Il ruolo del Marchese di Condorcet (Marie-Jean-Antoine-Nicholas de Caritat, 1743-1794) nella storia del calcolo delle probabilit`a `e controverso. Il calcolo delle probabilit`a giocava un ruolo fondamentale nel suo programma di math´ematique sociale, cio`e di applicazione della matematica non solo alle scienze tradizio-nalmente affini come la fisica ma anche a discipline che coinvolgevano la vita sociale e politica. Questo programma era ereditato dalla visione di Anne-Robert-Jacques Turgot (1724-1781) che fu economista e filosofo oltre che ministro delle finanze sotto Luigi XVI, per poco meno di due anni. Come ricorda Condor-cet nell’introduzione all’Essai sur l’application de l’analyse `a la probabilit´e des d´ecisions rendues `a la pluralit´e des voix, Turgot
era persuaso che le verit`a delle scienze morali e politiche fossero suscet-tibili dello stesso grado di certezza di quelle che formano il sistema delle scienze fisiche e di quelle branche di queste scienze, come l’astronomia, che sembrano raggiungere la certezza matematica.37 ([10], p. i)
Ora consideriamo l’approccio di Condorcet al problema di S. Pietroburgo che figura nella prima parte di una memoria del 1784, dedicata ad esaminare il con-cetto di speranza matematica, nell’Essai del 1785 e negli ´El´emens de probabilit´e, et son application aux jeux d’hazard, a la loterie et aux jugemens des hommes, pubblicati dopo la sua morte. Condorcet anzitutto sottolinea che l’aspettazione non fornisce il reale vantaggio di un giocatore ma solamente un valore medio di questo vantaggio. L’argomento `e semplice: se ho probabilit`a 13 di guadagnare 2 e 23 di guadagnare 1, il mio vantaggio, cio`e l’aspettazione `e 43, valore che per`o non otterr`o mai, dal momento che otterr`o 2 oppure 1: l’aspettazione, qui calco-lata su un singolo evento, fornisce una sorta di punto di equilibrio tra le parti.
Il punto `e di stabilire se la formula proposta per il calcolo dell’aspettazione sia attendibile o meno. Per Condorcet la risposta `e affermativa dal momento che essa gode di tre propriet`a:
1. La somma delle differenze positive e negative tra essa ed i valori dati dall’osservazione, ovvero la somma delle differenze tra questo valore ed i valori veri, ugualmente possibili, `e uguale a zero.
37´etait persuad´e que les v´erit´es des Sciences morales et politiques, sont susc´eptibles de la mˆeme certitude que celles qui forment le syst´eme des Sciences physiques, et mˆeme que les branches de ces Sciences qui, comme l’Astronomie, paroissent approcher de la certitude math´ematique.
2. La differenza tra il valore vero incognito, o un valore vero possibile qualunque ed il valore medio `e uguale alla somma delle differenze tra ciascuno di questi valori veri e gli altri valori osservati, o i valori possibili, divisa per il loro numero.
3. Prendendo, in circostanze simili, questo valore medio come un va-lore vero, l’evento pi`u probabile sar`a quello nel quale le differenze in eccesso e in difetto tra realt`a ed ipotesi si compenseranno; inol-tre si avr`a una probabilit`a sempre crescente che la loro somma non superer`a che di una parte piccola a piacere la pi`u grande somma possibile di queste differenze mentre, nello stesso tempo, non esiste alcuna altra legge che possa fornire una probabilit`a anch’essa sem-pre crescente di non scostarsi che di una quantit`a sempre costante.
Infine si avr`a una probabilit`a che si avvicina sempre ad 12 ovvero che tende sempre all’uguaglianza tra il fatto che questa somma sia positiva e che sia negativa, e viceversa.38
Questo estratto, che evidenzia lo stile piuttosto oscuro di Condorcet, `e coerente con il fatto che egli, a differenza di Cramer o Daniel Bernoulli, si adoper`o per di-mostrare come fosse possibile neutralizzare gli aspetti paradossali del problema di San Pietroburgo senza introdurre un nuovo concetto di aspettazione. Con-dorcet era d’accordo con il fatto che il problema di S. Pietroburgo avesse messo in crisi l’accordo tra le conclusioni ottenute grazie all’adozione del concetto di speranza matematica fu favorita dal fatto che le conclusioni cui esso conduceva erano conformi al buon senso (conformes `a la raison commune). Per lui per`o questo problema non `e un problema reale, nel senso che non potr`a mai presen-tarsi nella realt`a e dunque deve essere considerato solo come un caso limite e per Condorcet questo carattere asintotico gli fa perdere parte della forza con-tro la bont`a del concetto di speranza matematica. Condorcet per`o non liquida il problema in modo sbrigativo ed egli stesso non ritiene soddisfacente questa spiegazione, perch´e il problema persiste anche limitando il numero di partite dal momento che:
la somma che B dovrebbe dare ad A per giocare a questo gioco senza questa ipotesi `e ancora tale che, per poco che grande diventi il numero
38
(a) Que la somme de differences positive et n´egatives entre elle et les valeurs donn´ees par l’observation, ou bien la somme des diff´erences entre cette valeur et les vrais valeurs
´
egalement possibles, est ´egale `a zero.
(b) Que la diff´erence entre la vraie valeur inconnue, ou une vraie valeur possible quelconque, et la valeur moyenne, est ´egale `a la somme des diff´erences entre chacune de ces valeurs vraies et les autres valeurs observ´ees, ou les valeurs possibles, divis´ee par leur nombre.
(c) Qu’en prenant, dans ces circonstances semblables, cette valeur moyenne pour une vraie valeur, l’´ev´enemnt le plus probable sera celui o`u les diff´erences en plus ou en moins entre la r´ealit´e et l’hypoth`ese, se compenserons; qu’on aura une probabilit´e toujours croissante que leur somme n’exc`edera pas une partie aussi petite qu’on vpudra de la plus grande somme possible de ces diff´erences, tandis qu’en mˆeme temps il n’existe aucune loi qui puisse donner une probabilit´e toujours croissante de ne s’´ecarter que d’une quantit´e toujours approchante de12, ou toujours tendante `a l’´egalit´e que cette somme sera positive plutˆot que n´egative, ou r´eciproquement.
di lanci, nessuna persona dotata di senno vorrebbe rischiarla.39 ([10], p.
714)
Negli ´El´emens, Condorcet osserv`o che, per decidersi a giocare quando si ha una piccola probabilit`a di vincere una grande somma, occorre una valutare a priori il proprio stato economico prima dell’inizio e dopo la conclusione del gioco. Condorcet suppose che il numero massimo di partite fosse n e introdusse una variante all’ultima partita: se testa non esce nemmeno all’ultimo lancio, il giocatore (B) otterr`a 2n denari mentre, se testa esce per la prima volta al lancio k-esimo, B ricever`a al solito 2k−1 denari. Le probabilit`a di successo di B sono: 12 al primo lancio, 212 al secondo lancio, 213,... 21n, se testa si presenta all’ultimo lancio e ancora 21n, se testa non si presenta mai. Per poter giocare, B deve versare una quota di
1 ·1 2+ 2 ·1
4 + 41
8 + · · · + 2n−1 1
2n + 2n 1 2n = n
2 + 1
denari. Ora, B inizier`a a guadagnare quando testa compare, per la prima volta, al lancio p tale che
2p−1> n
2 + 1 (6.8)
mentre al colpo in cui
2p−1 =n
2 + 1 , (6.9)
ovvero quando n = 2p− 2, si ha l’equilibrio tra vincite e perdite. La probabilit`a che B perda del denaro `e la somma delle probabilit`a che egli vinca prima del lancio p-esimo nel quale si verifica la (6.9):
1 2+1
4 + · · · + 1
2p−1 = 1 − 1
2p−1 (6.10)
Condorcet considera l’esempio in cui p = 4 e dunque n = 24− 2 = 14. In questo caso la posta che B versa `e n2 + 1 = 8 denari. La probabilit`a che B perda del denaro `e, per quanto appena visto, 1 − 213 = 78; quella che B concluda con un bilancio in pareggio `e 161 cos`ı come quella che egli concluda il gioco realizzando un guadagno, bench´e sia possibile vincere, con probabilit`a 2114 = 163841 , una somma massima di 16376 = 16384 − 8 denari. Al contrario, A ha probabilit`a
15
16 di non perdere denaro, esponendosi ad una perdita di 16376 denari che ha probabilit`a163841 di verificarsi e ad un guadagno massimo di 7 = 8−1 denari, con probabilit`a 12, che si realizza quando esce subito testa. Vi `e dunque una grande differenza, una discriminazione, fra le posizioni di A e B che non dovrebbero vincolarsi a stipulare l’accordo implicato dal gioco se non modificando la cifra che viene considerata come unit`a di misura ed il numero N di partite da giocare, in modo che le probabilit`a di vittoria dei due contendenti siano confrontabili e che, con grande probabilit`a, entrambi non possano perdere pi`u di una frazione assegnata del capitale o, con le parole di Condorcet,
39la somme que B devroit donner `a A sans cette hypoth`ese pour jouer `a jeu ´egal, est encore telle, pour peu que le nombre de coups soit grand, au’aucun homme raisonnable ne voudroit risquier de la donner.
vi sia una probabilit`a molto grande che n´e A n´e B perdano, in un numero m di partite, una cifra il cui valore non ecceda una frazione assegnata con m.40 ([10], pp. 715-716)
La conclusione `e la seguente:
Cos`ı, nell’esempio tratto dal gioco di testa o croce41 (...) si vede che, colui che scommette n2 a fronte di una probabilit`a 21n di guadagnare 2n−1 [denari] al lancio n-esimo, non deve risolversi a giocare se non quando potr`a ripetere il gioco un numero di volte tale da conferirgli una proba-bilit`a pressoch´e uguale di vincere come di perdere. Similmente, colui che, al contrario, pu`o trovarsi costretto a pagare 2n−1 [denari], non avendone ricevuti che n2, non deve giocare, a dispetto della grande probabilit`a che ha di vincere, se non quando egli possa considerare n2 o, meglio, le somme inferiori, che egli ha una fondata speranza di ottenere, come una com-pensazione del rischio molto piccolo di perdere la somma ben maggiore di 2n−1 [denari], ci`o che costringe a prendere n molto piccolo. Allora i giocatori potranno decidersi a giocare e il paradosso scomparir`a.42 ([11], pp. 113-114)
Se N `e il numero di giochi di San Pietroburgo che si vuole effettuare, la pro-babilit`a che B perda sempre del denaro, supponendo i giochi indipendenti tra loro, si ottiene da (6.10) ed `e
1 − 1
2p−1
N
per cui la probabilit`a che B guadagni del denaro o comunque non ne perda almeno una volta `e
P (N, p) = 1 −
1 − 1
2p−1
N
La tabella seguente, tratta dal libro di Heinrich Bruns (1848-1919) ([9], p.71), contiene i valori di P (N, 10) per diversi valori di N e mostra come si debba prendere N molto grande afficnh´e P (N, 10) raggiunga 12.
N 500 600 700 800 900 1000
P (N, 10) 0.39 0.44 0.49 0.54 0.58 0.62
40qu’on ait une assez grande probabilit´e que ni A ni B dans un nombre m de parties ne perdront au-del`a d’une valeur qui ait une proportion donn´ee avec m.
41Cio`e nel problema di San Pietroburgo.
42Ainsi, dans l’exemple tir´e du jeu de croix ou pile (...) on voit que celui qui donne une mise
n
2, et qui a probabilit´e21n de gagner 2n−1au necoup, ne doit se d´eterminer `a jouer, qu’autant qu’il pourra r´ep´eter le jeu assez souvent pour avoir une probabilit´e presque ´egale de gagner ou de perdre. De m ˆme celui qui, au contraire, peut ˆetre oblig´e de donner 2n−1apr`es n’avoir re¸cu que n2, ne doit jouer, malgr´e la grande probabilit´e qu’il a de gagner, que lorsqu’il peut regarder n2, ou plutˆot les sommes moindres qu’il a une esp´erance fond´ee de gagner, comme un d´edomaggement du risque tr`es-petite de perdre la somme beaucoup plus grande 2n−1, ce qui oblige a faire n tr`es-petit. Alors les jouers pourront se d´eterminer `a jouer le jeu, et le paradoxe disparoit.
L’asimmetria nelle condizioni di A e B richiama il problema pi`u generale della possibilit`a di derogare dalla condizione di gioco equo. L’opportunit`a di tale deroga `e motivata da Condorcet osservando che, nei giochi dove il banco (le banquier) affronta pi`u avversari (les pontes), egli va incontro ad una piccola probabilit`a di perdere una grossa cifra, mentre i giocatori hanno al contrario una ragionevole aspettazione di vincere somme non troppo grandi. Violare le regole del gioco equo a favore del banchiere `e un sacrificio cui si espongono volontariamente i giocatori tentati di vincere una grossa somma. Similmente, le lotterie non vendono i biglietti al prezzo imposto dalle regole del gioco equo ma ad un costo superiore per compensare la necessit`a di rimbosrsare i premi, che deve essere garantita. Come ultimo esempio, non poteva mancare l’allusione alla pratica commerciale di applicare un interesse al prezzo da corrispondere per una merce il cui reperimento comporti un rischio concreto. Rinvio il lettore interessato ad ulteriori dettagli sul problema di San Pietroburgo ad alcuni dei lavori pi`u significativi apparsi nella letteratura, come [22] e [25] o, seppure scritto molto tempo fa, [12].