Gli esempi che Daniel Bernoulli aveva esposto a corredo della sua teoria del-l’utilit`a nello Specimen [2] mostravano come il calcolo delle probabilit`a potesse costituire uno strumento razionale per decidere una strategia di comportamento di fronte a decisioni che comportavano un rischio. Una di queste situazioni si ricollegava ad un problema di grande impatto sociale: `e opportuno o meno pra-ticare l’inoculazione43 per ridurre il rischio di mortalit`a dovuta al vaiolo? Nel XVIII secolo il vaiolo rappresent`o la maggiore causa di mortalit`a in Europa ed il dibattito sull’opportunit`a di campagne di prevenzione fior`ı in diversi paesi:
in Francia esso coinvolse, tra gli altri, D’Alembert e Daniel Bernoulli. L’ino-culazione comportava dei rischi poich´e prevedeva il contatto diretto della pelle dell’individuo con pustole vaiolose attive. Si stimava che, per un parigino, la probabilit`a di morire per aver contratto il vaiolo fosse di 17 mentre la probabi-lit`a di morire a seguito dell’inoculazione era inferiore ma non nulla. Il medico e scienziato inglese James Jurin (1684-1750) riport`o in [26] due dati: su una popo-lazione di 182 pazienti inglesi sottoposti all’inocupopo-lazione, 2 erano morti mentre un’inoculazione condotta a Boston, negli stati Uniti, aveva fatto registrare una mortalit`a di 3005 . Si presentava dunque un dilemma: correre il rischio certo ed immediato legato all’inoculazione oppure non sottoporsi all’inoculazione e dunque diluire nel tempo il rischio [22]. Nelle parole di Jurin:
Veniamo ora, Signore, alla seconda parte del nostro progetto che `e quella di ottenere una stima del rischio che tutti gli uomini, uno insieme all’al-tro, corrono di morire del vaiolo naturale e di confrontarla con il rischio
43In medicina l’inoculazione `e l’introduzione nell’organismo di un agente patogeno tramite un’iniezione od un incisione cutanea.
dell’inoculazione, cosicch´e la gente possa formarsi un giudizio se la pra-tica dell’inoculazione tenda o meno a preservare l’umanit`a, riducendo il pericolo al quale altrimenti sono soggetti.44 ([26], pp. 215-216, [32])
Nel 1760 Daniel Bernoulli present`o all’Accademia delle Scienze di Parigi un la-voro [3], in cui affrontava questo problema anche per rispondere ad un’obiezione piuttosto diffusa, non solo tra gli strati bassi della societ`a: vale la pena sotto-porsi all’inoculazione visto che, in media, si aggiunge una aspettativa di vita di soli due anni ai bambini nati da poco? Per rispondere in modo scientifico all’obiezione, Bernoulli, il cui lavoro sar`a pubblicato solo nel 1766, riteneva che si dovessero confrontare due tavole di mortalit`a: una che tenesse conto delle morti per vaiolo; l’altra, ipotetica, corrispondente al caso in cui il vaiolo fos-se stato debellato. A questo progetto si opponeva l’indisponibilit`a di un dato cruciale nelle tavole di mortalit`a esistenti: l’et`a delle persone decedute a causa del vaiolo. Per ovviare a questa carenza di informazioni Bernoulli svolse alcune considerazioni per stimare i due parametri ritenuti fondamentali:
1. la probabilit`a che un soggetto di una data et`a contragga la malattia in un certo anno;
2. la probabilit`a di guarigione per un soggetto che abbia contratto la malat-tia.
Anche questi parametri erano difficili da ottenere ma Bernoulli riteneva di poter-ne surrogare la conoscenza con quella di due altri dati. Egli anzitutto contestava l’idea che il vaiolo si diffondesse tra i pi`u giovani per un problema di costituzione.
Se i giovani si ammalavano di pi`u era perch´e la malattia, salve rare eccezioni, non veniva contratta pi`u di una volta per cui molti adulti non contraevano la malattia perch´e erano diventati immuni. Secondo l’analisi di Bernoulli, la pro-babilit`a di contrarre il vaiolo entro i cinque anni di et`a era 12; entro i dieci anni era di 34; entro i 20 anni di et`a era 1516 e 40004001 entro i 60 anni di et`a. L’ipotesi formulata da Bernoulli era la seguente:
finch´e non si `e contratto il vaiolo, si corre sempre lo stesso rischio di contrarlo.45 ([3], p. 4).
La seconda ipotesi riguardava la probabilit`a di morire, una volta contratta la malattia:
il rischio di morte a seguito del vaiolo potr`a essere considerato lo stesso ad ogni et`a, in un anno qualsiasi.46 ([3], p. 4).
44We come now, Sir, to the second part of our design, which is to form an estimate of the hazard, which all mankind, one with another, are under of dying of the natural small pox, that, by comparing this with the hazard of inoculation, the publick may be enabled to form a judgment, whether or no the practice of inoculation tends to the preservation of mankind, by lessening the danger to which they are otherwise liable.
45tant qu’on n’s pas eu la petite v´erole on court continuellement la mˆeme risque de l’avoir.
46le risque de mourir de la petite v´erole, quand on en est attaqu´e, pourroit bien ˆetre, ann´ee commune, la mˆeme a tout ˆage.
Queste ipotesi di lavoro si traducono formalmente in queste richieste:
1. la probabilit`a che un individuo facente parte di un gruppo formato da un numero rilevante di persone contragga in un certo anno di vita il vaiolo `e
1
n, indipendentemente dalla sua et`a;
2. probabilit`a che un individuo muoia, una volta contratto il vaiolo, `e m1, indipendentemente dalla sua et`a.
Il modello epidemiologico di Bernoulli pu`o ora essere costruito. Si indichi con x l’et`a di un individuo, espressa in anni; sia ξ = ξ(x) in numero di individui che raggiungono quell’et`a all’interno di una popolazione; sia s(x) ≤ ξ(x) il numero di individui che non hanno ancora contratto il vaiolo all’et`a x. Allora −ds rappresenta il numero di individui che contraggono il vaiolo nel tempuscolo dx ed `e −ds = sdxn e quelli che ne muoiono sono sdxmn. Gli individui che muoiono per altre cause, nello stesso tempuscolo dx, sono −dξ −sdxmn. Poich´e questo numero va riferito al campione di s individui,47 per avere l’espressione corretta di −ds occorre moltiplicare questo contributo per sξ arrivando a
−ds = sdx n −sdξ
ξ −s2dx
mnξ. (6.11)
Per integrare (6.11), Bernoulli ne riordin`o i termini sdξ
ξ − ds = sdx
n −s2dx mnξ e, moltiplicando ambo i membri per sξ2, ottenne
sdξ − ξds s2 =ξdx
ns − dx
mn. (6.12)
Posto q := ξs si ha
mndq = mqdx − dx = (mq − 1)dx ovvero
mndq
mq − 1 = dx (6.13)
da cui segue finalmente
n ln(mq − 1) = x + C (6.14)
per una opportuna costante di integrazione C. Ripristinando le variabili iniziali e passando alla forma esponenziale si ottiene
mξ s − 1
n
= ex+C (6.15)
47Come ripeter`a pi`u avanti, Bernoulli ipotizza che i decessi all’interno della popolazione dovuti a cause diverse dal vaiolo siano proporzionali al numero di individui che compongono la popolazione stessa.
e quindi
s = m
ex+Cn + 1ξ. (6.16)
Per determinare il valore di C, Bernoulli suppose che all’et`a x = 0 si avesse ξ(0) = s(0), ricavando
eCn = m − 1
e, infine,
s(x) = m
(m − 1)exn+ 1ξ(x) (6.17)
che esprime s(x) in termini dei parametri di modello e della funzione ξ(x) che si suppone nota, almeno per punti, dalle tavole di mortalit`a che Bernoulli utilizza per costruirne a sua volta un’altra in cui vengano messi in luce gli effetti del vaiolo, prendendo m = n = 8 cosicch´e
s(x) = 8
7ex8 + 1ξ(x) . (6.18)
Osserviamo come Bernoulli sia ben consapevole del fatto che supporre m ed n costanti sia solo una approssimazione, ragionevolmente plausibile per indivi-dui di et`a inferiore ai 20 anni perch´e la mortalit`a aumenta in individui di et`a maggiore. La teoria di Bernoulli consentiva di stimare in circa 131 la frazione dell’intera popolazione che muore di vaiolo, conformemente ai dati disponibili
sulle cause di mortalit`a.
x ξ(x) s(x) ξ(x) − s(x) I(x) M(x) Σ(x) A(x)
0 1300 1300 0
1 1000 896 104 137 17, 1 17, 1 283
2 855 685 170 99 12, 4 29, 5 133
3 798 571 227 78 9, 7 39, 2 47
4 760 485 275 66 8, 3 47, 5 30
5 732 416 316 56 7, 0 54, 5 21
6 710 359 351 48 6, 0 60, 5 16
7 692 311 381 42 5, 2 65, 7 12, 8
8 680 272 408 36 4, 5 70, 2 7, 5
9 670 237 433 32 4, 0 74, 2 6
10 661 208 453 28 3, 5 77, 7 5, 5
11 653 182 471 24, 4 3, 0 80, 7 5
12 646 160 486 21, 4 2, 7 83, 4 4, 3
13 640 140 500 18, 7 2, 3 85, 7 3, 7
14 634 123 511 16, 6 2, 1 87, 8 3, 9
15 628 108 520 14, 4 1, 8 89, 6 4, 2
16 622 94 528 12, 6 1, 6 91, 2 4, 4
17 616 83 533 11, 0 1, 4 92, 6 4, 6
18 610 72 538 9, 7 1, 2 93, 8 4, 8
19 604 63 541 8.4 1, 0 94, 8 5
20 598 56 542 7, 4 0, 9 95, 7 5, 1
21 592 48, 5 543 6, 5 0, 8 96, 5 5, 2 22 586 42, 5 543 5, 6 0, 7 97, 2 5, 3
23 579 37 542 5, 0 0, 6 97, 8 6, 4
24 572 32, 4 540 4, 4 0, 5 98, 3 6, 5
La prima colonna della tabella di Bernoulli rappresenta l’et`a degli individui di una coorte di 1300 individui che si suppongono essere nati tutti al medesimo istante; la seconda colonna contiene il numero ξ(x) di individui della coorte so-pravvissuti all’et`a x; la terza colonna contiene s(x), gli individui che all’anno x di vita non hanno ancora contratto il vaiolo, secondo quanto ottenuto dalla (6.18).
La quarta colonna presenta le differenze ξ(x) − s(x) che definiscono il numero di individui che, avendo raggiunto l’et`a x, hanno gi`a contratto il vaiolo. La quinta colonna indica il numero I(x) di individui di et`a x che hanno probabilmente contratto il vaiolo nell’anno precedente e andrebbe descritto, secondo l’ipotesi di Bernoulli, come s8. Qui per`o Bernoulli introdusse una correzione consideran-do I(x) = 18s(x)+s(x−1)
2
. La sesta colonna indica il numero M (x) = I(x)8 di morti di vaiolo in un anno mentre, nella colonna successiva, Σ(x) `e numero di individui della coorte, morti di vaiolo con un’et`a non superiore ad x anni. Infine, nell’ultima colonna sono contati i morti A(x) per cause diverse dal vaiolo. `E su questa colonna che occorre basarsi per le rendite vitalizie perch´e in alcuni contratti non era permesso stipulare una polizza a vantaggio di un giovane che ancora non avesse contratto (e superato) il vaiolo. Bernoulli non procede la
ta-bella oltre x = 24 perch´e ritiene meno affidabili le ipotesi di modello per et`a pi`u elevate. Per discutere quantitativamente i vantaggi della prevenzione del vaio-lo, Bernoulli costru`ı una ulteriore tabella confrontando la mortalit`a nello stato naturale—in cui cio`e il vaiolo `e presente (´etat naturel et variolique)—con quella in un’ipotetica situazione dove il vaiolo `e stato debellato (´etat non variolique).
x ξ(x) z(x) g(x)
0 1300 1300 0
1 1000 1017, 1 17, 1 2 855 881, 8 26, 8 3 798 833, 3 35, 3 4 760 802, 0 42, 0 5 732 779, 8 47, 8 6 710 762, 8 52, 8 7 692 749, 1 57, 2 8 680 740, 9 60, 9 9 670 734, 4 64, 4 10 661 728, 4 67, 4 11 653 722, 9 69, 9 12 646 718, 2 72, 2 13 640 741, 1 74, 1 14 634 709, 7 75, 7 15 628 705, 0 77, 0 16 622 700, 1 78, 1 17 616 695, 0 79, 0 18 610 689, 6 79, 6 19 604 684, 0 80, 0 20 598 678, 2 80, 2 21 592 672, 3 80, 3 22 586 666, 3 80, 3 23 579 659, 0 80, 0 24 572 651, 7 79, 7 25 565 644, 3 79, 3
Le prime due colonne sono rimaste immutate mentre la terza colonna rappre-senta la popolazione residua z(x) di et`a x se non vi fosse il vaiolo. Per ottenere gli elementi di questa colonna si parte da ξ(1) + M (1) = z(1) e si osserva che i morti per altre malattie si mantengono in proporzione al numero di individui che compongono la proporzione per cui, se su 1000 individui che nello stato naturale raggiungono il primo anno di vita, ne muoiono 133, partendo da z(1) = 1017, 1 individui, ne moriranno un numero y tale che
ξ(1) : z(1) = A(2) : y
cio`e, essendo A(2) = 133, y = 135, 2. Questo numero rappresenta gli individui della popolazione morti nel passaggio tra il primo ed il secondo anno di vita nello stato ideale, senza vaiolo. Pertanto, z(2) = z(1) − y = 881, 8 ed in modo
analogo si costruiscono i valori successivi di z(x). Infine la quarta colonna rappresenta il guadagno g(x) dello stato ideale, senza vaiolo, rispetto allo stato naturale (gain absolu) definito semplicemente come g(x) = z(x) − ξ(x) anche se in verit`a, come Bernoulli discute nel corso della memoria, `e il guadagno relativo (gain relatif) g(x)ξ(x) a dare una misura precisa dell’impatto dell’inoculazione sulla mortalit`a. Ora, mentre il guadagno assoluto pu`o anche diminuire al crescere di x, quello relativo si mantiene crescente, tendendo ad approssimare il valore
1
7, quando x `e sufficientemente grande. Per trovare analiticamente il valore del rapporto z(x)ξ(x) nel limite di x sufficientemente grandi, Bernoulli osserv`o che la diminuzione −dξ nel tempuscolo dx della popolazione nello stato naturale ha una componente sdxmn dovuta al vaiolo per cui la mortalit`a complessiva in assenza di vaiolo sar`a − dξ +sdxmn. Questa mortalit`a `e per`o riferita ad una popolazione di ξ(x) individui; per riferirla alla popolazione dello stato senza vaiolo, occorre moltiplicarla per zξ ottenendo dunque
−z ξ
dξ +sdx mn
= −dz
da cui segue
dz z −dξ
ξ = sdx ξmn
e, sostituendo il valore di s(x) trovato nell’equazione (6.17), dz
z −dξ ξ =
1 ndx (m − 1)exn+ 1 che si riscrive come
d ln z − d ln ξ = d lnz
ξ = d ln exn− d ln(m − 1)enx + 1 = d ln enx (m − 1)exn+ 1 da cui si ottiene, osservando che z(0) = ξ(0),
z
ξ = mexn (m − 1)exn+ 1.
Bernoulli conclude che, se si prende un valore sufficientemente grande (un peu grand) per x, si ha zξ ≃ m−1m che misura il vantaggio dell’inoculazione. Pren-dendo m = 8 l’assenza di vaiolo offrirebbe ogni anno allo stato ed alla societ`a francese 25 mila persone in pi`u in et`a utile, cio`e superiore ai 16 anni. Tutto questo ci riporta al nucleo del problema sollevato da Jurin: `e chiaro che se non ci fosse rischio alcuno nell’inoculazione, non ci sarebbe alcun motivo per non in-traprendere una campagna a favore di questa pratica. Il rischio di morte dovuto all’inoculazione, per quanto piccolo, gettava un’ombra di dubbio sulla validit`a della proposta. La questione viene formalizzata in questi termini da Bernoulli:
Cosa sarebbe dello stato dell’umanit`a se, con un certo numero di vittime, gli si potesse procurare l’esenzione dal vaiolo presente in natura?48 ([3], p. 31)
Se una persona su N muore a seguito dell’inoculazione, occorre modulare i valori di z(x), moltiplicandoli per N −1N : nel caso numerico esaminato in cui N = 200, Bernoulli mostra come, per effetto di questi rischi, la vita media si abbassi di un mese e 20 giorni rispetto a quella in assenza di vaiolo ma rimanga ancora molto al di sopra del valore nello stato naturale. Per rincarare la dose, Bernoulli mostr`o come N dovesse scendere al valore 9.43 perch´e non vi fosse differenza di vita media con lo stato naturale, in cui il vaiolo non viene contrastato con azioni specifiche. Anche con un tasso di mortalit`a per inoculazione cos`ı alto, restereb-be un vantaggio a procedere comunque con l’inoculazione perch´e la mortalit`a colpirebbe soprattutto i bambini non ancora utili alla societ`a, mentre sopra i 16 anni vi resterebbe un vantaggio rispetto allo stato naturale.
Bernoulli inizi`o a leggere la propria memoria sull’inoculazione il 30 aprile del 1760; il 12 novembre di quello stesso anno, D’Alembert lesse la propria rispo-sta in cui metteva a fuoco due problemi: a suo dire il punto di virispo-sta corretto da cui partire nei calcoli sul vantaggio dell’inoculazione non era ancora stato toccato in letteratura; inoltre, le difficolt`a, forse insormontabili, di ridurre al calcolo il vantaggio dell’inoculazione non costituiscono una buona ragione per non attuarla. D’Alembert svolse il ruolo di avvocato del diavolo a favore dell’i-noculazione, cercando i punti deboli nelle motivazioni addotte in suo favore, per fornire argomenti migliori. D’Alembert contestava l’argomento della disparit`a del rischio corso da chi non si vaccina, a fronte di una bassa mortalit`a dovu-ta all’inoculazione, perch´e si confrondovu-tano rischi che agiscono su scale temporali molto diverse: poich´e la morte dovuta all’inoculazione si verificava entro qual-che giorno, i rischi connessi andrebbero confrontati con quelli di contrarre il vaiolo entro lo stesso intervallo temporale. La differenza pi`u significativa `e che, superata positivamente l’inoculazione, non si temerebbe pi`u la malattia, che invece `e continuamente temuta da chi non si premunisce [13]. Nella versione del lavoro [14] letta all’Accademia delle Scienze D’Alembert non fece uso di modelli matematici che sono invece descritti negli Opuscules Math´ematiques ([15], [17]).
Tra i diversi problemi di indole statistica di cui `e intessuto il Capitolo VIII della Th´eorie analytique di Laplace, trover`a spazio anche lo studio della mor-talit`a dovuta al vaiolo. Laplace si chiese quale sarebbe stata la durata media della vita se fosse stato possibile eliminare del tutto una causa di mortalit`a. I suoi calcoli non sono molto diversi da quelli di Bernoulli e non saranno discussi in questa sede.
48Quel seroit l’´etat de l’humanit´e, si moyennant un certain nombre de victimes on pouvoit lui procurer une exemption de la p´etite v´erole naturelle?
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