Funzione di rete e sue proprietà

Siccome vale la sovrapposizione degli effetti per i circuiti di impedenze operatoriali, è conveniente analizzarli considerando acceso un solo generatore per volta. In questo modo la soluzione del problema è ricondotta allo studio di un circuito in evoluzione forzata con un solo generatore.

Figura 16 Il circuito in esame: l'ingresso è E(s) e l'uscita è

V

_k

(s)

.

Si consideri un circuito di impedenze pilotato da un solo generatore indipendente, ad esempio di tensione, come illustrato in figura 16. Per la linearità, qualsiasi corrente

I

_j

(s)

(

1

≤

j

≤

b

), può essere rappresentata attraverso una espressione del tipo:

I_j(s)=Y_j(s)E(s), (128)

e qualsiasi tensione V_j(s)(

1

≤

j

≤

b

), attraverso una espressione del tipo:

V_j(s)=K_j(s)E(s), (129)

dove Y_j(s), (grandezze omogenee con una ammettenza) e K_j(s) (grandezze adimensionali), sono indipendenti da E(s): esse dipendono solo dalle impedenze operatoriali del circuito e dal modo in cui sono collegate. Per questa ragione Y_j(s) e K_j(s) sono dette funzioni di rete. La funzione di rete

Y

₁

(s)

è l'ammettenza equivalente “vista” dal generatore di tensione.

Senza perdere di generalità, si supponga di essere interessati, ad esempio, al calcolo della sola tensione

V

_k

(s)

: la tensione E(s) può essere considerata come grandezza d'ingresso e la tensione di interesse

V

_k

(s)

come grandezza d'uscita. Il rapporto tra l'ingresso

V

_k

(s)

e l'uscita E(s) è indipendente dall'ingresso e dipende solo dal circuito N.

Questo rapporto è detto funzione di trasferimento della tensione ed è una particolare funzione di rete. Da ora in poi si adotterà la seguente definizione di funzione di rete o funzione di trasferimento:

funzione di rete



  

 ≡ L_II{ risposta forzata }

L_II{ ingresso } ^{, (130)}

e verrà indicata con H(s); nel caso in esame H(s) è data da H(s)= V_k(s)

E(s) ^{. (131)}

Siccome H(s) non dipende dall'ingresso, essa può essere interpretata, nel dominio s, come l'uscita del circuito quando l'ingresso vale 1. Un ingresso unitario nel dominio s corrisponde ad un ingresso impulsivo di ampiezza unitaria nel dominio del tempo, e quindi la funzione di rete H(s) è proprio la trasformata di Laplace della risposta all'impulso. D'altronde, applicando l'integrale di convoluzione al circuito in esame, si ha

v_k(t)= h(t− τ)e(τ)dτ

−∞

+∞∫ ^{, (132)}

dove h(t) è la risposta all'impulso di Dirac unitario, e(t) è la tensione del generatore di tensione e

v

_k

(t)

è la grandezza di uscita nel dominio del tempo. Applicando, ora, il teorema della convoluzione all'integrale (132), si ottiene proprio la (131), dove

H(s)

=

L

_II

{ h(t)}

. (133)

La regione di convergenza di

V

_k

(s)

è contenuta nella regione del piano complesso ottenuta dall'intersezione della regione di convergenza della funzione di rete H(s) con la regione di convergenza della tensione E(s), che è un dato del problema.

L_II risposta all’impulso

 



 

 = funzione di rete

 



 



Il risultato, che è stato appena ottenuto, è fondamentale per lo studio delle proprietà della funzione di trasferimento di un circuito. In particolare, questo risultato consente di risolvere il problema della determinazione della regione di convergenza del circuito di impedenze, cioè la regione di convergenza delle trasformate delle correnti e delle tensioni del circuito in esame.

Nel § 9.2 è stato mostrato che la risposta impulsiva di un circuito è, in generale, del tipo (per semplificare la notazione si è escluso che vi siano pulsazioni naturali coincidenti)

h (t )= K_he^λht

h=1

∑n



  

 u(t)+k₀δ(t)^{, (134)}

dove λ₁^λ₂^

...,

λ_n sono le frequenze naturali del circuito. Ricordiamo che, λ₁^ λ₂^

...,

λ_n dipendono solo dai parametri dei bipoli lineari e da come sono connessi: esse non dipendono da quali sono le grandezze di uscita. Al variare delle grandezze di ingresso, variano solo i coefficienti K_i per i=0,1,..., n. Il coefficiente k₀ è uguale a zero se l'uscita è una grandezza di stato. (Non è stato preso in considerazione il caso in cui l'ingresso coincida proprio con una grandezza di stato del circuito, ad esempio, la corrente in un induttore o la tensione di un condensatore; in questo caso h(t) potrebbe contenere anche un impulso di Dirac del primo ordine.) Trasformando la (134), si ottiene

0 1

)

(

N

V V .

+



+

=

∑

−

= λ ^{. (135)}

La regione di convergenza della funzione di rete H(s) è l'intersezione delle regioni di convergenza dei singoli termini della (135). La regione di convergenza del termine impulsivo coincide con tutto il piano complesso; invece la regione di convergenza del generico termine

K_he^λhtut, (136)

è il semipiano 5H^

s

`> <sup>5H^</sup>λk<sup>`</sup>. Si ordinino le frequenze naturali in modo tale che

5H^λ₁^{`</sup>≥ <sup>5H^</sup>λ<sub>2</sub><sup>`}≥^{ }≥ ^{5H^}λ_n^`, allora la regione di convergenza della funzione di rete H(s) è il semipiano del piano complesso definito da

5H^s`> PD[

k=1^n

5H^λ_k`=5H^λ<sub>1</sub>`. (137)

Pertanto, la regione di convergenza della funzione di rete di un generico circuito è il semipiano a destra della retta parallela all'asse immaginario e passante per il polo a parte reale più grande.

52&

{

H V

}

=^s 5H^ V `>PD[

h=1^n^{5H^}λ_h`=5H^λ<sub>1</sub>` `

Dalla (135) segue che:

(a) La generica funzione di rete di un circuito è una funzione razionale (quindi meromorfa in tutto il piano complesso)

H(s)= N(s)

D(s)^{, (138)}

dove N(s) e D(s) sono polinomi a coefficienti reali (si faccia l'ipotesi che N(s) e D(s) non abbiano fattori in comune). Il polinomio D(s), a meno di un fattore moltiplicativo, coincide con il polinomio caratteristico del circuito.

(b) A meno di un fattore moltiplicativo, ogni funzione di rete può essere assegnata attraverso i suoi zeri e i suoi poli: i poli di una generica funzione di rete di un circuito sono uguali alle pulsazioni naturali del circuito. In generale è possibile esprimere H(s) come

H(s)= N(s)

D(s) =k(s−z₁)(s−z₂)⋅...⋅(s−z_m)

(s−p₁)(s−p₂)⋅...⋅(s−p_n)^{, (139)}

dove

p

_i = λ_i

per i = 1,2,... n

(140)

e k è una costante reale.

(c) È facile verificare che

grado{ N(s) }

≤

grado{D(s)}

se k₀ 0. Nei casi in cui k0=0, si ha

grado{ N(s) }

<

grado{D(s)}

, e quindi le funzioni di rete sono funzioni razionali proprie ogni volta che l'uscita coincide con una grandezza di stato del circuito. Nel caso in cui l'ingresso coincida con una grandezza di stato, si ha

grado{ N(s) }

≤

[grado{ D(s)}

+

1]

. Osservazione

Ogni polo di H(s) è una frequenza naturale, ma può accadere che non tutte le frequenze naturali siano poli della H(s), a causa delle cancellazioni zeri-poli. L'interpretazione fisica della cancellazione è la seguente. Per il circuito in esame può accadere che: (a) il modo di evoluzione con pulsazione naturale è eccitabile dall'ingresso prescelto, ma non è osservabile all'uscita prescelta; (b) il modo non è eccitabile dall'ingresso prescelto ma è osservabile all'uscita prescelta; (c) il modo non è eccitabile dall'ingresso prescelto e non è osservabile all'uscita prescelta.

- Regione di convergenza di un circuito di impedenze

La regione di convergenza di una funzione di rete non dipende dalla particolare uscita prescelta se si escludono le cancellazioni zeri-poli. Pertanto, in un circuito di impedenze operatoriali con un solo generatore, tutte le grandezze circuitali hanno la stessa regione di convergenza. Essa è delimitata a sinistra dalla retta parallela all'asse immaginario e passante per il polo di H(s) a parte reale più grande, e a destra dalla frontiera di destra della regione di convergenza di E(s), figura 17 (ovviamente stiamo supponendo che l'intersezione non è l'insieme vuoto).

Se il circuito in esame è dissipativo esso è asintoticamente stabile, e quindi le pulsazioni naturali e i poli di H(s) sono a parte reale negativa. In questo caso la regione di convergenza di H(s) contiene l'asse immaginario. Invece nei casi in cui il circuito è passivo ma non è dissipativo, esso è stabile (ma non necessariamente asintoticamente stabile), e quindi alcuni poli di H(s), (al limite tutti), potrebbero trovarsi sull'asse immaginario. In questo caso la regione di convergenza di H(s) è il semipiano a destra dell'asse immaginario e l'asse immaginario ne costituisce la frontiera. Nel caso in cui il circuito fosse conservativo, tutti poli di H(s) si troverebbero sull'asse immaginario. Infine, se il circuito contenesse elementi attivi, esso potrebbe essere instabile. In questo caso H(s) avrebbe poli a destra dell'asse immaginario e la regione di convergenza è un semipiano che non contiene l'asse immaginario ed è alla sua destra. In figura 18 sono illustrati degli esempi di diagrammi di poli di un circuito asintoticamente stabile, figura 18a, di un circuito stabile, figura 18b, di un circuito conservativo, figura 18c e di un circuito instabile, figura 18d.

Figura 17 Regione di convergenza della funzione di trasferimento(a), regione di convergenza dell’ingresso (b) e regione di convergenza della risposta del circuito (c).

Figura 18 Esempi di diagramma di poli: circuito asintoticamente stabile (a), circuito stabile (b), circuito conservativo (c) e circuito instabile (d).

Esempio

Si consideri il circuito in evoluzione forzata descritto in figura 19; il generatore di tensione impone una tensione costante per t<0 uguale a 1 [V] e si spegne all’istante t=0. Si determini la tensione v(t) del condensatore usando il metodo della trasformata di Laplace.

Figura 19 Circuito in esame (a) e circuito di impedenze operatoriali corrispondente (b).

Prima di tutto bisogna costruire il circuito di impedenze operatoriali corrispondente. La trasformata della tensione del generatore di tensione vale (si consulti la Tabella I):

E(s)=1

s ROC: Re{ s }<0. (141)

Al resistore corrisponde l’impedenza Z=R, all’induttore corrisponde l’impedenza Z=sL e al condensatore corrisponde l'impedenza Z=1/(sC). Il circuito di impedenze è illustrato in figura 19b.

L'incognita è la tensione V(s) del impedenza operatoriale corrispondente al condensatore. Siccome le tre impedenze operatoriali sono in serie e la tensione ai capi della serie è nota, è possibile applicare la regola del partitore di tensione per calcolare V(s). Così facendo, si ottiene:

V(s)=E(s) 1 sC R+sL+ 1

sC

=E(s) (1 / LC) s²+ R

L

  

 s+ 1 LC

. (142)

La regione di convergenza di V(s) è contenuta nella regione ottenuta dall'intersezione della regione di convergenza di E(s) con la regione di convergenza della funzione di rete

H(s)

=

(1/ LC) s

²+

R

L

  



s

+

1 LC

, (143)

che nel caso in esame vale:

H(s)= 2⋅10¹²

s²+2⋅10⁶s+2⋅10¹² = 2⋅10¹²

(s−p₊)(s−p₋)^{, (144)}

dove:

p

_± =

10

⁶

(

−

1

±

i)

. (145)

La regione di convergenza di H(s) è data da

Re{ s }

>

Re{ p

₊

}

= −

10

⁶. (146)

Allora la regione di convergenza di V(s) è la striscia del piano complesso definita da

−

10

⁶ <

Re{ s }

<

0

. (147)

Una volta determinata la regione di convergenza di V(s), per antitrasformare (usando la Tabella I), c'è bisogno di decomporre V(s) in fratti semplici. Nel caso in esame V(s) ha tre poli, due sono

p

_± =

10

⁶

(

−

1

±

i)

e l'altro è il polo nell'origine dovuto a E(s). Decomponendo in fratti semplici, si ottiene:

V(s)= 2⋅10¹²

s(s−p₊)(s−p₋) = A

s + A₊

s−p₊ + A₋

s−p₋ ^{, (148)}

dove

A=1, A₊ = −(1−i) / 2= − 2

2 e^−iπ/4,A₋ =A^*₊ = −(1+i) / 2= − 2

2 e^iπ/4. (149) Ora bisogna antitrasformare i singoli termini della (148) usando la Tabella I, prestando attenzione alla scelta della regione di convergenza. Il fratto 1/s ha due possibili regioni di convergenza, Re{s}<0 o Re{s}>0. Tra queste due bisogna scegliere quella che ha intersezione non vuota con la regione di

convergenza di V(s) data dalla (147), e quindi deve essere Re{s}<0. Pertanto l’antitrasformata del termine 1/s è

L⁻_II¹{1 / s }= −u(−t ). (150)

Il fratto

A

₊

/ (s

−

p

₊

)

ha due possibili regioni di convergenza,

Re{ s }

>

Re{ p

₊

} oppure Re{s }

<

Re{ p

₊

}

. Tra queste due bisogna scegliere quella che ha intersezione non vuota con la regione di convergenza di V(s) e quindi

Re{ s }

>

Re{ p

₊

}

. Pertanto l'antitrasformata del termine

A

₊

/ (s

−

p

₊

)

è

L

⁻_II¹

{A

₊

/ (s

−

p

₊

)}

=

A

₊

e

^p+t

u(t )

. (151) Analogamente per il fratto

A

₋

/ (s

−

p

₋

)

, l'antitrasformata vale

L

⁻_II¹

{A

₋

/ (s

−

p

₋

)}

=

A

₋

e

^p−t

u(t)

. (152)

La tensione del condensatore nel dominio del tempo si ottiene combinando le (150), (151) e (152);

essa vale

v (t)= −u(−t)+ 2u(t )e⁻¹⁰

6t

cos(10⁶t− π/ 4). (153)

v(t) è continua ovunque, perché è una grandezza di stato e il generatore è limitato.

Esempio

È interessante considerare, ora, il caso in cui nel circuito di figura 19 la tensione e(t) vale e(t )=u(t); per t<0 il circuito è nello stato di riposo e all'istante t=0 viene applicata una tensione costante pari a 1. La trasformata della tensione applicata è

L_II{ e₁(t)}=1

s ROC={ s: Re{s }> 0}. (154)

L'espressione analitica della V(s) è la stessa del caso precedente, cambia solo la regione di convergenza: V(s) è data ancora dalla (148) e i coefficienti dell'espansione dalla (149). In questo caso essa è l'intero semipiano a destra dell'asse immaginario, e quindi l'antitrasformata vale

v₁(t)=u (t)+ 2 u(t )e⁻¹⁰

6t

cos(10⁶t− π/ 4); (155)

la tensione del condensatore è uguale a zero per t<0 e tende asintoticamente a 1 per t∅ . Nel caso precedente era uguale a −1 per t<0 e tendeva asintoticamente a zero per t∅ . L'esempio appena svolto fa capire come sia importante determinare correttamente la regione di convergenza del circuito di impedenze operatoriali in esame.

Esempio

Si consideri, ora, il circuito del primo ordine in evoluzione forzata descritto in figura 20; il generatore di tensione impone una tensione costante per t<0 uguale a 1, e una tensione sinusoidale per t>0 con ampiezza uguale a 1 e pulsazione uguale a 1000. Si determini la tensione v(t) del condensatore usando il metodo della trasformata di Laplace.

Figura 20 Circuito in esame (a) e circuito di impedenze operatoriali corrispondente (b).

Prima di tutto bisogna costruire il circuito di impedenze operatoriali corrispondente. In questo caso la tensione applicata attraverso il generatore di tensione è costituita da due termini. La trasformata del termine u(-t) vale (si consulti la Tabella I):

E₁(s)= −1

s ROC={ s: Re{ s }<0 }, (156)

e la trasformata del termine u(t)sin(1000t) vale E₂(s)= 1000

(s² +10⁶) ROC={s: Re{ s }>0 }. (157)

Figura 21

Siccome le regioni di convergenza di

E

₁

(s) e E

₂

(s)

non si intersecano, i loro contributi dovrebbero essere determinati separatamente, considerando i due circuiti di impedenze operatoriali illustrati in figura 21. In realtà ciò non è necessario, basta solo mantenere distinti i due contributi nell'espressione della tensione V(s) da determinare.

Applicando il partitore di tensione al circuito di impedenze operatoriali illustrato in figura 20b, si ottiene

V(s)=E₁(s)H(s)+E₂(s)H(s), H(s) = 1 / RC

s+1/ RC = 10³

s+10^{3 . (158)}

La regione di convergenza della funzione di rete H(s) è

Re{ s }

> −

10

³, (159)

e quindi le regioni di convergenza dei termini

V

₁

(s)

=

E

₁

(s)H(s) e V

₂

(s)

=

E

₂

(s)H(s)

sono:

V₁(s) ROC₁={s:−10³ <Re{s }<0 },

V₂(s) ROC₂ ={ s: 0<Re{ s }}. ⁽¹⁶⁰⁾

Per antitrasformare bisogna decomporre

V

₁

(s) e V

₂

(s)

in fratti semplici,

V

₁

(s)

= −

10

³

s(s+ 10

³

)

= −

1

s

+

1

(s

+

10

³

) , V

₂

(s)

=

10

⁶

(s+ 10

³

)(s

²+

10

⁶

)

=

1 2

10

³−

s

(s

²+

10

⁶

)

−

1 (s+ 10

³

)



 



 

.

(161)

Antitrasformando le (161) con le regioni di convergenza (160), si ottiene la tensione v(t) v (t)=u(−t)+ 1

2u(t)[3e^−1000t −cos(1000t)+sin(1000t)]. (162) La tensione del condensatore è costante per t<0 ed è uguale a −1. Per t>0 c'è un transitorio dovuto alla modifica della sorgente avvenuta all'istante t=0. Per t∅+ il circuito è in regime sinusoidale.

I precedenti esempi e le considerazioni fin qui svolte suggeriscono un algoritmo per la soluzione di un circuito arbitrario in evoluzione forzata.

Procedura per la soluzione di un circuito in evoluzione forzata tramite la LII-trasformata

Passo 1. Si costruisce la rete di impedenze operatoriali corrispondente al circuito N.

Passo 2. Si risolve la rete di impedenze operatoriali applicando la sovrapposizione degli effetti e le altre tecniche tipiche delle reti resistive lineari (equivalenze serie e parallelo, regole dei partitori, ...). Allora qualsiasi corrente di lato

I

_k =

I

_k

(s)

, o qualsiasi tensione di lato

V

_k

= V

_k

(s)

è data da un'espressione del tipo

H

₁^e

(s)E

₁

(s)

+

...

+

H

_α^e

(s)E

_α

(s)

+

H

₁^J

(s)J

₁

(s)

+

...

+

H

_β^J

(s)J

_β

(s)

, (163) dove

H

₁^e

(s), ..., H

_α^e

(s), H

₁^J

(s), ..., H

_β^J

(s)

sono funzioni di rete del circuito, corrispondenti alla stessa uscita e agli ingressi definiti, rispettivamente, dai generatori di tensione indipendenti E₁(s), ..., E_α(s), e dai generatori di corrente indipendenti

J

₁

(s), ..., J

_β

(s)

.

Passo 3. Bisogna determinare la regione di convergenza di ciascun termine della (163), e decomporli in fratti semplici.

H

₁^e

(s), ..., H

_α^e

(s), H

₁^J

(s), ..., H

_β^J

(s)

hanno la stessa regione di convergenza (stiamo assumendo che non ci sono cancellazioni zeri-poli);

invece le regioni di convergenza di E₁(s), ..., E_α(s),

J

₁

(s), ..., J

_β

(s)

sono, in generale, distinte (potrebbero anche avere intersezione vuota).

Passo 4. Infine, per determinare le grandezze nel dominio del tempo bisogna antitrasformare i singoli termini (utilizzando le Tabelle), prestando la massima attenzione alle regioni di convergenza di ciascuno di essi.

Nel documento CIRCUITI LINEARI TEMPO-INVARIANTI (pagine 36-44)