Hole-boring

In regime hole-boring, [10] negli istanti immediatamente successivi all’inte-razione tra laser e bersaglio si viene a creare un forte campo elettrostatico E_x, generato dalla propagazione dell’onda di elettroni, che modifica il profilo di densità degli ioni. Dato che non è disponibile una soluzione analitica per questo tipo di problema consideriamo un modello fenomenologico assumendo una situazione di quasi-equilibrio tra la forza ponderomotrice F_x ' 2I_L/c, e la forza elettrostatica generata dagli elettroni. Per capire la dinamica in questo regime, consideriamo la seguente figura in cui il fenemeno di accele-razione è confinato nella regione 0 ≤ x_s, dove x_s = l_s ' c/ω_p.

Figura 2.4: Schema hole-boring [9]

Al tempo t1 = t₀ immediatamente successivo all’impulso laser, gli ioni con profilo di densità n_i (linea blu) sono fermi mentre gli elettroni, con densità n_e (linea verde), vengono spinti in avanti generando una separazione di carica. Al tempo t2 = t₀+ τ /2 (τ è il tempo di durata dell’accelerazione) il campo elettrostatico E_x (linea rossa), che ha un massimo in corrispondenza di x_d, accelera una parte di ioni che cominciano ad accumularsi nella regione di evanescenza, mentre la densità di elettroni cresce ulteriormente per la condi-zione di equilibrio tra forza ponderomotrice e forza elettrostatica.

Al tempo t₃ = t₀+ τ il picco di densità n_ediverge e tutti gli ioni nella posizio-ne xd< x < x_s raggiungono il punto x = xs: si verifica la rottura dell’onda di plasma e il picco di densità si divide in due perché gli ioni inizialmente in

x_d < x < x_s superano quelli fermi in x = x_s. Alla fine del processo gli ioni non possono essere ulteriormente accelerati.

Leggi di scala

Il campo elettrico che soddisfa l’equazione di Poisson ∂E

∂z ^{= 4πe(ni}− n_e)

è crescente in x < x_d, decrescente in x_d < x < x_s, continuo in x=x_d dove ha massimo E₀ = 4πn₀x_d(n₀ è per convenzione la densità di ioni ed elettroni per un plasma neutro) e nullo in x = xd coerentemente con la rottura dell’onda di plasma. Poste queste condizioni scriviamo le condizioni per l’andamento del campo elettrico accelerante

E(x) = ( E_0x^x d in 0 ≤ x < x_d E₀ 1 − ^x−xd xs−x_d
in x_d≤ x < x_s

dove 0 ≤ x < x_d e x_d ≤ x < x_s sono dette rispettivamente zona di svuota-mento e zona di compressione.

Adesso scriviamo l’equazione per la forza esercitata dal campo elettrico su un generico ione di carica Ze di massa Am_p

F (x) = ZeE₀  1 − ^{x − xd} x_s− x_d  (2.11) da cui deriva per la seconda legge di Newton che l’accelerazione è

¨ x = ^ZeE0 Amp  1 − ^{x − xd} xs− x_d  (2.12)

L’accelerazione massima si ha per x = xd in corrispondenza del massimo del campo elettrico e in x = x_s la velocità degli ioni raggiunge il valore massimo

v_{M AX} =  2^eE0 Am_p^(xs− x_d) 1/2 (2.13) che implica un’energia cinetica massima K_{M AX} pari a

Am_p^v

2 M AX

2.2 RPA 27 Per avere l’espressione finale sfruttiamo la condizione di equilibrio che abbia-mo imposto e uguagliando le espressioni della pressione elettrostatica P_el e della pressione di radiazione P_rad

eE₀n₀(x_s− x_d) | {z } Pel = ^IL c |{z} Prad si trova che Am_p^v 2 M AX 2 ^{= ZeE0(xs}− x_d) = ^Z n₀ I_L c

Ricordando che l’intensità è legata al campo elettrico dalla seguente relazione I_L

c ^{= E}

2

e che E = −(1/c)∂A/∂t da cui segue che E = A₀ω/c = 2πA₀/λ possiamo riscrivere l’espressione dell’energia cinetica massima degli ioni in funzione del parametro adimensionale a = eA0/mec² come

K_{M AX} = 4πm_ec²Z^nc ne

a² (2.14)

che corrisponde in MeV a

K_{M AX}(M eV ) = ^{KM AX}

2mec2 = 2πZ^nc ne

a² (2.15)

dove n_c è la densità critica e n₀ è stata sostituita con n_e [4] perché ci inte-ressa riferirci alla densità elettronica, soggetta a piccole variazioni rispetto all’equilibrio. Possiamo anche scrivere l’espressione per la velocità massima degli ioni normalizzata a c

v_{M AX} c ^{= 2a} s π^me m_p n_c n_e Z A ^(2.16)

Figura 2.5: Andamento della velocità degli ioni in funzione del parametro di laser [10] a = a_L per n_e = 5.4n_c (rosso) e per n_e = 10.3n_c (blu)

Figura 2.6: Simulazione con codice PIC (particle in a cell ) 1D dell’interazione tra un impulso laser CP corto, che interagisce con un plasma sovradenso [10]. La figura mostra la densità di ioni n_i, il campo elettrostatico E_x e la distribuzione degli ioni f_i e degli elettroni f_e nello spazio delle fasi (x, p_x) a tempi diversi. Per un laser con lunghezza d’onda λ_L = 1µm i parametri di laser e plasma corrispondono a un’irradianza di I_Lλ2

L= 5.5 · 1018W µm2/cm2, a una durata dell’impulso τ_L=20 fs e ad una densità elettronica iniziale di n_e = 5.5 · 1023cm⁻³. La coordinata x è normalizzata a λ_L, la densità a n_c = 1.1·1021cm⁻³, il campo elettrico a m_eω_Lc/e e gli impulsi sono rispettivamente normalizzati a m_ec e m_ic. Si noti il picco ionico di densità che si divide in due in corrispondenza della rottura dell’onda di plasma.

2.2 RPA 29 Confronto LP/CP

Adesso confrontiamo sinteticamente le principali caratteristiche e le rispetti-ve leggi di scala dei due regimi [10] di accelerazione mantenendo i medesimi parametri e cambiando esclusivamente la polarizzazione della luce. Conside-riamo i risultati della seguenta simulazione 1D per polarizzazioni diverse e facciamo alcune considerazione qualitative.

Figura 2.7: Andamento della densità n_i degli ioni e delle distribuzioni di ioni ed elettroni nello spazio delle fasi (x, p_x). I parametri della simulazione sono: τ_L=86 fs e tempo di misura t=467 fs, I_Lλ2

L = 3.5 · 1020W µm2/cm2, n_e = 10²²cm⁻³, l = 20µm (spessore del bersaglio) e Z/A = 1. Tutte le grandezze sono normalizzate [10]

Nel caso di polarizzazione lineare possiamo notare la generazione di elettroni relativistici con alti impulsi longitudinali e l’espansione di alcuni di questi nel vuoto, oltre lo spessore del bersaglio, mentre nel caso CP gli elettroni hanno impulsi inferiori di più di un ordine di grandezza. Per quanto riguarda la distribuzioni di ioni, nel caso LP possiamo individuare tre zone. Nella zona più a destra nel grafico, che corrisponde alla regione a destra del bersaglio di plasma, la distribuzione di ioni ha valore maggiore coerentemente con il meccanismo di accelerazione nel vuoto tipico del TNSA. Per quanto riguarda le altre due regioni, la zona a sinistra corrisponde alla zona a sinistra del bersaglio in cui avviene l’espansione termica del pre-plasma, mentre la zona centrale corrisponde al bersaglio di plasma in cui gli ioni sono accelerati dalla

forza ponderomotrice. Nel caso CP non si osserva accelerazione nel vuoto in quanto gli ioni sono confinati in una zona ristretta all’interno del bersaglio. Consideriamo inoltre la seguente simulazione in cui viene stimata la distri-buzione dell’energia acquistata dagli ioni (aL = a è il parametro di laser e E(M eV ) = K_{M AX}(M eV )).

Figura 2.8: Confronto tra le distribuzioni di energia in caso di polarizzazione circolare (rosso) e di polarizzazione lineare (blu) [10]

Possiamo subito notare che in configurazione CP il picco di energia degli ioni accelerati è ben definito e centrato su un valore di circa 10 MeV, mentre in configurazione LP, come detto in precedenza, si nota una notevole dispersio-ne sullo spettro edispersio-nergetico, con un picco molto basso centrato su un valore di circa 20 MeV. Notiamo anche che mentre in regime RPA lo spettro energetico ha un profilo di tipo gaussiano, nel TNSA il profilo è di tipo esponenziale. Adesso richiamando le (2.10) e (2.15), che riscriviamo per comodità

K_{M AX}(M eV ) ' ^Za

2 ^{KM AX(M eV ) = 2πZ}

nc

n_e^a

2

osserviamo che mentre in polarizzazione lineare l’energia massima risulta K_{M AX}(M eV ) ∝ a, in regime di polarizzazione circolare risulta K_{M AX}(M eV ) ∝ a2 il che significa che il meccanismo RPA ha un’efficienza di conversione dell’energia dalla radiazione agli ioni superiore, coerentemente con la ridot-ta generazione di elettroni caldi. Nonosridot-tante questo però, alle intensità di radiazione attualmente disponibili, il TNSA risulta più efficace in termini di energia degli ioni prodotti in quanto nell’espressione della KM AX(M eV ) del RPA compare il termine n_c/n_e, che tipicamente per bersagli spessi è pari a

2.2 RPA 31 circa 1/300. Si trova quindi che nel RPA K_{M AX}(M eV ) ' Za2/50 mentre nel TNSA K_{M AX}(M eV ) ' Za/2.

Vediamo allora che nonostante la maggiore efficienza di conversione, il regime di RPA hole-boring, con i laser oggi disponibili, non presenta alcun vantaggio rispetto al TNSA in termini di energia degli ioni prodotti.

Riassumendo alle intensità attualmente disponibili, in regime TNSA si ot-tengono con bassa efficienza di conversione ioni più energetici e scarsamente focalizzati, mentre in regime RPA si ottengono con maggiore efficienza ioni meno energetici, ma decisamente più focalizzati.