Il teorema di uniformizzazione stabilisce che ogni variet`a riemanniana si pu`o mettere in bigezione conforme con una superficie riemanniana a cur-vatura gaussiana costante. Questo enunciato, congetturato da Felix Klein ed Henri Poincar´e nel 1883-84, fu dimostrato da Felix Klein1, Paul Koebe2 ed Henri Poincar´e3in una serie di successivi lavori, dal 1883 al 1907.
1. Il caso compatto
Teorema 1.1. Ogni superficie di Riemann connessa, compatta e sempli-cemente connessa `e biolomorfa alla sfera di Riemann CP1.
Dimostrazione. Siano X una superficie di Riemann connessa, compatta e semplicemente connessa. Fissiamo su X una metrica riemanniana com-patibile g e due punti distinti p, q, che appartengano a uno stesso aperto coordinato (U, z). Possiamo supporre che {|z|≤4} ⊂ U e che z(p)=0, z(q)=1. Vogliamo costruire una funzione meromorfa su X che abbia uno zero semplice inp, un polo semplice in q e che sia olomorfa e non nulla in tutti i punti di X\{p, q}.
Sia χ una funzioneC∞
0 (R), con χ(t)=1 se |t|≤4 e χ(t)=0 se |t|≥9. Allora ¯
∂χ(z¯z) = z χ0
(z¯z) d¯z e ∂χ(z¯z)= ¯z χ0
(z¯z) dz. Definiamo una forma α∈E(0,1)(X) scegliendo una determinazione del logaritmo di z/(1 − z) su D0(4)\[0, 1] e ponendo α= z·log[z/(1 − z)] χ0(z¯z) d¯z se 2≤|z|≤3, 0, altrimenti.
Osserviamo che ∂α ∈E1,1(X) `e ortogonale alle costanti. Infatti " X ∂α = " 2≤|z|≤3 dα= I |z|=3 α − I |z|=2 α= 0
1Felix Klein, Neue Beitr¨age zur Riemann’schen Functionentheorie, Mathematische Annalen, (1883), pp. 21141-218
2Paul Koebe, Uber die Uniformisierung reeller analytischer Kurven, G¨ottinger¨ Nachrichten (1907), pp.177-190, 191-210, 633-669.
3Henri Poincar´e, Sur l’uniformisation des fonctions analytiques, Acta Math., vol. 31, (1907), pp. 1-64
168 VIII. IL TEOREMA DI UNIFORMIZZAZIONE
perch´e α `e nulla sui bordi della corona circolare {2≤|z|≤3}. Per il Teore-ma 5.1 del Cap. VII possiamo allora trovare una funzionew ∈E(0,0)(X) per cui ∂ ¯∂w = ∂α. Possiamo rileggere questa uguaglianza come
d(α − ¯∂w) = 0.
Poich´e abbiamo supposto che X fosse semplicemente connesso, possiamo allora trovare una funzionev ∈ E(0,0)(X) tale che dv = α − ¯∂w. Abbiamo allora ∂v = 0 e, con u = v+w ∈ E(0,0)(X), otteniamo che
¯ ∂u = α in X. Allora la funzione f(z)= z z−1 exp(−u), se z ∈ U e |z(z)|≤2,
exp(χ(z) log[z/(z − 1)] −u), se z∈U e 2<|z(z)|≤3,
exp(−u), altrimenti,
`e meromorfa, con un unico polo semplice inq, un unico zero semplice in p, ed `e olomorfa e diversa da zero nei punti di X\{p, q}.
Verifichiamo che essa `e una bigezione di X su CP1.
Poich´e f `e meromorfa non costante su X, per ogniw ∈C∗il sottoinsieme f−1(w ) di X `e discreto ed il differenziale d f /( f −w) `e definito e chiuso su X\ f−1(w ). Se γ `e un cammino chiuso che borda un dominio di X contenente
f−1(w ), allora 1 2πi I γ d f f −w
conta, con la loro molteplicit`a, le radici dell’equazione f (z)=w in X. Poich´e f(z)→∞ per z→q ed f `e limitata su X\U, possiamo fissare un numero reale , con 0<<1, tale che µ= min|z−1|≥| f (z)|>2|w|. Quindi, la frontiera ∂G di G={z∈U| |z−1|≤}, che `e la circonferenza |z−1| = , percorsa in senso anti-orario, `e la frontiera di un dominio che contiene tutte le radici di f (z)=w. Il loro numero `e dato dall’integrale
1 2πi I |z−1|= f0(z) f(z) − wdz.
Ora, questo integrale vale 1 se w = 0 e si mantiene costante se |w|<µ. Questo ci dice che vi `e una e una sola soluzione dell’equazione f (z)= w in
X. La dimostrazione `e completa.
Corollario 1.2. Sia X una variet`a Riemanniana orientabile, connessa, compatta e semplicemente connessa. Allora la metrica g di X `e conforme a una metrica g0con curvatura positiva costante uguale ad1.
2. IL TEOREMA DELL’ANELLO SU UNA SUPERFICIE DI RIEMANN 169 2. Il teorema dell’anello su una superficie di Riemann
Nella dimostrazione del teorema di uniformizzazione per il caso non compatto utilizzeremo un teorema dell’anello (cf. Teorema 8.5 del Cap.VI) per variet`a riemanniane astratte.
Teorema 2.1 (dell’anello). Siano X una superficie di Riemann ed Ω un suo aperto relativamente compatto tale che
(i) ∂Ω `e unione di due curve di Jordan γ1, γ2 regolari di classeC∞ : ∂Ω = γ1 − γ2.
(ii) ¯Ω `e diffeomorfo al cilindro [−1, 1] × S1.
Risulta univocamente determinato un numero reale R>1 per cui esista un’ap-plicazione conforme f :Ω → A0(1, R)={w∈C | 1<|w|<R}.
Dimostrazione. Fissiamo una metrica Riemanniana g su X, compatibile con la struttura complessa. Sia u ∈ C∞
( ¯Ω) la soluzione del problema di Dirichelet: ∆2u = 0, in Ω , u = 0, su γ1, u = 1, su γ2. Consideriamo la forma differenziale4
η= dc
u = i(¯∂−∂)u,
Essa `e chiusa inΩ. L’immagine γ di {0} × S1nel diffeomorfismo del punto (ii) genera il gruppo fondamentale di ¯Ω. Abbiamo:
I ∂Ω η=I γ2 η=I γ2 u · η − I γ1 u · η= " Ω d(u · η) > 0
in quanto, in coordinate locali,
d(u · η)= ∂u ∂x !2 + ∂u∂y !2 dx ∧ dy
edu non `e costante inΩ. Moltiplicando u per una costante reale k positiva, possiamo fare in modo che
I
γk · η= 2π.
4In una qualsiasi coordinata olomorfa z= x + iy la dcu ha l’espressione dcu= −∂u∂ydx+∂u∂xdy.
170 VIII. IL TEOREMA DI UNIFORMIZZAZIONE
Indichiamo con v la primitiva della forma k·η definita sulla controim-magine di [−1, 1]×S1\{i} in ¯Ω mediante il diffeomorfismo in (ii). La f= exp(k·u + iv) si estende a una funzione olomorfa in Ω e continua su ¯Ω, a valori nell’anello {1≤|w |≤ek
}. Per il principio di massimo `e 0<u<1 suΩ e dunque la f `e un’applicazione propria di Ω sull’anello {1<|w|<ek
}. Ne segue che `e aperta e chiusa e quindi surgettiva. Poniamo R = ek
. Il nume-ro di volte in cui un valore w ∈C, con 1<|w|<R, `e assunto dalla f , `e dato dall’integrale 1 2πi I γ2 d f f − w − I γ1 d f f − w ! . Poich´e (d f / f )=k(du + iη), per w = 0, otteniamo
1 2πi I γi d f f = k 2π I γi η= 1, per i = 1, 2, da cui 1 2πi I γ2 d f f − w = 1 per |w| < R .
D’altra parte, se |w| > R, la f (p)−w assume suΩ valori tutti contenuti in un semipiano di C non contenente 0 e quindi `e possibile definire la funzione log( f −w) suΩ. Otteniamo perci`o
I γ1 d f f − w = I γ1dlog( f − w)= 0, se |w| > R. Ne segue che I γ1 d f f − w = 0 se |w| > 1. Otteniamo perci`o: 1 2πi I ∂Ω d f f − w = 1, se 1 < |w| < R. 0, se |w|<1 oppure |w|>R.
Ci`o mostra che f `e un’applicazione conforme di Ω sull’anello {1<|w|<R}.
3. Il teorema di uniformizzazione nel caso non compatto
Osserviamo preliminarmente che, con dimostrazione analoga a quel-la svolta nel caso di aperti delquel-la sfera di Riemann CP1, vale il teorema di compattezza di Koebe:
Teorema 3.1. Sia X una superficie di Riemann connessa. Fissati p0∈X ed α0∈C ⊗ T∗
p0X, l’insieme
3. IL TEOREMA DI UNIFORMIZZAZIONE NEL CASO NON COMPATTO 171
`e compatto.
Dimostriamo ora il teorema di uniformizzazione:
Teorema 3.2. Sia X una superficie di Riemann connessa, semplicemente connessa e non compatta. Allora esiste un’applicazione conforme di X su un apertoΩ di C.
Dimostrazione. Per l’ipotesi che X non sia compatta, possiamo trovare un’applicazione ρ ∈ C∞
(X, R) con supXρ=+∞ ed Xr={p∈X | ρ(p)<r}bX per ogni r∈R.
Sia µ = minp∈Xρ(p). Per il teorema di Sard, l’insieme dei valori critici di ρ, cio`e dei numeri reali {r= f (p) | d f (p)=0}, ha misura nulla ed `e di prima categoria: in particolare per quasi tutti i valori di r l’aperto Xr ha frontiera regolare di classeC∞
. Fissiamo un puntop0di X con ρ(p0) = µ e per ogni r>µ indichiamo con Yrla componente connessa dip0in Xr. In questo modo otteniamo una famiglia a un parametro di aperti connessi {Yr| r>µ} tale che Yr b Yr0 se r < r0ed X = Sr>µYr.
Dimostriamo che, per ogni r>µ, `e possibile definire un’applicazione olomorfa univalente fr di Yr in C. Chiaramente `e sufficiente considerare il caso in cui Yr abbia frontiera regolare di classe C∞
. Fissiamo un tale r e siano γ1, . . ., γt le componenti connesse della sua frontiera. Fissato un numero reale positivo sufficientemente piccolo, possiamo trovare intor-ni aperti Uj di γj (per 1≤ j≤t) tali che gli aperti Aj = Uj ∩ {r−<ρ<r+} soddisfino le ipotesi del teorema dell’anello. Possiamo allora definire ap-plicazioni conformi fj : Aj → {1<|w|<Rj}, che si estendono ad appli-cazioni continue fj : Aj → {1≤|w|≤Rj}, per 1≤ j≤t, in modo che risulti
fj(Uj∩ {ρ=r−}) = {|w|=Rj} ed fj(Uj∩ {ρ=r+}) = {|w|=1}.
Sia Dj={|w|<rj} un disco con 1<rj<Rj tale che fj(γj) sia contenuto nell’anello {1<|w|<rj}.
Definiamo allora ˜Yr mediante incollamento, identificando, nell’unione disgiunta Y t D1t. . .t Dti puntip di Aj∩ Yrcon le loro immagini mediante fj in Dj. Su ˜Yr `e definita in modo naturale una struttura di superficie di Riemann compatta.
Verifichiamo che ˜Yr `e semplicemente connessa. A questo scopo `e su ffi-ciente mostrare che ogni 1-forma chiusa su ˜Yr `e esatta.
Indichiamo con ˜Dj l’immagine di Dj in ˜Yr e identifichiamo Yr alla sua immagine dentro ˜Yr. Se η `e una 1-forma chiusa in ˜Yr, possiamo trovare funzioni φj ∈ C∞
( ˜Dj) tali che dφj = η in ˜Dj. Fissate delle χj ∈ C∞ 0 ( ˜Dj) che siano uguali a 1 in un intorno del compatto ˜Dj\Yr, consideriamo la forma η1 = η − Pt
j=1d(χjφj). Essa `e chiusa e ha supporto compatto in Yr: in particolare definisce una forma chiusa su X. Poich´e X `e semplicemente connesso, possiamo trovare una funzione v ∈ C∞
172 VIII. IL TEOREMA DI UNIFORMIZZAZIONE
X. La funzione λ = 1−χ1− · · · −χt `e uguale ad 1 in un intorno di Yrin ˜Yr e quindi λ·v `e una funzione di classe C∞
su ˜Yr. Ne segue che η1− d(λv) = α1+ · · · + αt con αj una 1-forma chiusa a supporto compatto in ˜Dj. Ma abbiamo allora αj = dβj per funzioni βjinC∞
0 ( ˜Dj). Quindi η= d t X j=1 χjφj+ βj + λv
`e esatta. Ci`o dimostra che ˜Yr `e semplicemente connessa e quindi, per il teorema di uniformizzazione nel caso compatto, `e biolomorfa a CP1. Da questo segue che esiste un’applicazione olomorfa univalente fr : Yr→ C.
Fissiamo adesso un covettore α0 , 0 in p0. A meno di cambiare fr in a fr + b con a, b ∈ C opportuni, possiamo fare in modo che f (p0) = 0 e d f(p0) = α0. Per il teorema di compattezza di Koebe, le { fr}r>s formano allora, per ogni s > µ, un sottoinsieme relativamente compatto di O(Ys). Possiamo allora trovare una successione { frn} che converge ad una funzione
olomorfa univalente su X.
4. Il teorema di uniformizzazione di Riemann
I risultati dei paragrafi precedenti si riassumono nel Teorema di unifor-mizzazione di Riemann:
Teorema 4.1. Sia X una superficie di Riemann connessa e semplicemen-te connessa. Allora si possono dare i tre casi seguenti, e ciascuno esclude gli altri due:
(A) X `e compatta e biolomorfa a CP1; (B) X non `e compatta ed `e biolomorfa a C;
(C) X non `e compatta ed `e biolomorfa aD.
Osserviamo che una X connessa, semplicemente connessa e non com-patta `e biolomorfa a D se e soltanto se O(X) contiene funzioni olomorfe limitate non costanti.
Consideriamo ora il caso di superfici di Riemann che non siano neces-sariamente semplicemente connesse. Vale il:
Teorema 4.2. Siano X una superficie di Riemann, Σ uno spazio topo-logico di Hausdorff e σ : Σ → X un omeomorfismo locale. Allora vi `e un’unica struttura complessa suΣ che renda la σ olomorfa.
In particolare otteniamo:
Teorema 4.3. Siano X una superficie di Riemann connessa ed ˜X il suo rivestimento universale. Vi `e allora un’unica struttura di superficie di Rie-mann su ˜X per cui la proiezione canonica π : ˜X → X sia olomorfa. Per ognip ∈ X, la fibra π−1(p) `e finita o, al pi`u, numerabile.
4. IL TEOREMA DI UNIFORMIZZAZIONE DI RIEMANN 173 Ogni rivestimento connesso di una superficie di Riemann ha al pi`u un’in-finit`a numerabile di fogli. Ci`o `e conseguenza del risultato generale:
Teorema 4.4 (Poincar´e-Volterra). Siano Σ ed X due spazi di Hausdorff connessi eσ : Σ → X un omeomorfismo locale. Se X `e localmente connesso per archi e a base numerabile, ancheΣ `e a base numerabile. Siano X uno spazio topologico e G un gruppo che opera su X come gruppo di omeomorfismi.
Definizione 4.1. Diciamo che G opera in modo propriamente disconti-nuose per ogni punto p ∈ X esiste un intorno U di p tale che
(4.1) g1, g2∈ G e g1, g2=⇒ g1(U) ∩ g2(U)= ∅. Se X `e localmente compatto ci`o equivale a:
(i) G opera liberamente su X (cio`e, se g ∈ G e g(x)= x per un x ∈ X, allora g = e = identit`a);
(ii) per ogni coppia di compatti K1, K2di X l’insieme delle trasforma-zioni g di G per cui g(K2) ∩ K1,∅ `e finito.
Vale il
Teorema 4.5. Siano X una superficie di Riemann e G un gruppo pro-priamente discontinuo di biolomorfismi di X. Allora vi `e una ed una sola struttura di superficie di Riemann sul quoziente ˆX = X/G che renda la
proiezione nel quozienteπ : X → ˆX olomorfa.
Nel seguito, quando parleremo di rivestimenti di superfici di Riemann, supporremo sempre definita sullo spazio del rivestimento la struttura di superficie di Riemann che rende la proiezione olomorfa.
Per il teorema di uniformizzazione di Riemann abbiamo allora:
Teorema 4.6 (Riemann). Ogni superficie di Riemann connessa ammette come rivestimento universale una delle tre superfici di Riemann seguenti
(con esclusione delle altre due): CP1, C, D.
Definizione 4.2. Una superficie di Riemann X si dice: • ellittica, se ammette come rivestimento universale CP1; • parabolica, se ammette come rivestimento universale C; • iperbolica, se ammette come rivestimento universale D.
Teorema 4.7 (di rappresentazione). Ogni superficie di Riemann connes-sa X `e biolomorfa aΣ/G, ove Σ `e una delle superfici di Riemann connes-se e connes-semplicemente connesconnes-se CP1, C, D, e G `e un gruppo propriamente
174 VIII. IL TEOREMA DI UNIFORMIZZAZIONE
Corollario 4.8. A meno di equivalenza conforme, CP1 `e l’unica super-ficie di Riemann ellittica.
Dimostrazione. Infatti ogni trasformazione di M¨obius ha in CP1almeno un punto fisso e quindi non ci sono sottogruppi non banali di trasformazioni di M¨obius che operino su CP1in modo propriamente discontinuo. Teorema 4.9 (del sollevamento). Siano X1, X2due superfici di Riemann ed ˜X1, ˜X2i loro rivestimenti universali. Allora ogni applicazione olomorfa f : X1 → X2 si solleva a un’applicazione olomorfa ˜f : ˜X1 → ˜X2, in modo tale che il diagramma
(4.2) ˜ X1 −−−−−f˜→ ˜X2 π1 y yπ2 X1 −−−−−→ f X2 risulti commutativo.
Inoltre: se f `e conforme, anche ˜f `e conforme; se f `e univalente, anche ˜
CAPITOLO IX