂, +∞)

∆ =0 ⇒ S = R \ { x1}

∆ <0 ⇒ S = R

se a < 0







∆ >0 ⇒ S = (x₁,x₂)

∆ =0 ⇒ S = ∅

∆ <0 ⇒ S = ∅

Disequazioni di 2

grado

Studiamo la disequazioneax²+bx + c > 0con a ̸= 0 e indichiamo con S l’insieme delle soluzioni.

Dalla fattorizzazione precedente segue:

se a > 0







∆ >0 ⇒ S = (−∞, x₁) ∪ (x₂, +∞)

∆ =0 ⇒ S = R \ { x1}

∆ <0 ⇒ S = R se a < 0







∆ >0 ⇒ S = (x₁,x₂)

∆ =0 ⇒ S = ∅

∆ <0 ⇒ S = ∅

Antonio Leaci (Universitá del Salento) Introduzione al corso di Matematica A.A. 2021/22 27 / 74

Interpretazione geometrica

Se consideriamo la funzione f (x ) = ax²+bx + c , il suo grafico è una parabola con vertice nel punto −_2a^b, −_4a^∆
.

a>0,D>0

x1 x2

a<0,D>0 x1 x2

a>0,D=0

x1=x2

a<0,D=0 x1=x2

a>0,D<0

Esempi

Disequazione polinomiale:

− x²+5x − 4 ≥ 0 x²− 5x + 4 ≤ 0 (x − 1) (x − 4) ≤ 0 allora S = [1, 4].

Disequazione razionale: 2x − 1

x + 1 ≥ x + 2 x − 1

(2x − 1) (x − 1) − (x + 2) (x + 1) (x + 1) (x − 1) ≥ 0 x²− 6x − 1

(x + 1) (x − 1) ≥ 0

Antonio Leaci (Universitá del Salento) Introduzione al corso di Matematica A.A. 2021/22 29 / 74

Esempi

Disequazione polinomiale:

− x²+5x − 4 ≥ 0 x²− 5x + 4 ≤ 0 (x − 1) (x − 4) ≤ 0 allora S = [1, 4].

Disequazione razionale:

2x − 1

x + 1 ≥ x + 2 x − 1

(2x − 1) (x − 1) − (x + 2) (x + 1) (x + 1) (x − 1) ≥ 0 x²− 6x − 1

(x + 1) (x − 1) ≥ 0

Esempi

Le radici del numeratore sono x_1/2= 6 ±√

40

2 =3 ±

√ 10

mentre le radici del denominatore sono ±1. Dalla regola vista sul segno dei trinomi, e dalla regola dei segni otteniamo:

x1

-1 1 x2

N

D

Q

e dunque la soluzione è S = (−∞, −1) ∪ [3 −√

10, 1) ∪ [3 +√

10, +∞).

Antonio Leaci (Universitá del Salento) Introduzione al corso di Matematica A.A. 2021/22 30 / 74

Esempi

Risolviamo la disequazione x + 4

x + 1−2x − 5

x − 1 > x + 2

x²− 1 − 2 (x ̸= ±1) (x + 4)(x − 1) − (2x − 5)(x + 1)

x²− 1 −x + 2 − 2(x²− 1) x²− 1 >0 x²+3x − 4 − 2x²+3x + 5 − x − 2 + 2x²− 2

x²− 1 >0

x²+5x − 3 x²− 1 >0

Le radici del numeratore sono x_1/2= −5 ±√ 37

2 . Le radici del denominatore sono x_3/4= ±1.