Gruppi di trasformazioni di M¨obius - Lezioni sulle Superﬁcie di Riemann 2017-2018 (II Semestre

Idichiamo con Aut (CP¹) il gruppo di M¨obius degli automorfismi olo-morfi di CP¹. Ricordiamo che Aut(CP1

) `e isomorfo al quoziente di SL₂(C) rispetto al sottogruppo {±I₂} o al quoziente di GL₂(C) rispetto al sottogrup-po delle matrici diagonali.

1. Circonferenze isometriche Sia

γ(z)= ^a·z^{+ b}

c·z+ d ^{, con a·d −b·c=1}

una trasformazione di M¨obius che non lasci fisso il punto all’infinito. `E

γ⁰(z)= ¹ (c·z+ d )2

e quindi la γ definisce una isometria euclidea della circonferenza

(1.1) κγ= {z∈C | |c·z+d |=1},

di centropγ=γ−1(∞)=(−d /c) e raggio rγ=|c |−1sulla circonferenza κ_γ−1 = {z∈C | |c·z−a|=1},

che ha lo stesso raggio |c |−1e centro in γ(∞)=a/c.

Definizione 1.1. La κγin (1.1) ed il puntopγ=γ−1(∞) si dicono rispetti-vamente la circonferenza isometrica di γ ed il suo centro. Chiamiamo (1.2) Dγ= {z∈C | |c·z+d |<1} e ˇDγ= {z∈CP1 | |c·z+d |>1} il disco interno ed il disco esterno di γ, rispettivamente.

Osservazione 1.1. Rispetto alla metrica euclidea di C, la γ definisce una dilatazionedi Dγin ˇDγ−1 ed una contrazione di ˇDγin Dγ−1.

2. Insiemi limite Fussiamo un sottogruppo G diAut (CP¹).

Definizione 2.1. Rispetto a G un punto p0 di CP¹pu`o essere 189

190 X. GRUPPI DI TRASFORMAZIONI DI M ¨OBIUS

• punto limite se vi sono un elementoq di CP¹ ed una successione {γ_n} di elementi distinti di G tali che

(2.1) p0 = lim

n→∞γn(q).

• punto ordinario se non `e un punto limite. In questo caso diciamo anche che G `e discontinuo inp0.

Diciamo che G `e discontinuo se lo `e in almeno un punto.

Indicheremo con L (G) l’insieme dei punti limite e con Ω(G) quello dei punti ordinari di G. Ometteremo il riferimento al gruppo, scrivendo semplicementeL ed Ω quando questo non generi confusione.

Proposizione 2.1. γ(L ) = L e γ(Ω) = Ω, per ogni γ ∈ G. Esempio 2.1. Sia G = hγi = {γ^k | k ∈ Z} il gruppo ciclico generato da una singola trasformazione di M¨obius γ.

• Se γ `e iperbolica, o lossodromica, con punti fissi a, b∈CP¹, allora L ={a, b}, Ω = CP1\{a, b};

• se γ `e parabolica con punto fisso a, allora L = {a}, Ω = CP1

\{a};

• se γ `e ellittica e γn= identit`a per qualche intero n>0, allora1 L =∅, Ω=CP1

;

• se γ `e ellittica e γⁿ_{,identit`a per ogni intero n,0, allora} L =CP1, Ω = ∅;

Teorema 2.2. Sia G un sottogruppo del gruppo di M¨obius Aut (CP¹). Gli insiemi L dei suoi punti limite ed Ω dei suoi punti ordinari sono, rispettivamente, un chiuso e un aperto in CP¹.

Dividiamo la dimostrazione di questo teorema in una serie di lemmi. Lemma 2.3. Supponiamo che ∞ sia un punto ordinario per G. Se

γn(z)= ^anz+ bn cnz+ dn

, con andn−bncn = 1 `e una successione di elementi distinti di G, alloracn → ∞.

Dimostrazione. Ragioniamo per assurdo. Se la successione dei coef-ficienti cn non tendesse all’infinito, a meno di estrarre una sottosuccessio-ne potremmo supporre che {cn} converga ad un numero complesso c ∈ C. Poich´e ∞ `e, per ipotesi, un punto ordinario, le successioni:

( γ⁻¹_n (∞) = −^dn cn ) , ( γ_n(0)= ^bn dn ) , ( γ_n(∞)= ^an cn ) , 1Segue dalla definizione che, se G `e finito, alloraL (G) = ∅ ed Ω(G) = CP1.

2. INSIEMI LIMITE 191 sono tutte limitate in C e quindi, sempre a meno di estrarre una sottosucces-sione, possiamo supporre che siano tutte convergenti:

dn cn →α , ^bn dn →β , ^an cn →γ con α, β, γ ∈ C. Sono allora anch’esse convergenti:

an= cn·an cn →c ·γ = a , dn = cn·dn cn → c ·α= d , bn = dn·bn dn → b ·β= b. Dalla relazioneandn−bncn = 1, ricaviamo che ad − bc = 1 e dunque

γ_n(z) → γ(z)= ^az^{+ b}

cz+ d ^{per ogni} ^{z ∈ C.}

Poiché γ è un automorfismo di CP¹, da questo seguirebbe che L (G)=CP1 , contro l’ipotesi che G fosse un gruppo discontinuo. Ciò completa la

dimo-strazione.

Lemma 2.4. L’insieme

L∞ = {z ∈ CP1 | ∃{γ_n}⊂G t.c. γn , γmse n , m e z = limn→∞γn(∞)}

`e chiuso in CP¹.

Lemma 2.5. γ(L∞)= L∞.

Il Teorema 2.2 è allora conseguenza dei lemmi e del seguente: Teorema 2.6. Se ∞ è un punto ordinario per G, allora L = L∞. Dimostrazione. Osserviamo che L∞ ⊂ L ; inoltre, poiché ∞ è un punto ordinario per G, il gruppo può contenere al più un numero finito²di trasfor-mazioni affini di C (cioè trasformazioni della forma z→a·z+b, con a, b∈C, a,0). Sia α = lim n→∞ γ_n(z)= ânz+ bn cnz+ dn ! con γn ∈ G e γn, γm se m , n

un punto diL . Possiamo allora supporre che sia

andn−bncn= 1 e cn, 0 per ogni n. Possono darsi due casi:

(iii) |cnz+ dn| ≥ 1 per ogni n 1.

192 X. GRUPPI DI TRASFORMAZIONI DI M ¨OBIUS

(iiiiii) |cnz+ dn| < 1 per infiniti n ∈ N. Possiamo allora supporre, a meno di passare a una sottosuccessione, che |cnz+ dn| < 1 per ogni n. Allora, utilizzando ancora il Lemma 2.3:

z − γ −1 n (∞) = z+ ^dn cn = ^|cnz+ dn| |cn| < ¹ |cn| → 0 ,

da cui segue che z ∈L∞e quindi, poich´eL `e chiuso e G-invariante (Lem-mi 2.4 e 2.5), anche α, essendo li(Lem-mite di una successione {γn(z)} di punti di L∞, appartiene ad L .

Ci`o completa la dimostrazione del teorema.

Osservazione 2.7. Pi`u in generale, se G `e un gruppo discontinuo e q un qualsiasi punto diΩ(G), i punti di L (G) sono limiti di successioni {γn(q)}, con {γn} successione di elementi distinti di G.

Teorema 2.8. Ogni sottogruppo discontinuo del gruppo Aut (CP¹) `e al pi`u numerabile.

Dimostrazione. Siano G un gruppo discontinuo di Aut (CP¹) ed {Un} un ricoprimento aperto numerabile diΩ = Ω(G), mediante aperti relativamente compatti inΩ. Sia z0 un punto diΩ e per ogni n sia Anl’insieme dei γ ∈ G tali che γ(z₀) ∈ Un. Ogni An è finito, perché in caso contrario ¯Unconterrebbe dei punti limite per G: ciò è impossibile perché ¯Un b Ω. D’altra parte, per l’invarianza di Ω rispetto a G, abbiamo S An = G e quindi G, unione

numerabile di insiemi finiti `e al pi`u numerabile.

Teorema 2.9. Se G `e un sottogruppo discontinuo di Aut (CP¹), allora L (G) = ∂Ω(G).

Dimostrazione. Poiché L è chiuso, Ω aperto ed L ∪Ω = CP¹, abbiamo ∂Ω ⊂ L . Per il Teorema 2.6, se fissiamo un qualsiasi punto z0 ∈ Ω, ogni punto diL è limite di successioni {γn(z0)} con {γn} ⊂ G. PoichéΩ è G-invariante, questo ci dice che ogni punto diL è limite di una successione di punti diΩ e quindi vale anche l’inclusione opposta L ⊂ ∂Ω. Corollario 2.10. Il luogo L dei punti limite di un sottogruppo discon-tinuo G diAut (CP¹) è privo di punti interni.

3. Gruppi elementari

Definizione 3.1. Chiamiamo elementare un gruppo G di automorfismi di M¨obius che abbia al pi`u due punti limite.

Teorema 3.1. Un gruppo G privo di punti limite `e un gruppo finito di trasformazioni ellittiche.

Dimostrazione. Infatti G non può contenere né trasformazioni iperbo-liche, né trasformazioni lossodromiche, né trasformazioni paraboliche.

3. GRUPPI ELEMENTARI 193 Teorema 3.2. Sia G un gruppo di automorfismi di M¨obius con un solo punto limite in CP¹. Allora

(i) Le trasformazioni paraboliche di G formano un suo sottogruppo abeliano normale G₀, di indice finito in G.

(ii) G contiene un sottogruppo finito E di trasformazioni ellittiche iso-morfo al quoziente G/G₀.

Dimostrazione. Il gruppo G non può contenere trasformazioni iperboli-che o lossodromiiperboli-che, perché i gruppi ciclici di tali trasformazioni hanno due punti limite (che sarebbero anche punti limite di G). Inoltre, seL ={p0}, al-lorap0è punto fisso di tutte le trasformazioni di G perchéL è G-invariante. A meno di coniugio, possiamo supporre chep0sia il punto all’infinito. Al-lora gli elementi di G sono trasformazioni affini γi(z)= aiz+bi, con ai,0. In particolare, l’insieme G₀ degli elementi parabolici di G, cioè di quelli con ai=1, è un suo sottogruppo abeliano. Poiché

γ₁◦γ₂◦γ⁻¹₁ ◦ γ⁻¹₂ (z)= γ1◦γ₂◦γ⁻¹₁ z − b2 a₂ ! = γ1◦γ₂                z −b2 a₂ ⁻b1 a₁                = a1                a₂                z −b2 a2 −b1 a1                + b2                + b1 = z + (b1−b2− a₂b1+ a1b2), il commutatore [G, G] di G è un sottogruppo di G₀, che quindi è normale in G. Infine, poiché G non contiene trasformazioni iperboliche o lossodro-miche, deve essere |ai| = 1 per ogni γi(z) = ai·z+bi in G ed abbiamo un omomorfismo naturale

σ: G 3 γi −→ ai ∈ S¹

e G₀ = ker(σ) = {ρi ∈ G | ai=1} si pu`o identificare al sottogruppo additivo discreto Λ={bi|γ_i∈G₀} di C. Se G0=G, abbiamo finito. Altrimenti, suppo-niamo che G contenga delle trasformazione ellittiche diverse dall’identit`a. Esse sono della forma η(z) = eiθz+z0 per un θ reale ed un z₀ complesso. Abbiamo

η ◦ γ_i◦ η⁻¹(z)= η ◦ γi(e^−iθz−z₀)= η(ai(e^−iθ[z−z₀])+ bi)= aiz+ eiθ bi. In particolare, Λ è invariante rispetto alla moltiplicazione per elementi di σ(G) e perciò σ(G) è finito e dunque della forma

σ(G)= {e2hπi/m| h=1, . . . , m}

per qualche intero positivo m. A meno di coniugio, possiamo supporre che G contenga la rotazione η(z) = e2πi/mze G risulta allora prodotto diretto di

194 X. GRUPPI DI TRASFORMAZIONI DI M ¨OBIUS

Osservazione 3.3. Nell’ipotesi del Teorema3.2, se σ(G) contiene alme-no tre elementi, allora G₀ ha rango due. Abbiamo osservato nel §3 del Cap.IX, che, in questo caso, ci sono solo tre possibilit`a per G/G0. Esso pu`o essere

• il gruppo {±1} delle radici quadrate dell’unit`a, • il gruppo {±1, ±i} delle radici quarte dell’unit`a,

• il gruppo {±1, ± exp(πi/3), ± exp(2πi/3)} delle radici seste dell’u-nit`a.

Teorema 3.4. Sia G un gruppo elementare di automorfismi di M¨obius tale che L (G) sia formato da due punti distinti. Allora G contiene un sottogruppo normale ciclico G₀, di indice finito in G, il cui generatore `e iperbolico o lossodromico.

Dimostrazione. A meno di coniugio, possiam supporre che l’insieme L dei punti limite di G sia {0, ∞}. Poiché L è G-invariante, il sottogruppo G₀degli elementi di G che fissano sia 0 che ∞ è un sottogruppo normale di G di indice due. I suoi elementi sono trasformazioni della forma γ_a(z)= a·z cona,0 e risulta perciò definiti omomorfismi

G₀3 γ_a −→a ∈ C^∗, G₀ 3 γ_a −→ a |a| ^{∈ S}

1, G₀ 3 γ_a −→ log(|a|) ∈ R. Le immagini dei due ultimi omomorfismi sono discrete. Le a per cui γa è una trasformazione ellittica di G₀ formano un gruppo isomorfo al gruppo R(m) delle radici m-esime dell’unità per qualche intero positivo m. Se sce-gliamo un γ_a₀ di G₀con log(|a0|) minimo in {log(|a|) | |a| > 1}, allora G0 è il prodotto diretto di hγ_a₀i e hγ_exp(2πi/m)i.

Se G= G0abbiamo finito. Altrimenti, G contiene un’inversione η(z)= a/z per qualche a∈C∗. A meno di coniugio possiamo supporre sia a=1 e G risulta allora somma diretta dei sottogruppi hγ_a₀i, hγ_exp(2πi/m)i e del

sottogruppo hηi, formato da due elementi.

Esempio Supponiamo che G=hγ0i sia un gruppo ciclico, generato dalla trasformazione iperbolica γ₀(z)= k·z, con k reale >1. Allora G `e un gruppo di automorfismi del semipiano di Poincar´e H. L’applicazione di rivestimen-to w = exp 2π i ^{log z}

log k !

ci dice che G `e il gruppo degli automorfismi del rivestimento universale dell’anello Ak = {w | exp(−2π2/ log k) < |w| < 1}.

Teorema 3.5. Ogni sottogruppo discontinuo G di Aut (CP¹) che abbia almeno un punto fisso `e elementare.

Dimostrazione. A meno di coniugio, possiamo supporre che ∞ sia pun-to fisso di G. Se G `e finipun-to, non c’`e nulla da dimostrare. Se tutte le γ ∈ G avessero in comune due punti fissi, allora a meno di coniugio potremmo

4. GRUPPI DISCONTINUI NON ELEMENTARI 195 supporre che 0 sia l’ulteriore punto fisso. Il gruppo G `e allora della forma G={γ(z)=a·z | a ∈ A}, per un sottogruppo A del gruppo moltiplicativo C∗

. Necessariamente G sarebbe allora o un gruppo finito di trasformazioni ellit-tiche (ciclico) o uno dei gruppi elementari descritti nel teorema precedente (caso 1).

Se tutti gli elementi di G fossero trasformazioni paraboliche, allora G sarebbe uno dei sottogruppi abeliani di C descritti nel Cap. IX e quindi elementare.

Supponiamo ora che G contenga due trasformazioni γ0 e γ00aventi solo ∞ come punto fisso comune, con γ0 iperbolica o lossodromica. A meno di coniugio potremo allora supporre che γ0(z) = a·z con |a|,1 e che γ00(z) = b·z+ c con bc , 0. Possiamo ancora supporre che |a| < 1. Allora

γ00γ0nγ00−1γ0−n = (a/b)z − (an+1c/b)+ c → (a/b)z + c

puntualmente su CP¹, ondeL (G) = CP1, contro l’ipotesi che G fosse di-scontinuo. Il gruppo G pu`o dunque contenere solo trasformazioni ellittiche e paraboliche. Si verifica allora che deve essere uno dei gruppi elementari

descritti nel Teorema 3.2.

Corollario 3.6. Siano G un sottogruppo discontinuo di Aut (CP¹) ed F un sottoinsieme non vuoto e finito di CP¹. Se γ(F)=F per ogni γ∈G, allora G `e elementare.

Dimostrazione. L’applicazione di restrizione γ→γ|F è un omomorfismo di G sul gruppo finito delle permutazioni di F. Il suo nucleo è un sottogrup-po normale G₀ che fissa tutti i punti di F ed è quindi, per il Teorema 3.5 elementare. Da questo segue che o G₀, e quindi anche G, è finito, oppure che F, che è l’insieme limite di G₀, contiene al più due punti. Poiché allora

L (G)=L (G0)=F, ne segue che G `e elementare.

4. Gruppi discontinui non elementari

In questo paragrafo studieremo i sottogruppi discontinui non elementa-ri di Aut (CP¹), mostrando che i loro insiemi limite non contengono punti isolati. Dimostriamo innanzi tutto il seguente:

Teorema 4.1. Un sottogruppo discontinuo di Aut (CP¹) che contenga solo trasformazioni ellittiche `e finito.

196 X. GRUPPI DI TRASFORMAZIONI DI M ¨OBIUS

Dimostrazione. Per i risultati del §3, sar`a sufficiente dimostrare che un sottogruppo discontinuo G diAut (CP¹) che contenga soltanto trasformazio-ni ellittiche `e elementare. Sia G un tale sottogruppo e γ1, γ2 due trasforma-zioni di G. Se esse avessero un solo punto fisso in comune³, il loro commu-tatore γ1◦ γ₂◦ γ−1

1 ◦ γ−1

2 sarebbe una parabolica. Quindi due trasformazioni di G hanno o entrambi o nessun punto fisso in comune.

Se tutte le trasformazioni di G avessero due punti fissi in comune, al-lora G dovrebbe essere necessariamente finito: infatti, facendo s`ı mediante coniugio che i punti fissi comuni siano 0 e ∞, avremmo G={γa(z)=a·z|a∈A} con A sottogruppo del gruppo moltiplicativo S1={|z|=1}, ed un sottogruppo A di S1 `e o finito o denso.

Ci resta da considerare il caso in cui G contenga due trasformazioni γ ee η senza punti fissi comuni. A meno di coniugio possiamo supporre che 0 e ∞ siano i punti fissi di γ. Avremo allora

         γ(z)= eiθ· z, con θ ∈ R\πZ , η(z)= ^az+b cz+d^{, con ad − bc = 1 , (a + d)}²^{∈ R ,} ^{0 ≤ (a}^{+ d)}² ^{< 4 .} Per il calcolo, `e conveniente rappresentare γ ed η con matrici di SL₂(C):

γ ' eiθ/2 0 0 e⁻^iθ/2 ! , η '^{a b} c d ! . Per ipotesi, anche la

γ ◦ η(z) ' a eiθ/2 b eîθ/2 c e⁻îθ/2 d e⁻îθ/2

`e una trasformazione ellittica e quindi deve essere

e^iθ/2a+ e−iθ/2

d²∈ R e 0 ≤e^iθ/2a+ e−iθ/2

d²< 4 . Poich´e sia a+ d che eiθ/2a+ e−iθ/2dsono reali, ne ricaviamo che d= ¯a.

Poiché anche γ ◦ η ◦ γ⁻¹◦ η⁻¹' eiθ/2 0 0 e⁻îθ ! a b c d ! e−iθ/2 0 0 eîθ ! d −b −c a ! = _{c e}â−iθ ^{b e}dîθ ! d −b −c a !

=^{ad − bc·e}_{cd(1 − e}−iθîθ) ad − bc·e^{ab(1 − e}îθ⁻îθ⁾ !

`e ellittica, otteniamo che

−2 ≤ 2ad − 2bc cos θ = 2(1 + 2bc sin2(θ/2)) ≤ 2.

3Due trasformazioni non paraboliche commutano tra loro se e soltanto se hanno due punti fissi in comune.

4. GRUPPI DISCONTINUI NON ELEMENTARI 197 Essendo (θ/2)<πZ, questa diseguaglianza ci dice che bc≤0. Poich´e d=¯a ed abbiamo scelto le matrici che rappresentano γ ed η in SL₂(C), `e in particolare

ad − bc= |a|2− bc= 1 e quindi

|a|= |d| ≤ 1, −1 ≤ bc ≤ 0.

Per la prima parte della dimostrazione, queste diseguaglianze valgono per tutti gli elementi η di G, tranne al pi`u un numero finito.

Se G non fosse elementare,L (G) conterrebbe un punto w0 diverso da 0 ed ∞: ci sarebbero cio`e punti z₀, w0 ∈ C∗, tali che per una successione

(∗) γn(z)= ^anz+ bn cnz+ dn , con                  andn−bncn = 1 dn = ¯an |an|= |dn| ≤ 1 −1 ≤bncn ≤ 0 di elementi distinti di G risulti

wn = ^anz₀+ bn cnz₀+ dn

−→w0. Dalla relazione

anz₀−dnwn = cnz₀wn−bn.

e dalle (∗) ricaviamo che le {an}, {bn}, {cn}, {dn} sono tutte successioni limita-te. A meno di passare a una sottosuccessione, possiamo supporre che

an → a, bn → b, cn → c, dn→ d in C, con d = ¯a, |a| = |d| ≤ 1, |a|2− bc = 1.

La successione delle γn(z) convergerebbe puntualmente in CP¹a una tra-sformazione di Möbiusw=(az+b)(cz+d)−1ed avremmo alloraL (G)=CP1, contro l’ipotesi che G fosse discontinuo. Quindi G è elementare e, poiché

consiste di sole trasformazioni ellittiche, `e finito.

Teorema 4.2. L’insieme L (G) dei punti limite per un gruppo disconti-nuo non elementare di trasformazioni di M¨obius `e perfetto⁴.

Dimostrazione. Possiamo supporre che ∞ sia un punto ordinario di G. Supponiamo cheL contenga almeno tre punti. Fissato q0inL , siano q1, q2 altri due punti diL , distinti da q0e distinti tra loro. Sia {γn} una successione di elementi distinti di G con q0=limn→∞γ⁻¹_n (∞). Per il Lemma 2.3, i raggi δ_n delle circonferenze isometriche κγn formano una successione infinitesi-ma. A meno di passare ad una sottosuccessione, possiamo supporre che anche la {γn(∞)} converga ad un elemento q di L . Poich´e q1,q2, il limite

198 X. GRUPPI DI TRASFORMAZIONI DI M ¨OBIUS

q sar`a diverso da uno di questi due punti. Supponiamo q,q2. In partico-lare, q1 apparterr`a a ˇDγ−

n1 definitivamente, in quanto γn(∞) `e il centro del disco D_γ−1

n interno alla circonferenza isometrica di γ⁻¹. Questo implica che γn(q1)∈Dγn e quindi, dal momento che i centri γ⁻¹_n (∞) dei dischi Dγn conver-gono aq0, anche γn(q1) converge aq0. Questo dimostra che ogni punto di L

è di accumulazione perL , cioè che L è perfetto.

Lemma 4.3. Siano U un aperto di CP¹ edF una famiglia di trasforma-zioni di M¨obius tale che, per due valori fissati z0, z₁ _{∈ CP}1

, sia

(4.1) γ(U) ∩ {z0, z1}= ∅ ∀γ ∈ F .

Allora le restrizioni ad U delle trasformazioni diF `e una famiglia normale di funzioni meromorfe⁵su U.

Dimostrazione. Possiamo supporre che z0=0, z1=∞, e limitarci a con-siderare il caso in cui U=D={|z|<1}.

Allora, se γ(z)= (az + b)(cz + d)−1 `e una trasformazione diF , abbiamo az+b,0 e cz+d,0 se |z|<1: da queste diseguaglianze ricaviamo che

|b/a| ≥ 1, |d/c| ≥ 1. Se ( γn(z)= ^anz+ bn cnz+ dn )

`e una successione di trasformazioni inF , scriviamo γn(z)= ^bn

(an/bn)z+ 1 (cn/dn)z+ 1^.

Passando a una sottosuccessione, possiamo supporre che

an/bn→A, cn/dn→B ebn/dn→C, con A, B ∈ C e |A| ≤ 1, |B| ≤ 1, C ∈ CP¹. Esaminiamo le diverse possibilit`a. Se C ∈ C∗, allora γn(z) → C^Az+ 1 Bz+ 1^; se C = 0, allora γn(z) → 0; se C = ∞, allora γn(z) → ∞ uniformemente sui

compatti di D.

Teorema 4.4. Siano G un sottogruppo discontinuo di Aut (CP¹) e z0 un punto di CP¹. Condizione necessaria e sufficiente affinch´e G sia discontinuo in z0 `e che vi sia un intorno aperto U di z0in CP¹per cui G|U sia normale.

Dimostrazione.

Necessità. Fissiamo due punti distinti p1, p2di CP¹. Se G|U non è normale per nessun intorno U di z₀in CP¹, allora possiamo trovare una successione {γ_n} di elementi distinti di G e una successione {zn} di punti di CP¹ conver-gente a z₀, tali che γn(zn) ∈ {p1, p2} per ogni n. Allora z₀ è punto limite di una delle due successioni {γ−1

n (p1)}, {γ−1

n (p2)} e quindi appartiene adL (G). 5Una famiglia Φ di funzioni meromorfe su un aperto di U si dice normale se la sua chiusura inC (U, CP1) con la topologia compatta-aperta `e un compatto.

5. GRUPPI DI FUCHS 199 Sufficienza. Supponiamo che G|U sia normale in M (U) per un intorno aperto U di un punto z₀ di CP¹. Se z₀ fosse un punto limite di G, fissato un puntow0 diΩ(G) (vedi l’Osservazione 2.7) potremmo trovare una suc-cessione {γn} di elementi distinti di G tali che γn(w0)→z0. Per l’ipotesi che G|Usia normale, a meno di passare ad una sottosuccessione, possiamo fare in modo che la {γ⁻¹_n } converga ad una funzione meromorfa f su U. La f è o costante o restizione ad U di una trasformazione di Möbius. Infatti, se f non fosse costante la sua immagine conterrebbe senz’altro tre punti di-stinti e potremmo quindi fissare z₁, z₂, z₃ in U per cui w1= f (z1),w2= f (z2), w3= f (z3) siano punti distinti di CP¹. Poiché le trasformazioni di Möbius preservano i birapporti, avremmo, per passaggio al limite, l’uguaglianza di birapporti

( f (z) :w1 :w2 :w3)= (z : z1 : z2: z3), ∀z∈U,

che ci permettere di scrivere f come la restrizione di una trasformazione di Möbius F. Da limn→∞γ⁻¹_n (z) = F(z) per ogni z∈U ricaveremmo allora F(U)⊆L (G). Ciò è assurdo perché, per l’ipotesi che G fosse discontinua, L (G) non ha punti interni (vedi il Corollario 2.10).

Dovrebbe essere allora f (z)=w0 per ogni z in U. Questo ci d`a una con-traddizione perch´e alloraw0sarebbe un punto limite per G, mentre

l’aveva-mo scelto come un punto ordinario.

5. Gruppi di Fuchs

Ricordiamo che gli automorfismi biolomorfi di D sono restrizioni a D di trasformazioni di M¨obius di CP¹. Possiamo quindi considerare il gruppo Aut (D) degli automorfismi olomorfi di D come un sottogruppo di Aut (CP¹).

Gli elementi diAut (D) si possono rappresentare mediante γ(z)= ^a·z+¯c

c·z+¯a^, ^{con |}^{a |}²^−|^{c |}²^=1.

Sec,0, cioè se la γ non è una rotazione euclidea, la circonferenza isometrica di γ interseca il disco D in una geodetica per la metrica iperbolica di D. La κγ è cioè una circonferenza ortogonale ad S1=∂D.

Definizione 5.1. Chiamiamo fuchsiano⁶ un sottogruppo propriamente discontinuo diAut (D).

Teorema 5.1. L’insieme L dei punti limiti di un gruppo fuchsiano G `e contenuto in S1.

6Lazarus Immanuel Fuchs (1833-1902) fu un matematico tedesco che diede impor-tanti contributi alla teoria delle equazioni differenziali lineari, in particolare a quelle con coefficienti meromorfi.

200 X. GRUPPI DI TRASFORMAZIONI DI M ¨OBIUS

Dimostrazione. Poiché L è privo di punti interni, ci sono punti ordinari di G sia all’interno che all’esterno del disco unitario D. Poiché sia D che la parte interna ˇD del suo complemento in CP¹ sonoAut (D)-invarianti, gli elementi di L sono approssimabili sia con successioni di punti in D che con successioni di punti in ˇD ed appartengono perciò ad S1. Osservazione 5.2. Per il Teorema 4.2 il luogo L dei punti limite di un gruppo fuchsiano non elementare è perfetto. La sua struttura può, in generale, essere abbastanza complicata⁷ ed L può essere un insieme con misura di Hausdorff frazionaria.

Definizione 5.2. Un gruppo fuchsiano G si dice di prima specie o oro-ciclico seL (G) = S1. Altrimenti si dice di seconda specie.

6. Domini di Dirichelet

Consideriamo sul disco unitario D={z∈C| |z|<1} la distanza iperbolica8 (6.1) dist(z₁, z₂)= 2 tanh−1 |z₁− z₂|

|1 − ¯z₁z₂| !

, associata alla metrica di Poincar´e:

(6.2) ds² = ^{4 dz·d¯z}

(1 − z¯z)2.

Gli automorfismi olomorfi di D sono isometrie per la metrica di Poincaré. Osservazione 6.1. Potremmo utilizzare, invece del disco D, il semipiano di Poincaré H={Im (z)>0}. In questo modello (con z=x+iy, x, y∈R, y>0) è

ds² = ^dz·d¯z

y2 , dist(z₁, z₂)= 2 tanh−1 |z1− z2| |z₁− ¯z₂| !

Il gruppoAut (H) `e omeomorfo al quoziente di SL2(R) rispetto a {±I2}. Fissiamo un sottogruppo G del gruppoAut (D).

Definizione 6.1. Per ogni z ∈ D consideriamo la sua G-orbita

(6.3) G(z)= {γ(z) | γ ∈ G}.

Chiamiamo dominio fondamentale di G un aperto connesso P di D che goda delle propriet`a:

(i) ogni orbita di G interseca P al pi`u in un punto; (ii) ogni orbita di G interseca P;

7Vedi, ad esempio, S. J. Patterson, The limit set of a Fuchsian group, Acta Math. 136 (1976), pp. 241-273.

8Ricordiamo che tanh(t)= (et−e−t)/(e^t+e−t) e quindi tanh⁻¹(s)= 1 2log¹+s

1−s

per t∈R ed s∈(−1, 1).

Nel documento Lezioni sulle Superﬁcie di Riemann 2017-2018 (II Semestre) Mauro Nacinovich (pagine 189-200)