L’idea base dell’imaging in trasformata di Fourier è quella di codificare in frequenze e fasi l’informazione spaziale tramite l’uso dei gradienti di campo magnetico:
B(r) = B0+ r · G. (2.1) In questo modo la frequenza di Larmor degli spin sottoposti a un campo statico B0e a un gradiente di campo G è data da:
ω0(r) = γ(B0+ r · G). (2.2) Se il gradiente rimane acceso per un tempo τ gli spin acquistano una differenza di fase dipendente dalla posizione:
∆φ(r) = γr · Gτ . (2.3)
In uno scanner per risonanza magnetica sono presenti tre bobine gradiente, il cui campo magnetico è mutualmente ortogonale. L’ampiezza del gradiente G è dell’ordine di 50 mT m–1ed è pertanto molto inferiore al campo magnetico statico (che è dell’ordine del Tesla). Tramite la combinazione di questi campi è possibile generare altri tre gradienti ortogonali lungo qualsiasi direzione. Come vedremo questo si traduce nella possibilità di scegliere arbitrariamente la posizione e la direzione dell’immagine ricostruita. In que- sto paragrafo e nei successivi, salvo dove eventualmente specificato, ci riferiremo alle direzioni x, y, e z come le direzioni dei tre gradienti, e non più necessariamente come la direzione del campo statico (z) e le due direzioni trasverse. In particolare, x sarà la direzione del gradiente di codifica in frequenza, y quella del gradiente di codifica di fase e z quella del gradiente di selezione fetta.
2.1.1 Selezione di fetta
Il primo strumento necessario alla formazione di un immagine MRIè la possibilità di eseguire un’eccitazione degli spin selettiva rispetto alla loro posizione lungo un asse. Questo risultato è ottenuto tramite l’applicazione di un gradiente di campo magnetico, in aggiunta al campo statico, durante l’impulsoRF. Il campo magnetico statico dipende quindi dalla posizione lungo la direzione del gradiente:
B(z) = B0+ zGz (2.4)
La frequenza di Larmor dei nuclei dipenderà quindi dalla coordinata z a cui si trovano: ω0(z) = ω0(0) + γzGz (2.5)
dove ω0(0) è la frequenza di Larmor in presenza del solo campo statico. Invertendo
questa relazione si trova che, eccitando il campione con un impulso di frequenza ωRF e larghezza di banda ∆ωRF, subiranno eccitazione solo gli spin appartenenti a una fetta centrata in: z = ωRF– ω0(0) γGz (2.6) e di larghezza: ∆z = ∆ωRF γGz (2.7)
Da ciò si deduce che il limite inferiore allo spessore di una fetta è dato dal massimo gra- diente di campo e dalla minima larghezza di banda dell’impulso RF. Notiamo che per avere un’eccitazione uniforme, in tutto lo spessore della fetta, la distribuzione spettra- le dell’impulso RFdovrebbe essere un’onda quadra. In questo modo tutte le frequenze all’interno della banda sono eccitate uniformemente, mentre le altre non sono eccitate affatto. Per ottenere una funzione rect1 in frequenza occorre eccitare con una funzione sinc2nel dominio del tempo, essendo queste due una coppia di Fourier. Naturalmente, un vero sinc si estende da –∞ a +∞, perciò essendo necessario troncare ad un certo punto il sinc si otterrà solo un’approssimazione del rect in frequenza.
A seconda della direzione del gradiente di selezione fetta si ottengono differenti pia- ni del campione. Se la direzione del gradiente è testa-piedi si parla di piano assiale, se è destra-sinistra si parla di piano sagittale, se è fronte-retro si parla di piano coronale. Questo ovviamente non pregiudica la possibilità di selezionare qualunque altro piano si desideri.
1La funzione rettangolare, costante all’interno di un certo intervallo e nulla all’esterno di esso. 2La funzione seno cardinale, definita da sinc(t) = sin(t)/t.
Figura 2.1. Effetto del gradiente di selezione fetta.
La presenza di diverse frequenze di risonanza durante l’applicazione dell’impulso causa un defasamento analogo a quello visto per il T2. Per avere al termine dell’impulso tutti gli spin con la stessa fase è necessario applicare un gradiente di rifasamento identico in direzione e ampiezza a quello di selezione fetta ma con verso opposto.
2.1.2 Codifica di fase e codifica di frequenza
Il gradiente lungo z, applicato durante l’impulsoRF, identifica una fetta bidimensio- nale nel piano xy. La posizione degli spin in tale piano è codificata in fasi e frequenze per poter formare l’immagineMRI. L’applicazione di un gradiente Gy per un tempo τy
porta a una differenza di fase tra gli spin che dipende dalla loro posizione lungo l’asse del gradiente applicato:
∆φ(y) = γGyτyy (2.8)
In questo modo, al termine dell’applicazione del gradiente, gli spin (nella fetta eccitata dal gradiente lungo z) avranno tutti la stessa frequenza ma una fase dipendente da y. L’eq. (2.8) mostra una periodicità della fase lungo la direzione del gradiente: due spin la cui distanza è pari a:
λy= 2π
Figura 2.2. Effetto del gradiente di codifica in frequenza.
presentano una differenza di fase nulla. La scelta di τy e Gy identifica quindi
univocamente una frequenza spaziale lungo la direzione y: ky = 2π
λy = γGyτy (2.10)
è quindi possibile riscrivere l’eq. (2.8) in termini di ky:
∆φ(y) = kyy (2.11)
Naturalmente questo può essere esteso al caso in cui si applichi anche un gradiente lungo la direzione x:
∆φ(x) = kxx (2.12)
Con una definizione analoga all’eq. (2.10) per kx.
Da quanto ora esposto si osserva come, ad una precisa scelta di kx e ky, ovvero
una scelta delle ampiezze e durate temporali dei gradienti, corrisponde una particolare configurazione delle fasi del sistema di spin.
Il gradiente nella direzione y è solitamente detto gradiente di codifica di fase e viene applicato dopo il gradiente di selezione fetta e prima dell’acquisizione del segnale. Il gradiente lungo x è invece detto gradiente di lettura in quanto viene attivato durante l’ac- quisizione del segnale. In questo modo il gradiente Gx, detto anche gradiente di codifica
in frequenza, altera la frequenza di risonanza degli spin alle diverse cordinate x, come mostrato in fig. 2.2.